ExercicesChapitre 1 — Fractions et puissances

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Cours Exercices Corrigé des exercices Enseignants : chapitre complet

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Cours complet, avec les exercices

Sommaire

I — Nombres relatifs et priorités
II — Additionner et soustraire des fractions
III — Multiplier et diviser des fractions
IV — Fractions et priorités de calcul
V — Produit en croix
VI — Fractions et problèmes
VII — Puissances
VIII — Règles de calcul sur les puissances
IX — Notation scientifique

I Nombres relatifs et priorités

Exercice 1 — Calculs sur les relatifs

Calculer :

$A = - 9 - 7$	$B = 14 - (- 11)$
$C = - 6 \times 7$	$D = (- 8) \times (- 5)$
$E = \frac{- ( - 27 )}{- 9}$	$F = - 13 + (- 4)$

Corrigé

A = - 16

B = 14 + 11 = 25

C = - 42

D = 40

E = \frac{27}{- 9} = - 3

F = - 13 - 4 = - 17

Soustraire $- 11$ , c'est ajouter $11$ ; deux facteurs négatifs donnent un produit positif.

Exercice 2 — Priorités de calcul

Calculer en respectant les priorités :

$A = 8^{2} - 3 \times (- 6)$	$B = - 7 - 4^{2}$
$C = 6 + (- 9 + 5) \times 4$	$D = - 36 \div (- 4) \times 2^{2}$

Corrigé

A

= 64 - (- 18)

A

= 82

B

= - 7 - 16

B

= - 23

C

= 6 + (- 4) \times 4

C

= 6 - 16 = - 10

D

= - 36 \div (- 4) \times 4

D

= 9 \times 4 = 36

Dans $B$ , la puissance passe avant la soustraction. Dans $D$ , division et produit se font de gauche à droite.

Exercice 3 — Parenthèses

Calculer en respectant les priorités :

$A = 20 - 4 \times (3 - 8)$	$B = 5 \times (- 3) + 2^{3}$
$C = - 48 \div (2 \times (- 3))$	$D = 3 - 2 \times (5 - (1 - 6))$

Corrigé

A

= 20 - 4 \times (- 5)

A

= 20 + 20 = 40

B

= - 15 + 8 = - 7

C

= - 48 \div (- 6) = 8

D

= 3 - 2 \times (5 + 5)

D

= 3 - 20 = - 17

Dans $D$ , on commence par la parenthèse la plus intérieure : $1 - 6 = - 5$ , puis $5 - (- 5) = 10$ .

II Additionner et soustraire des fractions

Exercice 4 — Même dénominateur

Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée :

$A = \frac{4}{5} + \frac{3}{5}$	$B = \frac{- 2}{9} + \frac{7}{9}$
$C = \frac{5}{7} - \frac{9}{7}$	$D = \frac{- 3}{11} - \frac{- 8}{11}$
$E = \frac{7}{12} + \frac{- 1}{12}$	$F = \frac{- 7}{4} - \frac{5}{4}$

Corrigé

A = \frac{7}{5}

B = \frac{- 2 + 7}{9} = \frac{5}{9}

C = \frac{5 - 9}{7} = - \frac{4}{7}

D = \frac{- 3 + 8}{11} = \frac{5}{11}

E = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

F = \frac{- 12}{4} = - 3

Le dénominateur ne change pas : on n'additionne jamais les dénominateurs.

Exercice 5 — Dénominateurs différents

Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée :

$A = \frac{2}{5} + \frac{3}{4}$	$B = \frac{5}{6} + \frac{1}{4}$
$C = \frac{3}{4} + \frac{1}{6}$	$D = \frac{3}{8} - \frac{5}{6}$
$E = - \frac{2}{3} - \frac{4}{5}$	$F = - \frac{7}{6} + \frac{5}{4}$

Corrigé

A

= \frac{8}{20} + \frac{15}{20} = \frac{23}{20}

B

= \frac{10}{12} + \frac{3}{12} = \frac{13}{12}

C

= \frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \frac{11}{12}

D

= \frac{9}{24} - \frac{20}{24} = - \frac{11}{24}

E

= - \frac{10}{15} - \frac{12}{15} = - \frac{22}{15}

F

= - \frac{14}{12} + \frac{15}{12} = \frac{1}{12}

Pour $B$ , $C$ , $D$ , $F$ , le plus petit dénominateur commun n'est pas le produit des dénominateurs : $12$ est un multiple de $6$ et de $4$ .

