ExercicesChapitre 1 — Calcul littéral

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Cours complet, avec les exercices

Sommaire

I — Réduire une expression littérale
II — Développer
III — Les trois identités remarquables
IV — Factoriser
V — Résoudre des équations
VI — Mise en équation
VII — Résoudre des inéquations
VIII — Tableaux de signes
IX — Inéquations produit
X — Inéquations quotient
XI — Problèmes avec des inéquations

I Réduire une expression littérale

Exercice 1 — Réduire une somme

Réduire, si c'est possible, chaque expression.

A $=$
$4 a + 3 + 7 a$
B $=$
$9 a + 2 a + 5 a$
C $=$
$6 + 2 a + 8 a$
D $=$
$3 a^{2} + 7 a^{2} + 5 a^{2}$
E $=$
$2 a^{2} + 9 + 4 a^{2}$
F $=$
$3 a + 6 a^{2} + 2 a^{2}$

G $=$
$7 m - 12 m + 3 m$
H $=$
$6 m - 9 m + 4 m$
I $=$
$- 5 m - 4 m - 6 m$
J $=$
$9 m^{2} + 2 m^{2} - 7 m^{2}$
K $=$
$5 m - 8 m^{2} + 3 m^{2}$
L $=$
$- 4 m^{2} + 6 m^{2} - 9 m^{2}$

c) Réduire, puis ranger les termes suivant les puissances décroissantes de $n$ .

M $=$
$3 n^{2} + 4 n - 6 + 5 n^{2} + 1 + 8$
N $=$
$- 7 n^{2} + 9 - 5 n + 3 n^{2} - n - 4$
O $=$
$- 6 n^{2} - 3 + 8 - 2 n^{2} + 5 n - 9 n$
P $=$
$4 + 6 n - 3 n^{2} + 7 n^{2} + 2 n - 4$

Corrigé

On ne regroupe que des termes semblables : les $a$ entre eux, les $a^{2}$ entre eux, les nombres entre eux.

A = 11 a + 3

B = 16 a

C = 10 a + 6

D = 15 a^{2}

E = 6 a^{2} + 9

F = 8 a^{2} + 3 a

G = - 2 m

H = m

I = - 15 m

J = 4 m^{2}

K = - 5 m^{2} + 5 m

L = - 7 m^{2}

M

= (3 n^{2} + 5 n^{2}) + 4 n + (- 6 + 1 + 8)

M

= 8 n^{2} + 4 n + 3

N

= (- 7 n^{2} + 3 n^{2}) + (- 5 n - n) + (9 - 4)

N

= - 4 n^{2} - 6 n + 5

O

= (- 6 n^{2} - 2 n^{2}) + (5 n - 9 n) + (- 3 + 8)

O

= - 8 n^{2} - 4 n + 5

P

= (- 3 n^{2} + 7 n^{2}) + (6 n + 2 n) + (4 - 4)

P

= 4 n^{2} + 8 n

Dans $C = 6 + 2 a + 8 a$ , le $6$ reste seul : on n'écrit pas $16 a$ .

Exercice 2 — Réduire un produit

Réduire chaque produit.

A $=$
$8 \times 2 x$
B $=$
$3 x \times 4 x$
C $=$
$5 \times 2 x^{2}$
D $=$
$7 x \times 3$
E $=$
$3 x^{2} \times 6$
F $=$
$4 x \times 5 x$

b) Attention à la règle des signes.

G $=$
$- 2 x \times 6 x$
H $=$
$- 9 \times 3 x$
I $=$
$5 x \times (- 2 x)$
J $=$
$- 3 x \times (- 7 x)$
K $=$
$4 \times (- 3 x^{2})$
L $=$
$- 5 x^{2} \times 3$
M $=$
$- 6 \times (- 2 x^{2})$
N $=$
$3 x^{2} \times (- 4)$
O $=$
$- 7 x \times 2 x$

Corrigé

On multiplie les nombres entre eux (règle des signes), puis les lettres entre elles : $x \times x = x^{2}$ .

A = 16 x

B = 12 x^{2}

C = 10 x^{2}

D = 21 x

E = 18 x^{2}

F = 20 x^{2}

G = - 12 x^{2}

H = - 27 x

I = - 10 x^{2}

J = 21 x^{2}

K = - 12 x^{2}

L = - 15 x^{2}

M = 12 x^{2}

N = - 12 x^{2}

O = - 14 x^{2}

Exercice 3 — Somme ou produit ?

Réduire, si c'est possible, chaque expression. Laquelle ne se réduit pas ? Pourquoi ?

A $=$
$5 + 4 x$
B $=$
$5 \times 4 x$
C $=$
$5 x \times 4 x$
D $=$
$5 x + 4 x$

Corrigé

A = 5 + 4 x

ne se r \overset{e}{ˊ} duit pas

B = 20 x

C = 20 x^{2}

D = 9 x

$A$ est une somme d'un nombre et d'un terme en $x$ , qui ne sont pas semblables. $B$ et $C$ sont des produits : ils se réduisent toujours. $D$ est une somme de deux termes semblables : $5 x + 4 x = 9 x$ , et non $20 x^{2}$ .

II Développer

Exercice 4 — Distributivité simple

Développer et réduire.

A $=$
$4 (3 x + 5)$
B $=$
$(6 + 5 x) \times 2$
C $=$
$x (2 x + 9)$
D $=$
$3 x (4 x + 5)$

E $=$
$5 x + 3 (2 x + 4)$
F $=$
$2 (5 x + 6) + 4 (2 x + 3)$
G $=$
$6 (3 + 2 x) + 5 x$
H $=$
$3 (4 x + 1) + 2 (7 + 3 x)$
I $=$
$x (3 x + 5) + 2 (6 x + 1)$
J $=$
$2 x (4 x + 3) + 3 x (2 x + 5)$

Corrigé

A = 12 x + 20

B = 12 + 10 x

C = 2 x^{2} + 9 x

D = 12 x^{2} + 15 x

E

= 5 x + 6 x + 12

E

= 11 x + 12

F = 18 x + 24

G = 17 x + 18

H = 18 x + 17

I = 3 x^{2} + 17 x + 2

J

= 8 x^{2} + 6 x + 6 x^{2} + 15 x

J

= 14 x^{2} + 21 x

Dans $E$ , on développe d'abord $3 (2 x + 4)$ : on n'additionne pas $5 x$ et $3$ .

Exercice 5 — Signes et facteurs négatifs

Développer et réduire.

