ExercicesChapitre 3 — Le second degré

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Sommaire

I — Forme canonique
II — Équations du second degré
III — Factorisation du trinôme
IV — Somme et produit des racines
V — Signe du trinôme et inéquations
VI — Représentation graphique
VII — Variations de la fonction trinôme
VIII — Équations se ramenant au second degré
IX — Inéquations se ramenant au second degré
X — Problèmes

I Forme canonique

Exercice 1 — Compléter un carré ( $a = 1$ )

Écrire chaque trinôme sous la forme $(x - α)^{2} + β$ .

A $=$
$x^{2} + 8 x - 3$
B $=$
$x^{2} - 6 x + 2$
C $=$
$x^{2} - 3 x + 1$
D $=$
$x^{2} + 5 x + 2$
E $=$
$x^{2} - 12 x + 35$
F $=$
$x^{2} - 9 x$

Corrigé

$x^{2} + k x$ est le début de $(x + \frac{k}{2})^{2} = x^{2} + k x + \frac{k ^{2}}{4}$ : on retire ensuite $\frac{k ^{2}}{4}$ .

A $=$
$x^{2} + 8 x - 3 = (x + 4)^{2} - 16 - 3 = (x + 4)^{2} - 19$
B $=$
$x^{2} - 6 x + 2 = (x - 3)^{2} - 9 + 2 = (x - 3)^{2} - 7$
C $=$
$x^{2} - 3 x + 1 = (x - \frac{3}{2})^{2} - \frac{9}{4} + \frac{4}{4} = (x - \frac{3}{2})^{2} - \frac{5}{4}$
D $=$
$x^{2} + 5 x + 2 = (x + \frac{5}{2})^{2} - \frac{25}{4} + \frac{8}{4} = (x + \frac{5}{2})^{2} - \frac{17}{4}$
E $=$
$x^{2} - 12 x + 35 = (x - 6)^{2} - 36 + 35 = (x - 6)^{2} - 1$
F $=$
$x^{2} - 9 x = (x - \frac{9}{2})^{2} - \frac{81}{4}$

→ Dans la parenthèse : la moitié du coefficient de $x$ , avec son signe.

Exercice 2 — Compléter un carré ( $a \neq = 1$ )

Écrire chaque trinôme sous la forme $a (x - α)^{2} + β$ .

A $=$
$2 x^{2} + 8 x + 3$
B $=$
$- x^{2} + 3 x + 2$
C $=$
$4 x^{2} - 8 x + 4$
D $=$
$- x^{2} + 5 x - 4$
E $=$
$2 x^{2} + 2 x - 1$
F $=$
$- 2 x^{2} + 8 x - 5$

Corrigé

On met $a$ en facteur dans les deux premiers termes, puis on complète le carré.

A $=$
$2 x^{2} + 8 x + 3$

$A$
$= 2 (x^{2} + 4 x) + 3$
$A$
$= 2 [(x + 2)^{2} - 4] + 3$
$A$
$= 2 (x + 2)^{2} - 8 + 3$
$A$
$= 2 (x + 2)^{2} - 5$
B $=$
$- x^{2} + 3 x + 2$

$B$
$= - (x^{2} - 3 x) + 2$
$B$
$= - [(x - \frac{3}{2})^{2} - \frac{9}{4}] + 2$
$B$
$= - (x - \frac{3}{2})^{2} + \frac{17}{4}$
C $=$
$4 x^{2} - 8 x + 4 = 4 (x^{2} - 2 x + 1) = 4 (x - 1)^{2}$ ( $β = 0$ )
D $=$
$- x^{2} + 5 x - 4$

$D$
$= - (x^{2} - 5 x) - 4$
$D$
$= - [(x - \frac{5}{2})^{2} - \frac{25}{4}] - 4$
$D$
$= - (x - \frac{5}{2})^{2} + \frac{9}{4}$
E $=$
$2 x^{2} + 2 x - 1$

$E$
$= 2 (x^{2} + x) - 1$
$E$
$= 2 [(x + \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4}] - 1$
$E$
$= 2 (x + \frac{1}{2})^{2} - \frac{3}{2}$
F $=$
$- 2 x^{2} + 8 x - 5$

$F$
$= - 2 (x^{2} - 4 x) - 5$
$F$
$= - 2 [(x - 2)^{2} - 4] - 5$
$F$
$= - 2 (x - 2)^{2} + 3$

→ Erreur fréquente : oublier de multiplier par $a$ le terme retiré. En A, $2 \times (- 4) = - 8$ , et non $- 4$ .

Exercice 3 — Forme canonique par $α$ et $β$

Pour chaque trinôme, calculer $α = - \frac{b}{2 a}$ et $β$ , écrire la forme canonique, puis la développer pour vérifier.

1)
$P (x) = x^{2} - 6 x + 1$
2)
$Q (x) = 3 x^{2} + 6 x - 2$
3)
$R (x) = - x^{2} - 4 x - 9$

Corrigé

1)
$α$
$= - \frac{- 6}{2} = 3$
$β$
$= P (3) = 9 - 18 + 1$
$β$
$= - 8$

donc $P (x) = (x - 3)^{2} - 8$ .
Vérification : $(x - 3)^{2} - 8 = x^{2} - 6 x + 9 - 8$ , soit $x^{2} - 6 x + 1$ .
2)
$α$
$= - \frac{6}{6} = - 1$
$β$
$= Q (- 1) = 3 - 6 - 2$
$β$
$= - 5$

donc $Q (x) = 3 (x + 1)^{2} - 5$ .
Vérification : $3 (x^{2} + 2 x + 1) - 5 = 3 x^{2} + 6 x - 2$ .
3)
$α$
$= - \frac{- 4}{- 2} = - 2$
$β$
$= R (- 2) = - 4 + 8 - 9$
$β$
$= - 5$

donc $R (x) = - (x + 2)^{2} - 5$ .
Vérification : $- (x^{2} + 4 x + 4) - 5 = - x^{2} - 4 x - 9$ .

→ Devant le carré, on écrit toujours $a$ : $3$ en 2), $- 1$ en 3).

Exercice 4 — De la forme canonique à la factorisation

Écrire chaque trinôme sous forme canonique. Le factoriser avec $u^{2} - v^{2} = (u - v) (u + v)$ quand c'est possible ; sinon, expliquer pourquoi il ne se factorise pas.

A $=$
$x^{2} - 4 x - 5$
B $=$
$x^{2} + 4 x + 7$
C $=$
$2 x^{2} + x - 3$
D $=$
$- x^{2} - 2 x - 3$

Corrigé

A $=$
$x^{2} - 4 x - 5$

$A$
$= (x - 2)^{2} - 9$
$A$
$= (x - 2)^{2} - 3^{2}$
$A$
$= (x - 2 - 3) (x - 2 + 3)$
$A$
$= (x - 5) (x + 1)$
B $=$
$x^{2} + 4 x + 7 = (x + 2)^{2} + 3$ . Un carré est positif, donc $(x + 2)^{2} + 3 ⩾ 3 > 0$ : le trinôme ne s'annule jamais, il ne se factorise pas.
C $=$
$2 x^{2} + x - 3$

$C$
$= 2 (x^{2} + \frac{1}{2} x) - 3$
$C$
$= 2 [(x + \frac{1}{4})^{2} - \frac{1}{16}] - 3$
$C$
$= 2 (x + \frac{1}{4})^{2} - \frac{1}{8} - 3$
$C$
$= 2 (x + \frac{1}{4})^{2} - \frac{25}{8}$

Puis :

$C$
$= 2 [(x + \frac{1}{4})^{2} - (\frac{5}{4})^{2}]$
$C$
$= 2 (x + \frac{1}{4} - \frac{5}{4}) (x + \frac{1}{4} + \frac{5}{4})$
$C$
$= 2 (x - 1) (x + \frac{3}{2})$
$C$
$= (x - 1) (2 x + 3)$
D $=$
$- x^{2} - 2 x - 3 = - [(x + 1)^{2} - 1] - 3 = - (x + 1)^{2} - 2$ . Comme $- (x + 1)^{2} ⩽ 0$ , on a $- (x + 1)^{2} - 2 ⩽ - 2 < 0$ : pas de factorisation.

