Chapitre 3 — Le second degré · coursII Calcul de $α$ et $β$ , factorisation

Sommaire du chapitre

I — La forme canonique du trinôme
- Méthode 1 — Mettre un trinôme sous forme canonique
II — Calcul de $α$ et $β$ , factorisation
- Méthode 2 — Forme canonique par $α$ et $β$ , puis factorisation
III — Racines du trinôme et équations du second degré
- Méthode 3 — Résoudre une équation du second degré
IV — Factorisation du trinôme
- Méthode 4 — Factoriser un trinôme
V — Somme et produit des racines
- Méthode 5 — Trouver les racines sans discriminant
VI — Signe du trinôme et inéquations du second degré
- Méthode 6 — Résoudre une inéquation du second degré
VII — Représentation graphique de la fonction trinôme
- Méthode 7 — Tracer l'allure d'une parabole
VIII — Variations de la fonction trinôme
- Méthode 8 — Dresser le tableau de variations d'un trinôme
IX — Équations se ramenant au second degré
- Méthode 9 — Résoudre une équation se ramenant au second degré
X — Inéquations se ramenant au second degré
- Méthode 10 — Résoudre une inéquation se ramenant au second degré
XI — Résoudre un problème du second degré
- Méthode 11 — Résoudre un problème du second degré

Théorème 1 (complet) — Forme canonique

Tout trinôme $P (x) = a x^{2} + b x + c$ s'écrit, d'une seule façon,

P (x) = a (x - α)^{2} + β avec α = - \frac{b}{2 a} et β = P (α)

Méthode 2 — Forme canonique par $α$ et $β$ , puis factorisation

Exemples corrigés

Pour chaque trinôme, calculer $α$ et $β$ et écrire la forme canonique, puis factoriser quand c'est possible.

a)
$P (x) = x^{2} - 10 x + 16$
b)
$Q (x) = 2 x^{2} - 4 x - 6$ ( $a \neq = 1$ )
c)
$R (x) = - x^{2} + 4 x - 7$ ( $a < 0$ )

Correction

a = 1

b = - 10

c = 16

on lit

a

b

c

α

= - \frac{- 10}{2} = 5

α = - \frac{b}{2 a}

β

= P (5) = 25 - 50 + 16

β = P (α)

β

= - 9

Forme canonique :

P (x) = (x - 5)^{2} - 9

a (x - α)^{2} + β

; on retrouve la méthode 1

P (x)

= (x - 5)^{2} - 3^{2}

a > 0

β < 0

: forme

u^{2} - v^{2}

P (x)

= (x - 5 - 3) (x - 5 + 3)

(u - v) (u + v)

P (x)

= (x - 8) (x - 2)

on réduit

a = 2

b = - 4

c = - 6

α

= - \frac{- 4}{4} = 1

α = - \frac{b}{2 a}

β

= Q (1) = 2 - 4 - 6

β = Q (α)

β

= - 8

Forme canonique :

Q (x) = 2 (x - 1)^{2} - 8

Q (x)

= 2 [(x - 1)^{2} - 4]

2

en facteur

Q (x)

= 2 [(x - 1)^{2} - 2^{2}]

forme

u^{2} - v^{2}

dans le crochet

Q (x)

= 2 (x - 1 - 2) (x - 1 + 2)

(u - v) (u + v)

Q (x)

= 2 (x - 3) (x + 1)

on réduit

a = - 1

b = 4

c = - 7

α

= - \frac{4}{- 2} = 2

α = - \frac{b}{2 a}

β

= R (2) = - 4 + 8 - 7

β = R (α)

β

= - 3

Forme canonique :

R (x) = - (x - 2)^{2} - 3

a < 0

β < 0

R

ne se factorise pas.

même signe : pas de factorisation

À vous de jouer

Pour chaque trinôme, calculer $α$ et $β$ et écrire la forme canonique, puis factoriser quand c'est possible :

A (x) = x^{2} - 2 x - 8

B (x) = 3 x^{2} + 6 x - 9

C (x) = - 2 x^{2} + 8 x - 11

Correction

$A$

α

= - \frac{- 2}{2} = 1

a = 1

b = - 2

c = - 8

β

= A (1) = 1 - 2 - 8

β = A (α)

β

= - 9

A (x)

= (x - 1)^{2} - 9

forme canonique

A (x)

= (x - 1 - 3) (x - 1 + 3)

u^{2} - v^{2}

avec

v = 3

A (x)

= (x - 4) (x + 2)

on réduit

$B$

α

= - \frac{6}{6} = - 1

a = 3

b = 6

c = - 9

β

= B (- 1) = 3 - 6 - 9

β = B (α)

β

= - 12

B (x)

= 3 (x + 1)^{2} - 12

forme canonique

B (x)

= 3 [(x + 1)^{2} - 2^{2}]

3

en facteur

B (x)

= 3 (x + 1 - 2) (x + 1 + 2)

(u - v) (u + v)

B (x)

= 3 (x - 1) (x + 3)

on réduit

$C$

α

= - \frac{8}{- 4} = 2

a = - 2

b = 8

c = - 11

β

= C (2) = - 8 + 16 - 11

β = C (α)

β

= - 3

C (x)

= - 2 (x - 2)^{2} - 3

forme canonique

a < 0

β < 0

C

ne se factorise pas.

même signe : pas de factorisation

À faire : exercices 4 à 6

Exercice 4 — Forme canonique par $α$ et $β$

Pour chaque trinôme, calculer $α = - \frac{b}{2 a}$ et $β$ , écrire la forme canonique, puis la développer pour vérifier.