Exercice 6 — Avec un nombre entier

Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée :

$A = 3 - \frac{5}{4}$	$B = - 2 - \frac{3}{5}$
$C = - 4 + \frac{17}{6}$	$D = \frac{9}{2} - 4$

Corrigé

A = \frac{12}{4} - \frac{5}{4} = \frac{7}{4}

B = - \frac{10}{5} - \frac{3}{5} = - \frac{13}{5}

C = - \frac{24}{6} + \frac{17}{6} = - \frac{7}{6}

D = \frac{9}{2} - \frac{8}{2} = \frac{1}{2}

Exercice 7 — Avec une lettre

$x$ désigne un nombre. Écrire chaque expression avec une seule fraction :

$A = 3 x - \frac{x}{4}$	$B = \frac{2}{5} x - 3$
$C = 2 - \frac{x - 1}{3}$	$D = \frac{2 x + 1}{3} - x$

Corrigé

A

= \frac{12 x}{4} - \frac{x}{4} = \frac{11 x}{4}

B

= \frac{2 x}{5} - \frac{15}{5} = \frac{2 x - 15}{5}

C

= \frac{6}{3} - \frac{x - 1}{3}

C

= \frac{6 - ( x - 1 )}{3} = \frac{7 - x}{3}

D

= \frac{2 x + 1 - 3 x}{3} = \frac{1 - x}{3}

Dans $C$ , le moins porte sur tout le numérateur : $- (x - 1) = - x + 1$ .

III Multiplier et diviser des fractions

Exercice 8 — Simplifier avant de calculer

Simplifier, puis calculer, sans effectuer les produits :

$A = \frac{- 4 \times 9}{6 \times 10}$	$B = \frac{24 \times ( - 35 )}{( - 21 ) \times 10}$
$C = \frac{26 \times ( - 9 )}{15 \times 39}$	$D = \frac{14 \times ( - 15 )}{( - 10 ) \times 21}$

Corrigé

A

= - \frac{2 \times 2 \times 3 \times 3}{2 \times 3 \times 2 \times 5} = - \frac{3}{5}

B

= \frac{2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 7}{3 \times 7 \times 2 \times 5} = 4

C

= - \frac{2 \times 13 \times 3 \times 3}{3 \times 5 \times 3 \times 13} = - \frac{2}{5}

D

= \frac{1 \times 2 \times 7 \times 3 \times 5}{2 \times 5 \times 3 \times 7} = 1

On fixe d'abord le signe : deux signes moins dans $B$ et $D$ (positif), un seul dans $A$ et $C$ (négatif). Dans $D$ , tout se barre : il reste $1$ , et non $0$ .

Exercice 9 — Simplifier avec des lettres

Simplifier ( $a$ et $b$ sont des nombres non nuls) :

$A = \frac{15 \times 8 \times 14}{35 \times 6 \times 4}$	$B = \frac{3 x \times 20}{4 \times 5}$
$C = \frac{6 a \times 5 b}{10 b \times 9}$	$D = \frac{4 a \times 9}{6 \times 2 a}$

Corrigé

A

= \frac{3 \times 5 \times 2 \times 4 \times 2 \times 7}{5 \times 7 \times 2 \times 3 \times 4} = 2

B

= \frac{3 \times 4 \times 5 \times x}{4 \times 5} = 3 x

C

= \frac{2 \times 3 \times 5 \times a \times b}{2 \times 5 \times b \times 3 \times 3} = \frac{a}{3}

D

= \frac{2 \times 2 \times a \times 3 \times 3}{2 \times 3 \times 2 \times a} = 3

Exercice 10 — Produits

Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée :

