ExercicesChapitre 1 — Suites numériques

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Cours Exercices Corrigé des exercices Enseignants : chapitre complet

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Cours complet, avec les exercices

Sommaire

I — Notion de suite
II — Suites définies par récurrence
III — Représentation graphique d'une suite
IV — Suites arithmétiques : définition
V — Suites arithmétiques : expression en fonction de $n$
VI — Suites arithmétiques : problème de seuil
VII — Suites arithmétiques : variations et représentation graphique
VIII — Suites géométriques : définition
IX — Suites géométriques : expression en fonction de $n$
X — Suites géométriques : variations et représentation graphique
XI — Suites géométriques : problème de seuil
XII — Comparer deux évolutions

I Notion de suite

Exercice 1 — Calculer les premiers termes

Pour chaque suite, calculer les cinq premiers termes.

u_{n} = 4 n - 5

v_{n} = n^{2} + 1

w_{n} = 3^{n}

Corrigé

Les cinq premiers termes sont ceux de rang $0$ à $4$ .

u_{n} = 4 n - 5 : - 5; - 1; 3; 7; 11

v_{n} = n^{2} + 1 : 1; 2; 5; 10; 17

w_{n} = 3^{n} : 1; 3; 9; 27; 81

$3^{0} = 1$ , et non $0$ .

Exercice 2 — Calculer un terme

Calculer les termes demandés.

a)
$u_{n} = 6 n + 5$ : calculer $u_{9}$ .
b)
$v_{n} = 3 n^{2} - 2 n + 1$ : calculer $v_{4}$ .
c)
$w_{n} = \frac{2 n}{n + 1}$ : calculer $w_{0}$ , $w_{1}$ , $w_{2}$ et $w_{3}$ .
d)
$t_{n} = 20 - n^{2}$ : calculer $t_{3}$ .

Corrigé

a)
$u_{9} = 6 \times 9 + 5 = 59$
b)
$v_{4} = 3 \times 16 - 8 + 1 = 41$
c)
$w_{0} = 0$ ; $w_{1} = 1$ ; $w_{2} = \frac{4}{3}$ ; $w_{3} = \frac{6}{4} = 1, 5$
d)
$t_{3} = 20 - 9 = 11$

Exercice 3 — Des suites dans la vie courante

Pour chaque situation, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer le terme demandé.

a)
Une piscine vend une carte annuelle à $30$ €, puis chaque entrée $3, 50$ €. $u_{n}$ est le prix payé pour $n$ entrées dans l'année. Calculer $u_{12}$ .
b)
Une trottinette en libre-service coûte $1$ € au départ, puis $0, 25$ € par minute. $u_{n}$ est le prix d'un trajet de $n$ minutes. Calculer $u_{40}$ .
c)
La réserve d'eau d'un village, de $9000$ m $^{3}$ , baisse de $600$ m $^{3}$ par mois. $u_{n}$ est la réserve au bout de $n$ mois. Calculer $u_{6}$ .

Corrigé

a)
$u_{n} = 30 + 3, 5 n$ ; $u_{12} = 30 + 42 = 72 €$
b)
$u_{n} = 1 + 0, 25 n$ ; $u_{40} = 1 + 10 = 11 €$
c)
$u_{n} = 9000 - 600 n$ ; $u_{6} = 9000 - 3600 = 5400 m^{3}$

Exercice 4 — Ne pas confondre

Soit la suite définie par $u_{n} = 2 n + 5$ .

a)
Calculer $u_{4}$ , puis $u_{4} + 1$ , puis $u_{5}$ .
b)
Exprimer $u_{n + 1}$ en fonction de $n$ .

Corrigé

a)
$u_{4} = 13$ ; $u_{4} + 1 = 14$ ; $u_{5} = 15$ .
b)
On remplace $n$ par $n + 1$ : $u_{n + 1} = 2 (n + 1) + 5 = 2 n + 7$

$u_{n + 1}$ est le terme suivant ; $u_{n} + 1$ est le terme augmenté de $1$ .

Exercice 5 — Retrouver le rang

Soit la suite définie par $u_{n} = 80 - 4 n$ .

a)
Calculer $u_{0}$ , $u_{1}$ et $u_{10}$ .
b)
Pour quel rang $n$ a-t-on $u_{n} = 48$ ? et $u_{n} = 0$ ?

Corrigé

a)
$u_{0} = 80$ ; $u_{1} = 76$ ; $u_{10} = 40$ .
b)
$80 - 4 n = 48 ⟺ 4 n = 32 ⟺ n = 8$ ; $80 - 4 n = 0 ⟺ n = 20$ .

II Suites définies par récurrence

Exercice 6 — Calculer les termes pas à pas

Pour chaque suite, calculer les termes de rang $1$ à $4$ .

a)
$u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 1$
b)
$v_{0} = 5$ et $v_{n + 1} = v_{n} + 4$
c)
$w_{0} = 48$ et $w_{n + 1} = \frac{w _{n}}{2}$
d)
$t_{0} = 20$ et $t_{n + 1} = t_{n} - 6$

Corrigé

a)
$u_{1} = 5$ ; $u_{2} = 14$ ; $u_{3} = 41$ ; $u_{4} = 122$
b)
$v_{1} = 9$ ; $v_{2} = 13$ ; $v_{3} = 17$ ; $v_{4} = 21$
c)
$w_{1} = 24$ ; $w_{2} = 12$ ; $w_{3} = 6$ ; $w_{4} = 3$
d)
$t_{1} = 14$ ; $t_{2} = 8$ ; $t_{3} = 2$ ; $t_{4} = - 4$

Exercice 7 — Avec des nombres négatifs

Calculer les termes demandés.

a)
$u_{0} = - 1$ et $u_{n + 1} = 3 - u_{n}^{2}$ : calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
b)
$v_{0} = 1$ et $v_{n + 1} = - 3 v_{n} + 2$ : calculer $v_{1}$ , $v_{2}$ et $v_{3}$ .