→ En C, on met d'abord $2$ en facteur dans la forme canonique : $- \frac{25}{8} = 2 \times (- \frac{25}{16})$ , et $\frac{25}{16} = (\frac{5}{4})^{2}$ .

II Équations du second degré

Exercice 5 — Factoriser plutôt que calculer $Δ$

Résoudre chaque équation en factorisant, sans discriminant.

1)
$9 x^{2} - 4 = 0$
2)
$x^{2} - 6 x = 0$
3)
$2 x^{2} - 18 = 0$
4)
$x^{2} - 5 = 0$
5)
$(3 x - 2) (x + 5) = 0$
6)
$x^{2} - 10 x + 25 = 0$

Corrigé

1)
$9 x^{2} - 4 = (3 x - 2) (3 x + 2)$ : $S = {- \frac{2}{3}; \frac{2}{3}}$
2)
$x^{2} - 6 x = x (x - 6)$ : $S = {0; 6}$
3)
$2 x^{2} - 18 = 2 (x - 3) (x + 3)$ : $S = {- 3; 3}$
4)
$x^{2} - 5 = (x - 5) (x + 5)$ : $S = {- 5; 5}$
5)
$3 x - 2 = 0$ ou $x + 5 = 0$ : $S = {- 5; \frac{2}{3}}$
6)
$x^{2} - 10 x + 25 = (x - 5)^{2}$ : $S = {5}$

→ Facteur commun, identité remarquable, produit déjà factorisé : calculer $Δ$ ferait perdre du temps.

Exercice 6 — Avec le discriminant

Résoudre dans $R$ en calculant le discriminant.

1)
$x^{2} + x - 12 = 0$
2)
$x^{2} + 3 x + 5 = 0$
3)
$- x^{2} + 6 x - 9 = 0$
4)
$t^{2} - 4 t - 21 = 0$
5)
$2 - y - 3 y^{2} = 0$
6)
$- 2 x^{2} + 5 x + 1 = 0$

Corrigé

1)
$Δ = 1 + 48 = 49 > 0$ : $x_{1} = \frac{- 1 - 7}{2} = - 4$ et $x_{2} = \frac{- 1 + 7}{2} = 3$ . $S = {- 4; 3}$
2)
$Δ = 9 - 20 = - 11 < 0$ : $S = \emptyset$
3)
$Δ = 36 - 36 = 0$ : racine double $x_{0} = - \frac{6}{2 \times ( - 1 )} = 3$ . $S = {3}$
4)
$Δ = 16 + 84 = 100$ : $t = \frac{4 \pm 10}{2}$ . $S = {- 3; 7}$
5)
On ordonne : $- 3 y^{2} - y + 2 = 0$ , donc $a = - 3$ , $b = - 1$ et $c = 2$ . $Δ = 1 + 24 = 25$ : $y = \frac{1 \pm 5}{- 6}$ . $S = {- 1; \frac{2}{3}}$
6)
$Δ = 25 + 8 = 33 > 0$ : $x = \frac{- 5 \pm 33}{- 4} = \frac{5 \mp 33}{4}$ . $S = {\frac{5 - 33}{4}; \frac{5 + 33}{4}}$

→ En 3), le trinôme vaut $- (x - 3)^{2}$ . En 5), on range l'équation dans l'ordre $a y^{2} + b y + c$ avant de lire $a$ , $b$ , $c$ : l'erreur de signe est fréquente.

Exercice 7 — Des racines carrées dans les coefficients

Résoudre dans $R$ :

1)
$x^{2} - 25 x - 4 = 0$
2)
$3 t^{2} - 4 t + 3 = 0$
3)
$x^{2} - (1 + 2) x + 2 = 0$
4)
$4 x - x^{2} - 5 = 0$
5)
$x^{3} + 2 x^{2} - 15 x = 0$
6)
$(3 x + 2)^{2} + 1 = 0$

Corrigé

1)
$Δ$
$= (- 25)^{2} - 4 \times 1 \times (- 4)$
$Δ$
$= 20 + 16$
$Δ$
$= 36 = 6^{2}$

$x = \frac{2 5 \pm 6}{2} = 5 \pm 3$ . $S = {5 - 3; 5 + 3}$
2)
$Δ$
$= 16 - 43 \times 3$
$Δ$
$= 16 - 12 = 4$

$t = \frac{4 \pm 2}{2 3}$ , soit $\frac{6}{2 3} = 3$ et $\frac{2}{2 3} = \frac{3}{3}$ . $S = {\frac{3}{3}; 3}$
3)
$Δ$
$= (1 + 2)^{2} - 42$
$Δ$
$= 1 + 22 + 2 - 42$
$Δ$
$= 3 - 22 = (2 - 1)^{2}$

$x = \frac{1 + 2 \pm ( 2 - 1 )}{2}$ . $S = {1; 2}$
4)
$- x^{2} + 4 x - 5 = 0$ : $Δ = 16 - 20 = - 4 < 0$ . $S = \emptyset$
5)
$x^{3} + 2 x^{2} - 15 x = x (x^{2} + 2 x - 15)$ : $x = 0$ , ou $x^{2} + 2 x - 15 = 0$ ( $Δ = 64$ , racines $3$ et $- 5$ ). $S = {- 5; 0; 3}$
6)
$(3 x + 2)^{2} ⩾ 0$ , donc $(3 x + 2)^{2} + 1 ⩾ 1 > 0$ . $S = \emptyset$

→ En 3), plus rapide : $1$ est racine, car $1 - (1 + 2) + 2 = 0$ ; le produit des racines vaut $2$ (partie IV). En 5) et 6), pas de discriminant sur l'expression entière : on factorise, ou on raisonne sur le signe.

Exercice 8 — Une parabole et une droite

1)
Dans un même repère, tracer l'allure de la parabole d'équation $y = x^{2}$ et la droite d'équation $y = 2 x + 3$ .
2)
Expliquer pourquoi les solutions de $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ sont les abscisses des points communs aux deux courbes. Combien cette équation a-t-elle de solutions ? Les lire.
3)
Résoudre $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ par le calcul.

Corrigé

1)
Voir la figure.
2)
$x^{2} - 2 x - 3 = 0 ⟺ x^{2} = 2 x + 3$ : les solutions sont les abscisses des points communs à la parabole et à la droite. Il y en a deux ; on lit $- 1$ et $3$ .
3)
$Δ = 4 + 12 = 16$ , donc $x = \frac{2 \pm 4}{2}$ . $S = {- 1; 3}$
On vérifie : $(- 1)^{2} = 1 = 2 \times (- 1) + 3$ et $3^{2} = 9 = 2 \times 3 + 3$ .

