ExercicesChapitre 3 — Calcul littéral et second degré

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Sommaire

I — Développer
II — Identités remarquables
III — Équations du premier degré
IV — Équations $x^{2} = a$
V — Équations produit
VI — Fonction polynôme du second degré
VII — Forme factorisée et racines
VIII — Représentation graphique
IX — Tableaux de variations
X — Problèmes type épreuve anticipée

I Développer

Exercice 1 — Distributivité simple

Développer et réduire.

A = 5 (x + 3)

B = 4 (2 x - 7)

C = - 3 (x + 6)

D = - 2 (4 - 5 x)

E = 7 (3 - x)

F = - (x - 9)

Corrigé

A = 5 x + 15

B = 8 x - 28

C = - 3 x - 18

D = - 8 + 10 x = 10 x - 8

E = 21 - 7 x

F = - x + 9

Le facteur multiplie chaque terme : $- 2 \times (- 5 x) = + 10 x$ .

Exercice 2 — Un facteur en $x$

Développer et réduire.

A = x (x + 8)

B = 2 x (3 x - 1)

C = - x (x - 4)

D = - 4 x (2 x + 5)

E = 3 x (5 - 2 x)

Corrigé

A = x^{2} + 8 x

B = 6 x^{2} - 2 x

C = - x^{2} + 4 x

D = - 8 x^{2} - 20 x

E = 15 x - 6 x^{2}

$x \times x = x^{2}$ et $2 x \times 3 x = 6 x^{2}$ .

Exercice 3 — Double distributivité

Développer et réduire.

A = (x + 2) (x + 5)

B = (x - 3) (x + 4)

C = (x - 6) (x - 1)

D = (2 x + 1) (x + 3)

E = (3 x - 2) (x + 2)

F = (x + 5) (4 - x)

Corrigé

A

= x^{2} + 5 x + 2 x + 10

quatre produits

A

= x^{2} + 7 x + 10

B = x^{2} + x - 12

C = x^{2} - 7 x + 6

D = 2 x^{2} + 7 x + 3

E = 3 x^{2} + 4 x - 4

F

= 4 x - x^{2} + 20 - 5 x

5 \times (- x) = - 5 x

F

= - x^{2} - x + 20

Exercice 4 — Vrai ou faux ?

Pour chaque égalité, dire si elle est vraie pour tout nombre $x$ ; corriger celles qui sont fausses.

a)
$3 (x + 4) = 3 x + 4$
b)
$- 2 (x - 5) = - 2 x + 10$
c)
$x (x + 1) = x^{2} + x$
d)
$(x + 1) (x + 2) = x^{2} + 2$
e)
$- (3 - x) = - 3 - x$

Corrigé

a)
Faux : $3 (x + 4) = 3 x + 12$ .
b)
$Vrai$ .
c)
$Vrai$ .
d)
Faux : $(x + 1) (x + 2) = x^{2} + 3 x + 2$ .
e)
Faux : $- (3 - x) = - 3 + x$ .

d) On oublie souvent les deux produits « croisés » $x \times 2$ et $1 \times x$ .

II Identités remarquables

Exercice 5 — Le carré d'une somme

Développer et réduire.

A = (x + 4)^{2}

B = (x + 1)^{2}

C = (2 x + 3)^{2}

D = (3 x + 5)^{2}

Corrigé

A

= x^{2} + 2 \times x \times 4 + 4^{2}

a = x

b = 4

A

= x^{2} + 8 x + 16

B = x^{2} + 2 x + 1

C = 4 x^{2} + 12 x + 9

D = 9 x^{2} + 30 x + 25

Le double produit ne s'oublie pas : $(x + 4)^{2} \neq = x^{2} + 16$ .

Exercice 6 — Le carré d'une différence

Développer et réduire.

A = (x - 3)^{2}

B = (x - 10)^{2}

C = (2 x - 1)^{2}

D = (5 x - 2)^{2}

Corrigé

A

= x^{2} - 2 \times x \times 3 + 3^{2}

a = x

b = 3

A

= x^{2} - 6 x + 9

B = x^{2} - 20 x + 100

C = 4 x^{2} - 4 x + 1

D = 25 x^{2} - 20 x + 4

Exercice 7 — Somme par différence

Développer et réduire.

A = (x + 6) (x - 6)

B = (x - 1) (x + 1)

C = (3 x + 2) (3 x - 2)

D = (4 x - 5) (4 x + 5)

Corrigé

A = x^{2} - 6^{2} = x^{2} - 36

B = x^{2} - 1

C = (3 x)^{2} - 2^{2} = 9 x^{2} - 4

D = 16 x^{2} - 25

$(3 x)^{2} = 9 x^{2}$ : le $3$ est aussi élevé au carré.