Corrigé

a)
$u_{1} = 3 - (- 1)^{2} = 2$ ; $u_{2} = 3 - 4 = - 1$ ; $u_{3} = 3 - 1 = 2$
b)
$v_{1} = - 3 + 2 = - 1$ ; $v_{2} = 3 + 2 = 5$ ; $v_{3} = - 15 + 2 = - 13$

$(- 1)^{2} = 1$ : le carré d'un nombre négatif est positif.

Exercice 8 — Traduire un énoncé

Pour chaque situation, donner le premier terme et la relation de récurrence, puis calculer les deux termes suivants.

a)
Une tirelire contient $150$ € ; chaque semaine, on y ajoute $20$ €. On note $u_{n}$ la somme après $n$ semaines.
b)
Une algue couvre $3$ m $^{2}$ d'un étang, et sa surface triple chaque semaine. On note $a_{n}$ la surface, en m $^{2}$ , après $n$ semaines.
c)
Une médiathèque compte $400$ abonnés ; chaque année, $30$ partent et $50$ arrivent. On note $c_{n}$ le nombre d'abonnés après $n$ années.

Corrigé

a)
$u_{0} = 150$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 20$ ; $u_{1} = 170$ ; $u_{2} = 190$ .
b)
$a_{0} = 3$ et $a_{n + 1} = 3 a_{n}$ ; $a_{1} = 9$ ; $a_{2} = 27$ .
c)
$c_{0} = 400$ et $c_{n + 1} = c_{n} + 20$ ( $- 30 + 50$ ) ; $c_{1} = 420$ ; $c_{2} = 440$ .

Exercice 9 — Retrouver la relation

Pour chaque liste, donner le premier terme et une relation de récurrence qui la produit.

4

;

9

;

14

;

19

2

;

8

;

32

;

128

1

;

4

;

13

;

40

Corrigé

a)
$u_{0} = 4$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 5$
b)
$u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = 4 u_{n}$
c)
$u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = 3 u_{n} + 1$ ( $3 \times 1 + 1 = 4$ ; $3 \times 4 + 1 = 13$ …)

Exercice 10 — Revenir en arrière

On sait que $u_{n + 1} = u_{n} - 6$ et que $u_{3} = 11$ . Calculer $u_{2}$ , $u_{1}$ , puis $u_{0}$ .

Corrigé

En reculant d'un rang, on ajoute $6$ : $u_{2} = 17$ ; $u_{1} = 23$ ; $u_{0} = 29$ .

Exercice 11 — Au tableur

Les rangs $n$ sont en colonne A, les termes en colonne B, le premier terme en B2. Pour chaque suite, quelle formule saisir en B3, à recopier vers le bas ?

a)
$u_{0} = 30$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 15$ .
b)
$v_{0} = 200$ et $v_{n + 1} = 0, 9 v_{n} + 30$ .
c)
$w_{n} = 5 n - 1$ (la formule utilise la colonne A).

Corrigé

a)
$=B2+15$
b)
$=0,9*B2+30$
c)
$=5*A3-1$ la ligne 3 contient le rang $n = 1$ en A3.

Récurrence : on utilise la cellule du dessus. Formule explicite : on utilise le rang, dans la même ligne.

III Représentation graphique d'une suite

Exercice 12 — Représenter une suite

Pour chaque suite, dresser le tableau de valeurs pour $n$ allant de $0$ à $6$ , puis représenter la suite dans un repère.

u_{n} = 9 - 2 n

v_{0} = 4

v_{n + 1} = 2 - v_{n}

Corrigé

u

9

;

7

;

5

;

3

;

1

;

- 1

;

- 3

v

4

;

- 2

;

4

;

- 2

;

4

;

- 2

;

4

$\times$ : $(u_{n})$ , points alignés ; $+$ : $(v_{n})$ , qui alterne entre $4$ et $- 2$ .

Exercice 13 — Lire un graphique

On a représenté les premiers termes d'une suite $(u_{n})$ .

a)
Lire $u_{0}$ et $u_{4}$ .
b)
Pour quel rang a-t-on $u_{n} = 4$ ?
c)
Les termes augmentent-ils ou diminuent-ils ?

Corrigé

a)
$u_{0} = 1$ ; $u_{4} = 5, 5$
b)
$u_{n} = 4$ pour $n = 3$ .
c)
Les termes $augmentent$ .

Exercice 14 — Calculer puis représenter

Soit la suite définie par $u_{0} = - 6$ et $u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 10}{2}$ .

a)
Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ .
b)
Représenter ces cinq termes dans un repère.

Corrigé

a)
$u_{1} = \frac{- 6 + 10}{2} = 2$ ;
$u_{2} = 6$ ; $u_{3} = 8$ ; $u_{4} = 9$
b)
Voir le repère.

Exercice 15 — Une suite qui descend puis remonte

Soit la suite définie par $w_{n} = n^{2} - 6 n + 8$ .

a)
Dresser le tableau de valeurs pour $n$ allant de $0$ à $6$ .
b)
Représenter ces termes dans un repère.
c)
Décrire l'évolution des termes.

Corrigé

a)
$w_{n}$ : $8$ ; $3$ ; $0$ ; $- 1$ ; $0$ ; $3$ ; $8$
b)
Voir le repère.
c)
Les termes $diminuent jusqu’au rang 3$ , puis $augmentent$ .

IV Suites arithmétiques : définition

Exercice 16 — Reconnaître une suite arithmétique

Ces nombres sont-ils les premiers termes d'une suite arithmétique ? Si oui, donner la raison.