$A = \frac{5}{4} \times \frac{- 3}{7}$	$B = \frac{- 2}{5} \times \frac{4}{3}$
$C = - 5 \times \frac{3}{8}$	$D = \frac{- 7}{- 3} \times \frac{2}{- 5}$
$E = \frac{- 4}{5} \times \frac{- 4}{9}$	$F = \frac{3}{- 8} \times \frac{- 5}{- 7}$

Corrigé

A = - \frac{15}{28}

B = - \frac{8}{15}

C = - \frac{15}{8}

D = \frac{7}{3} \times \frac{- 2}{5} = - \frac{14}{15}

E = \frac{16}{45}

F = - \frac{15}{56}

$F$ compte trois signes moins : le produit est négatif.

Exercice 11 — Quotients

Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée :

$A = \frac{2}{5} \div \frac{3}{7}$	$B = \frac{5}{4} \div \frac{7}{3}$
$C = \frac{3}{4} \div 6$	$D = 6 \div \frac{- 2}{5}$
$E = \frac{4}{9} \div \frac{- 5}{2}$	$F = 3 \div \frac{- 4}{7}$

Corrigé

A

= \frac{2}{5} \times \frac{7}{3} = \frac{14}{15}

B

= \frac{5}{4} \times \frac{3}{7} = \frac{15}{28}

C

= \frac{3}{4} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{8}

D

= 6 \times \frac{5}{- 2} = - 15

E

= \frac{4}{9} \times \frac{2}{- 5} = - \frac{8}{45}

F

= 3 \times \frac{7}{- 4} = - \frac{21}{4}

Diviser par $6$ , c'est multiplier par $\frac{1}{6}$ .

IV Fractions et priorités de calcul

Exercice 12 — Respecter les priorités

Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée :

$A = \frac{5}{12} - \frac{- 3}{4}$	$B = \frac{7}{10} - \frac{- 2}{5}$
$C = - \frac{5}{6} + \frac{3}{4} - \frac{2}{3}$	$D = \frac{9}{14} + \frac{5}{7} \times \frac{7}{10}$

Corrigé

A

= \frac{5}{12} + \frac{9}{12} = \frac{14}{12}

A

= \frac{7}{6}

B

= \frac{7}{10} + \frac{4}{10} = \frac{11}{10}

C

= - \frac{10}{12} + \frac{9}{12} - \frac{8}{12}

C

= - \frac{9}{12} = - \frac{3}{4}

D

= \frac{9}{14} + \frac{1}{2}

D

= \frac{9}{14} + \frac{7}{14} = \frac{8}{7}

Dans $D$ , le produit d'abord : $\frac{5}{7} \times \frac{7}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ .

Exercice 13 — Parenthèses et lettres

Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée :

$A = \frac{4}{5} (\frac{1}{2} - \frac{1}{4})$	$B = (\frac{2}{3} - \frac{1}{6}) \times (\frac{1}{4} + \frac{1}{2})$
$C = \frac{3 x}{4} - \frac{x - 2}{6}$	$D = \frac{3 x}{4} \times \frac{8}{9} x$

Corrigé

A

= \frac{4}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{5}

B

= \frac{3}{6} \times \frac{3}{4}

B

= \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}

C

= \frac{9 x}{12} - \frac{2 ( x - 2 )}{12}

C

= \frac{9 x - 2 x + 4}{12} = \frac{7 x + 4}{12}

D

= \frac{3 \times 8 \times x \times x}{4 \times 9} = \frac{2 x ^{2}}{3}

Dans $C$ : $- 2 \times (- 2) = + 4$ .