Exercice 8 — La bonne réponse

Pour chaque question, une seule réponse est exacte.

1.
$(x - 7)^{2}$ est égal à :

a) $x^{2} - 49$ b) $x^{2} - 14 x + 49$

c) $x^{2} + 49$ d) $x^{2} - 7 x + 49$
2.
$(3 x + 1)^{2}$ est égal à :

a) $9 x^{2} + 1$ b) $3 x^{2} + 6 x + 1$

c) $9 x^{2} + 6 x + 1$ d) $9 x^{2} + 3 x + 1$
3.
$x^{2} - 16$ est le développement de :

a) $(x - 4)^{2}$ b) $(x - 4) (x + 4)$

c) $(x - 16) (x + 1)$ d) $(x - 8) (x + 2)$
4.
$(2 x - 5) (2 x + 5)$ est égal à :

a) $4 x^{2} - 25$ b) $2 x^{2} - 25$

c) $4 x^{2} - 20 x + 25$ d) $4 x^{2} + 25$

Corrigé

b

(

x^{2} - 14 x + 49

)2.

c

(

9 x^{2} + 6 x + 1

)

b

(

(x - 4) (x + 4)

)4.

a

(

4 x^{2} - 25

)

III Équations du premier degré

Exercice 9 — Premières équations

Résoudre.

x + 7 = 12

4 x = - 20

3 x - 5 = 10

5 x + 2 = 3 x + 10

8 x - 1 = 2 x + 11

2 x + 9 = 6 x - 3

Corrigé

x = 12 - 7

S = {5}

x = - 20 \div 4

S = {- 5}

3 x = 15

S = {5}

5 x + 2

= 3 x + 10

2 x

= 8

x

= 4

d) $S = {4}$ ; e) $6 x = 12$ : $S = {2}$ ; f) $12 = 4 x$ : $S = {3}$

Exercice 10 — Avec des parenthèses

Résoudre.

3 (x + 2) = 21

2 (x - 4) = x + 1

5 (x + 1) = 2 (x + 7)

- (x - 6) = 2 x

4 (2 x - 1) = 3 (x + 7)

Corrigé

3 (x + 2)

= 21

3 x + 6

= 21

on développe d'abord

3 x

= 15

x

= 5

a) $S = {5}$ ; b) $2 x - 8 = x + 1$ : $S = {9}$

5 (x + 1)

= 2 (x + 7)

5 x + 5

= 2 x + 14

3 x

= 9

x

= 3

c) $S = {3}$ ; d) $- x + 6 = 2 x$ soit $6 = 3 x$ : $S = {2}$

e) $8 x - 4 = 3 x + 21$ soit $5 x = 25$ : $S = {5}$

Exercice 11 — L'inconnue au dénominateur

Résoudre (le nombre $x$ n'est pas nul).

a) \frac{12}{x} = 3

b) \frac{30}{x} = 6

c) \frac{8}{x} = - 2

d) \frac{21}{x} = 7

e) Une cagnotte de $120$ € est partagée également entre $x$ amis : chacun reçoit $15$ €. Écrire une équation, puis trouver $x$ .

Corrigé

\frac{12}{x}

= 3

12

= 3 x

on multiplie par

x

x

= 4

a) $S = {4}$ ; b) $30 = 6 x$ : $S = {5}$

c) $8 = - 2 x$ : $S = {- 4}$ ; d) $21 = 7 x$ : $S = {3}$

e) $\frac{120}{x} = 15$ soit $120 = 15 x$ : $x = 8$ amis.

Contrôle : $120 \div 8 = 15$ .

Exercice 12 — Deux formules pour la piscine

Une piscine propose l'entrée à $6$ €, ou une carte annuelle à $40$ € avec laquelle chaque entrée coûte $4$ €. On note $x$ le nombre d'entrées dans l'année.

1.
Calculer le prix payé pour $10$ entrées avec chaque formule.
2.
Exprimer en fonction de $x$ le prix payé avec chaque formule.
3.
Pour combien d'entrées les deux formules coûtent-elles autant ?
4.
Quelle formule choisir pour $25$ entrées ?