6

;

10

;

14

;

18

12

;

9

;

6

;

3

2

;

6

;

18

;

54

1, 5

;

2

;

2, 5

;

3

0

;

1

;

4

;

9

Corrigé

On calcule les différences entre deux termes consécutifs.

r = 4

r = - 3

c) non :

4

, puis

12

r = 0, 5

e) non :

1

, puis

3

Exercice 17 — Modéliser

Pour chaque situation, donner le premier terme, la relation de récurrence et la raison.

a)
Un cinéma vend $50000$ places la première année ( $u_{0}$ ), puis $4000$ de plus chaque année.
b)
Le stock d'un entrepôt, de $6000$ cartons, baisse de $450$ cartons par semaine.
c)
Une cagnotte contient $200$ € ; on y ajoute $15$ € chaque mois.

Corrigé

a)
$u_{0} = 50000$ ; $u_{n + 1} = u_{n} + 4000$ ; $r = 4000$
b)
$u_{0} = 6000$ ; $u_{n + 1} = u_{n} - 450$ ; $r = - 450$
c)
$u_{0} = 200$ ; $u_{n + 1} = u_{n} + 15$ ; $r = 15$

Exercice 18 — Arithmétique ou non ?

Dire si chaque suite est arithmétique, en justifiant.

a)
$u_{n} = 7 - 3 n$ : calculer $u_{n + 1} - u_{n}$ . La suite est-elle arithmétique ?
b)
$v_{n} = n^{2} + 3$ : calculer $v_{0}$ , $v_{1}$ et $v_{2}$ . La suite est-elle arithmétique ?
c)
$w_{n} = 3 (n + 2)$ : montrer que la suite est arithmétique.

Corrigé

a)
$u_{n + 1} - u_{n} = 4 - 3 n - (7 - 3 n) = - 3$ : constante, donc $arithm \overset{e}{ˊ} tique de raison - 3$ .
b)
$v_{0} = 3$ ; $v_{1} = 4$ ; $v_{2} = 7$ : les différences $1$ et $3$ ne sont pas égales, donc $pas arithm \overset{e}{ˊ} tique$ .
c)
$w_{n} = 3 n + 6$ et $w_{n + 1} - w_{n} = 3$ : $arithm \overset{e}{ˊ} tique de raison 3$ .

Exercice 19 — Compléter

Les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont arithmétiques.

a)
$u_{0} = 9$ et $r = - 4$ : calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ .
b)
$v_{2} = 13$ et $v_{3} = 18$ : donner la raison, puis $v_{4}$ , $v_{1}$ et $v_{0}$ .

Corrigé

a)
$u_{1} = 5$ ; $u_{2} = 1$ ; $u_{3} = - 3$ ; $u_{4} = - 7$
b)
$r = 18 - 13 = 5$ ; $v_{4} = 23$ ; $v_{1} = 8$ ; $v_{0} = 3$

V Suites arithmétiques : expression en fonction de $n$

Exercice 20 — Appliquer la formule

Pour chaque suite arithmétique, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer le terme demandé.

a)
$u_{0} = 10$ et $r = - 3$ : $u_{8}$ .
b)
$u_{0} = - 4$ et $r = 5$ : $u_{12}$ .
c)
$u_{1} = 600$ et $r = 40$ : $u_{8}$ .
d)
$u_{1} = - 7$ et $r = 4$ : $u_{5}$ .

Corrigé

a)
$u_{n} = 10 - 3 n$ ; $u_{8} = 10 - 24 = - 14$
b)
$u_{n} = - 4 + 5 n$ ; $u_{12} = - 4 + 60 = 56$
c)
$u_{0} = 600 - 40 = 560$ et $u_{n} = 560 + 40 n$ ; $u_{8} = 880$
d)
$u_{0} = - 7 - 4 = - 11$ et $u_{n} = - 11 + 4 n$ ; $u_{5} = 9$

Avec $u_{1}$ , on recule d'un rang pour trouver $u_{0}$ , puis $u_{n} = u_{0} + n r$ .

Exercice 21 — Une suite qui diminue

On donne $u_{1} = 185$ ; $u_{2} = 172$ ; $u_{3} = 159$ et $u_{4} = 146$ .

a)
Montrer que ce sont les termes d'une suite arithmétique, et donner sa raison.
b)
Calculer $u_{5}$ , puis $u_{14}$ .

Corrigé

a)
$172 - 185 = - 13$ ; $159 - 172 = - 13$ ; $146 - 159 = - 13$ : les différences sont égales, la suite est arithmétique, $r = - 13$ .
b)
$u_{5} = 146 - 13 = 133$ ; $u_{14} = u_{1} + 13 r$ , soit $u_{14} = 185 - 169 = 16$

Exercice 22 — Production d'un atelier

En 2010, un atelier fabrique $4000$ vélos ; sa production augmente de $250$ vélos par an. On note $u_{n}$ la production en $2010 + n$ .

a)
Donner la nature de la suite $(u_{n})$ , puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
b)
Calculer la production en 2013, puis en 2030.

Corrigé

a)
Arithmétique de raison $250$ : $u_{n} = 4000 + 250 n$
b)
2013 : $u_{3} = 4750$ ; 2030 : $u_{20} = 4000 + 5000 = 9000$

Exercice 23 — Lire la formule

Donner le premier terme $u_{0}$ et la raison de chaque suite arithmétique.

u_{n} = 5 + 4 n

v_{n} = 18 - 1, 5 n

w_{n} = 6 n

Corrigé

u_{0} = 5

;

r = 4

v_{0} = 18

;

r = - 1, 5

w_{0} = 0

;

r = 6

Exercice 24 — Un terme lointain

Calculer le terme demandé de chaque suite arithmétique.

a)
$u_{0} = 15$ et $r = 4$ : $u_{100}$ .
b)
$u_{1} = 7$ et $r = 3$ : $u_{50}$ .

Corrigé

a)
$u_{100} = 15 + 100 \times 4 = 415$
b)
$u_{50} = 7 + 49 \times 3 = 154$

Avec $u_{1}$ , on ajoute la raison $49$ fois (et non $50$ ) pour atteindre $u_{50}$ .