Exercice 9 — Un programme Python

La fonction racines renvoie la liste des solutions de $a x^{2} + b x + c = 0$ .

from math import sqrt

def racines(a, b, c):
    d = b*b - 4*a*c
    if d < 0:
        return []
    if d == 0:
        return [-b/(2*a)]
    r = sqrt(d)
    return [(-b - r)/(2*a), (-b + r)/(2*a)]

1)
Que représente la variable d ? Que renvoie la fonction selon son signe ?
2)
Saisir ce programme, puis le tester sur les six équations de l'exercice 6 : retrouve-t-on les résultats obtenus à la main ?
3)
Que se passe-t-il avec racines(0, 3, -12) ? Pourquoi ? Quelle est pourtant la solution de $3 x - 12 = 0$ ?
4)
Comparer racines(1, 6, 9) et racines(0.2, 1.2, 1.8). Le second trinôme vaut $0, 2 (x + 3)^{2}$ : quelle réponse attendait-on ? Pourquoi un test d'égalité est-il fragile avec des nombres à virgule ?

Corrigé

1)
d est le discriminant $Δ$ . Si d < 0, la fonction renvoie une liste vide (aucune solution) ; si d == 0, la seule racine $- \frac{b}{2 a}$ ; sinon, les deux racines.
2)
On retrouve l'exercice 6 : [-4.0, 3.0] ; [] ; [3.0] ; [-3.0, 7.0] ; avec $(- 3; - 1; 2)$ : [0.666..., -1.0] ; avec $(- 2; 5; 1)$ : [2.686..., -0.186...], valeurs approchées de $\frac{5 + 33}{4}$ et de $\frac{5 - 33}{4}$ .
3)
Ici $Δ = 9 > 0$ et le programme divise par $2 a = 0$ : erreur de division par zéro. Avec $a = 0$ , l'équation n'est pas du second degré et les formules ne s'appliquent pas. Pourtant $3 x - 12 = 0 ⟺ x = 4$ .
4)
racines(1, 6, 9) renvoie [-3.0] : $Δ = 0$ exactement. Pour $0, 2 (x + 3)^{2}$ on attendait aussi $- 3$ , mais le programme renvoie [] : les nombres à virgule sont enregistrés en valeur approchée, d vaut environ $- 2, 2 \times 1 0^{- 16}$ au lieu de $0$ , et le test d < 0 est vrai.

→ Le résultat exact peut dépendre de la machine ; l'essentiel est de comprendre qu'un test d'égalité sur des nombres à virgule calculés est fragile.

III Factorisation du trinôme

Exercice 10 — Factoriser un trinôme

Écrire chaque trinôme comme un produit de facteurs.

1)
$f (x) = x^{2} + 3 x - 10$
2)
$g (x) = 3 x^{2} - 10 x + 3$
3)
$h (x) = - 2 x^{2} + 3 x + 5$
4)
$k (x) = - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} x + 2$

Corrigé

1)
$Δ = 9 + 40 = 49$ , racines $\frac{- 3 \pm 7}{2}$ , soit $2$ et $- 5$ : $f (x) = (x - 2) (x + 5)$
2)
$Δ = 100 - 36 = 64$ , racines $\frac{10 \pm 8}{6}$ , soit $3$ et $\frac{1}{3}$ : $g (x) = 3 (x - 3) (x - \frac{1}{3}) = (x - 3) (3 x - 1)$
3)
$Δ = 9 + 40 = 49$ , racines $\frac{- 3 \pm 7}{- 4}$ , soit $- 1$ et $\frac{5}{2}$ : $h (x) = - 2 (x + 1) (x - \frac{5}{2}) = - (x + 1) (2 x - 5)$
4)
$3$ est racine évidente ( $- 3 + 1 + 2 = 0$ ). On met $a = - \frac{1}{3}$ en facteur : $k (x) = - \frac{1}{3} (x^{2} - x - 6)$ , donc $S = 1$ et l'autre racine est $1 - 3 = - 2$ : $k (x) = - \frac{1}{3} (x - 3) (x + 2)$

→ On n'oublie pas le facteur $a$ ; contrôle par le terme constant : en 3), $- 2 \times (- 1) \times \frac{5}{2} = 5$ .

Exercice 11 — Factoriser, ou prouver que c'est impossible

Pour chaque trinôme, donner une forme factorisée ou démontrer qu'il ne se factorise pas.

A $=$
$x^{2} + 2 x + 2$
B $=$
$x^{2} + 8 x + 16$
C $=$
$3 x^{2} - 5 x + 2$
D $=$
$- x^{2} + 4 x - 7$
E $=$
$9 x^{2} + 12 x + 4$
F $=$
$2 x^{2} + 3 x + 1$

Corrigé

A :
$Δ = 4 - 8 = - 4 < 0$ : ne se factorise pas.
B :
Identité remarquable : $x^{2} + 8 x + 16 = (x + 4)^{2}$
C :
$Δ = 25 - 24 = 1$ , racines $\frac{5 \pm 1}{6}$ , soit $1$ et $\frac{2}{3}$ : $3 (x - 1) (x - \frac{2}{3}) = (x - 1) (3 x - 2)$
D :
$Δ = 16 - 28 = - 12 < 0$ : ne se factorise pas.
E :
Identité remarquable : $9 x^{2} + 12 x + 4 = (3 x + 2)^{2}$
F :
$- 1$ est racine évidente ( $2 - 3 + 1 = 0$ ) ; $S = - \frac{3}{2}$ , donc l'autre racine est $- \frac{3}{2} + 1 = - \frac{1}{2}$ : $2 (x + 1) (x + \frac{1}{2}) = (x + 1) (2 x + 1)$

Exercice 12 — Simplifier un quotient

Donner l'ensemble de définition, factoriser le numérateur et le dénominateur, puis simplifier.

1)
$A (x) = \frac{x ^{2} + x - 6}{x + 3}$
2)
$B (x) = \frac{3 x ^{2} + x - 2}{x ^{2} - 1}$

Corrigé

1)
$x + 3 = 0 ⟺ x = - 3$ : $D = R ∖ {- 3}$ . Le numérateur a pour racines $2$ (racine évidente) et $- 1 - 2 = - 3$ : $x^{2} + x - 6 = (x - 2) (x + 3)$ . Pour $x \neq = - 3$ : $A (x) = \frac{( x - 2 ) ( x + 3 )}{x + 3} = x - 2$ .
2)
$x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ : $D = R ∖ {- 1; 1}$ . Le numérateur a pour racines $- 1$ (racine évidente) et $- \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$ : $3 x^{2} + x - 2 = 3 (x + 1) (x - \frac{2}{3}) = (x + 1) (3 x - 2)$ . Pour $x \in D$ : $B (x) = \frac{( x + 1 ) ( 3 x - 2 )}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{3 x - 2}{x - 1}$ .

→ L'égalité simplifiée n'est vraie que sur $D$ : en 1), $A (- 3)$ n'existe pas, alors que $x - 2$ vaut $- 5$ en $- 3$ .

IV Somme et produit des racines

Exercice 13 — Une racine connue (1)

1)
Montrer que $- 2$ est solution de $x^{2} + 5 x + 6 = 0$ .
2)
Donner la somme $S$ et le produit $P$ des racines.
3)
En déduire l'autre solution, et la contrôler avec $P$ .

Corrigé

1)
$(- 2)^{2} + 5 \times (- 2) + 6$ vaut $4 - 10 + 6 = 0$ : $- 2$ est solution.
2)
$a = 1$ , donc $x^{2} + 5 x + 6 = x^{2} - S x + P$ : $S = - 5$ et $P = 6$ .
3)
L'autre solution est $S - (- 2) = - 5 + 2 = - 3$ ; contrôle : $(- 2) \times (- 3) = 6 = P$ .