A $=$
$5 (a + 3) - 4 a$
B $=$
$- 7 a + 3 (2 a - 4)$
C $=$
$4 (2 + 3 a) - 3 (5 + 2 a)$
D $=$
$- 5 (- 3 a + 2) + 2 (4 a - 3)$

E $=$
$3 b + 2 b (5 + 6 b)$
F $=$
$4 b (- 3 b + 5) + 7 b^{2}$
G $=$
$3 b (- 4 b - 2) - b (2 b - 9)$
H $=$
$- 2 b (5 b - 3) + 6 b (- 2 b - 4)$

Corrigé

Le signe devant le facteur fait partie du facteur : $- 3 (5 + 2 a) = - 15 - 6 a$ .

A

= 5 a + 15 - 4 a B = - 7 a + 6 a - 12

A

= a + 15 B = - a - 12

C

= 8 + 12 a - 15 - 6 a D = 15 a - 10 + 8 a - 6

C

= 6 a - 7 D = 23 a - 16

E

= 3 b + 10 b + 12 b^{2}

E

= 12 b^{2} + 13 b

F

= - 12 b^{2} + 20 b + 7 b^{2}

F

= - 5 b^{2} + 20 b

G

= - 12 b^{2} - 6 b - 2 b^{2} + 9 b

G

= - 14 b^{2} + 3 b

H

= - 10 b^{2} + 6 b - 12 b^{2} - 24 b

H

= - 22 b^{2} - 18 b

Dans $G$ : $- b (2 b - 9) = - 2 b^{2} + 9 b$ ; le $-$ change les deux signes.

Exercice 6 — Double distributivité

Développer et réduire.

A $=$
$(2 x + 5) (4 x + 3)$
B $=$
$(3 + 4 x) (5 x + 2)$
C $=$
$(5 x + 2) (4 + 3 x)$
D $=$
$(6 x + 1) (3 + 5 x)$
E $=$
$6 x + 5 (2 + 3 x)$
F $=$
$(4 x + 3) (4 x + 3)$

Pourquoi E se développe-t-il beaucoup plus vite que les autres ?

Corrigé

Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : quatre produits, puis on réduit.

A

= 8 x^{2} + 6 x + 20 x + 15

A

= 8 x^{2} + 26 x + 15

B

= 15 x + 6 + 20 x^{2} + 8 x

B

= 20 x^{2} + 23 x + 6

C

= 20 x + 15 x^{2} + 8 + 6 x

C

= 15 x^{2} + 26 x + 8

D

= 18 x + 30 x^{2} + 3 + 5 x

D

= 30 x^{2} + 23 x + 3

E

= 6 x + 10 + 15 x

E

= 21 x + 10

F

= 16 x^{2} + 12 x + 12 x + 9

F

= 16 x^{2} + 24 x + 9

$E$ n'est pas un produit de deux parenthèses : seul $5$ multiplie $(2 + 3 x)$ , c'est une distributivité simple. $F = (4 x + 3)^{2}$ : une identité remarquable ira plus vite (partie III).

III Les trois identités remarquables

Exercice 7 — Identité $(a + b)^{2}$

Développer.

A $=$
$(3 x + 2)^{2}$
B $=$
$(4 + 3 x)^{2}$
C $=$
$(2 a + 7)^{2}$
D $=$
$(5 + 4 b)^{2}$
E $=$
$(x + 9)^{2}$
F $=$
$(6 x + 1)^{2}$
G $=$
$(2 m + 5)^{2}$
H $=$
$(3 + 7 r)^{2}$

Corrigé

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ : ne pas oublier le double produit $2 ab$ .

A

= (3 x)^{2} + 2 \times 3 x \times 2 + 2^{2}

A

= 9 x^{2} + 12 x + 4

B = 9 x^{2} + 24 x + 16

C = 4 a^{2} + 28 a + 49

D = 16 b^{2} + 40 b + 25

E = x^{2} + 18 x + 81

F = 36 x^{2} + 12 x + 1

G = 4 m^{2} + 20 m + 25

H = 49 r^{2} + 42 r + 9

$(3 x)^{2} = 9 x^{2}$ et non $3 x^{2}$ : le carré porte sur le nombre et sur la lettre.

Exercice 8 — Identité $(a - b)^{2}$

Développer.

A $=$
$(2 x - 3)^{2}$
B $=$
$(5 x - 4)^{2}$
C $=$
$(4 - 3 x)^{2}$
D $=$
$(1 - 6 x)^{2}$
E $=$
$(3 a - 5)^{2}$
F $=$
$(2 - 7 b)^{2}$
G $=$
$(4 m - 1)^{2}$
H $=$
$(n - 8)^{2}$

Corrigé

A

= (2 x)^{2} - 2 \times 2 x \times 3 + 3^{2}

A

= 4 x^{2} - 12 x + 9

B = 25 x^{2} - 40 x + 16

C = 16 - 24 x + 9 x^{2}

D = 1 - 12 x + 36 x^{2}

E = 9 a^{2} - 30 a + 25

F = 4 - 28 b + 49 b^{2}

G = 16 m^{2} - 8 m + 1

H = n^{2} - 16 n + 64

Le dernier terme $b^{2}$ est toujours positif : seul le double produit porte le signe $-$ .

Exercice 9 — Identité $(a + b) (a - b)$

Développer. Une de ces expressions n'est pas une identité remarquable : laquelle ?

A $=$
$(3 x + 7) (3 x - 7)$
B $=$
$(2 x + 3) (2 x - 5)$
C $=$
$(5 + 2 x) (5 - 2 x)$
D $=$
$(4 a + 1) (4 a - 1)$
E $=$
$(b - 6) (b + 6)$
F $=$
$(9 + c) (9 - c)$

Corrigé

A

= (3 x)^{2} - 7^{2}

A

= 9 x^{2} - 49

B

= 4 x^{2} - 10 x + 6 x - 15

B

= 4 x^{2} - 4 x - 15

C = 25 - 4 x^{2}

D = 16 a^{2} - 1

E = b^{2} - 36

F = 81 - c^{2}

$B$ n'est pas une identité remarquable : $+ 3$ et $- 5$ ne sont pas opposés ; on utilise la double distributivité.

Exercice 10 — Choisir la bonne méthode

a) Développer et réduire, en choisissant à chaque fois la méthode la plus rapide.

A $=$
$3 (2 x + 7)$
B $=$
$(2 x + 7)^{2}$
C $=$
$(5 x - 3)^{2}$
D $=$
$(7 x - 1) (7 x + 1)$
E $=$
$(6 x + 5) (2 x - 3)$

b) Développer, réduire et ordonner.

