ExercicesChapitre 1 — Calcul littéral

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Sommaire

I — Réduire, développer, identités remarquables
II — Substituer une valeur
III — Factoriser une expression
IV — Équations
V — Fractions rationnelles
VI — Équations quotient
VII — Inéquations et tableaux de signes
VIII — Composition de polynômes

I Réduire, développer, identités remarquables

Exercice 1 — Réduire et distribuer

Réduire, ou développer puis réduire :

A $=$
$3 x + 8 + 6 x$
B $=$
$4 x^{2} - 9 x^{2} + 2 x^{2}$
C $=$
$6 (3 x - 2)$
D $=$
$2 x (5 x - 4)$
E $=$
$9 (x - 1) - 4 x$
F $=$
$- 5 x + 3 (2 x + 7)$
G $=$
$- (4 - 3 x)$
H $=$
$- 2 x (1 - 4 x)$

Corrigé

A $=$
$3 x + 8 + 6 x = 9 x + 8$
B $=$
$4 x^{2} - 9 x^{2} + 2 x^{2} = - 3 x^{2}$
C $=$
$6 (3 x - 2) = 18 x - 12$
D $=$
$2 x (5 x - 4) = 10 x^{2} - 8 x$
E $=$
$9 x - 9 - 4 x = 5 x - 9$
F $=$
$- 5 x + 6 x + 21 = x + 21$
G $=$
$- (4 - 3 x) = 3 x - 4$
H $=$
$- 2 x (1 - 4 x) = 8 x^{2} - 2 x$

→ En G et H, le « $-$ » devant la parenthèse change le signe de chacun de ses termes.

Exercice 2 — Double distributivité et identités remarquables

Développer et réduire :

A $=$
$(2 x + 3) (4 x + 1)$
B $=$
$(3 x - 4) (- 2 x + 5)$
C $=$
$(5 x + 2)^{2}$
D $=$
$(4 - 3 x)^{2}$
E $=$
$(3 x + 5) (3 x - 5)$
F $=$
$(x - \frac{1}{3})^{2}$
G $=$
$3 (x + 2) (1 - x)$

Corrigé

A $=$
$8 x^{2} + 2 x + 12 x + 3 = 8 x^{2} + 14 x + 3$
B $=$
$- 6 x^{2} + 15 x + 8 x - 20 = - 6 x^{2} + 23 x - 20$
C $=$
$(5 x)^{2} + 2 \times 5 x \times 2 + 2^{2} = 25 x^{2} + 20 x + 4$
D $=$
$4^{2} - 2 \times 4 \times 3 x + (3 x)^{2} = 9 x^{2} - 24 x + 16$
E $=$
$(3 x)^{2} - 5^{2} = 9 x^{2} - 25$
F $=$
$x^{2} - 2 \times x \times \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{9}$

G $=$
$3 (x + 2) (1 - x)$

$G$
$= 3 (x - x^{2} + 2 - 2 x)$
on développe d'abord les deux parenthèses
$G$
$= 3 (- x^{2} - x + 2)$
$G$
$= - 3 x^{2} - 3 x + 6$

→ De C à F, l'identité remarquable donne le résultat sans tout distribuer.

Exercice 3 — Développer, réduire, ordonner

Développer, réduire, puis ordonner selon les puissances décroissantes de $x$ :

A $=$
$(4 x + 1) (2 x + 3) - (5 x - 2) (x + 4)$
B $=$
$(2 x - 5)^{2} - (3 x + 1) (x - 2)$
C $=$
$(x^{2} - x + 2) (3 x + 1) - (x + 1) (x - 1)^{2}$
D $=$
$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$
E $=$
$3 x (2 - x) - (x - 4) (2 x + 3)$

Corrigé

A $=$
$(4 x + 1) (2 x + 3) - (5 x - 2) (x + 4)$

$A$
$= (8 x^{2} + 14 x + 3) - (5 x^{2} + 18 x - 8)$
$A$
$= 8 x^{2} + 14 x + 3 - 5 x^{2} - 18 x + 8$
$A$
$= 3 x^{2} - 4 x + 11$
B $=$
$(2 x - 5)^{2} - (3 x + 1) (x - 2)$

$B$
$= (4 x^{2} - 20 x + 25) - (3 x^{2} - 5 x - 2)$
$B$
$= x^{2} - 15 x + 27$
C $=$
$(x^{2} - x + 2) (3 x + 1) - (x + 1) (x - 1)^{2}$

$(x^{2} - x + 2) (3 x + 1)$
$= 3 x^{3} + x^{2} - 3 x^{2} - x + 6 x + 2$
$(x^{2} - x + 2) (3 x + 1)$
$= 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + 2$
$(x + 1) (x - 1)^{2}$
$= (x^{2} - 1) (x - 1)$
$(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1$
$(x + 1) (x - 1)^{2}$
$= x^{3} - x^{2} - x + 1$
$C$
$= 2 x^{3} - x^{2} + 6 x + 1$
D $=$
$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$

$D$
$= x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 8$
$D$
$= x^{3} + 8$
E $=$
$3 x (2 - x) - (x - 4) (2 x + 3)$

$E$
$= (6 x - 3 x^{2}) - (2 x^{2} - 5 x - 12)$
$E$
$= - 5 x^{2} + 11 x + 12$

→ Le piège commun : le « $-$ » devant le second produit. On garde les parenthèses jusqu'au bout du développement.