Exercice 14 — Une racine connue (2)

1)
Montrer que $3$ est solution de $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ .
2)
Donner la somme $S$ et le produit $P$ des racines.
3)
En déduire l'autre solution, et la contrôler avec $P$ .

Corrigé

1)
$3^{2} - 7 \times 3 + 12$ vaut $9 - 21 + 12 = 0$ : $3$ est solution.
2)
$S = 7$ et $P = 12$ .
3)
L'autre solution est $7 - 3 = 4$ ; contrôle : $3 \times 4 = 12$ .

Exercice 15 — Racine évidente, puis somme

Pour chaque équation, trouver une racine évidente parmi $1$ , $- 1$ , $2$ , $- 2$ … puis l'autre racine avec la somme $S = - \frac{b}{a}$ .

1)
$x^{2} - 6 x + 5 = 0$
2)
$4 x^{2} + x - 5 = 0$
3)
$7 x^{2} - 9 x + 2 = 0$
4)
$3 x^{2} + 8 x + 5 = 0$

Corrigé

1)
$1 - 6 + 5 = 0$ : $x_{1} = 1$ ; $S = 6$ , donc $x_{2} = 5$ .
2)
$4 + 1 - 5 = 0$ : $x_{1} = 1$ ; $S = - \frac{1}{4}$ , donc $x_{2} = - \frac{1}{4} - 1 = - \frac{5}{4}$ .
3)
$7 - 9 + 2 = 0$ : $x_{1} = 1$ ; $S = \frac{9}{7}$ , donc $x_{2} = \frac{9}{7} - 1 = \frac{2}{7}$ .
4)
$3 - 8 + 5 = 0$ en $x = - 1$ : $x_{1} = - 1$ ; $S = - \frac{8}{3}$ , donc $x_{2} = - \frac{8}{3} + 1 = - \frac{5}{3}$ .

→ Si $a + b + c = 0$ , alors $1$ est racine ; si $a - b + c = 0$ , c'est $- 1$ .

Exercice 16 — Sans discriminant

Résoudre chaque équation sans calculer de discriminant : racine évidente, puis somme ou produit.

1)
$x^{2} - 10 x + 9 = 0$
2)
$- 2 x^{2} + 3 x + 5 = 0$
3)
$x^{2} + 4 x - 12 = 0$
4)
$x^{2} + 7 x + 6 = 0$
5)
$x^{2} - 9 x + 18 = 0$
6)
$x^{2} + x 2 - 4 = 0$

Corrigé

1)
$x_{1} = 1$ ( $1 - 10 + 9 = 0$ ), $S = 10$ : $S = {1; 9}$
2)
$x_{1} = - 1$ ( $- 2 - 3 + 5 = 0$ ), $S = - \frac{3}{- 2} = \frac{3}{2}$ , donc $x_{2} = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$ : $S = {- 1; \frac{5}{2}}$
3)
$x_{1} = 2$ ( $4 + 8 - 12 = 0$ ), $S = - 4$ : $S = {- 6; 2}$
4)
$x_{1} = - 1$ ( $1 - 7 + 6 = 0$ ), $S = - 7$ : $S = {- 6; - 1}$
5)
$x_{1} = 3$ ( $9 - 27 + 18 = 0$ ), $S = 9$ : $S = {3; 6}$
6)
$x_{1} = 2$ ( $2 + 2 - 4 = 0$ ), $S = - 2$ , donc $x_{2} = - 2 - 2 = - 22$ : $S = {- 22; 2}$

→ En 6), le $2$ de l'équation invite à essayer $2$ et $- 2$ . Contrôle par le produit : $2 \times (- 22) = - 4 = \frac{c}{a}$ .

Exercice 17 — Calculer sans résoudre

On note $x_{1}$ et $x_{2}$ les racines de $2 x^{2} - 9 x + 4 = 0$ , sans les calculer.

1)
Justifier que ces racines existent, puis donner $S = x_{1} + x_{2}$ et $P = x_{1} x_{2}$ .
2)
Calculer $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$ à l'aide de $S$ et $P$ .
3)
Développer $S^{2}$ , puis en déduire $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ .

Corrigé

1)
$Δ = 81 - 32 = 49 > 0$ : il y a bien deux racines. $S = - \frac{b}{a} = \frac{9}{2}$ et $P = \frac{c}{a} = 2$ .
2)
$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$
$= \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}} = \frac{S}{P}$
$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$
$= \frac{9}{2} \times \frac{1}{2}$
$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$
$= \frac{9}{4}$
3)
$S^{2} = x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}$ , donc :

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$
$= S^{2} - 2 P$
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$
$= \frac{81}{4} - \frac{16}{4}$
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$
$= \frac{65}{4}$

→ Contrôle : les racines sont $\frac{1}{2}$ et $4$ ; $2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$ et $\frac{1}{4} + 16 = \frac{65}{4}$ .

Exercice 18 — Signe des racines

Sans calculer les racines, donner leur signe à l'aide de $S$ et $P$ .

1)
$x^{2} - 9 x + 14 = 0$
2)
$x^{2} + 2 x - 15 = 0$
3)
$3 x^{2} + 10 x + 3 = 0$

Corrigé

On vérifie d'abord que $Δ > 0$ . Si $P < 0$ , les racines sont de signes contraires ; si $P > 0$ , elles ont le même signe, celui de $S$ .

1)
$Δ = 81 - 56 = 25 > 0$ ; $P = 14 > 0$ et $S = 9 > 0$ : deux racines positives ( $2$ et $7$ ).
2)
$Δ = 4 + 60 = 64 > 0$ ; $P = - 15 < 0$ : deux racines de signes contraires ( $- 5$ et $3$ ).
3)
$Δ = 100 - 36 = 64 > 0$ ; $P = \frac{3}{3} = 1 > 0$ et $S = - \frac{10}{3} < 0$ : deux racines négatives ( $- 3$ et $- \frac{1}{3}$ ).

V Signe du trinôme et inéquations

Exercice 19 — Tableau de signes

Dresser le tableau de signes de chaque trinôme.

A $=$
$x^{2} - 6 x + 8$
B $=$
$- 3 x^{2} + 9 x - 6$
C $=$
$x^{2} - 4 x + 6$
D $=$
$- x^{2} - 4 x - 4$

Corrigé

A :
Racines $2$ et $4$ ( $4 - 12 + 8 = 0$ , $S = 6$ ), $a = 1 > 0$ :
B :
$- 3 x^{2} + 9 x - 6 = - 3 (x^{2} - 3 x + 2)$ : racines $1$ et $2$ , $a = - 3 < 0$ :
C :
$Δ = 16 - 24 = - 8 < 0$ : toujours du signe de $a = 1 > 0$ .
D :
$- x^{2} - 4 x - 4 = - (x + 2)^{2}$ : $Δ = 0$ , racine double $- 2$ , $a < 0$ :

Exercice 20 — Inéquations du second degré

Résoudre :

1)
$x^{2} - 7 x + 10 > 0$
2)
$x^{2} + 2 x - 24 < 0$
3)
$p^{2} - p - 30 ⩽ 0$
4)
$x^{2} + 3 x + 4 < 0$
5)
$2 x^{2} - 12 x + 18 > 0$
6)
$- 3 x^{2} + 2 x + 2 > 0$