VI Suites arithmétiques : problème de seuil

Exercice 25 — Acheter un vélo électrique

Une lycéenne veut acheter un vélo électrique à $1500$ €. Le 1^er janvier, elle a $900$ €, et elle met $60$ € de côté chaque mois. On note $u_{1} = 900$ la somme au 1^er janvier, $u_{2}$ celle au 1^er février, et ainsi de suite.

a)
Calculer $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ .
b)
Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
c)
Calculer $u_{7}$ .
d)
Pour quelle valeur de $n$ aura-t-elle $1500$ € ?
e)
À quelle date pourra-t-elle acheter son vélo ?

Corrigé

a)
$u_{2} = 960$ ; $u_{3} = 1020$ ; $u_{4} = 1080$
b)
$u_{0} = 900 - 60 = 840$ , donc $u_{n} = 840 + 60 n$
c)
$u_{7} = 840 + 420 = 1260$
d)
$840 + 60 n ⩾ 1500 ⟺ 60 n ⩾ 660 ⟺ n ⩾ 11$
e)
$u_{11}$ est la somme au $1ᵉʳ novembre$ .

Exercice 26 — Doubler la production

On reprend l'atelier de l'exercice : $u_{n} = 4000 + 250 n$ . En quelle année la production aura-t-elle doublé par rapport à 2010 ?

Corrigé

$4000 + 250 n ⩾ 8000 ⟺ 250 n ⩾ 4000 ⟺ n ⩾ 16$ : $en 2026$ .

Exercice 27 — Le recul d'une falaise

En 2020, une maison se trouve à $200$ m du bord d'une falaise, qui recule de $2$ m par an. On note $d_{n}$ la distance, en mètres, en $2020 + n$ .

a)
Exprimer $d_{n}$ en fonction de $n$ .
b)
À partir de quelle année la maison sera-t-elle à moins de $175$ m du bord ?

Corrigé

a)
$d_{n} = 200 - 2 n$
b)
$- 2 n < - 25 ⟺ n > 12, 5$ (on divise par $- 2$ : le sens change) : $n = 13$ , $en 2033$ .

Exercice 28 — Résoudre des inéquations

Pour chaque inéquation, donner le plus petit entier $n$ qui la vérifie.

15 + 5 n > 100

240 - 30 n < 0

40 + 6 n ⩾ 100

Corrigé

a)
$5 n > 85 ⟺ n > 17$ : $n = 18$
b)
$- 30 n < - 240 ⟺ n > 8$ : $n = 9$ (on divise par $- 30$ : le sens change)
c)
$6 n ⩾ 60 ⟺ n ⩾ 10$ : $n = 10$

a) $n = 17$ donne exactement $100$ : ce n'est pas « plus de $100$ ».

VII Suites arithmétiques : variations et représentation graphique

Exercice 29 — Sens de variation

Donner la raison, puis le sens de variation de chaque suite arithmétique.

u_{n} = 3 + 8 n

v_{n} = 20 - 0, 4 n

c) $t_{n} = - 5 n$

d) $w_{0} = - 6$ et $w_{n + 1} = w_{n} + 0, 5$

Corrigé

a)
$r = 8 > 0$ : $croissante$
b)
$r = - 0, 4 < 0$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$
c)
$r = - 5 < 0$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$
d)
$r = 0, 5 > 0$ : $croissante$

Exercice 30 — Lire un graphique

Les points ci-contre représentent une suite arithmétique $(u_{n})$ .

a)
Lire $u_{0}$ et la raison $r$ .
b)
Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
c)
Calculer $u_{10}$ .
d)
Donner le sens de variation.

Corrigé

a)
$u_{0} = 8$ ; d'un point au suivant, on descend de $1, 5$ : $r = - 1, 5$
b)
$u_{n} = 8 - 1, 5 n$
c)
$u_{10} = 8 - 15 = - 7$
d)
$r < 0$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$

Exercice 31 — Représenter

Représenter les cinq premiers termes des suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ dans un même repère, puis donner leur sens de variation.

u_{n} = 1 + 1, 5 n

v_{0} = 8

v_{n + 1} = v_{n} - 2

Corrigé

$u$ : $1$ ; $2, 5$ ; $4$ ; $5, 5$ ; $7$
$r = 1, 5$ : $croissante$

$v$ : $8$ ; $6$ ; $4$ ; $2$ ; $0$
$r = - 2$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$

VIII Suites géométriques : définition

Exercice 32 — Coefficient multiplicateur

Donner le coefficient multiplicateur $q$ .

a) Augmenter de

4 %

b) Diminuer de

4 %

c) Augmenter de

30 %

d) Diminuer de

30 %

e) Augmenter de

60 %

f) Diminuer de

25 %

g) Augmenter de

2 %

h) Diminuer de

45 %

Corrigé

Augmenter de $t %$ : $\times (1 + \frac{t}{100})$ ; diminuer : $\times (1 - \frac{t}{100})$ .

1, 04

0, 96

1, 3

0, 7

1, 6

0, 75

1, 02

0, 55

Exercice 33 — Retrouver l'évolution

Traduire chaque coefficient par « augmenter de… % » ou « diminuer de… % ».

q = 0, 96

q = 1, 06

q = 0, 4

q = 1, 3

q = 3

q = 0, 98

q = 0, 85

q = 1, 075

Corrigé

a) diminuer de

4 %

b) augmenter de

6 %

c) diminuer de

60 %

d) augmenter de

30 %

e) augmenter de

200 %

f) diminuer de

2 %

g) diminuer de

15 %

h) augmenter de

7, 5 %

$q > 1$ : hausse de $(q - 1) \times 100 %$ ; $q < 1$ : baisse de $(1 - q) \times 100 %$ .