F $=$
$(3 x + 2) (x + 4) - (2 x - 5) (x + 1)$
G $=$
$(x - 3)^{2} + (2 x + 1) (2 x - 1)$
H $=$
$(2 x + 5)^{2} - (x - 4) (3 x + 2)$

Corrigé

A = 6 x + 21

B = 4 x^{2} + 28 x + 49

C = 25 x^{2} - 30 x + 9

D = 49 x^{2} - 1

E

= 12 x^{2} - 18 x + 10 x - 15

E

= 12 x^{2} - 8 x - 15

F

= 3 x^{2} + 12 x + 2 x + 8 - (2 x^{2} + 2 x - 5 x - 5)

F

= 3 x^{2} + 14 x + 8 - (2 x^{2} - 3 x - 5)

F

= 3 x^{2} + 14 x + 8 - 2 x^{2} + 3 x + 5

F

= x^{2} + 17 x + 13

G

= x^{2} - 6 x + 9 + 4 x^{2} - 1

G

= 5 x^{2} - 6 x + 8

H

= 4 x^{2} + 20 x + 25 - (3 x^{2} + 2 x - 12 x - 8)

H

= 4 x^{2} + 20 x + 25 - (3 x^{2} - 10 x - 8)

H

= 4 x^{2} + 20 x + 25 - 3 x^{2} + 10 x + 8

H

= x^{2} + 30 x + 33

Le signe $-$ devant un produit change tous les signes : on garde la parenthèse tant que le produit n'est pas réduit. C'est l'erreur n°1 du chapitre.

IV Factoriser

Exercice 11 — Facteur commun

Factoriser.

A $=$
$6 a + 6 b$
B $=$
$48 a - 36 b$
C $=$
$45 a - 15 b$
D $=$
$120 a - 80 b$
E $=$
$7 x^{2} + 4 x$
F $=$
$18 x^{2} - 11 x$
G $=$
$15 x + 8 x^{2}$
H $=$
$10 x^{2} - 4 x$
I $=$
$4 x^{2} + x$
J $=$
$3 x^{3} - x^{2}$

Corrigé

On met en facteur le plus grand diviseur commun des coefficients, et la plus grande puissance de $x$ présente dans chaque terme.

A = 6 (a + b)

B = 12 (4 a - 3 b)

C = 15 (3 a - b)

D = 40 (3 a - 2 b)

E = x (7 x + 4)

F = x (18 x - 11)

G = x (15 + 8 x)

H = 2 x (5 x - 2)

I = x (4 x + 1)

J = x^{2} (3 x - 1)

Dans $I$ , $x = x \times 1$ : il reste $1$ dans la parenthèse, pas $0$ . On vérifie en redéveloppant.

Exercice 12 — Identité $a^{2} + 2 ab + b^{2}$

Factoriser, si c'est possible. Contrôler le double produit : deux de ces expressions ne sont pas des carrés.

A $=$
$9 x^{2} + 12 x + 4$
B $=$
$25 x^{2} + 40 x + 16$
C $=$
$9 a^{2} + 6 a + 4$
D $=$
$25 + 30 b + 9 b^{2}$
E $=$
$16 c^{2} + 20 c + 25$
F $=$
$28 d + 49 d^{2} + 4$

Corrigé

On repère $a^{2}$ et $b^{2}$ , puis on vérifie que le troisième terme est bien $2 ab$ .

A

= (3 x)^{2} + 2 \times 3 x \times 2 + 2^{2}

A

= (3 x + 2)^{2}

B

= (5 x)^{2} + 2 \times 5 x \times 4 + 4^{2}

B

= (5 x + 4)^{2}

$C$ : $(3 a)^{2}$ et $2^{2}$ , mais $2 \times 3 a \times 2 = 12 a$ , pas $6 a$ : $pas un carr \overset{e}{ˊ}$

D

= 5^{2} + 2 \times 5 \times 3 b + (3 b)^{2}

D

= (5 + 3 b)^{2}

$E$ : $(4 c)^{2}$ et $5^{2}$ , mais $2 \times 4 c \times 5 = 40 c$ , pas $20 c$ : $pas un carr \overset{e}{ˊ}$

F

= (7 d)^{2} + 2 \times 7 d \times 2 + 2^{2}

F

= (7 d + 2)^{2}

Pour $F$ , on range d'abord : $49 d^{2} + 28 d + 4$ .

Exercice 13 — Identités $a^{2} - 2 ab + b^{2}$ et $a^{2} - b^{2}$

a) Factoriser, si c'est possible. Deux de ces expressions ne sont pas des carrés.

A $=$
$16 x^{2} - 24 x + 9$
B $=$
$9 - 12 x + 4 x^{2}$
C $=$
$4 x^{2} - 6 x + 9$
D $=$
$25 x^{2} + 10 x - 1$
E $=$
$9 a^{2} + 25 - 30 a$
F $=$
$49 b^{2} + 4 - 28 b$

b) Factoriser à l'aide de l'identité $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

G $=$
$49 x^{2} - 25$
H $=$
$64 - 9 x^{2}$
I $=$
$(x + 2)^{2} - 16$
J $=$
$36 - (x - 1)^{2}$

Corrigé

A

= (4 x)^{2} - 2 \times 4 x \times 3 + 3^{2}

A

= (4 x - 3)^{2}

B

= 3^{2} - 2 \times 3 \times 2 x + (2 x)^{2}

B

= (3 - 2 x)^{2}

$C$ : $2 \times 2 x \times 3 = 12 x$ , pas $6 x$ : $pas un carr \overset{e}{ˊ}$

$D$ : le terme $- 1$ est négatif : $pas un carr \overset{e}{ˊ}$

E

= (3 a)^{2} - 2 \times 3 a \times 5 + 5^{2}

E

= (3 a - 5)^{2}

F

= (7 b)^{2} - 2 \times 7 b \times 2 + 2^{2}

F

= (7 b - 2)^{2}

G

= (7 x)^{2} - 5^{2}

G

= (7 x - 5) (7 x + 5)

H

= 8^{2} - (3 x)^{2}

H

= (8 - 3 x) (8 + 3 x)

I

= [(x + 2) - 4] [(x + 2) + 4]

I

= (x - 2) (x + 6)

J

= [6 - (x - 1)] [6 + (x - 1)]

J

= (7 - x) (5 + x)

Un carré est toujours positif : si l'un des deux termes « carrés » est négatif ( $D$ ), ce n'est pas une identité remarquable. Dans $J$ , les crochets évitent l'erreur de signe : $6 - (x - 1) = 7 - x$ .

Exercice 14 — Facteur commun entre parenthèses

Factoriser, puis réduire chaque facteur.