Corrigé

1)
$Δ = 49 - 40 = 9$ , racines $\frac{7 \pm 3}{2}$ , soit $2$ et $5$ ; $a > 0$ : positif à l'extérieur. $S =] - \infty; 2 [\cup] 5; + \infty [$
2)
Racines $4$ (racine évidente) et $- 2 - 4 = - 6$ ; $a > 0$ : négatif entre les racines. $S =] - 6; 4 [$
3)
$Δ = 1 + 120 = 121$ , racines $\frac{1 \pm 11}{2}$ , soit $- 5$ et $6$ ; $a > 0$ : $S = [- 5; 6]$ (crochets fermés : $⩽$ ).
4)
$Δ = 9 - 16 = - 7 < 0$ : le trinôme est toujours strictement positif. $S = \emptyset$
5)
$2 x^{2} - 12 x + 18 = 2 (x - 3)^{2}$ , strictement positif sauf en $3$ : $S = R ∖ {3}$
6)
$Δ = 4 + 24 = 28$ et $28 = 27$ : racines $\frac{- 2 \pm 2 7}{- 6}$ , soit $\frac{1 - 7}{3}$ et $\frac{1 + 7}{3}$ ; $a = - 3 < 0$ : positif entre les racines. $S =] \frac{1 - 7}{3}; \frac{1 + 7}{3} [$

→ En 4) et 5), on ne conclut pas trop vite « pas de racine, donc pas de solution » : c'est le signe de $a$ qui décide.

Exercice 21 — Position d'une parabole et d'une droite

On note $C_{f}$ la courbe de $f (x) = x^{2} + 2 x + 3$ et $D_{g}$ la droite d'équation $y = 4 x + 2$ .

1)
Résoudre $f (x) = 4 x + 2$ . Que peut-on dire des points communs à $C_{f}$ et $D_{g}$ ?
2)
Étudier le signe de $f (x) - (4 x + 2)$ .
3)
En déduire la position de $C_{f}$ par rapport à $D_{g}$ .

Corrigé

1)
$f (x) = 4 x + 2$
$⟺ x^{2} + 2 x + 3 - 4 x - 2 = 0$
$⟺ x^{2} - 2 x + 1 = 0$
$⟺ (x - 1)^{2} = 0$

Un seul point commun, d'abscisse $1$ et d'ordonnée $4 \times 1 + 2 = 6$ .
2)
$f (x) - (4 x + 2) = (x - 1)^{2}$ : positif ou nul, nul seulement en $1$ .
3)
$f (x) ⩾ 4 x + 2$ pour tout réel $x$ : $C_{f}$ est au-dessus de $D_{g}$ ; elles se touchent au point $(1; 6)$ .

→ La droite est tangente à la parabole en $(1; 6)$ : c'est le cas $Δ = 0$ .

VI Représentation graphique

Exercice 22 — Sommet, racines, allure

Pour chaque fonction : orientation de la parabole, sommet $S (α; β)$ , racines éventuelles, puis allure de la courbe dans un repère.

A $=$
$x^{2} + 4 x + 3$
B $=$
$- x^{2} + 4 x - 3$
C $=$
$x^{2} - 4 x + 5$
D $=$
$- 2 x^{2} - 4 x$

Corrigé

A :
$a = 1 > 0$ : vers le haut. $α = - 2$ et $β = 4 - 8 + 3 = - 1$ : $S (- 2; - 1)$ . $Δ = 4$ : racines $- 3$ et $- 1$ .
B :
$a = - 1 < 0$ : vers le bas. $α = - \frac{4}{- 2} = 2$ et $β = - 4 + 8 - 3 = 1$ : $S (2; 1)$ . $Δ = 4$ : racines $1$ et $3$ .
C :
$a = 1 > 0$ : vers le haut. $α = 2$ et $β = 4 - 8 + 5 = 1$ : $S (2; 1)$ . $Δ = - 4 < 0$ : aucune racine.
D :
$a = - 2 < 0$ : vers le bas. $α = - \frac{- 4}{- 4} = - 1$ et $β = - 2 + 4 = 2$ : $S (- 1; 2)$ . $- 2 x^{2} - 4 x = - 2 x (x + 2)$ : racines $- 2$ et $0$ .

→ En C, sans racine, on place le sommet, puis $(0; 5)$ et son symétrique $(4; 5)$ par rapport à la droite $x = 2$ .

Exercice 23 — Utiliser la symétrie

Soit $f$ définie sur $R$ par $f (x) = x^{2} - 6 x + 8$ .

1)
Calculer $α$ , $β$ et les racines de $f$ .
2)
Calculer $f (0)$ . Quel point de la parabole est le symétrique de $(0; f (0))$ par rapport à la droite $x = α$ ? Le vérifier par un calcul.
3)
Placer ces points dans un repère, puis tracer l'allure de la parabole.

Corrigé

1)
$α$
$= \frac{6}{2} = 3$
$β$
$= f (3) = 9 - 18 + 8$
$β$
$= - 1$

$2$ est racine évidente ( $4 - 12 + 8 = 0$ ) et $S = 6$ : racines $2$ et $4$ .
2)
$f (0) = 8$ . Le symétrique de $(0; 8)$ par rapport à la droite $x = 3$ a pour abscisse $3 + 3 = 6$ : c'est $(6; 8)$ ; en effet $f (6) = 36 - 36 + 8 = 8$ .
3)
Voir la figure : $S (3; - 1)$ , $(2; 0)$ , $(4; 0)$ , $(0; 8)$ et $(6; 8)$ .

Exercice 24 — Retrouver un trinôme

Une parabole coupe l'axe des abscisses en $- 1$ et en $3$ ; son sommet est $S (1; - 8)$ .

1)
Vérifier que l'abscisse du sommet est le milieu des racines.
2)
Le trinôme s'écrit $a (x + 1) (x - 3)$ . Trouver $a$ à l'aide du sommet.
3)
Écrire le trinôme sous forme développée, et contrôler avec le sommet.

Corrigé

1)
$\frac{- 1 + 3}{2} = 1$ : l'abscisse du sommet est bien le milieu des racines.
2)
Le sommet est sur la parabole : $a (1 + 1) (1 - 3) = - 8$ , soit $- 4 a = - 8$ , donc $a = 2$ .
3)
$2 (x + 1) (x - 3) = 2 (x^{2} - 2 x - 3) = 2 x^{2} - 4 x - 6$ ; contrôle : $2 - 4 - 6 = - 8$ .

Exercice 25 — Le jet d'une fontaine

Le jet d'eau d'une fontaine suit une parabole. Dans le repère ci-dessous, $x$ est la distance horizontale (en m) et $y$ la hauteur du jet au-dessus du bassin (en m). Cette parabole est la courbe d'un trinôme $P (x) = a x^{2} + b x + c$ .

1)
Lire les racines $x_{1}$ et $x_{2}$ de $P$ . Que représentent-elles pour le jet ?
2)
Lire les coordonnées $(α; β)$ du sommet. Que représente $β$ ?
3)
Vérifier que $α$ est le milieu de $x_{1}$ et $x_{2}$ .
4)
Quel est le signe de $a$ ? Justifier.

Corrigé

1)
La parabole coupe l'axe des abscisses en $1$ et en $5$ : $x_{1} = 1$ et $x_{2} = 5$ . Le jet sort du bassin à $1$ m de l'origine et y retombe à $5$ m.
2)
Le sommet est le point $(3; 2)$ : $α = 3$ et $β = 2$ . $β$ est la hauteur maximale du jet, $2$ m.
3)
$\frac{1 + 5}{2} = 3 = α$ .
4)
La parabole est tournée vers le bas (le trinôme a un maximum) : $a$ est strictement négatif.