Exercice 34 — Reconnaître une suite géométrique

Ces nombres sont-ils les premiers termes d'une suite géométrique ? Si oui, donner la raison.

3

;

12

;

48

;

192

64

;

32

;

16

;

8

4

;

8

;

12

;

16

500

;

550

;

605

;

665, 5

Corrigé

On calcule les quotients de deux termes consécutifs.

q = 4

q = 0, 5

c) non :

\frac{8}{4} = 2

\frac{12}{8} = 1, 5

q = 1, 1

Exercice 35 — Modéliser

Pour chaque situation, donner le premier terme, la relation de récurrence et la raison, puis calculer le terme de rang $1$ .

a)
Un capital de $5000$ € est placé à $2 %$ par an.
b)
Une forêt de $40000$ arbres perd $5 %$ de ses arbres par an.
c)
Les émissions de CO $_{2}$ d'une usine, de $800$ t, doivent baisser de $4 %$ par an.
d)
Une population de $300$ insectes augmente de $50 %$ chaque semaine.

Corrigé

a)
$c_{0} = 5000$ ; $c_{n + 1} = 1, 02 c_{n}$ ; $q = 1, 02$ ; $c_{1} = 5100$
b)
$f_{0} = 40000$ ; $f_{n + 1} = 0, 95 f_{n}$ ; $q = 0, 95$ ; $f_{1} = 38000$
c)
$e_{0} = 800$ ; $e_{n + 1} = 0, 96 e_{n}$ ; $q = 0, 96$ ; $e_{1} = 768$
d)
$i_{0} = 300$ ; $i_{n + 1} = 1, 5 i_{n}$ ; $q = 1, 5$ ; $i_{1} = 450$

Exercice 36 — Appliquer une évolution

Calculer, sans calculatrice.

300

augmenté de

20 %

500

diminué de

10 %

2000

augmenté de

3 %

60

diminué de

25 %

Corrigé

300 + 60 = 360

500 - 50 = 450

2000 + 60 = 2060

60 - 15 = 45

IX Suites géométriques : expression en fonction de $n$

Exercice 37 — Appliquer la formule

Pour chaque suite géométrique, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer le terme demandé.

a)
$u_{0} = 2$ et $q = 3$ : $u_{4}$ .
b)
$u_{0} = 5000$ et $q = 0, 1$ : $u_{3}$ .
c)
$u_{1} = 6$ et $q = 2$ : $u_{5}$ .
d)
$u_{0} = 128$ et $q = 0, 5$ : $u_{4}$ .

Corrigé

a)
$u_{n} = 2 \times 3^{n}$ ; $u_{4} = 2 \times 81 = 162$
b)
$u_{n} = 5000 \times 0, 1^{n}$ ; $u_{3} = 5000 \times 0, 001 = 5$
c)
$u_{0} = \frac{6}{2} = 3$ et $u_{n} = 3 \times 2^{n}$ ; $u_{5} = 3 \times 32 = 96$
d)
$u_{n} = 128 \times 0, 5^{n}$ ; $u_{4} = \frac{128}{16} = 8$

Exercice 38 — Placer ses économies

Une étudiante place $1500$ € au taux annuel de $2 %$ . On note $c_{n}$ le capital au bout de $n$ années.

a)
Calculer $c_{1}$ et $c_{2}$ .
b)
Donner la nature de $(c_{n})$ , puis exprimer $c_{n}$ en fonction de $n$ .
c)
On donne $1, 0 2^{10} ≃ 1, 22$ . Estimer le capital au bout de $10$ ans.

Corrigé

a)
$c_{1} = 1500 + 30 = 1530$ ; $c_{2} = 1530 + 30, 60 = 1560, 60$
b)
Géométrique de raison $1, 02$ : $c_{n} = 1500 \times 1, 0 2^{n}$
c)
$c_{10} ≃ 1500 \times 1, 22 = 1830 €$

Exercice 39 — Covoiturage

En 2024, $80$ salariés d'une entreprise viennent au travail en covoiturage. On suppose que ce nombre augmente de $10 %$ par an, et on note $u_{n}$ ce nombre en $2024 + n$ .

a)
Donner la nature de la suite $(u_{n})$ et sa raison.
b)
Les années sont en ligne 1 (2024 en B1) et les termes en ligne 2 ( $80$ en B2). Quelle formule saisir en C2, à recopier vers la droite ?
c)
Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
d)
On donne $1, 1^{3} = 1, 331$ . Estimer $u_{3}$ à l'unité près.
e)
L'entreprise vise un quart de ses $400$ salariés en covoiturage en 2027. L'objectif sera-t-il atteint ?

Corrigé

a)
Géométrique de raison $1, 1$ .
b)
$=B2*1,1$ (recopiée vers la droite)
c)
$u_{n} = 80 \times 1, 1^{n}$
d)
$u_{3} = 80 \times 1, 331 = 106, 48$ , soit $106$ salariés.
e)
Un quart de $400$ : $100$ . Or $106 ⩾ 100$ : l'objectif $sera atteint$ .

Exercice 40 — Dioxyde d'azote

Dans une ville, la concentration en dioxyde d'azote est de $60$ µg/m $^{3}$ en 2020 ; on veut la faire baisser de $5 %$ par an. On note $u_{n}$ la concentration en $2020 + n$ .

a)
Calculer $u_{1}$ , puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
b)
On donne $0, 9 5^{6} ≃ 0, 74$ . Estimer la concentration en 2026.

Corrigé

a)
$u_{1} = 60 - 3 = 57$ ; $u_{n} = 60 \times 0, 9 5^{n}$
b)
2026 : $n = 6$ et $u_{6} ≃ 60 \times 0, 74 = 44, 4 μ g/m^{3}$

Exercice 41 — Lire la formule

Donner le premier terme $u_{0}$ et la raison de chaque suite géométrique.

u_{n} = 4 \times 5^{n}

v_{n} = 2000 \times 0, 8 5^{n}

c) $w_{n} = 3^{n}$

Corrigé

u_{0} = 4

;

q = 5

v_{0} = 2000

;

q = 0, 85

w_{0} = 1

;

q = 3

$3^{n} = 1 \times 3^{n}$ : le premier terme est $1$ .