A $=$
$(3 x + 4) (2 x - 5) + (3 x + 4) (5 x + 1)$
B $=$
$(6 x - 1) (2 x + 3) + (6 x - 1) (x - 5)$
C $=$
$(2 x + 9) (4 x - 1) + (4 x - 1) (3 x + 2)$
D $=$
$(4 r - 3) (2 r + 5) + (r + 7) (2 r + 5)$
E $=$
$(5 x + 3) (x - 4) + (5 x + 3)$
F $=$
$(7 r - 2) (3 r + 1) + (7 r - 2)^{2}$
G $=$
$(4 m - 5)^{2} - (4 m - 5) (m + 3)$

Pour E, écrire $(5 x + 3) = (5 x + 3) \times 1$ ; pour F et G, écrire le carré comme un produit de deux facteurs égaux.

Corrigé

On écrit le facteur commun devant, puis entre crochets ce qui reste de chaque terme ; on réduit le crochet.

A

= (3 x + 4) [(2 x - 5) + (5 x + 1)]

A

= (3 x + 4) (7 x - 4)

B

= (6 x - 1) [(2 x + 3) + (x - 5)]

B

= (6 x - 1) (3 x - 2)

C

= (4 x - 1) [(2 x + 9) + (3 x + 2)]

C

= (4 x - 1) (5 x + 11)

D

= (2 r + 5) [(4 r - 3) + (r + 7)]

D

= (2 r + 5) (5 r + 4)

E

= (5 x + 3) (x - 4) + (5 x + 3) \times 1

E

= (5 x + 3) [(x - 4) + 1]

E

= (5 x + 3) (x - 3)

F

= (7 r - 2) (3 r + 1) + (7 r - 2) (7 r - 2)

F

= (7 r - 2) [(3 r + 1) + (7 r - 2)]

F

= (7 r - 2) (10 r - 1)

G

= (4 m - 5) (4 m - 5) - (4 m - 5) (m + 3)

G

= (4 m - 5) [(4 m - 5) - (m + 3)]

G

= (4 m - 5) (4 m - 5 - m - 3)

G

= (4 m - 5) (3 m - 8)

Dans $G$ , le $-$ devant le second produit change les deux signes de $(m + 3)$ . Dans $E$ , sans le $\times 1$ , on oublie le $+ 1$ .

V Résoudre des équations

Exercice 15 — Équations du premier degré

Résoudre dans $R$ :

a)
$4 x - 9 = 3 x + 12$
b)
$5 x - 17 = 2 x - 5$
c)
$2 x - 11 = 5 x + 13$
d)
$3 x + 8 = 3 x - 4$

Que se passe-t-il pour l'équation d) ?

Corrigé

a)
$4 x - 3 x = 12 + 9$ , donc $x = 21$ : $S = {21}$
b)
$3 x = 12$ , donc $x = 4$ : $S = {4}$
c)
$- 3 x = 24$ , donc $x = - 8$ : $S = {- 8}$
d)
$3 x - 3 x = - 4 - 8$ , soit $0 = - 12$ , impossible : $S = \emptyset$

En d), les $x$ disparaissent et il reste une égalité fausse : aucune solution.

Exercice 16 — Équations avec des parenthèses

Résoudre dans $R$ :

a)
$3 (x - 4) = 2 (- x + 4)$
b)
$- 2 (- a + 5) = 4 (3 - a) + 8$
c)
$m - (7 - 2 m) = 2 m + 5$
d)
$3 (p - 2) + 4 (p - 5) = 0$

Corrigé

a)
$3 x - 12 = - 2 x + 8$ , soit $5 x = 20$ : $S = {4}$
b)
$2 a - 10 = 12 - 4 a + 8$ , soit $6 a = 30$ : $S = {5}$
c)
$m - 7 + 2 m = 2 m + 5$ , soit $3 m - 7 = 2 m + 5$ : $S = {12}$
d)
$3 p - 6 + 4 p - 20 = 0$ , soit $7 p = 26$ : $S = {\frac{26}{7}}$

En c), $- (7 - 2 m) = - 7 + 2 m$ : le $-$ devant la parenthèse change les deux signes.

Exercice 17 — Équations produit

Résoudre dans $R$ :

a)
$(3 x - 9) (x + 5) = 0$
b)
$(2 x + 10) (3 - 4 x) = 0$
c)
$4 x (3 x - 8) = 0$
d)
$(2 x + 5)^{2} = 0$
e)
$6 x^{2} - 5 x = 0$
f)
$x^{2} - 49 = 0$

g)
$(x - 3) (2 x + 5) + (x - 3) (x - 8) = 0$
h)
$(3 x + 1) (x + 2) - (3 x + 1) (2 x + 6) = 0$

Corrigé

a)
$3 x - 9 = 0$ ou $x + 5 = 0$ : $S = {- 5; 3}$
b)
$2 x + 10 = 0$ ou $3 - 4 x = 0$ : $S = {- 5; \frac{3}{4}}$
c)
$4 x = 0$ ou $3 x - 8 = 0$ : $S = {0; \frac{8}{3}}$
d)
$2 x + 5 = 0$ : $S = {- \frac{5}{2}}$
e)
$x (6 x - 5) = 0$ : $S = {0; \frac{5}{6}}$
f)
$(x - 7) (x + 7) = 0$ : $S = {- 7; 7}$
g)
$(x - 3) [(2 x + 5) + (x - 8)] = 0$
$(x - 3) (3 x - 3) = 0$ : $S = {1; 3}$
h)
$(3 x + 1) [(x + 2) - (2 x + 6)] = 0$
$(3 x + 1) (- x - 4) = 0$ : $S = {- 4; - \frac{1}{3}}$

En e), diviser par $x$ ferait perdre la solution $0$ : on factorise. En d), le carré est nul seulement si $2 x + 5 = 0$ : une seule solution.

Exercice 18 — Un premier problème

Un magasin d'électronique reçoit $96$ composants : des résistances, des condensateurs et des diodes. Il y a deux fois plus de résistances que de condensateurs, et $8$ condensateurs de plus que de diodes.

Combien le magasin a-t-il reçu de composants de chaque sorte ?

Corrigé

Soit $c$ le nombre de condensateurs. Il y a $2 c$ résistances et $c - 8$ diodes.

2 c + c + (c - 8)

= 96

4 c - 8

= 96

c

= 26

Vérification : $52 + 26 + 18 = 96$ .

$52 r \overset{e}{ˊ} sistances, 26 condensateurs et 18 diodes$

« $8$ condensateurs de plus que de diodes » : ce sont les diodes qui en ont $8$ de moins, $c - 8$ et non $c + 8$ .