Corrigé

1°)
Entrées seules : $6 \times 10 = 60 €$ ; carte : $40 + 4 \times 10 = 80 €$ .
2°)
Entrées seules : $6 x$ ; carte : $40 + 4 x$ .
3°)
$6 x$
$= 40 + 4 x$
$2 x$
$= 40$
$x$
$= 20$

Les deux formules coûtent autant pour $20$ entrées ( $120$ €).
4°)
Entrées seules : $150$ € ; carte : $140$ €. La $carte$ est moins chère.

IV Équations $x^{2} = a$

Exercice 13 — Résoudre $x^{2} = a$

Résoudre.

x^{2} = 16

x^{2} = 1

x^{2} = 0

x^{2} = 3

x^{2} = - 25

x^{2} = 144

Corrigé

S = {- 4; 4}

S = {- 1; 1}

S = {0}

S = {- 3; 3}

S = \emptyset

S = {- 12; 12}

e) Un carré n'est jamais négatif. Ne pas oublier la solution négative.

Exercice 14 — Isoler $x^{2}$ d'abord

Résoudre.

x^{2} - 9 = 0

x^{2} + 4 = 40

2 x^{2} = 98

5 x^{2} - 20 = 0

x^{2} + 10 = 1

4 x^{2} - 1 = 99

Corrigé

2 x^{2}

= 98

x^{2}

= 49

on divise par

2

x^{2} = 9

S = {- 3; 3}

x^{2} = 36

S = {- 6; 6}

S = {- 7; 7}

x^{2} = 4

S = {- 2; 2}

x^{2} = - 9

S = \emptyset

x^{2} = 25

S = {- 5; 5}

Exercice 15 — Des carrés

1.
Un potager carré a une aire de $81 m^{2}$ . Quelle est la longueur de son côté ?
2.
Une photo carrée a une aire de $100 cm^{2}$ . Quelle est la longueur de son côté ?
3.
Quels sont les nombres dont le carré vaut $49$ ?

Corrigé

1°)
$x^{2} = 81$ , donc $x = - 9$ ou $x = 9$ ; une longueur est positive : $9 m$ .
2°)
$x^{2} = 100$ : côté $10 cm$ .
3°)
$- 7$ et $7$ .

V Équations produit

Exercice 16 — Produit nul

Résoudre.

(x - 1) (x + 7) = 0

(x + 2) (x + 5) = 0

(x - 3) (x - 8) = 0

x (x + 4) = 0

Corrigé

x - 1

= 0 ou x + 7 = 0

x

= 1 ou x = - 7

S = {- 7; 1}

S = {- 5; - 2}

S = {3; 8}

S = {- 4; 0}

Exercice 17 — Des coefficients devant $x$

Résoudre.

(2 x - 4) (x + 3) = 0

(3 x + 9) (x - 5) = 0

(5 x - 15) (2 x + 8) = 0

(- x + 6) (4 x - 8) = 0

(- 2 x + 10) (3 x + 3) = 0

Corrigé

2 x - 4

= 0 ou x + 3 = 0

x

= 2 ou x = - 3

S = {- 3; 2}

S = {- 3; 5}

S = {- 4; 3}

S = {2; 6}

S = {- 1; 5}

d) $- x + 6 = 0$ donne $x = 6$ ; e) $- 2 x = - 10$ donne $x = 5$ .

Exercice 18 — Factoriser par $x$ d'abord

Résoudre en factorisant par $x$ .

x^{2} - 4 x = 0

x^{2} + 6 x = 0

3 x^{2} - 9 x = 0

2 x^{2} + 10 x = 0

x^{2} = 7 x

(tout passer à gauche)

Corrigé

x^{2} - 4 x

= 0

x (x - 4)

= 0

x

= 0 ou x = 4

S = {0; 4}

x (x + 6) = 0

S = {- 6; 0}

x (3 x - 9) = 0

S = {0; 3}

x (2 x + 10) = 0

S = {- 5; 0}

e) $x^{2} - 7 x = 0$ soit $x (x - 7) = 0$ : $S = {0; 7}$

e) Diviser par $x$ ferait perdre la solution $0$ .

VI Fonction polynôme du second degré

Exercice 19 — Reconnaître, lire $a$ , $b$ et $c$

Pour chaque fonction, dire si elle est du second degré et, si oui, donner $a$ , $b$ et $c$ .

f (x) = 2 x^{2} + 5 x - 1

g (x) = - x^{2} + 3

h (x) = 7 x - 2

k (x) = 4 x - x^{2}

m (x) = x^{2}

p (x) = 6 - 2 x + 3 x^{2}

Corrigé

f

a = 2; b = 5; c = - 1

g

a = - 1; b = 0; c = 3

h

pas du 2ᵈ degr \overset{e}{ˊ}

k

a = - 1; b = 4; c = 0

m

a = 1; b = 0; c = 0

p

a = 3; b = - 2; c = 6

On lit chaque coefficient avec son signe, même si les termes sont dans le désordre ( $k$ , $p$ ).