II Substituer une valeur

Exercice 4 — Calculer une image

1)
Soit $P (x) = 3 x^{2} - 4 x - 2$ . Calculer :
1. a)
  $P (1)$ et $P (- 1)$
2. b)
  $P (\frac{1}{2})$ et $P (- \frac{2}{3})$
2)
Soient $A = (x + 2) (x - 5)$ et $B = x^{2} + 3 x - 10$ .
1. a)
  Calculer $A$ et $B$ pour $x = 0$ .
2. b)
  Calculer $A$ et $B$ pour $x = 1$ .
3. c)
  Peut-on affirmer que $A = B$ pour tout réel $x$ ?

Corrigé

1°)
Avec $P (x) = 3 x^{2} - 4 x - 2$ :
1. a)
  $P (1) = 3 - 4 - 2 = - 3$ et $P (- 1) = 3 + 4 - 2 = 5$
2. b)
  $P (\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} - 2 - 2 = - \frac{13}{4}$ et $P (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{8}{3} - 2 = 2$
2°)
1. a)
  Pour $x = 0$ : $A = 2 \times (- 5)$ , soit $A = - 10$ , et $B = - 10$ .
2. b)
  Pour $x = 1$ : $A = 3 \times (- 4)$ , soit $A = - 12$ , et $B = 1 + 3 - 10$ , soit $B = - 6$ .
3. c)
  Non : pour $x = 1$ , $A$ et $B$ ont deux valeurs différentes, donc ils ne sont pas égaux pour tout réel $x$ . Une seule valeur commune ne prouve rien.

→ En développant, $A = x^{2} - 3 x - 10$ , qui diffère de $B$ par le terme en $x$ .

Exercice 5 — Substituer une racine carrée

Pour chaque polynôme $P$ , calculer la valeur exacte de $P (a)$ , sous la forme la plus simple :

a)
$P (x) = x^{2} - 5$ et $a = 5$
b)
$P (x) = 2 x^{2} + 3 x - 1$ et $a = 2$
c)
$P (x) = (3 x + 1) (x - 2)$ et $a = 3$
d)
$P (x) = (2 x - 1)^{2} + 4 x$ et $a = 5$
e)
$P (x) = x^{2} - 2 x + 3$ et $a = 1 + 2$

Corrigé

a)
$P (5) = 5 - 5 = 0$
b)
$P (2) = 2 \times 2 + 32 - 1 = 3 + 32$
c)
$P (3)$
$= (33 + 1) (3 - 2)$
$P (3)$
$= 9 - 63 + 3 - 2$
$33 \times 3 = 3 \times 3$
$P (3)$
$= 7 - 53$
d)
$P (5)$
$= (25 - 1)^{2} + 45$
$P (5)$
$= 20 - 45 + 1 + 45$
$(25)^{2} = 4 \times 5$
$P (5)$
$= 21$
e)
$P (1 + 2)$
$= (1 + 2)^{2} - 2 (1 + 2) + 3$
$P (1 + 2)$
$= 3 + 22 - 2 - 22 + 3$
$(1 + 2)^{2} = 1 + 22 + 2$
$P (1 + 2)$
$= 4$

→ Le réflexe : $(a)^{2} = a$ . Les produits avec des racines se développent comme les autres.

Exercice 6 — Racines carrées dans un quotient

1)
Soit $f (x) = \frac{x + 1}{x - 3}$ .
1. a)
  Donner la valeur interdite de $f$ .
2. b)
  Calculer $f (5)$ et $f (\frac{1}{2})$ .
3. c)
  Calculer $f (5)$ , sans racine carrée au dénominateur.
2)
Soit $g (x) = \frac{x - 2}{x + 1}$ . Calculer $g (3)$ , sans racine carrée au dénominateur.
3)
Soit $h (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ . Calculer $h (2 + 3)$ . Le dénominateur est ici une racine seule : on multiplie le numérateur et le dénominateur par cette racine.

Corrigé

1°)
$f (x) = \frac{x + 1}{x - 3}$ .
1. a)
  $x - 3 = 0$ pour $x = 3$ : la valeur interdite est 3.
2. b)
  $f (5) = \frac{6}{2} = 3$ et $f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{3}{2}}{- \frac{5}{2}} = - \frac{3}{5}$
3. c)
  On multiplie par la quantité conjuguée $5 + 3$ :
  
  $f (5)$
  $= \frac{( 5 + 1 ) ( 5 + 3 )}{( 5 - 3 ) ( 5 + 3 )}$
  $f (5)$
  $= \frac{5 + 3 5 + 5 + 3}{5 - 9}$
  $f (5)$
  $= \frac{8 + 4 5}{- 4}$
  $f (5)$
  $= - 2 - 5$
2°)
Quantité conjuguée $3 - 1$ :

$g (3)$
$= \frac{( 3 - 2 ) ( 3 - 1 )}{( 3 + 1 ) ( 3 - 1 )}$
$g (3)$
$= \frac{3 - 3 - 2 3 + 2}{3 - 1}$
$g (3)$
$= \frac{5 - 3 3}{2}$
3°)
Le dénominateur vaut $(2 + 3) - 2 = 3$ : on multiplie par $3$ .

$h (2 + 3)$
$= \frac{5 + 3}{3}$
$h (2 + 3)$
$= \frac{( 5 + 3 ) 3}{3 \times 3}$
$h (2 + 3)$
$= \frac{5 3 + 3}{3}$

→ Deux cas : un dénominateur qui est une somme avec une racine se multiplie par sa quantité conjuguée ; une racine seule se multiplie par elle-même.