X Suites géométriques : variations et représentation graphique

Exercice 42 — Sens de variation

Donner la raison, puis le sens de variation de chaque suite géométrique.

u_{n} = 8 \times 1, 3^{n}

v_{n} = 500 \times 0, 6^{n}

c) $w_{0} = 7$ et $w_{n + 1} = 1, 02 w_{n}$

d) $t_{0} = 40$ et $t_{n + 1} = 0, 25 t_{n}$

e) une quantité qui baisse de $5 %$ par an.

Corrigé

a)
$q = 1, 3 > 1$ : $croissante$
b)
$q = 0, 6 < 1$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$
c)
$q = 1, 02 > 1$ : $croissante$
d)
$q = 0, 25 < 1$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$
e)
$q = 0, 95 < 1$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$

Exercice 43 — Linéaire ou exponentielle ?

On a représenté deux suites : $(a_{n})$ par des croix droites ( $+$ ), $(b_{n})$ par des croix obliques ( $\times$ ).

a)
Laquelle est arithmétique ? géométrique ? Donner leurs raisons.
b)
Calculer $a_{5}$ et $b_{5}$ .
c)
Laquelle a une décroissance linéaire ? exponentielle ?

Corrigé

a)
$(a_{n})$ : $8$ ; $6, 5$ ; $5$ … $arithm \overset{e}{ˊ} tique, r = - 1, 5$ ;
$(b_{n})$ : $8$ ; $4$ ; $2$ ; $1$ ; $0, 5$ : $g \overset{e}{ˊ} om \overset{e}{ˊ} trique, q = 0, 5$
b)
$a_{5} = 2 - 1, 5 = 0, 5$ ; $b_{5} = 0, 5 \times 0, 5 = 0, 25$
c)
Linéaire : $(a_{n})$ ; exponentielle : $(b_{n})$ .

Exercice 44 — Vrai ou faux ?

Justifier chaque réponse.

a)
Une suite géométrique de raison $1, 05$ (et de premier terme positif) est décroissante.
b)
Une quantité qui baisse de $4 %$ par an est modélisée par une suite décroissante.
c)
Les points d'une suite arithmétique de raison $3$ sont alignés.
d)
$u_{n} = 5 \times 0, 8^{n}$ est croissante, car $5 > 1$ .

Corrigé

a)
$Faux$ : $1, 05 > 1$ , la suite est croissante.
b)
$Vrai$ : $q = 0, 96 < 1$ .
c)
$Vrai$ : les points d'une suite arithmétique sont toujours alignés.
d)
$Faux$ : on compare $q = 0, 8$ à $1$ , pas le premier terme ; $0 < 0, 8 < 1$ , elle est décroissante.

XI Suites géométriques : problème de seuil

Exercice 45 — Dioxyde d'azote (suite)

On reprend $u_{n} = 60 \times 0, 9 5^{n}$ (exercice ). La ville vise $45$ µg/m $^{3}$ au plus.

a)
Montrer que $u_{n} ⩽ 45$ revient à $0, 9 5^{n} ⩽ 0, 75$ .
b)
On donne $0, 9 5^{5} ≃ 0, 77$ ; $0, 9 5^{6} ≃ 0, 74$ et $0, 9 5^{7} ≃ 0, 70$ . En quelle année l'objectif sera-t-il atteint ?

Corrigé

a)
On divise par $60$ : $60 \times 0, 9 5^{n} ⩽ 45 ⟺ 0, 9 5^{n} ⩽ \frac{45}{60} = 0, 75$ .
b)
$0, 9 5^{5} ≃ 0, 77 > 0, 75$ et $0, 9 5^{6} ≃ 0, 74 ⩽ 0, 75$ : $n = 6$ , $en 2026$ .

Exercice 46 — Lettre d'information

En janvier, une lettre d'information compte $2500$ abonnés ; ce nombre augmente ensuite de $6 %$ par mois. On note $u_{n}$ le nombre d'abonnés $n$ mois après janvier.

a)
Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .
b)
Montrer que $u_{n} ⩾ 5000$ revient à $1, 0 6^{n} ⩾ 2$ .
c)
On donne $1, 0 6^{11} ≃ 1, 90$ ; $1, 0 6^{12} ≃ 2, 01$ et $1, 0 6^{13} ≃ 2, 13$ . Au bout de combien de mois le nombre d'abonnés aura-t-il doublé ?

Corrigé

a)
$u_{n} = 2500 \times 1, 0 6^{n}$
b)
On divise par $2500$ : $1, 0 6^{n} ⩾ \frac{5 000}{2 500} = 2$ .
c)
$1, 0 6^{11} ≃ 1, 90 < 2$ et $1, 0 6^{12} ≃ 2, 01 ⩾ 2$ : $n = 12$ . Le nombre d'abonnés aura doublé $au bout de 12 mois$ .

Exercice 47 — La valeur d'un scooter

Un scooter acheté $3000$ € perd $20 %$ de sa valeur chaque année.

a)
Exprimer sa valeur $v_{n}$ après $n$ années en fonction de $n$ .
b)
On donne $0, 8^{3} ≃ 0, 51$ ; $0, 8^{4} ≃ 0, 41$ et $0, 8^{5} ≃ 0, 33$ . Au bout de combien d'années vaudra-t-il moins de $1200$ € ?

Corrigé

a)
$v_{n} = 3000 \times 0, 8^{n}$
b)
$v_{n} < 1200 ⟺ 0, 8^{n} < 0, 4$ ; $0, 8^{4} ≃ 0, 41$ et $0, 8^{5} ≃ 0, 33$ : $au bout de 5 ans$ .