Exercice 20 — Calculer des images

1.
Soit $f (x) = x^{2} - 3 x + 2$ . Calculer $f (0)$ , $f (1)$ , $f (- 1)$ , $f (3)$ et $f (- 2)$ .
2.
Soit $g (x) = - 2 x^{2} + x + 5$ . Calculer $g (0)$ , $g (2)$ et $g (- 1)$ .

Corrigé

f (- 2)

= (- 2)^{2} - 3 \times (- 2) + 2

f (- 2)

= 4 + 6 + 2

f (- 2)

= 12

1°) $f (0) = 2$ ; $f (1) = 0$ ; $f (- 1) = 6$ ; $f (3) = 2$ ; $f (- 2) = 12$ .

2°) $g (0) = 5$ ; $g (2) = - 8 + 2 + 5 = - 1$ ; $g (- 1) = - 2 - 1 + 5 = 2$ .

$(- 1)^{2} = 1$ , donc $- 2 \times (- 1)^{2} = - 2$ .

Exercice 21 — Sur la courbe ou non ?

Soit $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ . Pour chaque point $A (1; 0)$ , $B (- 1; - 2)$ , $C (2; 5)$ , $D (- 3; 0)$ et $E (0; 3)$ , dire s'il est sur la courbe de $f$ .

Corrigé

f (1) = 0

A

oui

f (- 1) = - 4

B

non

f (2) = 5

C

oui

f (- 3) = 0

D

oui

f (0) = - 3

E

non

Exercice 22 — Distance d'arrêt

La distance d'arrêt d'une voiture, en mètres, est modélisée par $d (v) = v^{2} + 3 v$ , où $v$ est la vitesse en dizaines de km/h (pour $50$ km/h, $v = 5$ ).

1.
Expliquer pourquoi $d$ est une fonction du second degré ; donner $a$ , $b$ et $c$ .
2.
Calculer $d (3)$ , $d (5)$ et $d (9)$ . Interpréter $d (5)$ .
3.
Calculer $d (6)$ . Quand la vitesse double de $30$ à $60$ km/h, la distance d'arrêt double-t-elle ?

Corrigé

1°)
$d (v) = v^{2} + 3 v$ a un terme en $v^{2}$ : $a = 1; b = 3; c = 0$ .
2°)
$d (3) = 18$ ; $d (5) = 40$ ; $d (9) = 108$ . À $50$ km/h, la voiture s'arrête en $40$ m.
3°)
$d (6) = 36 + 18 = 54$ : la distance est multipliée par $3$ , elle ne $double pas$ .

VII Forme factorisée et racines

Exercice 23 — Vérifier une forme factorisée

Pour chaque fonction, vérifier l'égalité en développant la forme factorisée.

a)
$f (x) = x^{2} + 2 x - 8 = (x - 2) (x + 4)$
b)
$g (x) = 3 x^{2} - 3 x - 18 = 3 (x + 2) (x - 3)$
c)
$h (x) = - x^{2} + 6 x - 5 = - (x - 1) (x - 5)$
d)
$k (x) = 2 x^{2} - 8 = 2 (x - 2) (x + 2)$

Corrigé

(x - 2) (x + 4)

= x^{2} + 4 x - 2 x - 8

(x - 2) (x + 4)

= x^{2} + 2 x - 8

on retrouve

f (x)

3 (x + 2) (x - 3)

= 3 (x^{2} - 3 x + 2 x - 6)

3 (x + 2) (x - 3)

= 3 x^{2} - 3 x - 18

- (x - 1) (x - 5)

= - (x^{2} - 6 x + 5)

- (x - 1) (x - 5)

= - x^{2} + 6 x - 5

2 (x - 2) (x + 2)

= 2 (x^{2} - 4)

2 (x - 2) (x + 2)

= 2 x^{2} - 8

On part de la forme factorisée, la plus compliquée, et on retrouve l'autre.

Exercice 24 — Lire les racines

Donner les racines de chaque fonction.

f (x) = (x - 3) (x + 1)

g (x) = 2 (x + 5) (x - 2)

h (x) = - (x - 4) (x - 6)

k (x) = 5 x (x - 7)

m (x) = - 3 (x + 2) (x + 8)

Corrigé

f

3

- 1

g

- 5

2

h

4

6

k

0

7

m

- 2

- 8

Dans $(x + 5)$ , la racine est $- 5$ : on change le signe.