VI Mise en équation

Exercice 19 — Deux commandes de câbles

Un club de robotique achète $x$ câbles à $4$ € l'un. Un second club achète $15$ câbles de plus, à $1, 50$ € l'un. Les deux clubs dépensent la même somme.

a)
Exprimer en fonction de $x$ la dépense du premier club, le nombre de câbles achetés par le second club, puis sa dépense.
b)
Combien de câbles le premier club a-t-il achetés ?

Corrigé

a)
Premier club : $4 x$ euros ; le second achète $x + 15$ câbles et dépense $1, 5 (x + 15)$ euros, soit $1, 5 x + 22, 5$ .
b)
$4 x = 1, 5 x + 22, 5$ , soit $2, 5 x = 22, 5$ et $x = 9$ .
Vérification : $4 \times 9 = 36$ et $1, 5 \times 24 = 36$ .
$le premier club a achet \overset{e}{ˊ} 9 c \overset{a}{ˆ} bles$

Exercice 20 — Une question d'âges

Une technicienne a $58$ ans, sa fille $33$ ans et son petit-fils $7$ ans. Elle affirme : « Avant mes $70$ ans, la somme de vos deux âges sera égale au mien. » A-t-elle raison ?

On peut appeler $x$ le nombre d'années qui passent, mettre l'énoncé en équation, puis comparer l'âge atteint à $70$ ans.

Corrigé

Dans $x$ années, la technicienne aura $58 + x$ ans, sa fille $33 + x$ et son petit-fils $7 + x$ .

(33 + x) + (7 + x)

= 58 + x

40 + 2 x

= 58 + x

x

= 18

Dans $18$ ans : $51 + 25 = 76$ , l'âge de la technicienne. Or $76 > 70$ : $elle a tort$ .

Trouver $x$ ne suffit pas : on compare le résultat à la condition de l'énoncé (avant $70$ ans).

Exercice 21 — Trottinettes en libre-service

Un opérateur de trottinettes facture $1$ € le déverrouillage, puis $0, 25$ € la minute.

a)
Combien coûte un trajet de $12$ minutes ?
b)
Un trajet a coûté $6, 50$ €. Combien de minutes a-t-il duré ?
c)
Un second opérateur facture $0, 35$ € la minute, sans déverrouillage. Pour quelle durée les deux opérateurs coûtent-ils le même prix ?

Corrigé

a)
$1 + 0, 25 \times 12 = 4$ : $4 €$
b)
$1 + 0, 25 x = 6, 5$ , soit $0, 25 x = 5, 5$ et $x = 22$ : $22 minutes$
c)
$1 + 0, 25 x = 0, 35 x$ , soit $0, 1 x = 1$ et $x = 10$ : $10 minutes$

VII Résoudre des inéquations

Exercice 22 — Inéquations immédiates

Résoudre dans $R$ et donner les solutions sous forme d'intervalle :

a)
$x - 5 ⩽ 0$
b)
$x + 3 > 0$
c)
$4 x ⩽ 20$
d)
$2 x + 9 > 0$
e)
$- 3 x > 12$
f)
$- x + 7 ⩾ 0$
g)
$5 x - 2 < 0$
h)
$\frac{3 - 4 x}{5} ⩾ 0$

Corrigé

a)
$x ⩽ 5$ : $S =] - \infty; 5]$
b)
$x > - 3$ : $S =] - 3; + \infty [$
c)
$x ⩽ 5$ : $S =] - \infty; 5]$
d)
$2 x > - 9$ , $x > - \frac{9}{2}$ : $S =] - \frac{9}{2}; + \infty [$
e)
$x < - 4$ (division par $- 3$ : le sens change) :
$S =] - \infty; - 4 [$
f)
$- x ⩾ - 7$ , $x ⩽ 7$ : $S =] - \infty; 7]$
g)
$5 x < 2$ , $x < \frac{2}{5}$ : $S =] - \infty; \frac{2}{5} [$
h)
$3 - 4 x ⩾ 0$ , $- 4 x ⩾ - 3$ , $x ⩽ \frac{3}{4}$ :
$S =] - \infty; \frac{3}{4}]$

Crochet fermé pour $⩽$ ou $⩾$ , ouvert pour $<$ ou $>$ ; toujours ouvert du côté de l'infini.

Exercice 23 — L'inconnue des deux côtés

Résoudre dans $R$ :

a)
$4 x - 5 < 3 - 2 x$
b)
$3 x - 2 ⩾ 6 x + 7$
c)
$3 (x - 2) ⩾ 9 - 2 x$
d)
$- 2 (x - 3) < 4 - x$
e)
$3 (x + 1) < 5 + 3 x$
f)
$2 (x - 4) ⩾ 2 x + 1$

Que remarque-t-on pour e) et f) ?

Corrigé

a)
$6 x < 8$ , $x < \frac{4}{3}$ : $S =] - \infty; \frac{4}{3} [$
b)
$- 3 x ⩾ 9$ , $x ⩽ - 3$ : $S =] - \infty; - 3]$
c)
$3 x - 6 ⩾ 9 - 2 x$ , $5 x ⩾ 15$ : $S = [3; + \infty [$
d)
$- 2 x + 6 < 4 - x$ , $- x < - 2$ , $x > 2$ : $S =] 2; + \infty [$
e)
$3 x + 3 < 5 + 3 x$ , soit $3 < 5$ , toujours vrai : $S = R$
f)
$2 x - 8 ⩾ 2 x + 1$ , soit $- 8 ⩾ 1$ , toujours faux : $S = \emptyset$

En e) et f), les $x$ disparaissent : une inégalité vraie donne $S = R$ , une inégalité fausse $S = \emptyset$ .

Exercice 24 — Inéquations avec des fractions

Résoudre dans $R$ :

a)
$\frac{x}{2} + 3 ⩽ 5$
b)
$\frac{3 x - 2}{4} < 4$
c)
$\frac{x - 1}{2} - \frac{2 - x}{3} ⩾ 0$
d)
$\frac{x}{4} - \frac{6 - x}{2} > 3$

Corrigé

a)
$\frac{x}{2} ⩽ 2$ , $x ⩽ 4$ : $S =] - \infty; 4]$
b)
$3 x - 2 < 16$ , $x < 6$ : $S =] - \infty; 6 [$
c)
On multiplie par $6 > 0$ : $3 (x - 1) - 2 (2 - x) ⩾ 0$ , soit $5 x - 7 ⩾ 0$ :
$S = [\frac{7}{5}; + \infty [$
d)
On multiplie par $4 > 0$ : $x - 2 (6 - x) > 12$ , soit $3 x > 24$ :
$S =] 8; + \infty [$

On multiplie par un nombre positif : le sens ne change pas. Un numérateur précédé d'un $-$ se met entre parenthèses.