Exercice 14 — Fractions de fractions

Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée :

$A = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{6}}$	$B = \frac{\frac{6}{- 35}}{\frac{- 9}{14}}$
$C = \frac{\frac{7}{4}}{- 14}$	$D = \frac{2 - \frac{3}{5}}{\frac{3}{4} - \frac{2}{5}}$

Corrigé

A

= \frac{3}{4} \times \frac{6}{5} = \frac{18}{20}

A

= \frac{9}{10}

B

= \frac{6}{35} \times \frac{14}{9} = \frac{2 \times 3 \times 2 \times 7}{5 \times 7 \times 3 \times 3}

B

= \frac{4}{15}

C

= \frac{7}{4} \times \frac{1}{- 14} = - \frac{1}{8}

Pour $D$ , numérateur et dénominateur à part :

2 - \frac{3}{5}

= \frac{10}{5} - \frac{3}{5} = \frac{7}{5}

\frac{3}{4} - \frac{2}{5}

= \frac{15}{20} - \frac{8}{20} = \frac{7}{20}

D

= \frac{7}{5} \times \frac{20}{7} = 4

V Produit en croix

Exercice 15 — Justifier le produit en croix

Le nombre $x$ vérifie $\frac{3 x - 1}{4} = \frac{x + 3}{2}$ .

1)
Expliquer pourquoi $x$ vérifie aussi $2 \times (3 x - 1) = 4 \times (x + 3)$ .
2)
En déduire la valeur de $x$ .

Corrigé

1) Les deux fractions sont égales, et leurs dénominateurs $4$ et $2$ ne sont pas nuls : d'après le produit en croix, $2 \times (3 x - 1) = 4 \times (x + 3)$ .

6 x - 2

= 4 x + 12

6 x - 4 x

= 12 + 2

2 x

= 14

x

= 7

Vérification : $\frac{20}{4} = 5$ et $\frac{10}{2} = 5$ .

Exercice 16 — Premières équations

Résoudre par le produit en croix :

a) $\frac{x}{4} = \frac{5}{3}$	b) $\frac{4 - x}{3} = \frac{x + 2}{5}$
c) $\frac{2 + x}{- 3} = \frac{5}{6}$	d) $\frac{2 x - 1}{3} = \frac{x + 4}{- 2}$

Corrigé

3 x

= 20

x

= \frac{20}{3}

5 (4 - x)

= 3 (x + 2)

20 - 5 x

= 3 x + 6

14

= 8 x

x

= \frac{14}{8} = \frac{7}{4}

6 (2 + x)

= - 3 \times 5

12 + 6 x

= - 15

6 x

= - 27

x

= - \frac{27}{6} = - \frac{9}{2}

- 2 (2 x - 1)

= 3 (x + 4)

- 4 x + 2

= 3 x + 12

- 10

= 7 x

x

= - \frac{10}{7}

Un dénominateur négatif garde son signe dans le produit en croix.

Exercice 17 — S'entraîner

Résoudre, puis vérifier la solution :

a) $\frac{x}{5} = \frac{3}{8}$	b) $\frac{4}{9} = \frac{x}{6}$
c) $\frac{x + 2}{5} = \frac{2 x - 3}{4}$	d) $\frac{2 x + 1}{3} = \frac{3 x - 2}{4}$

Corrigé

a) $8 x = 15$ , donc $x = \frac{15}{8}$ .

b) $9 x = 24$ , donc $x = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$ .

4 (x + 2)

= 5 (2 x - 3)

4 x + 8

= 10 x - 15

23

= 6 x

x

= \frac{23}{6}

4 (2 x + 1)

= 3 (3 x - 2)

8 x + 4

= 9 x - 6

x

= 10

Vérification de d) : $\frac{21}{3} = 7$ et $\frac{28}{4} = 7$ .

Exercice 18 — Plusieurs fractions (1)

Résoudre en multipliant chaque terme par un dénominateur commun :

a) $x + \frac{x}{5} = 18$	b) $\frac{x}{3} - \frac{x}{4} = 5$
c) $\frac{t}{3} - \frac{t + 1}{5} = 1$	d) $\frac{3 t - 1}{2} + \frac{t - 2}{3} = 2 t$

Corrigé

a) ( $\times 5$ )

5 x + x

= 90

x

= 15

b) ( $\times 12$ )

4 x - 3 x

= 60

x

= 60

c) ( $\times 15$ )

5 t - 3 (t + 1)

= 15

2 t - 3

= 15

t

= 9

d) ( $\times 6$ )

3 (3 t - 1) + 2 (t - 2)

= 12 t

11 t - 7

= 12 t

t

= - 7

Chaque terme est multiplié, y compris celui sans fraction ( $x$ dans a), $1$ dans c), $2 t$ dans d)).