XII Comparer deux évolutions

Exercice 48 — Arithmétique, géométrique ou aucune des deux ?

Donner la nature de chaque suite et, s'il y a lieu, sa raison.

u_{n} = 5 n

u_{n} = n^{2} - 1

u_{n} = 4 \times 3^{n}

u_{n + 1} = u_{n} - 2

u_{n + 1} = u_{n} + 0, 2 u_{n}

u_{n + 1} = 2 u_{n}

Corrigé

a) arithmétique,

r = 5

aucune

- 1

;

0

;

3

c) géométrique,

q = 3

d) arithmétique,

r = - 2

e) géométrique,

q = 1, 2

f) géométrique,

q = 2

e) est le piège : ajouter $0, 2 u_{n}$ , c'est augmenter de $20 %$ .

Exercice 49 — Deux placements

En 2025, Yanis dispose de $15000$ € pour un projet qui en coûte $18000$ . Placement A : $400$ € d'intérêts chaque année ; on note $a_{n}$ le capital en $2025 + n$ . Placement B : $+ 3 %$ par an ; on note $b_{n}$ le capital en $2025 + n$ .

a)
Calculer $a_{1}$ et $b_{1}$ .
b)
Donner la nature et la raison de chaque suite.
c)
Exprimer $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$ .
d)
Avec le placement A, en quelle année le projet sera-t-il financé ?
e)
On donne $b_{6} ≃ 17911$ et $b_{7} ≃ 18448$ . Même question avec le placement B. Quel placement choisir ?

Corrigé

a)
$a_{1} = 15400$ ; $b_{1} = 15000 + 450 = 15450$
b)
$(a_{n})$ arithmétique, $r = 400$ ; $(b_{n})$ géométrique, $q = 1, 03$ .
c)
$a_{n} = 15000 + 400 n$ ; $b_{n} = 15000 \times 1, 0 3^{n}$
d)
$400 n ⩾ 3000 ⟺ n ⩾ 7, 5$ : $n = 8$ , $en 2033$ .
e)
$b_{6} < 18000 ⩽ b_{7}$ : $en 2032$ avec B. Le placement $B$ finance le projet plus tôt.

Exercice 50 — Réduire ses déchets

Deux entreprises veulent diviser par deux leurs déchets plastiques de 2020. L'entreprise A en produit $360$ t en 2020, et $15$ t de moins chaque année ; l'entreprise B en produit $500$ t, et $7 %$ de moins chaque année. On note $a_{n}$ et $b_{n}$ leurs productions en $2020 + n$ .

a)
Donner la nature et la raison de chaque suite.
b)
Exprimer $a_{n}$ et $b_{n}$ en fonction de $n$ .
c)
En quelle année l'entreprise A atteindra-t-elle son objectif ?
d)
On donne $0, 9 3^{9} ≃ 0, 52$ et $0, 9 3^{10} ≃ 0, 48$ . En quelle année l'entreprise B atteindra-t-elle son objectif ?
e)
Laquelle y parvient la première ?

Corrigé

a)
$(a_{n})$ arithmétique, $r = - 15$ ; $(b_{n})$ géométrique, $q = 0, 93$ .
b)
$a_{n} = 360 - 15 n$ ; $b_{n} = 500 \times 0, 9 3^{n}$
c)
$360 - 15 n ⩽ 180 ⟺ 15 n ⩾ 180 ⟺ n ⩾ 12$ : $en 2032$ .
d)
$b_{n} ⩽ 250 ⟺ 0, 9 3^{n} ⩽ 0, 5$ : $n = 10$ , $en 2030$ .
e)
$L’entreprise B$ , deux ans plus tôt.

Exercices type épreuve anticipée

Exercice 51 — Automatismes (QCM)

Pour chaque question, une seule réponse est exacte.

1.
Diminuer de $30 %$ revient à multiplier par :

a) $0, 3$ b) $1, 3$ c) $0, 7$ d) $- 30$
2.
La liste $4$ ; $8$ ; $16$ ; $32$ est celle d'une suite :

a) arithmétique de raison $4$ b) géométrique de raison $2$ c) ni l'une ni l'autre
3.
$u_{0} = 5$ et $u_{n + 1} = 2 u_{n}$ ; alors $u_{3}$ vaut :

a) $10$ b) $40$ c) $30$ d) $20$
4.
$u_{n} = 60 - 3 n$ ; alors $u_{10}$ vaut :

a) $57$ b) $30$ c) $600$ d) $90$
5.
Une suite géométrique de raison $1, 02$ et de premier terme $50$ est :

a) croissante b) décroissante c) constante
6.
$u_{n} = 400 \times 0, 5^{n}$ ; alors $u_{1}$ vaut :

a) $200$ b) $400, 5$ c) $800$ d) $0, 5$

Corrigé

c) 0, 7

b) g \overset{e}{ˊ} om \overset{e}{ˊ} trique, q = 2

b) 40

b) 30

a) croissante

a) 200

Exercice 52 — Location de vélos

Une jeune entreprise de location possède $40$ vélos au mois $0$ et en achète $30$ chaque mois. Elle compte $25$ clients au mois $0$ , puis $20 %$ de clients de plus chaque mois. On note $u_{n}$ le nombre de vélos et $v_{n}$ le nombre de clients au mois $n$ .

1.
Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ . Montrer qu'au mois $10$ , l'entreprise possède plus de $300$ vélos.
2.
Au bout de combien de mois aura-t-elle $640$ vélos ?
3.
Justifier que $v_{n + 1} = 1, 2 v_{n}$ . En déduire la nature de $(v_{n})$ .
4.
Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ .
5.
On donne $1, 2^{5} ≃ 2, 49$ . Montrer que $v_{5} ≃ 62$ et interpréter.
6.
On donne $1, 2^{9} ≃ 5, 16$ et $1, 2^{10} ≃ 6, 19$ . À partir de quel mois l'entreprise aura-t-elle plus de $150$ clients ?