Exercice 25 — Points sur les axes

Soit $f (x) = x^{2} - x - 6$ .

1.
Vérifier que $f (x) = (x + 2) (x - 3)$ .
2.
En déduire les racines de $f$ .
3.
Donner les points où la courbe de $f$ coupe l'axe des abscisses.
4.
Calculer $f (0)$ . Où la courbe coupe-t-elle l'axe des ordonnées ?

Corrigé

1°)
$(x + 2) (x - 3) = x^{2} - 3 x + 2 x - 6 = x^{2} - x - 6$ .
2°)
$x + 2 = 0$ ou $x - 3 = 0$ : racines $- 2$ et $3$ .
3°)
$(- 2; 0)$ et $(3; 0)$ .
4°)
$f (0) = - 6$ : la courbe coupe l'axe des ordonnées en $(0; - 6)$ .

VIII Représentation graphique

Exercice 26 — Tableau de valeurs et tracé

Pour chaque fonction, compléter le tableau de valeurs, tracer la courbe dans un repère, puis lire son sommet et son axe de symétrie.

a)
$f (x) = x^{2} - 4 x + 3$

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f (x)$

b)
$g (x) = - x^{2} + 2 x + 3$

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$g (x)$

Corrigé

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f (x)$	$8$	$3$	$0$	$- 1$	$0$	$3$	$8$

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$g (x)$	$- 5$	$0$	$3$	$4$	$3$	$0$	$- 5$

a) $S (2; - 1)$ , axe $x = 2$

b) $S (1; 4)$ , axe $x = 1$

Les valeurs se répètent de part et d'autre du sommet : c'est un contrôle.

Exercice 27 — Associer une fonction à sa courbe

Associer chaque fonction à sa courbe, en justifiant.

f (x) = x^{2} - 3

g (x) = - x^{2} + 4

h (x) = 2 x^{2}

k (x) = - x^{2} - 1

Corrigé

$g$ et $k$ ont $a < 0$ (courbes tournées vers le bas) : $g (0) = 4$ , donc $g \to C_{1}$ ; $k (0) = - 1$ , donc $k \to C_{4}$ .

$f$ et $h$ ont $a > 0$ : $f (0) = - 3$ , donc $f \to C_{3}$ ; $h (0) = 0$ , donc $h \to C_{2}$ .

Deux indices suffisent : le signe de $a$ et le point $(0; c)$ .

Exercice 28 — Lire une parabole

La courbe de $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ est tracée ci-dessous.

1.
La parabole est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ? Est-ce cohérent avec l'expression de $f$ ?
2.
Lire les coordonnées du sommet et l'axe de symétrie.
3.
Lire les racines de $f$ .
4.
Résoudre graphiquement $f (x) = - 3$ .
5.
Calculer $f (0)$ et retrouver ce point sur la courbe.

Corrigé

1°)
Vers le $haut$ ; cohérent : $a = 1 > 0$ .
2°)
Sommet $S (- 1; - 4)$ ; axe : la droite verticale qui passe par $x = - 1$ .
3°)
Racines $- 3$ et $1$ .
4°)
Points d'ordonnée $- 3$ : $S = {- 2; 0}$ .
5°)
$f (0) = - 3$ : le point $(0; - 3)$ , sur l'axe des ordonnées.

IX Tableaux de variations

Exercice 29 — Sommet et tableau de variations

Pour chaque fonction, donner le sommet de la parabole, puis le tableau de variations.

f (x) = (x - 2) (x - 6)

g (x) = - 2 (x + 1) (x - 3)

h (x) = 3 (x + 4) (x + 2)

k (x) = - (x - 5) (x + 1)

Corrigé

a) Racines $2$ et $6$ ; $x_{S} = \frac{2 + 6}{2} = 4$ ; $f (4) = 2 \times (- 2) = - 4$ : $S (4; - 4)$ , minimum ( $a = 1 > 0$ ).

b) Racines $- 1$ et $3$ ; $x_{S} = 1$ ; $g (1) = - 2 \times 2 \times (- 2) = 8$ : $S (1; 8)$ , maximum ( $a = - 2 < 0$ ).

c) Racines $- 4$ et $- 2$ ; $x_{S} = - 3$ ; $h (- 3) = 3 \times 1 \times (- 1) = - 3$ : $S (- 3; - 3)$ , minimum.

d) Racines $5$ et $- 1$ ; $x_{S} = 2$ ; $k (2) = - (- 3) \times 3 = 9$ : $S (2; 9)$ , maximum.