Exercice 19 — Plusieurs fractions (2)

Résoudre :

a)
$\frac{y}{2} + \frac{3 y}{4} = \frac{y}{3} - 22$
b)
$\frac{y + 7}{3} = \frac{y - 1}{2} - \frac{y}{4}$
c)
$\frac{z - 4}{3} - \frac{z - 6}{12} = \frac{2 z - 15}{9}$
d)
$\frac{3 z + 2}{5} - \frac{2 z - 1}{2} = \frac{3 - 6 z}{10}$

Corrigé

a) ( $\times 12$ )

6 y + 9 y

= 4 y - 264

11 y

= - 264

y

= - 24

b) ( $\times 12$ )

4 (y + 7)

= 6 (y - 1) - 3 y

4 y + 28

= 3 y - 6

y

= - 34

c) ( $\times 36$ )

12 (z - 4) - 3 (z - 6)

= 4 (2 z - 15)

9 z - 30

= 8 z - 60

z

= - 30

d) ( $\times 10$ )

2 (3 z + 2) - 5 (2 z - 1)

= 3 - 6 z

- 4 z + 9

= 3 - 6 z

2 z

= - 6

z

= - 3

Attention aux signes devant les parenthèses : $- 3 \times (- 6) = + 18$ , $- 5 \times (- 1) = + 5$ .

VI Fractions et problèmes

Exercice 20 — Fraction d'une quantité

Calculer :

a)
les trois quarts de $120$ € ;
b)
les deux cinquièmes de $35$ kg ;
c)
les cinq sixièmes de $90$ min ;
d)
les deux tiers des trois quarts des $48$ élèves d'un niveau.

Corrigé

\frac{3}{4} \times 120 = 90 €

\frac{2}{5} \times 35 = 14 kg

\frac{5}{6} \times 90 = 75 min

\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times 48 = 24

En d), on peut calculer $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ d'abord.

Exercice 21 — Le festival

Un festival peut accueillir $1200$ spectateurs. Les cinq sixièmes des places sont vendues en prévente, puis les trois quarts des places restantes sur place. Combien de places restent invendues ?

Corrigé

pr \overset{e}{ˊ} vente

= \frac{5}{6} \times 1200 = 1000

restantes

= 1200 - 1000 = 200

sur place

= \frac{3}{4} \times 200 = 150

invendues

= 200 - 150 = 50

Les $\frac{3}{4}$ portent sur les places restantes, pas sur les $1200$ .

Exercice 22 — L'anniversaire de Lina

Lina reçoit $120$ € pour son anniversaire. Elle en dépense le tiers en jeux vidéo, puis les trois huitièmes de ce qui lui reste en vêtements.

a)
Quelle fraction de la somme reçue lui reste-t-il ?
b)
Combien a-t-elle dépensé pour chaque achat ? Combien lui reste-t-il ?

Corrigé

reste

= 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

v \overset{e}{ˆ} tements

= \frac{3}{8} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{4}

reste final

= \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12}

b) Jeux vidéo : $\frac{1}{3} \times 120 = 40 €$ ; vêtements : $\frac{1}{4} \times 120 = 30 €$ ; il reste $\frac{5}{12} \times 120 = 50 €$ .

Vérification : $40 + 30 + 50 = 120$ .

Exercice 23 — Le budget d'une association

Une association consacre les deux cinquièmes de son budget annuel au matériel, puis les trois quarts de ce qui reste aux sorties. Il reste alors $270$ € pour les frais de fonctionnement.

a)
Quelle fraction du budget représentent les sorties ? les frais de fonctionnement ?
b)
Quel est le budget annuel de l'association ?