→ On lit les racines sur l'axe des abscisses, le sommet au point le plus haut ; le sens de la parabole donne le signe de $a$ .

Exercice 26 — À chaque parabole sa fonction

Le graphique ci-dessous montre $5$ paraboles $C_{1}$ , …, $C_{5}$ . Associer à chaque fonction sa parabole, en justifiant.

a)
$f_{1} (x) = - x^{2} - 2 x - 2$
b)
$f_{2} (x) = x^{2} - 2 x + 2$
c)
$f_{3} (x) = 2 x^{2} + 5 x + 2$
d)
$f_{4} (x) = - 2 x^{2} + 3 x + 2$
e)
$f_{5} (x) = x^{2} - x + \frac{1}{4}$

Corrigé

On utilise le signe de $a$ (orientation), celui de $Δ$ (nombre de points sur l'axe des abscisses), le point $(0; c)$ et le sommet.

a)
$f_{1}$ : $a < 0$ et $Δ = 4 - 8 = - 4 < 0$ : vers le bas, entièrement sous l'axe, sommet $(- 1; - 1)$ : c'est $C_{3}$ .
b)
$f_{2}$ : $a > 0$ et $Δ = 4 - 8 = - 4 < 0$ : vers le haut, entièrement au-dessus de l'axe, sommet $(1; 1)$ : c'est $C_{2}$ .
c)
$f_{3}$ : $a > 0$ et $Δ = 25 - 16 = 9$ : vers le haut, coupe l'axe en $- 2$ et $- \frac{1}{2}$ : c'est $C_{5}$ .
d)
$f_{4}$ : $a < 0$ et $Δ = 9 + 16 = 25$ : vers le bas, coupe l'axe en $- \frac{1}{2}$ et $2$ : c'est $C_{1}$ .
e)
$f_{5} (x) = (x - \frac{1}{2})^{2}$ : $Δ = 0$ , vers le haut, touche l'axe en $\frac{1}{2}$ : c'est $C_{4}$ .

→ Trois paraboles passent par $(0; 2)$ : ce sont l'orientation et les racines qui les distinguent.

VII Variations de la fonction trinôme

Exercice 27 — Variations et forme canonique

Dresser le tableau de variations de chaque fonction, définie sur $R$ .

1)
$f (x) = 3 (x - 2)^{2} + 1$
2)
$g (x) = - 2 (x + 3)^{2} + 4$
3)
$h (x) = x (x + 6)$

Corrigé

1)
$a = 3 > 0$ , $α = 2$ et $β = 1$ : minimum $1$ en $2$ .
2)
$a = - 2 < 0$ , $α = - 3$ et $β = 4$ : maximum $4$ en $- 3$ .
3)
$h (x) = x^{2} + 6 x$ : $a = 1 > 0$ . Racines $- 6$ et $0$ , donc $α = \frac{- 6 + 0}{2} = - 3$ , et $β = h (- 3)$ , soit $β = - 3 \times 3 = - 9$ : minimum $- 9$ en $- 3$ .

→ Dans $a (x - α)^{2} + β$ , attention au signe : $(x + 3)^{2} = (x - (- 3))^{2}$ donne $α = - 3$ .

Exercice 28 — Variations par $α$ et $β$

Pour chaque trinôme, calculer $α$ et $β$ , puis dresser son tableau de variations.

A $=$
$x^{2} + 6 x + 7$
B $=$
$- x^{2} + 4 x + 5$
C $=$
$3 x^{2} - 12 x + 5$
D $=$
$- \frac{1}{2} x^{2} - 2 x$

Corrigé

A :
$α = - 3$ , $β = 9 - 18 + 7 = - 2$ , $a > 0$ : décroissante puis croissante, minimum $- 2$ en $- 3$ .
B :
$α = - \frac{4}{- 2} = 2$ , $β = - 4 + 8 + 5 = 9$ , $a < 0$ : croissante puis décroissante, maximum $9$ en $2$ .
C :
$α = \frac{12}{6} = 2$ , $β = 12 - 24 + 5 = - 7$ , $a > 0$ : décroissante puis croissante, minimum $- 7$ en $2$ .
D :
$α = - \frac{- 2}{2 \times ( - \frac{1}{2} )} = - 2$ , $β = - 2 + 4 = 2$ , $a < 0$ : croissante puis décroissante, maximum $2$ en $- 2$ .

Exercice 29 — Un maximum

Soit $f$ définie sur $R$ par $f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 10$ .

1)
Écrire $f (x)$ sous forme canonique.
2)
En déduire que $f (x) ⩽ 2$ pour tout réel $x$ . Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $f (x) = 2$ ?

Corrigé

1)
$f (x)$
$= - 3 (x^{2} - 4 x) - 10$
$f (x)$
$= - 3 [(x - 2)^{2} - 4] - 10$
$f (x)$
$= - 3 (x - 2)^{2} + 2$
2)
$- 3 (x - 2)^{2} ⩽ 0$ , donc $f (x) ⩽ 2$ pour tout réel $x$ ; et $f (2) = 2$ : le maximum de $f$ est $2$ , atteint pour $x = 2$ .

Exercice 30 — Étude complète d'un trinôme

Soit $f$ définie sur $R$ par $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ .

1)
Trouver les racines de $f$ , puis écrire $f (x)$ sous forme factorisée.
2)
Calculer $α$ et $β$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ .
3)
Vérifier que $α$ est le milieu des deux racines.
4)
Dresser le tableau de signes de $f$ , puis tracer l'allure de sa courbe.

Corrigé

1)
$- 1$ est racine évidente ( $- 1 - 2 + 3 = 0$ ) et $S = - \frac{2}{- 1} = 2$ : racines $- 1$ et $3$ , donc $f (x) = - (x + 1) (x - 3)$ .
2)
$α$
$= - \frac{2}{- 2} = 1$
$β$
$= f (1) = - 1 + 2 + 3$
$β$
$= 4$

$a < 0$ :
3)
$\frac{- 1 + 3}{2} = 1 = α$ .
4)

VIII Équations se ramenant au second degré

Exercice 31 — Développer, puis résoudre

Résoudre dans $R$ :

1)
$(x + 1) (x - 4) = 6$
2)
$(3 x + 1)^{2} = 16$
3)
$x (x - 4) = - 3$
4)
$(2 x + 3)^{2} = (x + 3)^{2}$
5)
$(x - 3)^{2} = x + 3$
6)
$(x + 4) (x - 4) = 6 x + 11$

Corrigé

1)
$x^{2} - 3 x - 4 = 6 ⟺ x^{2} - 3 x - 10 = 0$ ; $Δ = 49$ , $x = \frac{3 \pm 7}{2}$ . $S = {- 2; 5}$
2)
$(3 x + 1)^{2} = 16$
$⟺ 3 x + 1 = 4 ou 3 x + 1 = - 4$
$⟺ x = 1 ou x = - \frac{5}{3}$

$S = {- \frac{5}{3}; 1}$
3)
$x^{2} - 4 x + 3 = 0$ : $x_{1} = 1$ ( $1 - 4 + 3 = 0$ ), $S = 4$ , donc $x_{2} = 3$ . $S = {1; 3}$
4)
$4 x^{2} + 12 x + 9 = x^{2} + 6 x + 9$
$⟺ 3 x^{2} + 6 x = 0$
$⟺ 3 x (x + 2) = 0$

$S = {- 2; 0}$
5)
$x^{2} - 6 x + 9 = x + 3 ⟺ x^{2} - 7 x + 6 = 0$ : racines $1$ et $6$ . $S = {1; 6}$
6)
$x^{2} - 16 = 6 x + 11 ⟺ x^{2} - 6 x - 27 = 0$ ; $Δ = 144$ , $x = \frac{6 \pm 12}{2}$ . $S = {- 3; 9}$

→ En 2), pas besoin de développer : $A^{2} = 16 ⟺ A = 4$ ou $A = - 4$ . En 4), le terme constant disparaît : facteur commun, pas de discriminant.