$a$ est le nombre devant les parenthèses : dans $- (x - 5) (x + 1)$ , $a = - 1$ .

Exercice 30 — Factoriser d'abord

Pour chaque fonction, trouver les racines, puis le sommet et le tableau de variations.

f (x) = x^{2} - 6 x

g (x) = - x^{2} + 10 x

h (x) = 2 x^{2} + 8 x

k (x) = x^{2} - 9

Corrigé

a) $x (x - 6) = 0$ : racines $0$ et $6$ ; $x_{S} = 3$ ; $f (3) = 9 - 18 = - 9$ : $S (3; - 9)$ , minimum.

b) $x (- x + 10) = 0$ : racines $0$ et $10$ ; $x_{S} = 5$ ; $g (5) = - 25 + 50 = 25$ : $S (5; 25)$ , maximum.

c) $x (2 x + 8) = 0$ : racines $0$ et $- 4$ ; $x_{S} = - 2$ ; $h (- 2) = 8 - 16 = - 8$ : $S (- 2; - 8)$ , minimum.

d) $x^{2} = 9$ : racines $- 3$ et $3$ ; $x_{S} = 0$ ; $k (0) = - 9$ : $S (0; - 9)$ , minimum.

Exercice 31 — Maximum ou minimum ?

1.
Pour chaque fonction $f$ , $g$ et $h$ , dire si elle admet un maximum ou un minimum, et le donner :

$f (x) = 4 (x - 1) (x - 3)$ $g (x) = - (x + 3) (x - 1)$ $h (x) = - 5 x (x - 2)$ .
2.
Calculer $f (0)$ et $f (4)$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ entre $0$ et $4$ .

Corrigé

1°)
$f$ : $a = 4 > 0$ , $x_{S} = 2$ , $f (2) = 4 \times 1 \times (- 1)$ : minimum $- 4$ en $2$ .

$g$ : $a = - 1 < 0$ , $x_{S} = - 1$ , $g (- 1) = - 2 \times (- 2)$ : maximum $4$ en $- 1$ .

$h$ : $a = - 5 < 0$ , $x_{S} = 1$ , $h (1) = - 5 \times 1 \times (- 1)$ : maximum $5$ en $1$ .
2°)
$f (0) = 4 \times (- 1) \times (- 3) = 12$ ; $f (4) = 4 \times 3 \times 1 = 12$ .

X Problèmes type épreuve anticipée

Exercice 32 — Un food truck

Un food truck vend entre $0$ et $120$ repas par jour. On note $x$ le nombre de repas, en dizaines ( $x$ entre $0$ et $12$ ). Le bénéfice de la journée, en dizaines d'euros, est $B (x) = - x^{2} + 12 x - 20$ .

1.
Calculer $B (0)$ . Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
2.
Vérifier que $B (x) = - (x - 2) (x - 10)$ .
3.
Pour combien de repas le bénéfice est-il nul ?
4.
Dresser le tableau de variations de $B$ entre $0$ et $12$ .
5.
Quel est le bénéfice maximal ? Pour combien de repas ?

Corrigé

1°)
$B (0) = - 20$ : sans aucun repas vendu, la journée coûte $200$ €.
2°)
$- (x - 2) (x - 10)$
$= - (x^{2} - 12 x + 20)$
$- (x - 2) (x - 10)$
$= - x^{2} + 12 x - 20$
3°)
$x = 2$ ou $x = 10$ : bénéfice nul pour $20$ ou $100$ repas.
4°)
$x_{S} = 6$ ; $B (6) = - (4) \times (- 4) = 16$ ; $B (12) = - (10) \times 2 = - 20$ .
5°)
Bénéfice maximal $160 €$ pour $60$ repas.

Penser aux unités : $x$ en dizaines de repas, $B (x)$ en dizaines d'euros.

Exercice 33 — Une balle lancée d'une falaise

On lance une balle du haut d'une falaise. Sa hauteur au-dessus de la mer, en mètres, au bout de $t$ secondes est $h (t) = - 5 t^{2} + 10 t + 15$ .

1.
Calculer $h (0)$ . Interpréter.
2.
Vérifier que $h (t) = - 5 (t + 1) (t - 3)$ .
3.
Au bout de combien de temps la balle touche-t-elle l'eau ?
4.
Dresser le tableau de variations de $h$ entre $0$ et $3$ .
5.
Quelle hauteur maximale la balle atteint-elle ? À quel instant ?