Corrigé

reste

= 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}

sorties

= \frac{3}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{20}

frais

= \frac{3}{5} - \frac{9}{20} = \frac{12}{20} - \frac{9}{20}

frais

= \frac{3}{20}

b) Les $\frac{3}{20}$ du budget font $270$ €, donc $\frac{1}{20}$ fait $90$ € et le budget est de $20 \times 90 = 1800 €$ .

Vérification : matériel $720$ €, sorties $810$ €, frais $270$ € ; total $1800$ €.

VII Puissances

Exercice 24 — Calculer des puissances

Calculer :

$A = 3^{4}$	$B = (- 2)^{4}$
$C = 4^{- 2}$	$D = (- 3)^{- 3}$
$E = 1 0^{- 3}$	$F = 2 5^{0}$
$G = 7^{- 1}$	$H = (- 9)^{1}$

Corrigé

A = 81

B = 16

C = \frac{1}{4 ^{2}} = \frac{1}{16}

D = \frac{1}{( - 3 ) ^{3}} = - \frac{1}{27}

E = 0, 001

F = 1

G = \frac{1}{7}

H = - 9

$4^{- 2}$ n'est pas négatif : c'est l'inverse de $4^{2}$ .

Exercice 25 — Écriture décimale

Donner l'écriture décimale de :

$A = 1 0^{- 3}$	$B = 1 0^{- 7}$
$C = 1 0^{5}$	$D = 1 0^{0}$

Corrigé

A = 0, 001

B = 0, 0000001

C = 100000

D = 1

Exercice 26 — Puissances et priorités

Calculer :

$A = 2 + 5^{2}$	$B = (2 + 5)^{2}$
$C = 2 - 5^{2}$	$D = 3^{3} + 2^{4}$
$E = 2^{4} \times 3^{2}$	$F = (- 3)^{3} + 2^{5}$

Corrigé

A = 2 + 25 = 27

B = 7^{2} = 49

C = 2 - 25 = - 23

D = 27 + 16 = 43

E = 16 \times 9 = 144

F = - 27 + 32 = 5

$A$ et $B$ : la parenthèse change tout.

Exercice 27 — Puissances et priorités (suite)

Calculer :

$A = (3^{3} - 4^{2}) \times 1 0^{2}$	$B = (- 3)^{2} + 4^{2} \times 1 0^{- 1}$
$C = (- 4)^{2} - 1 0^{2} \div 5^{2}$	$D = 1 0^{2} \times (- 1)^{7} - (- 2)^{5}$

Corrigé

A

= (27 - 16) \times 100 = 1100

B

= 9 + 16 \times 0, 1 = 10, 6

C

= 16 - 100 \div 25 = 12

D

= 100 \times (- 1) - (- 32)

D

= - 100 + 32 = - 68

Exercice 28 — Des calculs plus longs

Calculer :

$A = 20 - 3^{2} \times (6 - 2 \times 4)^{2}$	$B = \frac{5 ^{3} - 5 \times 4 ^{2}}{3 ^{4} - 6 \times 3 ^{2}}$
$C = \frac{6 \times 7 - 2 ^{5}}{5 \times 2 ^{3} - ( 3 \times 2 ) ^{2}}$

Corrigé

A

= 20 - 9 \times (- 2)^{2}

A

= 20 - 36 = - 16

B

= \frac{125 - 80}{81 - 54} = \frac{45}{27}

B

= \frac{5}{3}

C

= \frac{42 - 32}{40 - 36} = \frac{10}{4}

C

= \frac{5}{2}

Exercice 29 — Des résultats en fraction

Écrire sous forme de fraction simplifiée :

$A = (- 3)^{- 2} + 2 \times 1 0^{- 1}$	$B = \frac{3 ^{2} - ( - 2 ) ^{3}}{1 0 ^{- 1}}$
$C = 2^{- 2} - 1 0^{- 1}$	$D = (2^{5} - 4^{2}) \times (- 4)^{- 2}$