Exercice 32 — Un seul quotient

Donner l'ensemble de définition, puis résoudre :

1)
$\frac{12}{x} = x + 1$
2)
$\frac{6}{x - 1} = x$
3)
$\frac{x + 10}{x} = x - 2$
4)
$x + \frac{8}{x} = 6$

Corrigé

1)
$D = R ∖ {0}$ . $12 = x^{2} + x ⟺ x^{2} + x - 12 = 0$ ; $Δ = 49$ : racines $- 4$ et $3$ , dans $D$ . $S = {- 4; 3}$
2)
$D = R ∖ {1}$ . $6 = x^{2} - x ⟺ x^{2} - x - 6 = 0$ ; $Δ = 25$ : racines $- 2$ et $3$ , dans $D$ . $S = {- 2; 3}$
3)
$D = R ∖ {0}$ . $x + 10 = x^{2} - 2 x ⟺ x^{2} - 3 x - 10 = 0$ ; $Δ = 49$ : racines $- 2$ et $5$ , dans $D$ . $S = {- 2; 5}$
4)
$D = R ∖ {0}$ . $x^{2} + 8 = 6 x ⟺ x^{2} - 6 x + 8 = 0$ : racines $2$ et $4$ , dans $D$ . $S = {2; 4}$

Exercice 33 — Équations avec quotients

Résoudre dans $R$ :

1)
$\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{x - 3} = 2 x - 5$
2)
$\frac{2}{x} + \frac{2}{x - 3} = 1$
3)
$\frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x - 3} = \frac{3}{2}$
4)
$\frac{2 x ^{2} + 9 x + 10}{x + 2} = x + 3$

Corrigé

1)
$D = R ∖ {3}$ . $x^{2} - 6 x + 9 = (2 x - 5) (x - 3) ⟺ x^{2} - 5 x + 6 = 0$ : racines $2$ et $3$ , mais $3 \in / D$ . $S = {2}$
2)
$D = R ∖ {0; 3}$ . On multiplie par $x (x - 3)$ :

$2 (x - 3) + 2 x = x (x - 3)$
$⟺ 4 x - 6 = x^{2} - 3 x$
$⟺ x^{2} - 7 x + 6 = 0$

Racines $1$ et $6$ , dans $D$ . $S = {1; 6}$
3)
$D = R ∖ {- 2; 3}$ . On multiplie par $2 (x + 2) (x - 3)$ :

$2 (x - 3) - 4 (x + 2) = 3 (x + 2) (x - 3)$
$⟺ - 2 x - 14 = 3 x^{2} - 3 x - 18$
$⟺ 3 x^{2} - x - 4 = 0$

$Δ = 1 + 48 = 49$ : $x = \frac{1 \pm 7}{6}$ , soit $\frac{4}{3}$ et $- 1$ , dans $D$ . $S = {- 1; \frac{4}{3}}$
4)
$D = R ∖ {- 2}$ .

$2 x^{2} + 9 x + 10 = (x + 3) (x + 2)$
$⟺ x^{2} + 4 x + 4 = 0$
$⟺ (x + 2)^{2} = 0$

La seule valeur est $- 2$ , qui n'est pas dans $D$ . $S = \emptyset$

→ En 1), plus rapide : $\frac{( x - 3 ) ^{2}}{x - 3} = x - 3$ sur $D$ , donc $x - 3 = 2 x - 5 ⟺ x = 2$ . Contrôle en 3) avec $\frac{4}{3}$ : $\frac{3}{10} + \frac{6}{5} = \frac{3}{2}$ .

IX Inéquations se ramenant au second degré

Exercice 34 — Développer, puis résoudre

Résoudre :

1)
$(x + 1) (x + 3) ⩽ 2 x + 6$
2)
$(3 x + 1)^{2} < (x + 3)^{2}$
3)
$x (x - 4) ⩾ 5$
4)
$(x + 2)^{2} > 9$

Corrigé

1)
$x^{2} + 4 x + 3 ⩽ 2 x + 6 ⟺ x^{2} + 2 x - 3 ⩽ 0$ : racines $- 3$ et $1$ , $a > 0$ . $S = [- 3; 1]$
2)
$9 x^{2} + 6 x + 1 < x^{2} + 6 x + 9$
$⟺ 8 x^{2} - 8 < 0$
$⟺ 8 (x - 1) (x + 1) < 0$

$S =] - 1; 1 [$
3)
$x^{2} - 4 x - 5 ⩾ 0$ : racines $- 1$ et $5$ , $a > 0$ . $S =] - \infty; - 1] \cup [5; + \infty [$
4)
$x^{2} + 4 x + 4 > 9 ⟺ x^{2} + 4 x - 5 > 0$ : racines $- 5$ et $1$ . $S =] - \infty; - 5 [\cup] 1; + \infty [$

Exercice 35 — Signe d'un quotient

Donner l'ensemble de définition, puis résoudre :

1)
$\frac{2 x - 6}{x + 1} ⩽ 0$
2)
$\frac{x ^{2} - 1}{x + 2} ⩾ 0$
3)
$\frac{x ^{2} + x - 6}{x ^{2} - 4 x + 3} > 0$
4)
$\frac{x ^{2} - 5 x + 4}{x - 2} < 0$

Corrigé

1)
$D = R ∖ {- 1}$ .

$S =] - 1; 3]$ ( $- 1$ exclue : valeur interdite).
2)
$D = R ∖ {- 2}$ ; $x^{2} - 1$ a pour racines $- 1$ et $1$ .

$S =] - 2; - 1] \cup [1; + \infty [$
3)
Dénominateur : racines $1$ (racine évidente) et $4 - 1 = 3$ , donc $D = R ∖ {1; 3}$ . Numérateur : racines $2$ (racine évidente) et $- 1 - 2 = - 3$ .

$S =] - \infty; - 3 [\cup] 1; 2 [\cup] 3; + \infty [$
4)
$D = R ∖ {2}$ ; le numérateur a pour racines $1$ et $4$ .

$S =] - \infty; 1 [\cup] 2; 4 [$

Exercice 36 — Tout dans un membre

Résoudre $\frac{x + 2}{2 - x} ⩾ 3 x + 1$ .

On ne multipliera pas par un dénominateur dont on ignore le signe.

Corrigé

$D = R ∖ {2}$ . On ramène tout dans un membre :

\frac{x + 2}{2 - x} - (3 x + 1) ⩾ 0

⟺ \frac{x + 2 - ( 3 x + 1 ) ( 2 - x )}{2 - x} ⩾ 0

⟺ \frac{3 x ^{2} - 4 x}{2 - x} ⩾ 0

⟺ \frac{x ( 3 x - 4 )}{2 - x} ⩾ 0

$S =] - \infty; 0] \cup [\frac{4}{3}; 2 [$

→ Erreur classique : multiplier par $2 - x$ sans connaître son signe. Contrôle avec $x = 3$ , hors de $S$ : $\frac{5}{- 1} = - 5$ , qui n'est pas $⩾ 10$ .