III Factoriser une expression

Exercice 7 — Facteur commun

Factoriser :

A $=$
$5 x + 20$
B $=$
$7 x^{2} + 3 x$
C $=$
$18 x^{2} - 12 x$
D $=$
$x^{2} + x$
E $=$
$4 x^{2} - x$
F $=$
$2 x + x (x + 5)$

Corrigé

A $=$
$5 x + 20 = 5 (x + 4)$
B $=$
$7 x^{2} + 3 x = x (7 x + 3)$
C $=$
$18 x^{2} - 12 x = 6 x (3 x - 2)$
D $=$
$x^{2} + x = x (x + 1)$
E $=$
$4 x^{2} - x = x (4 x - 1)$
F $=$
$x (2 + x + 5) = x (x + 7)$

→ En D et E, le terme $x$ s'écrit $x \times 1$ : c'est le $1$ qu'on oublie. En F, le premier terme $2 x$ est $x \times 2$ .

Exercice 8 — Identités remarquables et facteur commun

Factoriser :

A $=$
$9 x^{2} + 30 x + 25$
B $=$
$49 x^{2} - 36$
C $=$
$(3 x + 1) (2 x - 5) + (3 x + 1) (x + 7)$
D $=$
$(4 x - 1) (x + 6) - (4 x - 1) (3 x - 2)$
E $=$
$(3 x + 2)^{2} - (x - 4)^{2}$
F $=$
$36 - (x + 2)^{2}$

Corrigé

A $=$
$(3 x)^{2} + 2 \times 3 x \times 5 + 5^{2} = (3 x + 5)^{2}$
B $=$
$(7 x)^{2} - 6^{2} = (7 x - 6) (7 x + 6)$
C $=$
$(3 x + 1) [(2 x - 5) + (x + 7)] = (3 x + 1) (3 x + 2)$
D $=$
$(4 x - 1) [(x + 6) - (3 x - 2)] = (4 x - 1) (- 2 x + 8)$ (ou $2 (4 x - 1) (4 - x)$ )
E $=$
$(3 x + 2)^{2} - (x - 4)^{2}$

$E$
$= [(3 x + 2) - (x - 4)] [(3 x + 2) + (x - 4)]$
$a^{2} - b^{2}$
$E$
$= (2 x + 6) (4 x - 2)$
$E$
$= 4 (x + 3) (2 x - 1)$
$2$ en facteur dans chaque parenthèse
F $=$
$36 - (x + 2)^{2}$

$F$
$= [6 - (x + 2)] [6 + (x + 2)]$
$F$
$= (4 - x) (x + 8)$

→ En D et E, le « $-$ » devant la seconde parenthèse change ses deux signes : $- (3 x - 2) = - 3 x + 2$ .

Exercice 9 — Faire apparaître un facteur commun

Factoriser. Pour A, B et C, factoriser d'abord une partie de l'expression.

A $=$
$9 x^{2} - 16 - (3 x + 4) (x - 2)$
B $=$
$x^{2} - 25 - (x + 5) (2 x - 3)$
C $=$
$(x + 3) (4 x - 1) - (x^{2} - 9)$
D $=$
$x^{2} - 7$ (écrire $7 = (7)^{2}$ )
E $=$
$x^{2} + 25 x + 5$

Corrigé

A $=$
On factorise d'abord $9 x^{2} - 16 = (3 x - 4) (3 x + 4)$ .

$A$
$= (3 x - 4) (3 x + 4) - (3 x + 4) (x - 2)$
$A$
$= (3 x + 4) [(3 x - 4) - (x - 2)]$
$A$
$= (3 x + 4) (2 x - 2)$
$A$
$= 2 (3 x + 4) (x - 1)$
B $=$
On factorise d'abord $x^{2} - 25 = (x - 5) (x + 5)$ .

$B$
$= (x + 5) [(x - 5) - (2 x - 3)]$
$B$
$= (x + 5) (- x - 2)$
$B$
$= - (x + 5) (x + 2)$
C $=$
On écrit $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .

$C$
$= (x + 3) [(4 x - 1) - (x - 3)]$
$C$
$= (x + 3) (3 x + 2)$
D $=$
$x^{2} - (7)^{2} = (x - 7) (x + 7)$
E $=$
$x^{2} + 2 \times x \times 5 + (5)^{2} = (x + 5)^{2}$

→ De A à C, la différence de carrés cache le facteur commun. En D et E, $7$ et $5$ jouent le rôle de $b$ dans l'identité remarquable.

IV Équations

Exercice 10 — Équations du premier degré

Résoudre dans $R$ :

a)
$4 x - 9 = 3 x + 2$
b)
$6 x - 5 = x + 20$
c)
$3 x + 4 = 3 x - 1$
d)
$3 (x - 2) = 2 (- x + 7)$
e)
$x - (2 - 5 x) = 4 x + 9$
f)
$4 (x - 1) + 3 (x + 5) = 0$

Corrigé

a)
$4 x - 3 x = 2 + 9$ , donc $x = 11$ : $S = {11}$ .
b)
$5 x = 25$ , donc $x = 5$ : $S = {5}$ .
c)
$3 x - 3 x = - 1 - 4$ donne $0 = - 5$ , ce qui est faux : $S = \emptyset$ .
d)
$3 (x - 2) = 2 (- x + 7)$
$⟺ 3 x - 6 = - 2 x + 14$
$⟺ 5 x = 20$
$⟺ x = 4$

$S = {4}$ .
e)
$x - (2 - 5 x) = 4 x + 9$
$⟺ 6 x - 2 = 4 x + 9$
$⟺ 2 x = 11$

$S = {\frac{11}{2}}$ .
f)
$4 x - 4 + 3 x + 15 = 0$ , soit $7 x + 11 = 0$ : $S = {- \frac{11}{7}}$ .