Corrigé

1°)
$u_{n} = 40 + 30 n$ ; $u_{10} = 340 > 300$ .
2°)
$40 + 30 n = 640 ⟺ 30 n = 600 ⟺ n = 20$ : $au mois 20$ .
3°)
$+ 20 %$ : $\times 1, 2$ . $G \overset{e}{ˊ} om \overset{e}{ˊ} trique, q = 1, 2$ .
4°)
$v_{n} = 25 \times 1, 2^{n}$
5°)
$v_{5} ≃ 25 \times 2, 49 = 62, 25 ≃ 62$ : au mois $5$ , l'entreprise compte environ $62$ clients.
6°)
$v_{n} > 150 ⟺ 1, 2^{n} > 6$ ; $1, 2^{9} ≃ 5, 16 < 6$ et $1, 2^{10} ≃ 6, 19 > 6$ : $\overset{a}{ˋ} partir du mois 10$ .

Exercice 53 — Deux clubs sportifs

En 2025, un club de tennis compte $700$ adhérents et en perd $15$ chaque année ; on note $T_{n}$ le nombre d'adhérents en $2025 + n$ . Un club d'escalade compte $150$ adhérents en 2025 ; le graphique donne ses effectifs $E_{n}$ .

1.
Calculer $T_{1}$ , puis exprimer $T_{n}$ en fonction de $n$ .
2.
Justifier que le club de tennis aura perdu plus de $20 %$ de ses adhérents entre 2025 et 2035.
3.
Estimer par lecture graphique le nombre d'adhérents du club d'escalade en 2028.
4.
On admet que $E_{n + 1} = 1, 2 E_{n}$ . Donner la nature de $(E_{n})$ , son premier terme et sa raison.
5.
On donne $1, 2^{7} ≃ 3, 58$ et $1, 2^{8} ≃ 4, 30$ . À partir de quelle année le club d'escalade aura-t-il plus d'adhérents que le club de tennis ?

Corrigé

1°)
$T_{1} = 685$ ; $T_{n} = 700 - 15 n$
2°)
$T_{10} = 550$ : perte de $150$ adhérents ; or $20 %$ de $700$ font $140$ , et $150 > 140$ .
3°)
2028 : $n = 3$ ; on lit $E_{3} ≃ 260$ (valeur $259, 2$ ).
4°)
Géométrique, $E_{0} = 150$ , $q = 1, 2$ .
5°)
$E_{7} ≃ 150 \times 3, 58 = 537 < T_{7} = 595$ ; $E_{8} ≃ 150 \times 4, 30 = 645 > T_{8} = 580$ : $\overset{a}{ˋ} partir de 2033$ .

ExercicesChapitre 1 — Suites numériques

I Notion de suite

Exercice 1 — Calculer les premiers termes

Exercice 2 — Calculer un terme

Exercice 3 — Des suites dans la vie courante

Exercice 4 — Ne pas confondre

Exercice 5 — Retrouver le rang

II Suites définies par récurrence

Exercice 6 — Calculer les termes pas à pas

Exercice 7 — Avec des nombres négatifs

Exercice 8 — Traduire un énoncé

Exercice 9 — Retrouver la relation

Exercice 10 — Revenir en arrière

Exercice 11 — Au tableur

III Représentation graphique d'une suite

Exercice 12 — Représenter une suite

Exercice 13 — Lire un graphique

Exercice 14 — Calculer puis représenter

Exercice 15 — Une suite qui descend puis remonte

IV Suites arithmétiques : définition

Exercice 16 — Reconnaître une suite arithmétique

Exercice 17 — Modéliser

Exercice 18 — Arithmétique ou non ?

Exercice 19 — Compléter

V Suites arithmétiques : expression en fonction de n

Exercice 20 — Appliquer la formule

Exercice 21 — Une suite qui diminue

Exercice 22 — Production d'un atelier

Exercice 23 — Lire la formule

Exercice 24 — Un terme lointain

VI Suites arithmétiques : problème de seuil

Exercice 25 — Acheter un vélo électrique

Exercice 26 — Doubler la production

Exercice 27 — Le recul d'une falaise

Exercice 28 — Résoudre des inéquations

VII Suites arithmétiques : variations et représentation graphique

Exercice 29 — Sens de variation

Exercice 30 — Lire un graphique

Exercice 31 — Représenter

VIII Suites géométriques : définition

Exercice 32 — Coefficient multiplicateur

Exercice 33 — Retrouver l'évolution

Exercice 34 — Reconnaître une suite géométrique

Exercice 35 — Modéliser

Exercice 36 — Appliquer une évolution

IX Suites géométriques : expression en fonction de n

Exercice 37 — Appliquer la formule

Exercice 38 — Placer ses économies

Exercice 39 — Covoiturage

Exercice 40 — Dioxyde d'azote

Exercice 41 — Lire la formule

X Suites géométriques : variations et représentation graphique

Exercice 42 — Sens de variation

Exercice 43 — Linéaire ou exponentielle ?

Exercice 44 — Vrai ou faux ?

XI Suites géométriques : problème de seuil

Exercice 45 — Dioxyde d'azote (suite)

Exercice 46 — Lettre d'information

Exercice 47 — La valeur d'un scooter

XII Comparer deux évolutions

Exercice 48 — Arithmétique, géométrique ou aucune des deux ?

Exercice 49 — Deux placements

Exercice 50 — Réduire ses déchets

Exercices type épreuve anticipée

Exercice 51 — Automatismes (QCM)

Exercice 52 — Location de vélos

Exercice 53 — Deux clubs sportifs

V Suites arithmétiques : expression en fonction de $n$

IX Suites géométriques : expression en fonction de $n$