1)
$P (x) = x^{2} - 6 x + 1$
2)
$Q (x) = 3 x^{2} + 6 x - 2$
3)
$R (x) = - x^{2} - 4 x - 9$

Corrigé

1)
$α$
$= - \frac{- 6}{2} = 3$
$β$
$= P (3) = 9 - 18 + 1$
$β$
$= - 8$

donc $P (x) = (x - 3)^{2} - 8$ .
Vérification : $(x - 3)^{2} - 8 = x^{2} - 6 x + 9 - 8$ , soit $x^{2} - 6 x + 1$ .
2)
$α$
$= - \frac{6}{6} = - 1$
$β$
$= Q (- 1) = 3 - 6 - 2$
$β$
$= - 5$

donc $Q (x) = 3 (x + 1)^{2} - 5$ .
Vérification : $3 (x^{2} + 2 x + 1) - 5 = 3 x^{2} + 6 x - 2$ .
3)
$α$
$= - \frac{- 4}{- 2} = - 2$
$β$
$= R (- 2) = - 4 + 8 - 9$
$β$
$= - 5$

donc $R (x) = - (x + 2)^{2} - 5$ .
Vérification : $- (x^{2} + 4 x + 4) - 5 = - x^{2} - 4 x - 9$ .

→ Devant le carré, on écrit toujours $a$ : $3$ en 2), $- 1$ en 3).

Exercice 5 — De la forme canonique à la factorisation

Écrire chaque trinôme sous forme canonique en calculant $α$ et $β$ . Le factoriser avec $u^{2} - v^{2} = (u - v) (u + v)$ quand c'est possible ; sinon, expliquer pourquoi il ne se factorise pas.

A $=$
$x^{2} - 4 x - 5$
B $=$
$x^{2} + 4 x + 7$
C $=$
$2 x^{2} + x - 3$
D $=$
$- x^{2} - 2 x - 3$

Corrigé

A $=$
$x^{2} - 4 x - 5$ : $α = 2$ et $β = 4 - 8 - 5 = - 9$ .

$A$
$= (x - 2)^{2} - 9$
$A$
$= (x - 2)^{2} - 3^{2}$
$A$
$= (x - 2 - 3) (x - 2 + 3)$
$A$
$= (x - 5) (x + 1)$
B $=$
$x^{2} + 4 x + 7$ : $α = - 2$ et $β = 4 - 8 + 7 = 3$ , donc $B = (x + 2)^{2} + 3$ . Un carré est positif, donc $(x + 2)^{2} + 3 ⩾ 3 > 0$ : le trinôme ne s'annule jamais, il ne se factorise pas.
C $=$
$2 x^{2} + x - 3$ : $α = - \frac{1}{4}$ et $β = 2 \times \frac{1}{16} - \frac{1}{4} - 3 = - \frac{25}{8}$ .

$C$
$= 2 (x + \frac{1}{4})^{2} - \frac{25}{8}$
$C$
$= 2 [(x + \frac{1}{4})^{2} - (\frac{5}{4})^{2}]$
$C$
$= 2 (x + \frac{1}{4} - \frac{5}{4}) (x + \frac{1}{4} + \frac{5}{4})$
$C$
$= 2 (x - 1) (x + \frac{3}{2})$
$C$
$= (x - 1) (2 x + 3)$
D $=$
$- x^{2} - 2 x - 3$ : $α = - \frac{- 2}{- 2} = - 1$ et $β = - 1 + 2 - 3 = - 2$ , donc $D = - (x + 1)^{2} - 2$ . Comme $- (x + 1)^{2} ⩽ 0$ , on a $D ⩽ - 2 < 0$ : pas de factorisation.

→ En C, on met d'abord $2$ en facteur dans la forme canonique : $- \frac{25}{8} = 2 \times (- \frac{25}{16})$ , et $\frac{25}{16} = (\frac{5}{4})^{2}$ .

Exercice 6 — Trois formes d'un même trinôme

Soit $f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 10$ .

1)
Calculer $α$ et $β$ , puis écrire la forme canonique de $f (x)$ .
2)
En déduire une forme factorisée de $f (x)$ .
3)
Développer cette forme factorisée pour vérifier.
4)
Choisir la forme la plus commode pour calculer $f (0)$ , $f (3)$ et $f (1)$ .

Corrigé

1)
$α$
$= - \frac{- 12}{4} = 3$
$β$
$= f (3) = 18 - 36 + 10$
$β$
$= - 8$

donc $f (x) = 2 (x - 3)^{2} - 8$ .
2)
$f (x)$
$= 2 [(x - 3)^{2} - 2^{2}]$
$f (x)$
$= 2 (x - 3 - 2) (x - 3 + 2)$
$f (x)$
$= 2 (x - 5) (x - 1)$
3)
$f (x)$
$= 2 (x^{2} - x - 5 x + 5)$
$f (x)$
$= 2 (x^{2} - 6 x + 5)$
$f (x)$
$= 2 x^{2} - 12 x + 10$

On retrouve la forme développée.
4)
Forme développée : $f (0) = 10$ . Forme canonique : $f (3) = - 8$ (le carré est nul). Forme factorisée : $f (1) = 0$ (un facteur est nul).

→ Chaque forme a son usage : la développée pour $f (0)$ , la canonique pour $f (α)$ , la factorisée pour les racines.

Chapitre 3 — Le second degré · coursII Calcul de α et β, factorisation

Théorème 1 (complet) — Forme canonique

Méthode 2 — Forme canonique par α et β, puis factorisation

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 4 — Forme canonique par α et β

Exercice 5 — De la forme canonique à la factorisation

Exercice 6 — Trois formes d'un même trinôme

Chapitre 3 — Le second degré · coursII Calcul de $α$ et $β$ , factorisation

Méthode 2 — Forme canonique par $α$ et $β$ , puis factorisation

Exercice 4 — Forme canonique par $α$ et $β$