→ En c), les termes en $x$ disparaissent et il reste une égalité fausse : aucune solution. Ne pas écrire $S = {0}$ .

Exercice 11 — Produit nul et carrés

Résoudre dans $R$ :

a)
$(x - 6) (4 + x) = 0$
b)
$5 x (3 x - 7) = 0$
c)
$(2 x + 9)^{2} = 0$
d)
$x^{2} = 13$
e)
$3 x^{2} - 21 = 0$
f)
$(3 x + 1)^{2} = 25$

Corrigé

a)
$x - 6 = 0$ ou $4 + x = 0$ : $S = {- 4; 6}$
b)
$5 x = 0$ ou $3 x - 7 = 0$ : $S = {0; \frac{7}{3}}$
c)
$2 x + 9 = 0$ : $S = {- \frac{9}{2}}$
d)
$13 > 0$ : $S = {- 13; 13}$
e)
$x^{2} = 7$ : $S = {- 7; 7}$
f)
$3 x + 1 = 5$ ou $3 x + 1 = - 5$ : $S = {- 2; \frac{4}{3}}$

→ En d) et e), on garde les valeurs exactes. En f), le carré vaut $25 > 0$ : deux cas.

Exercice 12 — Mise en équation

Pour chaque problème : choisir l'inconnue, écrire l'équation, la résoudre, vérifier, puis conclure par une phrase.

1)
La boulangerie. Un matin, une boulangerie a vendu $150$ viennoiseries : des croissants, des pains au chocolat et des chaussons aux pommes. Elle a vendu deux fois plus de pains au chocolat que de croissants, et $10$ chaussons de moins que de croissants. Combien de viennoiseries de chaque sorte a-t-elle vendues ?
2)
Du carré au rectangle. Un carré a pour côté $x$ (en cm). On allonge l'un de ses côtés de $6$ cm et on raccourcit l'autre de $4$ cm : le rectangle obtenu a la même aire que le carré. Trouver $x$ , puis les dimensions du rectangle.

Corrigé

1°)
La boulangerie. Inconnue : soit $x$ le nombre de croissants. Il y a $2 x$ pains au chocolat et $x - 10$ chaussons.

$x + 2 x + (x - 10) = 150$
$⟺ 4 x - 10 = 150$
$⟺ 4 x = 160$
$⟺ x = 40$

Vérification : $40 + 80 + 30 = 150$ . Conclusion : la boulangerie a vendu 40 croissants, 80 pains au chocolat et 30 chaussons.
2°)
Du carré au rectangle. Le rectangle mesure $x + 6$ sur $x - 4$ ; son aire égale celle du carré, $x^{2}$ .

$(x + 6) (x - 4) = x^{2}$
$⟺ x^{2} + 2 x - 24 = x^{2}$
$⟺ 2 x = 24$
$⟺ x = 12$

Vérification : le rectangle mesure $18$ cm sur $8$ cm, d'aire $144 cm^{2}$ , comme le carré de côté $12$ cm. Conclusion : $x = 12$ cm, et le rectangle mesure $18$ cm sur $8$ cm.

→ En 2°), les termes en $x^{2}$ s'éliminent : l'équation est du premier degré.

V Fractions rationnelles

Exercice 13 — Les quatre opérations

Donner la valeur interdite, puis écrire chaque expression sous la forme d'un seul quotient :

A $=$
$\frac{3}{4} + \frac{5}{x}$
B $=$
$\frac{3}{4} - \frac{5}{x}$
C $=$
$\frac{3}{4} \times \frac{5}{x}$
D $=$
$\frac{3}{4} \div \frac{5}{x}$

Corrigé

Dans les quatre cas, la valeur interdite est $0$ .

A $=$
$\frac{3 x}{4 x} + \frac{20}{4 x} = \frac{3 x + 20}{4 x}$
B $=$
$\frac{3 x}{4 x} - \frac{20}{4 x} = \frac{3 x - 20}{4 x}$
C $=$
$\frac{15}{4 x}$
D $=$
$\frac{3}{4} \times \frac{x}{5} = \frac{3 x}{20}$

→ Un dénominateur commun pour l'addition et la soustraction ; pas pour le produit. Diviser par $\frac{5}{x}$ , c'est multiplier par $\frac{x}{5}$ .

Exercice 14 — Valeurs interdites

Donner les valeurs interdites, puis simplifier quand c'est possible :

A $=$
$\frac{x + 5}{x - 4}$
B $=$
$\frac{6}{x ( x - 2 )}$
C $=$
$\frac{x - 4}{2 x + 5}$
D $=$
$\frac{x ^{2} - 16}{x - 4}$
E $=$
$\frac{5}{x ^{2} + 4}$
F $=$
$\frac{2 x + 1}{7 - x}$

Corrigé

A $=$
Valeur interdite $4$ ; pas de simplification.
B $=$
$x (x - 2) = 0$ pour $x = 0$ et pour $x = 2$ : valeurs interdites $0$ et $2$ .
C $=$
$2 x + 5 = 0$ pour $x = - \frac{5}{2}$ : valeur interdite $- \frac{5}{2}$ .
D $=$
Valeur interdite $4$ . Pour $x \neq = 4$ : $\frac{( x - 4 ) ( x + 4 )}{x - 4} = x + 4$ .
E $=$
$x^{2} + 4 ⩾ 4$ , donc le dénominateur ne s'annule jamais : aucune valeur interdite.
F $=$
Valeur interdite $7$ .