Corrigé

1°)
$h (0) = 15$ : la balle part de $15$ m, le haut de la falaise.
2°)
$- 5 (t + 1) (t - 3)$
$= - 5 (t^{2} - 3 t + t - 3)$
$- 5 (t + 1) (t - 3)$
$= - 5 (t^{2} - 2 t - 3)$
$- 5 (t + 1) (t - 3)$
$= - 5 t^{2} + 10 t + 15$
3°)
$t = - 1$ ou $t = 3$ ; un temps est positif : l'eau au bout de $3 s$ .
4°)
$t_{S} = \frac{- 1 + 3}{2} = 1$ ; $h (1) = - 5 \times 2 \times (- 2) = 20$ .
5°)
$20 m$ au bout de $1 s$ .

Exercice 34 — Le plus grand enclos

Avec $40$ m de grillage, on entoure un enclos rectangulaire. On note $x$ la longueur d'un côté, en mètres ( $x$ entre $0$ et $20$ ).

1.
Si $x = 5$ , quelle est la longueur de l'autre côté ? Quelle est l'aire ?
2.
Justifier que l'autre côté mesure $20 - x$ et que l'aire est $A (x) = x (20 - x)$ .
3.
Développer $A (x)$ , puis donner les racines de $A$ .
4.
Dresser le tableau de variations de $A$ entre $0$ et $20$ .
5.
Quelles dimensions donnent la plus grande aire ? Quelle est-elle ?

Corrigé

1°)
Deux côtés voisins font la moitié du périmètre, $20$ m : l'autre côté mesure $15 m$ , l'aire $75 m^{2}$ .
2°)
De même, l'autre côté mesure $20 - x$ et l'aire est $A (x) = x (20 - x)$ .
3°)
$A (x) = - x^{2} + 20 x$ ; racines $0$ et $20$ .
4°)
$x_{S} = 10$ ; $A (10) = 10 \times 10 = 100$ .
5°)
Un carré de $10 m$ de côté : $100 m^{2}$ .

Exercices type épreuve anticipée

Exercice 35 — Automatismes (QCM)

Pour chaque question, une seule réponse est exacte.

1.
La solution de l'équation $6 x + 1 = 2 x + 9$ est :

a) $1$ b) $2$

c) $4$ d) $10$
2.
$(x + 3)^{2}$ est égal à :

a) $x^{2} + 9$ b) $x^{2} + 6 x + 9$

c) $x^{2} + 3 x + 9$ d) $x^{2} + 6 x + 6$
3.
L'ensemble des solutions de $x^{2} = 7$ est :

a) ${7}$ b) ${- 7; 7}$

c) ${7}$ d) ${- 3, 5; 3, 5}$
4.
L'ensemble des solutions de $(3 x - 6) (x + 4) = 0$ est :

a) ${- 2; 4}$ b) ${- 4; 2}$

c) ${- 4; 3}$ d) ${- 4; 6}$
5.
Le point d'abscisse $2$ de la courbe d'équation $y = x^{2} - 3 x + 1$ est :

a) $(2; - 1)$ b) $(2; 3)$

c) $(2; 11)$ d) $(2; - 3)$
6.
La fonction $f (x) = - 2 (x - 1) (x - 5)$ admet :

a) un minimum en $3$ b) un maximum en $3$

c) un maximum en $1$ d) un minimum en $5$

Corrigé

b

(

4 x = 8

)2.

b

b

b

(

x = 2

x = - 4

)

a

(

4 - 6 + 1 = - 1

)6.

b

(

a < 0

, milieu de

1

5

)

Exercice 36 — Une épidémie de grippe

Dans une ville, le nombre de malades de la grippe, en centaines, $x$ semaines après le début de l'épidémie ( $x$ entre $0$ et $8$ ), est modélisé par $f (x) = - x^{2} + 8 x$ .

1.
Lire $f (2)$ sur le graphique et interpréter.
2.
Déterminer graphiquement la semaine du pic de l'épidémie et le nombre de malades cette semaine-là.
3.
Calculer $f (1)$ . Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
4.
Vérifier que $f (x) = - x (x - 8)$ . Au bout de combien de semaines l'épidémie s'arrête-t-elle ?
5.
Dresser le tableau de variations de $f$ entre $0$ et $8$ et retrouver par le calcul le nombre de malades au pic.