VIII Tableaux de signes

Exercice 25 — Signe d'une expression affine

Dresser le tableau de signes de chaque expression.

1)
$3 x - 12$
2)
$- 2 x + 10$
3)
$x + 5$
4)
$7 - x$
5)
$5 x + 2$
6)
$- 4 x - 6$

Corrigé

On résout d'abord $a x + b = 0$ ; après la valeur trouvée, le signe est celui de $a$ .

Exercice 26 — Signe d'un produit de deux facteurs

Dresser le tableau de signes de chaque expression.

1)
$(x - 5) (x - 2)$
2)
$(1 - 3 x) (x + 4)$
3)
$(2 x + 6) (5 - x)$
4)
$x^{2} - 16$

Pour 4), factoriser d'abord.

Corrigé

1) $P (x) = (x - 5) (x - 2)$ ; valeurs $2$ et $5$ . 2) $P (x) = (1 - 3 x) (x + 4)$ ; $1 - 3 x = 0$ pour $x = \frac{1}{3}$ ; $x + 4 = 0$ pour $x = - 4$ . 3) $(2 x + 6) (5 - x)$ ; valeurs $- 3$ et $5$ ; signe $-$ , $+$ , $-$ : positif sur $] - 3; 5 [$ , négatif ailleurs (sauf en $- 3$ et $5$ , où il est nul).

4) $x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$ ; valeurs $- 4$ et $4$ ; signe $+$ , $-$ , $+$ : négatif sur $] - 4; 4 [$ , positif sur $] - \infty; - 4 [$ et sur $] 4; + \infty [$ .

Les valeurs de la première ligne sont rangées dans l'ordre croissant ; la dernière ligne vient de la règle des signes, colonne par colonne.

Exercice 27 — Signe d'un produit de trois facteurs

Dresser le tableau de signes de chaque expression : une ligne par facteur, puis la ligne du produit.

1)
$x (x - 2) (x + 3)$
2)
$3 x (2 x - 5) (x + 4)$
3)
$(4 - x^{2}) (x - 3)$ (factoriser d'abord $4 - x^{2}$ )

Corrigé

1) $P (x) = x (x - 2) (x + 3)$ ; valeurs $- 3$ , $0$ et $2$ . 2) $3 x (2 x - 5) (x + 4)$ ; valeurs $- 4$ , $0$ et $\frac{5}{2}$ ; tous les coefficients de $x$ sont positifs, comme en 1) : signe $-$ , $+$ , $-$ , $+$ .

3) $4 - x^{2} = (2 - x) (2 + x)$ ; $P (x) = (2 - x) (2 + x) (x - 3)$ ; valeurs $- 2$ , $2$ et $3$ .

En 3), le facteur $2 - x$ est positif avant $2$ : le signe du produit commence par $+$ .

IX Inéquations produit

Exercice 28 — Deux facteurs

Résoudre dans $R$ , à l'aide d'un tableau de signes :

a)
$x (x - 3) ⩾ 0$
b)
$(x + 2) (x - 6) < 0$
c)
$(5 - x) (3 x + 9) ⩾ 0$
d)
$(3 x - 4) (1 - 5 x) < 0$

Corrigé

a) $P (x) = x (x - 3)$ ; valeurs $0$ et $3$ . $S =] - \infty; 0] \cup [3; + \infty [$

Pour la suite, seule la ligne du produit est donnée.

b) Valeurs $- 2$ et $6$ ; signe $+$ , $-$ , $+$ : $S =] - 2; 6 [$

c) Valeurs $- 3$ et $5$ ; signe $-$ , $+$ , $-$ : $S = [- 3; 5]$

d) Valeurs $\frac{1}{5}$ et $\frac{4}{3}$ ; signe $-$ , $+$ , $-$ :

$S =] - \infty; \frac{1}{5} [\cup] \frac{4}{3}; + \infty [$

Inégalité large ( $⩽$ , $⩾$ ) : les valeurs qui annulent sont solutions, crochets fermés. Inégalité stricte : crochets ouverts.

Exercice 29 — Trois facteurs

Résoudre dans $R$ :

a)
$x (x - 2) (x + 4) ⩾ 0$
b)
$(x + 3) (2 - x) (2 x - 1) < 0$
c)
$2 x (3 x - 4) (x + 6) ⩽ 0$
d)
$x (x^{2} - 16) > 0$

Corrigé

a) $P (x) = x (x - 2) (x + 4)$ ; valeurs $- 4$ , $0$ et $2$ . $S = [- 4; 0] \cup [2; + \infty [$

b) Valeurs $- 3$ , $\frac{1}{2}$ et $2$ ; signe $+$ , $-$ , $+$ , $-$ :

$S =] - 3; \frac{1}{2} [\cup] 2; + \infty [$

c) Valeurs $- 6$ , $0$ et $\frac{4}{3}$ ; signe $-$ , $+$ , $-$ , $+$ :

$S =] - \infty; - 6] \cup [0; \frac{4}{3}]$

d) $x (x - 4) (x + 4) > 0$ ; valeurs $- 4$ , $0$ et $4$ ; signe $-$ , $+$ , $-$ , $+$ :

$S =] - 4; 0 [\cup] 4; + \infty [$

En b), le facteur $2 - x$ est positif avant $2$ : le produit commence par $+$ .

Exercice 30 — Factoriser avant de résoudre

Résoudre dans $R$ :

a)
$x^{2} - 36 < 0$
b)
$x^{2} - 8 x ⩽ 0$
c)
$(9 x^{2} - 4) (x + 2) > 0$
d)
$(x + 2)^{2} - 16 > 0$

Corrigé

a)
$(x - 6) (x + 6) < 0$ ; signe $+$ , $-$ , $+$ : $S =] - 6; 6 [$
b)
$x (x - 8) ⩽ 0$ ; signe $+$ , $-$ , $+$ : $S = [0; 8]$
c)
$(3 x - 2) (3 x + 2) (x + 2) > 0$ ; valeurs $- 2$ , $- \frac{2}{3}$ , $\frac{2}{3}$ ; signe $-$ , $+$ , $-$ , $+$ :
$S =] - 2; - \frac{2}{3} [\cup] \frac{2}{3}; + \infty [$
d)
$[(x + 2) - 4] [(x + 2) + 4] > 0$ , soit $(x - 2) (x + 6) > 0$ :
$S =] - \infty; - 6 [\cup] 2; + \infty [$

$x^{2} < 36$ ne donne pas seulement $x < 6$ : le tableau de signes évite cette erreur.