→ En D, $x + 4$ a une valeur pour $x = 4$ , mais pas l'expression de départ : simplifier ne supprime pas une valeur interdite.

Exercice 15 — Réduire au même dénominateur

Écrire sous la forme d'un seul quotient, en donnant les valeurs interdites :

A $=$
$2 + \frac{7}{x + 3}$
B $=$
$4 + \frac{x - 2}{x + 1}$
C $=$
$\frac{x}{x - 1} - \frac{2 x}{x + 3}$
D $=$
$\frac{4}{x + 1} - \frac{3}{2 x - 3}$
E $=$
$3 x - \frac{2 x + 1}{x - 2}$
F $=$
$\frac{2 x}{x - 4} - \frac{x + 3}{3 x - 12}$

Corrigé

A $=$
$x \neq = - 3$ : $\frac{2 ( x + 3 ) + 7}{x + 3} = \frac{2 x + 13}{x + 3}$
B $=$
$x \neq = - 1$ : $\frac{4 ( x + 1 ) + x - 2}{x + 1} = \frac{5 x + 2}{x + 1}$
C $=$
$x \neq = 1$ et $x \neq = - 3$ :

$C$
$= \frac{x ( x + 3 ) - 2 x ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 3 )}$
$C$
$= \frac{x ^{2} + 3 x - 2 x ^{2} + 2 x}{( x - 1 ) ( x + 3 )}$
$C$
$= \frac{- x ^{2} + 5 x}{( x - 1 ) ( x + 3 )}$
D $=$
$x \neq = - 1$ et $x \neq = \frac{3}{2}$ :

$D$
$= \frac{4 ( 2 x - 3 ) - 3 ( x + 1 )}{( x + 1 ) ( 2 x - 3 )}$
$D$
$= \frac{5 x - 15}{( x + 1 ) ( 2 x - 3 )}$
E $=$
$x \neq = 2$ :

$E$
$= \frac{3 x ( x - 2 ) - ( 2 x + 1 )}{x - 2}$
$E$
$= \frac{3 x ^{2} - 8 x - 1}{x - 2}$
F $=$
$3 x - 12 = 3 (x - 4)$ : le dénominateur commun est $3 (x - 4)$ , et $x \neq = 4$ .

$F$
$= \frac{3 \times 2 x - ( x + 3 )}{3 ( x - 4 )}$
$F$
$= \frac{5 x - 3}{3 ( x - 4 )}$

→ En F, prendre $(x - 4) (3 x - 12)$ comme dénominateur commun alourdit tout : repérer $3 x - 12 = 3 (x - 4)$ fait gagner du temps.

Exercice 16 — Simplifier, multiplier, diviser

Donner les valeurs interdites, puis simplifier :

A $=$
$\frac{4 ( x + 1 ) ^{2}}{8 ( x + 1 )}$
B $=$
$\frac{25 - x ^{2}}{x - 5}$
C $=$
$\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2}$
D $=$
$\frac{x ^{2} - 1}{x + 4} \times \frac{x ^{2} - 16}{x + 1}$
E $=$
$\frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 3 x} \div \frac{x + 2}{x + 3}$
F $=$
$\frac{2 x + 1}{x ^{2} - 9}$

Corrigé

A $=$
$x \neq = - 1$ : $\frac{4 ( x + 1 ) \times ( x + 1 )}{4 ( x + 1 ) \times 2} = \frac{x + 1}{2}$
B $=$
$x \neq = 5$ : $\frac{( 5 - x ) ( 5 + x )}{x - 5} = \frac{- ( x - 5 ) ( x + 5 )}{x - 5}$ , donc B=-(x+5).
C $=$
$x \neq = - 2$ et $x \neq = 2$ :

$C$
$= \frac{( x + 2 ) ^{2} - ( x - 2 ) ^{2}}{( x - 2 ) ( x + 2 )}$
$C$
$= \frac{x ^{2} + 4 x + 4 - ( x ^{2} - 4 x + 4 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )}$
$C$
$= \frac{8 x}{( x - 2 ) ( x + 2 )}$
D $=$
$x \neq = - 4$ et $x \neq = - 1$ :

$D$
$= \frac{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 4 ) ( x + 4 )}{( x + 4 ) ( x + 1 )}$
$D$
$= (x - 1) (x - 4)$
E $=$
$x^{2} + 3 x = x (x + 3)$ ; on divise par $\frac{x + 2}{x + 3}$ , qui doit exister et être non nul : $x \neq = 0$ , $x \neq = - 3$ et $x \neq = - 2$ .

$E$
$= \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x ( x + 3 )} \times \frac{x + 3}{x + 2}$
$E$
$= \frac{x - 2}{x}$
F $=$
$x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ : valeurs interdites $- 3$ et $3$ ; le numérateur n'a pas de facteur commun avec le dénominateur, pas de simplification.

→ En B, $25 - x^{2}$ et $x - 5$ sont « à l'envers » : $5 - x = - (x - 5)$ . En E, le diviseur ajoute la valeur interdite $- 2$ .