Corrigé

A

= \frac{1}{9} + \frac{2}{10} = \frac{5}{45} + \frac{9}{45}

A

= \frac{14}{45}

B

= \frac{9 + 8}{\frac{1}{10}} = 17 \times 10 = 170

C

= \frac{1}{4} - \frac{1}{10} = \frac{5}{20} - \frac{2}{20}

C

= \frac{3}{20}

D

= 16 \times \frac{1}{16} = 1

VIII Règles de calcul sur les puissances

Exercice 30 — Produits

Écrire sous la forme $a^{n}$ :

$A = 3^{4} \times 3^{7}$	$B = (- 5)^{3} \times (- 5)^{5}$
$C = 7^{2} \times 7^{- 6}$	$D = x^{3} \times x \times x^{5}$

Corrigé

A = 3^{4 + 7} = 3^{11}

B = (- 5)^{8}

C = 7^{2 - 6} = 7^{- 4}

D = x^{3 + 1 + 5} = x^{9}

$x = x^{1}$ : on n'oublie pas cet exposant.

Exercice 31 — Quotients

Écrire sous la forme $a^{n}$ ( $x$ et $y$ sont non nuls) :

$A = \frac{6 ^{9}}{6 ^{4}}$	$B = \frac{( - 3 ) ^{8}}{( - 3 ) ^{5}}$
$C = \frac{y ^{12}}{y ^{9}}$	$D = \frac{2 ^{- 4}}{2 ^{3}}$
$E = \frac{4 ^{- 1}}{4 ^{6}}$	$F = \frac{x ^{- 5}}{x ^{- 9}}$

Corrigé

A = 6^{5}

B = (- 3)^{3}

C = y^{3}

D = 2^{- 4 - 3} = 2^{- 7}

E = 4^{- 1 - 6} = 4^{- 7}

F = x^{- 5 - (- 9)} = x^{4}

Exercice 32 — Produits et quotients

Écrire sous la forme $a^{n}$ ( $x$ et $y$ sont non nuls) :

$A = \frac{3 ^{10} \times 3 ^{4}}{3 ^{5} \times 3 ^{6}}$	$B = \frac{x ^{5}}{x ^{7} \times x ^{4}}$
$C = \frac{2 ^{4} \times 2 ^{7}}{2 ^{3} \times 2 ^{- 2}}$	$D = \frac{( y ^{2} ) ^{5}}{y ^{3} \times y ^{4}}$

Corrigé

A = \frac{3 ^{14}}{3 ^{11}} = 3^{3}

B = \frac{x ^{5}}{x ^{11}} = x^{- 6}

C = \frac{2 ^{11}}{2 ^{1}} = 2^{10}

D = \frac{y ^{10}}{y ^{7}} = y^{3}

Exercice 33 — Toutes les règles

Simplifier, puis calculer :

A = \frac{( 5 ^{2} ) ^{- 2} \times 3}{( 5 \times 3 ) ^{- 3}}

B = \frac{3 ^{4} \times 1 0 ^{5} \times 3 ^{- 4} \times 1 0 ^{2}}{( 3 ^{3} ) ^{- 1} \times ( 1 0 ^{2} ) ^{- 4}}

Corrigé

A

= \frac{5 ^{- 4} \times 3 ^{1}}{5 ^{- 3} \times 3 ^{- 3}}

A

= 5^{- 4 - (- 3)} \times 3^{1 - (- 3)}

A

= 5^{- 1} \times 3^{4} = \frac{81}{5}

B

= \frac{3 ^{0} \times 1 0 ^{7}}{3 ^{- 3} \times 1 0 ^{- 8}}

B

= 3^{3} \times 1 0^{15} = 2, 7 \times 1 0^{16}

$3^{4} \times 3^{- 4} = 3^{0} = 1$ ; $(1 0^{2})^{- 4} = 1 0^{- 8}$ .