X Inéquations quotient

Exercice 31 — Premières inéquations quotient

1) Donner la valeur interdite de $\frac{4 - x}{x + 5}$ , $\frac{7 - 2 x}{2 - x}$ et $\frac{x + 2}{3 x - 9}$ .

2) Résoudre dans $R$ :

a)
$\frac{4 - x}{x + 5} > 0$
b)
$\frac{x + 2}{3 x - 9} ⩽ 0$
c)
$\frac{7 - 2 x}{2 - x} ⩾ 0$
d)
$\frac{3 x + 2}{4 - x} < 0$

Corrigé

1) $x + 5 = 0$ pour $x = - 5$ ; $2 - x = 0$ pour $x = 2$ ; $3 x - 9 = 0$ pour $x = 3$ .

2) a) Valeur interdite $- 5$ ; le numérateur s'annule en $4$ . $S =] - 5; 4 [$

b) Interdite $3$ ; numérateur nul en $- 2$ ; signe $+$ , $-$ , $+$ :

$S = [- 2; 3 [$

c) Interdite $2$ ; numérateur nul en $\frac{7}{2}$ ; signe $+$ , $-$ , $+$ :

$S =] - \infty; 2 [\cup [\frac{7}{2}; + \infty [$

d) Interdite $4$ ; numérateur nul en $- \frac{2}{3}$ ; signe $-$ , $+$ , $-$ :

$S =] - \infty; - \frac{2}{3} [\cup] 4; + \infty [$

Même avec $⩽$ ou $⩾$ , la valeur interdite a toujours un crochet ouvert.

Exercice 32 — Avec une factorisation

Résoudre dans $R$ , après avoir donné les valeurs interdites :

a)
$\frac{x ( x - 2 )}{5 - 2 x} ⩽ 0$
b)
$\frac{x ^{2} - 16}{2 - x} > 0$
c)
$\frac{6 - 3 x}{x ^{2} - 9} ⩽ 0$

Corrigé

a) $Q (x) = \frac{x ( x - 2 )}{5 - 2 x}$ ; interdite $\frac{5}{2}$ ; numérateur nul en $0$ et $2$ . $S = [0; 2] \cup] \frac{5}{2}; + \infty [$

b) $\frac{( x - 4 ) ( x + 4 )}{2 - x} > 0$ ; interdite $2$ ; numérateur nul en $- 4$ et $4$ ; signe $+$ , $-$ , $+$ , $-$ :

$S =] - \infty; - 4 [\cup] 2; 4 [$

c) $\frac{6 - 3 x}{( x - 3 ) ( x + 3 )} ⩽ 0$ ; interdites $- 3$ et $3$ ; numérateur nul en $2$ ; signe $+$ , $-$ , $+$ , $-$ :

$S =] - 3; 2] \cup] 3; + \infty [$

Exercice 33 — Tout ramener d'un même côté

Résoudre dans $R$ :

a)
$\frac{3 x + 1}{x + 3} ⩽ 2$
b)
$\frac{2 - 5 x}{2 - x} ⩾ 3$
c)
$\frac{x + 4}{3 - 2 x} < 1$

Corrigé

a) Interdite $- 3$ .

\frac{3 x + 1}{x + 3}

⩽ 2

\frac{3 x + 1 - 2 ( x + 3 )}{x + 3}

⩽ 0

\frac{x - 5}{x + 3}

⩽ 0

Numérateur nul en $5$ ; signe $+$ , $-$ , $+$ : $S =] - 3; 5]$

b) Interdite $2$ .

\frac{2 - 5 x}{2 - x}

⩾ 3

\frac{2 - 5 x - 3 ( 2 - x )}{2 - x}

⩾ 0

\frac{- 2 x - 4}{2 - x}

⩾ 0

Numérateur nul en $- 2$ ; $- 2 x - 4$ et $2 - x$ sont positifs avant leur valeur ; signe $+$ , $-$ , $+$ :

$S =] - \infty; - 2] \cup] 2; + \infty [$

c) Interdite $\frac{3}{2}$ .

\frac{x + 4}{3 - 2 x}

< 1

\frac{x + 4 - ( 3 - 2 x )}{3 - 2 x}

< 0

\frac{3 x + 1}{3 - 2 x}

< 0

Numérateur nul en $- \frac{1}{3}$ ; signe $-$ , $+$ , $-$ :

$S =] - \infty; - \frac{1}{3} [\cup] \frac{3}{2}; + \infty [$

Multiplier par $x + 3$ serait faux : son signe dépend de $x$ , on ne saurait pas s'il faut changer le sens.

XI Problèmes avec des inéquations

Exercice 34 — Seuil de rentabilité

Un atelier assemble des modules Bluetooth. Pour $x$ modules par jour (avec $0 < x ⩽ 150$ ), le coût de production est $C (x) = 15 x + 480$ et la recette $R (x) = 31 x$ , en euros.

1)
Calculer $C (25)$ et $R (25)$ . L'atelier fait-il un bénéfice ce jour-là ?
2)
Résoudre $R (x) > C (x)$ . À partir de combien de modules par jour l'atelier fait-il un bénéfice ?
3)
Le coût moyen d'un module est $\frac{C ( x )}{x}$ . Combien de modules faut-il assembler pour que ce coût moyen ne dépasse pas $21$ € ?

Corrigé

1°)
$C (25) = 15 \times 25 + 480 = 855$ et $R (25) = 31 \times 25 = 775$ .
$R (25) < C (25)$ : $pas de b \overset{e}{ˊ} n \overset{e}{ˊ} fice$ .
2°)
$31 x > 15 x + 480$ , soit $16 x > 480$ et $x > 30$ .
$b \overset{e}{ˊ} n \overset{e}{ˊ} fice \overset{a}{ˋ} partir de 31 modules par jour$
3°)
$\frac{15 x + 480}{x} ⩽ 21$ , soit $\frac{480 - 6 x}{x} ⩽ 0$ .
$x > 0$ : le quotient a le signe de $480 - 6 x$ .
$480 - 6 x ⩽ 0$ , soit $x ⩾ 80$ : $au moins 80 modules par jour$

$x$ est un nombre entier de modules : au-dessus de $30$ , le premier entier est $31$ .

Exercice 35 — Louer un utilitaire électrique

Une entreprise de livraison loue un utilitaire électrique pour la journée et parcourt $x$ kilomètres, avec $0 ⩽ x ⩽ 300$ . Trois loueurs :

A : $0, 50$ € par kilomètre, sans forfait ;
B : forfait de $36$ €, puis $0, 20$ € par kilomètre ;
C : forfait de $60$ €, puis $0, 10$ € par kilomètre.