VI Équations quotient

Exercice 17 — Quotient nul

Donner les valeurs interdites, puis résoudre dans $R$ :

a)
$\frac{4 x - 12}{x + 2} = 0$
b)
$\frac{3 x + 6}{5 x ^{2}} = 0$
c)
$\frac{( x - 3 ) ( 2 x + 5 )}{x + 1} = 0$
d)
$\frac{7 - 2 x}{x ^{2} + 3} = 0$

Corrigé

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul, son dénominateur ne l'étant pas.

a)
Valeur interdite $- 2$ . $4 x - 12 = 0$ pour $x = 3$ , qui n'est pas interdit : $S = {3}$ .
b)
Valeur interdite $0$ . $3 x + 6 = 0$ pour $x = - 2$ : $S = {- 2}$ .
c)
Valeur interdite $- 1$ . Le numérateur s'annule pour $x = 3$ et pour $x = - \frac{5}{2}$ : $S = {- \frac{5}{2}; 3}$ .
d)
$x^{2} + 3 ⩾ 3$ : aucune valeur interdite. $7 - 2 x = 0$ pour $x = \frac{7}{2}$ : $S = {\frac{7}{2}}$ .

Exercice 18 — Se ramener à un quotient nul

Donner les valeurs interdites, se ramener à un quotient égal à $0$ , puis résoudre :

a)
$\frac{3 x + 2}{x + 4} = 2$
b)
$\frac{- 3 x}{x + 2} = 1$
c)
$\frac{1}{x} + \frac{1}{3} = 1$
d)
$\frac{5}{x - 6} + 1 = 0$
e)
$3 - \frac{8 - x}{x + 2} = 0$
f)
$\frac{x ^{2} - 16}{x - 4} = 0$

Corrigé

a)
Valeur interdite $- 4$ .

$\frac{3 x + 2}{x + 4} = 2$
$⟺ \frac{3 x + 2 - 2 ( x + 4 )}{x + 4} = 0$
$⟺ \frac{x - 6}{x + 4} = 0$

$S = {6}$ .
b)
Valeur interdite $- 2$ .

$\frac{- 3 x}{x + 2} = 1$
$⟺ \frac{- 3 x - ( x + 2 )}{x + 2} = 0$
$⟺ \frac{- 4 x - 2}{x + 2} = 0$

$S = {- \frac{1}{2}}$ .
c)
Valeur interdite $0$ . Dénominateur commun $3 x$ :

$\frac{1}{x} + \frac{1}{3} = 1$
$⟺ \frac{3 + x - 3 x}{3 x} = 0$
$⟺ \frac{3 - 2 x}{3 x} = 0$

$S = {\frac{3}{2}}$ .
d)
Valeur interdite $6$ .

$\frac{5}{x - 6} + 1 = 0$
$⟺ \frac{5 + x - 6}{x - 6} = 0$
$⟺ \frac{x - 1}{x - 6} = 0$

$S = {1}$ .
e)
Valeur interdite $- 2$ .

$3 - \frac{8 - x}{x + 2} = 0$
$⟺ \frac{3 ( x + 2 ) - ( 8 - x )}{x + 2} = 0$
$⟺ \frac{4 x - 2}{x + 2} = 0$

$S = {\frac{1}{2}}$ .
f)
Valeur interdite $4$ . $x^{2} - 16 = 0$ pour $x = 4$ ou $x = - 4$ , mais $4$ est interdit : $S = {- 4}$ .

→ En f), une solution du numérateur est une valeur interdite : on l'écarte.

Exercice 19 — Égalité de deux quotients

Donner les valeurs interdites, puis résoudre dans $R$ :

a)
$\frac{5}{x + 2} = \frac{3}{x}$
b)
$\frac{2 x + 1}{x} = \frac{2 x + 5}{x + 1}$
c)
$\frac{3 x - 2}{x + 1} = \frac{3 x + 1}{x - 2}$
d)
$\frac{x + 4}{x - 2} - 3 = \frac{8 - x}{x - 2}$
e)
$\frac{x + 5}{x - 1} = \frac{3}{x - 1}$
f)
$1 - \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{4}{3 - x}$

Corrigé

On ramène tout dans un membre et on réduit au même dénominateur (méthode du cours).

a)
Valeurs interdites $- 2$ et $0$ .

$\frac{5}{x + 2} = \frac{3}{x}$
$⟺ \frac{5 x - 3 ( x + 2 )}{x ( x + 2 )} = 0$
$⟺ \frac{2 x - 6}{x ( x + 2 )} = 0$

$S = {3}$ .
b)
Valeurs interdites $0$ et $- 1$ . Numérateur :

$(2 x + 1) (x + 1) - x (2 x + 5)$
$= 2 x^{2} + 3 x + 1 - 2 x^{2} - 5 x$
$(2 x + 1) (x + 1) - x (2 x + 5)$
$= - 2 x + 1$

$S = {\frac{1}{2}}$ .
c)
Valeurs interdites $- 1$ et $2$ . Numérateur :

$(3 x - 2) (x - 2) - (3 x + 1) (x + 1)$
$= (3 x^{2} - 8 x + 4) - (3 x^{2} + 4 x + 1)$
$(3 x - 2) (x - 2) - (3 x + 1) (x + 1)$
$= - 12 x + 3$

$S = {\frac{1}{4}}$ .
d)
Valeur interdite $2$ .