Corrigé

1°)
$f (2) = 12$ : $1200$ malades à la semaine $2$ .
2°)
Pic à la semaine $4$ , avec $1600$ malades.
3°)
$f (1) = - 1 + 8 = 7$ : $700$ malades au bout d'une semaine.
4°)
$- x (x - 8) = - x^{2} + 8 x$ . Racines $0$ et $8$ : l'épidémie s'arrête au bout de $8$ semaines.
5°)
$x_{S} = 4$ ; $f (4) = - 4 \times (- 4) = 16$ , soit $1600$ malades.

Exercice 37 — Le prix d'une place de théâtre

Une troupe de théâtre fixe le prix d'une place à $x$ euros ( $x$ entre $0$ et $20$ ). Elle prévoit alors $200 - 10 x$ spectateurs.

1.
Pour une place à $8$ €, combien de spectateurs la troupe prévoit-elle ? Quelle est la recette ?
2.
Quel prix donne $150$ spectateurs ?
3.
Justifier que la recette est $R (x) = x (200 - 10 x)$ , puis que $R (x) = - 10 x^{2} + 200 x$ .
4.
Donner les racines de $R$ et les interpréter.
5.
Dresser le tableau de variations de $R$ entre $0$ et $20$ .
6.
Quel prix donne la plus grande recette ? Quelle est-elle ?

Corrigé

1°)
$200 - 80 = 120$ spectateurs ; recette $8 \times 120 = 960 €$ .
2°)
$200 - 10 x$
$= 150$
$- 10 x$
$= - 50$
$x$
$= 5$

Une place à $5 €$ .
3°)
Recette = prix $\times$ spectateurs $= x (200 - 10 x)$ , puis $R (x) = 200 x - 10 x^{2} = - 10 x^{2} + 200 x$ .
4°)
$x = 0$ ou $200 - 10 x = 0$ : racines $0$ et $20$ . Places gratuites ou plus aucun spectateur à $20$ € : recette nulle.
5°)
$x_{S} = 10$ ; $R (10) = 10 \times 100 = 1000$ .
6°)
Place à $10 €$ : recette maximale $1000 €$ .

ExercicesChapitre 3 — Calcul littéral et second degré

I Développer

Exercice 1 — Distributivité simple

Exercice 2 — Un facteur en x

Exercice 3 — Double distributivité

Exercice 4 — Vrai ou faux ?

II Identités remarquables

Exercice 5 — Le carré d'une somme

Exercice 6 — Le carré d'une différence

Exercice 7 — Somme par différence

Exercice 8 — La bonne réponse

III Équations du premier degré

Exercice 9 — Premières équations

Exercice 10 — Avec des parenthèses

Exercice 11 — L'inconnue au dénominateur

Exercice 12 — Deux formules pour la piscine

IV Équations x2=a

Exercice 13 — Résoudre x2=a

Exercice 14 — Isoler x2 d'abord

Exercice 15 — Des carrés

V Équations produit

Exercice 16 — Produit nul

Exercice 17 — Des coefficients devant x

Exercice 18 — Factoriser par x d'abord

VI Fonction polynôme du second degré

Exercice 19 — Reconnaître, lire a, b et c

Exercice 20 — Calculer des images

Exercice 21 — Sur la courbe ou non ?

Exercice 22 — Distance d'arrêt

VII Forme factorisée et racines

Exercice 23 — Vérifier une forme factorisée

Exercice 24 — Lire les racines

Exercice 25 — Points sur les axes

VIII Représentation graphique

Exercice 26 — Tableau de valeurs et tracé

Exercice 27 — Associer une fonction à sa courbe

Exercice 28 — Lire une parabole

IX Tableaux de variations

Exercice 29 — Sommet et tableau de variations

Exercice 30 — Factoriser d'abord

Exercice 31 — Maximum ou minimum ?

X Problèmes type épreuve anticipée

Exercice 32 — Un food truck

Exercice 33 — Une balle lancée d'une falaise

Exercice 34 — Le plus grand enclos

Exercices type épreuve anticipée

Exercice 35 — Automatismes (QCM)

Exercice 36 — Une épidémie de grippe

Exercice 37 — Le prix d'une place de théâtre

Exercice 2 — Un facteur en $x$

IV Équations $x^{2} = a$

Exercice 13 — Résoudre $x^{2} = a$

Exercice 14 — Isoler $x^{2}$ d'abord

Exercice 17 — Des coefficients devant $x$

Exercice 18 — Factoriser par $x$ d'abord

Exercice 19 — Reconnaître, lire $a$ , $b$ et $c$