Exercice 34 — Calculer et simplifier

Simplifier ( $b$ est non nul) :

A = \frac{2 ^{6} \times 1 0 ^{- 3} \times ( 2 ^{3} ) ^{2} \times ( 1 0 ^{- 1} ) ^{4}}{2 ^{10} \times 1 0 ^{- 5}}

B = \frac{b ^{2} \times ( b ^{- 3} ) ^{3}}{( b ^{4} ) ^{2}}

Corrigé

A

= \frac{2 ^{12} \times 1 0 ^{- 7}}{2 ^{10} \times 1 0 ^{- 5}}

A

= 2^{2} \times 1 0^{- 2} = 4 \times 1 0^{- 2}

B

= \frac{b ^{2} \times b ^{- 9}}{b ^{8}} = \frac{b ^{- 7}}{b ^{8}}

B

= b^{- 15}

IX Notation scientifique

Exercice 35 — Entiers et décimaux

Donner la notation scientifique de :

$A = 274000$	$B = 0, 00061$
$C = 38200000$	$D = 0, 00000029$
$E = 56300$	$F = 0, 00007308$

Corrigé

A = 2, 74 \times 1 0^{5}

B = 6, 1 \times 1 0^{- 4}

C = 3, 82 \times 1 0^{7}

D = 2, 9 \times 1 0^{- 7}

E = 5, 63 \times 1 0^{4}

F = 7, 308 \times 1 0^{- 5}

Exercice 36 — Produits par une puissance de 10

Donner la notation scientifique de :

$A = 532 \times 1 0^{3}$	$B = 64 \times 1 0^{- 5}$
$C = 481, 7 \times 1 0^{8}$	$D = 0, 036 \times 1 0^{- 4}$

Corrigé

A

= 5, 32 \times 1 0^{2} \times 1 0^{3} = 5, 32 \times 1 0^{5}

B

= 6, 4 \times 1 0^{1} \times 1 0^{- 5} = 6, 4 \times 1 0^{- 4}

C

= 4, 817 \times 1 0^{2} \times 1 0^{8} = 4, 817 \times 1 0^{10}

D

= 3, 6 \times 1 0^{- 2} \times 1 0^{- 4} = 3, 6 \times 1 0^{- 6}

Exercice 37 — Un calcul jusqu'au bout

Donner la notation scientifique de

E = \frac{35 \times 1 0 ^{- 2} \times 6 \times ( 1 0 ^{3} ) ^{3}}{14 \times 1 0 ^{5}} .

Corrigé

E

= \frac{35 \times 6}{14} \times \frac{1 0 ^{- 2} \times 1 0 ^{9}}{1 0 ^{5}}

E

= 15 \times 1 0^{2}

E

= 1, 5 \times 1 0^{3}

$15 \times 1 0^{2}$ n'est pas en notation scientifique : un seul chiffre avant la virgule.

Exercice 38 — Deux expressions

On pose

A = \frac{3 \times 1 0 ^{1500}}{12 \times 1 0 ^{1502}} et B = \frac{6 , 4 \times 1 0 ^{2} - 340 \times 1 0 ^{- 1}}{1 , 01 \times 1 0 ^{2}} .

1)
Donner la notation scientifique de $A$ .
2)
Montrer que $B$ est un nombre entier.

Corrigé

A

= \frac{3}{12} \times 1 0^{1500 - 1502}

A

= 0, 25 \times 1 0^{- 2} = 2, 5 \times 1 0^{- 3}

B

= \frac{640 - 34}{101} = \frac{606}{101}

B

= 6

$B$ est bien un nombre entier.

Exercice 39 — La lumière de la Lune

La lumière parcourt environ $3 \times 1 0^{8}$ m par seconde. La Lune est à environ $384000$ km de la Terre.

1)
Écrire la distance Terre-Lune en mètres, en notation scientifique.
2)
Combien de temps la lumière renvoyée par la Lune met-elle pour nous parvenir ?

Corrigé

1) $384000 km = 384000000 m = 3, 84 \times 1 0^{8} m$ .

t

= \frac{3 , 84 \times 1 0 ^{8}}{3 \times 1 0 ^{8}}

t

= 1, 28 s

Le temps est la distance divisée par la distance parcourue en une seconde.