X Problèmes

Pour chaque problème : choisir l'inconnue et dire ce qu'elle représente, mettre en équation, résoudre, puis revenir à l'énoncé et répondre par une phrase.

Exercice 37 — Le nombre mystère

Le carré d'un nombre positif, diminué de son triple, vaut $40$ . Quel est ce nombre ?

Corrigé

Soit $x ⩾ 0$ le nombre : $x^{2} - 3 x = 40 ⟺ x^{2} - 3 x - 40 = 0$ . $Δ = 9 + 160 = 169$ et $169 = 13$ , donc $x = \frac{3 \pm 13}{2}$ , soit $8$ ou $- 5$ . Le nombre est positif : c'est $8$ ( $64 - 24 = 40$ ).

Exercice 38 — Une voile d'ombrage

Une voile d'ombrage a la forme d'un triangle rectangle. L'un des côtés de l'angle droit mesure $2$ m de plus que l'autre, et l'aire de la voile est de $12 m^{2}$ . Quelles sont les longueurs des côtés de l'angle droit ?

Corrigé

Soit $x > 0$ le plus petit côté de l'angle droit, en m ; l'autre mesure $x + 2$ . $\frac{x ( x + 2 )}{2} = 12 ⟺ x^{2} + 2 x - 24 = 0$ ; $Δ = 4 + 96 = 100$ , donc $x = \frac{- 2 \pm 10}{2}$ , soit $4$ ou $- 6$ . Comme $x > 0$ : $4$ m et $6$ m ( $\frac{4 \times 6}{2} = 12$ ).

Exercice 39 — Agrandir une photo

On agrandit une photo carrée en ajoutant $12$ cm à son côté : son aire est alors multipliée par $4$ . Quel était le côté de la photo de départ ?

Corrigé

Soit $c > 0$ le côté de départ, en cm : $(c + 12)^{2} = 4 c^{2} ⟺ 3 c^{2} - 24 c - 144 = 0 ⟺ c^{2} - 8 c - 48 = 0$ ; $Δ = 64 + 192 = 256$ , donc $c = \frac{8 \pm 16}{2}$ , soit $12$ ou $- 4$ . Le côté mesurait $12$ cm ( $2 4^{2} = 576 = 4 \times 144$ ).

→ Plus rapide : $(c + 12)^{2} = (2 c)^{2}$ avec des longueurs positives, donc $c + 12 = 2 c$ .

Exercice 40 — La bordure d'une tablette

L'écran d'une tablette mesure $24$ cm sur $16$ cm. Il est entouré d'une bordure de largeur constante $x$ . La face avant de la tablette a une aire de $560 cm^{2}$ .

Trouver la largeur $x$ de la bordure.

Corrigé

Soit $x > 0$ la largeur de la bordure, en cm. La tablette mesure $24 + 2 x$ sur $16 + 2 x$ :

(24 + 2 x) (16 + 2 x) = 560

⟺ 4 x^{2} + 80 x + 384 = 560

⟺ x^{2} + 20 x - 44 = 0

$Δ = 400 + 176 = 576$ et $576 = 24$ , donc $x = \frac{- 20 \pm 24}{2}$ , soit $2$ ou $- 22$ . La bordure mesure $2$ cm de large ( $28 \times 20 = 560$ ).

→ La bordure s'ajoute des deux côtés : $24 + 2 x$ , et non $24 + x$ .

Exercice 41 — Des vélos reconditionnés

Un atelier remet en état et vend $x$ vélos électriques par mois, avec $0 ⩽ x ⩽ 40$ . Son bénéfice mensuel, en euros, est

B (x) = - 10 x^{2} + 400 x - 3000

1)
Calculer $B (5)$ et $B (12)$ , et interpréter.
2)
Résoudre $B (x) > 0$ . Combien de vélos l'atelier doit-il vendre pour être bénéficiaire ?
3)
Pour combien de vélos vendus le bénéfice est-il maximal ? Que vaut-il ?

Corrigé

1)
$B (5) = - 250 + 2000 - 3000 = - 1250$ : perte de $1250$ euros. $B (12) = - 1440 + 4800 - 3000 = 360$ : bénéfice de $360$ euros.
2)
$B (x) = - 10 (x^{2} - 40 x + 300)$ ; $Δ = 1600 - 1200 = 400$ , racines $\frac{40 \pm 20}{2}$ , soit $10$ et $30$ . Comme $a = - 10 < 0$ , $B (x) > 0$ entre les racines : $S =] 10; 30 [$ . L'atelier est bénéficiaire de $11$ à $29$ vélos vendus.
3)
$α = - \frac{400}{2 \times ( - 10 )} = 20$ et $B (20) = - 4000 + 8000 - 3000 = 1000$ : bénéfice maximal de $1000$ euros pour $20$ vélos.

→ $20$ est le milieu des racines $10$ et $30$ .

ExercicesChapitre 3 — Le second degré

I Forme canonique

Exercice 1 — Compléter un carré (a=1)

Exercice 2 — Compléter un carré (a=1)

Exercice 3 — Forme canonique par α et β

Exercice 4 — De la forme canonique à la factorisation

II Équations du second degré

Exercice 5 — Factoriser plutôt que calculer Δ

Exercice 6 — Avec le discriminant

Exercice 7 — Des racines carrées dans les coefficients

Exercice 8 — Une parabole et une droite

Exercice 9 — Un programme Python

III Factorisation du trinôme

Exercice 10 — Factoriser un trinôme

Exercice 11 — Factoriser, ou prouver que c'est impossible

Exercice 12 — Simplifier un quotient

IV Somme et produit des racines

Exercice 13 — Une racine connue (1)

Exercice 14 — Une racine connue (2)

Exercice 15 — Racine évidente, puis somme

Exercice 16 — Sans discriminant

Exercice 17 — Calculer sans résoudre

Exercice 18 — Signe des racines

V Signe du trinôme et inéquations

Exercice 19 — Tableau de signes

Exercice 20 — Inéquations du second degré

Exercice 21 — Position d'une parabole et d'une droite

VI Représentation graphique

Exercice 22 — Sommet, racines, allure

Exercice 23 — Utiliser la symétrie

Exercice 24 — Retrouver un trinôme

Exercice 25 — Le jet d'une fontaine

Exercice 26 — À chaque parabole sa fonction

VII Variations de la fonction trinôme

Exercice 27 — Variations et forme canonique

Exercice 28 — Variations par α et β

Exercice 29 — Un maximum

Exercice 30 — Étude complète d'un trinôme

VIII Équations se ramenant au second degré

Exercice 31 — Développer, puis résoudre

Exercice 32 — Un seul quotient

Exercice 33 — Équations avec quotients

IX Inéquations se ramenant au second degré

Exercice 34 — Développer, puis résoudre

Exercice 35 — Signe d'un quotient

Exercice 36 — Tout dans un membre

X Problèmes

Exercice 37 — Le nombre mystère

Exercice 38 — Une voile d'ombrage

Exercice 39 — Agrandir une photo

Exercice 40 — La bordure d'une tablette

Exercice 41 — Des vélos reconditionnés

Exercice 1 — Compléter un carré ( $a = 1$ )

Exercice 2 — Compléter un carré ( $a \neq = 1$ )

Exercice 3 — Forme canonique par $α$ et $β$

Exercice 5 — Factoriser plutôt que calculer $Δ$

Exercice 28 — Variations par $α$ et $β$