1)
Calculer le prix de $60$ km, puis de $150$ km, chez A et chez B. Quel loueur est le moins cher dans chaque cas ?
2)
Exprimer en fonction de $x$ le prix $A (x)$ chez A et le prix $B (x)$ chez B.
3)
Résoudre $B (x) < A (x)$ et interpréter le résultat.
4)
Chez B, l'entreprise ne veut pas dépenser plus de $80$ €. Combien de kilomètres peut-elle parcourir au plus ?
5)
Pour quelles distances le loueur C est-il strictement moins cher que les deux autres ? Justifier.

Corrigé

1°)
$60$ km : A coûte $30$ €, B coûte $36 + 12 = 48$ € : $A$ .
$150$ km : A coûte $75$ €, B coûte $36 + 30 = 66$ € : $B$ .
2°)
$A (x) = 0, 5 x$ et $B (x) = 36 + 0, 2 x$
3°)
$36 + 0, 2 x < 0, 5 x$ , soit $36 < 0, 3 x$ et $x > 120$ .
$B est moins cher au-del \overset{a}{ˋ} de 120 km$
4°)
$36 + 0, 2 x ⩽ 80$ , soit $0, 2 x ⩽ 44$ et $x ⩽ 220$ : $220 km au plus$
5°)
$C (x) = 60 + 0, 1 x$ .
$C (x) < A (x)$ : $60 < 0, 4 x$ , soit $x > 150$ .
$C (x) < B (x)$ : $24 < 0, 1 x$ , soit $x > 240$ .
Les deux à la fois, avec $x ⩽ 300$ : $x \in] 240; 300]$

« Moins cher que les deux autres » : les deux conditions sont vraies en même temps ; on garde la plus exigeante.

Exercice 36 — Bénéfice d'un fabricant de trottinettes

Un atelier fabrique chaque semaine entre $0$ et $120$ trottinettes. Pour $x$ trottinettes, son bénéfice, en euros, est

B (x) = - 2 x^{2} + 240 x - 4 000.

1)
Calculer $B (10)$ et $B (50)$ . L'atelier fait-il un bénéfice dans chaque cas ?
2)
Développer $(2 x - 40) (100 - x)$ . Qu'en déduit-on pour $B (x)$ ?
3)
Résoudre $B (x) > 0$ sur $[0; 120]$ , à l'aide d'un tableau de signes.
4)
Combien de trottinettes l'atelier doit-il fabriquer par semaine pour faire un bénéfice ?
5)
L'atelier vise un bénéfice d'au moins $2400$ €. Vérifier que $B (x) - 2400 = - 2 (x - 40) (x - 80)$ , puis en déduire le nombre de trottinettes à fabriquer.

Corrigé

1°)
$B (10) = - 200 + 2400 - 4000$ , soit $- 1800$ : perte.
$B (50) = - 5000 + 12000 - 4000$ , soit $3000$ : bénéfice.
2°)
$(2 x - 40) (100 - x)$
$= 200 x - 2 x^{2} - 4000 + 40 x$
$(2 x - 40) (100 - x)$
$= - 2 x^{2} + 240 x - 4000$

Donc $B (x) = (2 x - 40) (100 - x)$ .
3°)
Valeurs $20$ et $100$ . $S =] 20; 100 [$
4°)
$de 21 \overset{a}{ˋ} 99 trottinettes par semaine$
5°)
$- 2 (x - 40) (x - 80)$
$= - 2 (x^{2} - 120 x + 3200)$
$- 2 (x - 40) (x - 80)$
$= - 2 x^{2} + 240 x - 6400$

C'est bien $B (x) - 2400$ .
$B (x) ⩾ 2400$ s'écrit $- 2 (x - 40) (x - 80) ⩾ 0$ ; on divise par $- 2 < 0$ , le sens change : $(x - 40) (x - 80) ⩽ 0$ , signe $+$ , $-$ , $+$ .
$de 40 \overset{a}{ˋ} 80 trottinettes par semaine$

Le tableau est fait sur $[0; 120]$ : la première colonne commence à $0$ , pas à $- \infty$ .

ExercicesChapitre 1 — Calcul littéral

I Réduire une expression littérale

Exercice 1 — Réduire une somme

Exercice 2 — Réduire un produit

Exercice 3 — Somme ou produit ?

II Développer

Exercice 4 — Distributivité simple

Exercice 5 — Signes et facteurs négatifs

Exercice 6 — Double distributivité

III Les trois identités remarquables

Exercice 7 — Identité (a+b)2

Exercice 8 — Identité (a−b)2

Exercice 9 — Identité (a+b)(a−b)

Exercice 10 — Choisir la bonne méthode

IV Factoriser

Exercice 11 — Facteur commun

Exercice 12 — Identité a2+2ab+b2

Exercice 13 — Identités a2−2ab+b2 et a2−b2

Exercice 14 — Facteur commun entre parenthèses

V Résoudre des équations

Exercice 15 — Équations du premier degré

Exercice 16 — Équations avec des parenthèses

Exercice 17 — Équations produit

Exercice 18 — Un premier problème

VI Mise en équation

Exercice 19 — Deux commandes de câbles

Exercice 20 — Une question d'âges

Exercice 21 — Trottinettes en libre-service

VII Résoudre des inéquations

Exercice 22 — Inéquations immédiates

Exercice 23 — L'inconnue des deux côtés

Exercice 24 — Inéquations avec des fractions

VIII Tableaux de signes

Exercice 25 — Signe d'une expression affine

Exercice 26 — Signe d'un produit de deux facteurs

Exercice 27 — Signe d'un produit de trois facteurs

IX Inéquations produit

Exercice 28 — Deux facteurs

Exercice 29 — Trois facteurs

Exercice 30 — Factoriser avant de résoudre

X Inéquations quotient

Exercice 31 — Premières inéquations quotient

Exercice 32 — Avec une factorisation

Exercice 33 — Tout ramener d'un même côté

XI Problèmes avec des inéquations

Exercice 34 — Seuil de rentabilité

Exercice 35 — Louer un utilitaire électrique

Exercice 36 — Bénéfice d'un fabricant de trottinettes

Exercice 7 — Identité $(a + b)^{2}$

Exercice 8 — Identité $(a - b)^{2}$

Exercice 9 — Identité $(a + b) (a - b)$

Exercice 12 — Identité $a^{2} + 2 ab + b^{2}$

Exercice 13 — Identités $a^{2} - 2 ab + b^{2}$ et $a^{2} - b^{2}$