$\frac{x + 4}{x - 2} - 3 = \frac{8 - x}{x - 2}$
$⟺ \frac{x + 4 - 3 ( x - 2 ) - ( 8 - x )}{x - 2} = 0$
$⟺ \frac{- x + 2}{x - 2} = 0$

Le numérateur s'annule pour $x = 2$ , qui est interdit : $S = \emptyset$ .
e)
Valeur interdite $1$ . Même dénominateur : $\frac{x + 5 - 3}{x - 1} = 0$ , soit $\frac{x + 2}{x - 1} = 0$ : $S = {- 2}$ .
f)
Valeurs interdites $1$ et $3$ . On réduit d'abord le membre de gauche :

$1 - \frac{x + 1}{x - 1}$
$= \frac{x - 1 - ( x + 1 )}{x - 1}$
$1 - \frac{x + 1}{x - 1}$
$= \frac{- 2}{x - 1}$

puis

$\frac{- 2}{x - 1} = \frac{4}{3 - x}$
$⟺ \frac{- 2 ( 3 - x ) - 4 ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( 3 - x )} = 0$
$⟺ \frac{- 2 x - 2}{( x - 1 ) ( 3 - x )} = 0$

$S = {- 1}$ .

→ En d), la seule valeur trouvée est interdite : pas de solution. En e), les dénominateurs sont égaux : on compare directement les numérateurs.

VII Inéquations et tableaux de signes

Exercice 20 — Inéquations du premier degré

Résoudre dans $R$ ; donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle :

a)
$3 x + 12 > 0$
b)
$4 x - 1 < 9 - x$
c)
$3 (x - 1) ⩾ 7 - 2 x$
d)
$\frac{2 - 5 x}{3} > 0$
e)
$3 (x + 2) < 3 x + 4$
f)
$\frac{x - 3}{2} - \frac{1 - x}{4} > 0$

Corrigé

a)
$3 x > - 12$ , donc $x > - 4$ : $S =] - 4; + \infty [$ .
b)
$5 x < 10$ , donc $x < 2$ : $S =] - \infty; 2 [$ .
c)
$3 x - 3 ⩾ 7 - 2 x$ , soit $5 x ⩾ 10$ : $S = [2; + \infty [$ .
d)
On multiplie par $3 > 0$ (le sens ne change pas) : $2 - 5 x > 0$ , soit $- 5 x > - 2$ , puis on divise par $- 5 < 0$ (le sens change) : $x < \frac{2}{5}$ . $S =] - \infty; \frac{2}{5} [$ .
e)
$3 x + 6 < 3 x + 4$ donne $6 < 4$ , ce qui est faux : $S = \emptyset$ .
f)
On multiplie par $4 > 0$ :

$\frac{x - 3}{2} - \frac{1 - x}{4} > 0$
$⟺ 2 (x - 3) - (1 - x) > 0$
$⟺ 3 x - 7 > 0$

$S =] \frac{7}{3}; + \infty [$ .

→ Seuls la multiplication et la division par un nombre négatif changent le sens. En e), l'inégalité obtenue est fausse : aucune solution.

Exercice 21 — Tableaux de signes

Dresser le tableau de signes de chaque expression :

A $=$
$(x - 5) (x + 1)$
B $=$
$(3 - x) (2 x + 1)$
C $=$
$x^{2} - 16$
D $=$
$2 x (x - 3) (4 x + 1)$
E $=$
$\frac{x + 4}{1 - x}$
F $=$
$\frac{x ( x - 2 )}{2 x + 3}$

Corrigé

A $=$
$(x - 5) (x + 1)$
B $=$
$(3 - x) (2 x + 1)$
C $=$
$x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$
D $=$
$2 x (x - 3) (4 x + 1)$
E $=$
$\frac{x + 4}{1 - x}$ (valeur interdite $1$ )
F $=$
$\frac{x ( x - 2 )}{2 x + 3}$ (valeur interdite $- \frac{3}{2}$ )

→ Sous une valeur interdite, une double barre, pas un zéro. Chaque facteur $a x + b$ a le signe de $a$ après sa valeur d'annulation.

Exercice 22 — Inéquations produit et quotient

Résoudre dans $R$ , en donnant d'abord les valeurs interdites :

a)
$(9 x^{2} - 4) (x - 2) ⩾ 0$
b)
$\frac{5 - 2 x}{x ^{2} - 4} ⩽ 0$
c)
$\frac{x ^{2} - 9}{3 x + 1} ⩾ 0$
d)
$\frac{x + 3}{2 - x} ⩽ 1$
e)
$\frac{2 - x}{x + 4} > 3$
f)
$\frac{x + 1}{x + 2} ⩽ \frac{x - 1}{x + 3}$

Corrigé

a)
$9 x^{2} - 4 = (3 x - 2) (3 x + 2)$ : on étudie $(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 2) ⩾ 0$ .

$S = [- \frac{2}{3}; \frac{2}{3}] \cup [2; + \infty [$
b)
$x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ : valeurs interdites $- 2$ et $2$ .

$S =] - 2; 2 [\cup [\frac{5}{2}; + \infty [$
c)
$x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ ; valeur interdite $- \frac{1}{3}$ .

$S = [- 3; - \frac{1}{3} [\cup [3; + \infty [$
d)
Valeur interdite $2$ . On se ramène à un quotient comparé à $0$ :

$\frac{x + 3}{2 - x} ⩽ 1$
$⟺ \frac{x + 3 - ( 2 - x )}{2 - x} ⩽ 0$
$⟺ \frac{2 x + 1}{2 - x} ⩽ 0$

$S =] - \infty; - \frac{1}{2}] \cup] 2; + \infty [$
e)
Valeur interdite $- 4$ .

$\frac{2 - x}{x + 4} > 3$
$⟺ \frac{2 - x - 3 ( x + 4 )}{x + 4} > 0$
$⟺ \frac{- 4 x - 10}{x + 4} > 0$

$- 4 x - 10$ s'annule en $- \frac{5}{2}$ ; son coefficient $- 4$ est négatif.

$S =] - 4; - \frac{5}{2} [$
f)
Valeurs interdites $- 2$ et $- 3$ . Numérateur :

$(x + 1) (x + 3) - (x - 1) (x + 2)$
$= (x^{2} + 4 x + 3) - (x^{2} + x - 2)$
$(x + 1) (x + 3) - (x - 1) (x + 2)$
$= 3 x + 5$

On étudie donc $\frac{3 x + 5}{( x + 2 ) ( x + 3 )} ⩽ 0$ .

$S =] - \infty; - 3 [\cup] - 2; - \frac{5}{3}]$

→ Une valeur interdite est toujours exclue de $S$ , même avec $⩽$ ou $⩾$ . On ne multiplie jamais par le dénominateur : son signe dépend de $x$ .

VIII Composition de polynômes

Exercice 23 — Premières compositions

Pour chaque couple $P$ , $Q$ , écrire $(P \circ Q) (x)$ sous forme développée, réduite et ordonnée :

a)
$P (x) = 3 x + 2$ et $Q (x) = 2 x + 1$
b)
$P (x) = 2 x + 1$ et $Q (x) = 3 x + 2$
c)
$P (x) = 3 x - 2$ et $Q (x) = 2 x^{2} + x - 4$

Que remarque-t-on en comparant a) et b) ?

Corrigé

Chaque $x$ de $P (x)$ est remplacé par $Q (x)$ , entre parenthèses.

a)
$(P \circ Q) (x) = 3 (2 x + 1) + 2 = 6 x + 5$
b)
$(P \circ Q) (x) = 2 (3 x + 2) + 1 = 6 x + 5$
c)
$(P \circ Q) (x)$
$= 3 (2 x^{2} + x - 4) - 2$
$(P \circ Q) (x)$
$= 6 x^{2} + 3 x - 14$

Comparaison. En a) et b), on a échangé les rôles de $P$ et $Q$ , et on obtient le même polynôme. C'est un hasard propre à ces deux fonctions : en général $P \circ Q \neq = Q \circ P$ (exemple du cours, exercice 25).

Exercice 24 — Composer et calculer

1)
$P (x) = x^{2} + 2 x - 1$ et $Q (x) = 3 x - 1$ : écrire $(P \circ Q) (x)$ .
2)
$P (x) = x^{2} - x$ et $Q (x) = x^{2} + 1$ : écrire $(P \circ Q) (x)$ .
3)
$P (x) = x^{2} - 3$ et $Q (x) = x + 4$ .
1. a)
  Écrire $(P \circ Q) (x)$ , puis en déduire $(P \circ Q) (- 2)$ .
2. b)
  Retrouver ce résultat en calculant $Q (- 2)$ , puis son image par $P$ .

Corrigé

1°)
$(P \circ Q) (x)$
$= (3 x - 1)^{2} + 2 (3 x - 1) - 1$
$(P \circ Q) (x)$
$= 9 x^{2} - 6 x + 1 + 6 x - 2 - 1$
$(P \circ Q) (x)$
$= 9 x^{2} - 2$
2°)
$(P \circ Q) (x)$
$= (x^{2} + 1)^{2} - (x^{2} + 1)$
$(P \circ Q) (x)$
$= x^{4} + 2 x^{2} + 1 - x^{2} - 1$
$(P \circ Q) (x)$
$= x^{4} + x^{2}$
3°)
1. a)
  $(P \circ Q) (x)$
  $= (x + 4)^{2} - 3$
  $(P \circ Q) (x)$
  $= x^{2} + 8 x + 13$
  
  donc $(P \circ Q) (- 2) = 4 - 16 + 13 = 1$ .
2. b)
  $Q (- 2) = 2$ , puis $P (2) = 4 - 3 = 1$ : on retrouve la même valeur.

→ Pour une seule valeur, la seconde voie est souvent plus rapide.

Exercice 25 — Composer dans les deux sens

1)
$P (x) = x^{2} + 1$ et $Q (x) = x^{2} - 2 x$ .
1. a)
  Écrire $(P \circ Q) (x)$ et $(Q \circ P) (x)$ .
2. b)
  Quel est le degré de $P$ , de $Q$ , de $P \circ Q$ ?
2)
$P (x) = 2 x^{2} - x$ et $Q (x) = 2 x + 1$ : écrire $(P \circ Q) (x)$ .

Corrigé

1°)
1. a)
  $(P \circ Q) (x)$
  $= (x^{2} - 2 x)^{2} + 1$
  $(P \circ Q) (x)$
  $= x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} + 1$
  $(Q \circ P) (x)$
  $= (x^{2} + 1)^{2} - 2 (x^{2} + 1)$
  $(Q \circ P) (x)$
  $= x^{4} + 2 x^{2} + 1 - 2 x^{2} - 2$
  $(Q \circ P) (x)$
  $= x^{4} - 1$
2. b)
  $P$ et $Q$ sont de degré 2, $P \circ Q$ est de degré 4.
2°)
$(P \circ Q) (x)$
$= 2 (2 x + 1)^{2} - (2 x + 1)$
$(P \circ Q) (x)$
$= 2 (2 x^{2} + 22 x + 1) - 2 x - 1$
$(2 x)^{2} = 2 x^{2}$
$(P \circ Q) (x)$
$= 4 x^{2} + 42 x + 2 - 2 x - 1$
$(P \circ Q) (x)$
$= 4 x^{2} + 32 x + 1$

→ Les deux composées du 1°) sont différentes : l'ordre compte.