ExercicesChapitre 4 — Suites numériques

Télécharger en PDF

Cours Exercices Corrigé des exercices Enseignants : chapitre complet

En ligne

Cours complet, avec les exercices

Sommaire

I — Définition d'une suite
II — Suites définies explicitement
III — Suites définies par récurrence
IV — Programmer une suite définie par récurrence
V — Représentation graphique d'une suite
VI — Sens de variation d'une suite
VII — Suites arithmétiques
VIII — Reconnaître une suite arithmétique
IX — Terme général et variations d'une suite arithmétique
X — Suites géométriques
XI — Reconnaître une suite géométrique
XII — Terme général et variations d'une suite géométrique

I Définition d'une suite

Exercice 1 — Suites logiques

Pour chaque liste, dire comment on passe d'un nombre au suivant, puis écrire les trois nombres suivants.

a)
$5$ ; $10$ ; $15$ ; $20$ ; $25$ ; …
b)
$2$ ; $9$ ; $16$ ; $23$ ; $30$ ; …
c)
$30$ ; $26$ ; $22$ ; $18$ ; …
d)
$3$ ; $9$ ; $27$ ; $81$ ; …
e)
$1$ ; $8$ ; $27$ ; $64$ ; $125$ ; …
f)
$1$ ; $3$ ; $4$ ; $7$ ; $11$ ; $18$ ; …

Corrigé

a)
On ajoute $5$ : $30; 35; 40$
b)
On ajoute $7$ : $37; 44; 51$
c)
On enlève $4$ : $14; 10; 6$
d)
On multiplie par $3$ : $243; 729; 2187$
e)
Les cubes $1^{3}$ , $2^{3}$ , $3^{3}$ … : $216; 343; 512$
f)
Chaque nombre est la somme des deux précédents : $29; 47; 76$

Exercice 2 — Rang et position

La suite $(u_{n})$ commence par $7$ ; $13$ ; $19$ ; $25$ ; …, avec $u_{0} = 7$ .

1)
Donner $u_{1}$ et $u_{3}$ .
2)
Quel est le rang du $5^{e}$ terme ? Calculer ce terme.
3)
Calculer $u_{8}$ . À quelle position de la liste se trouve-t-il ?

Corrigé

On ajoute $6$ : $7$ ; $13$ ; $19$ ; $25$ ; $31$ ; $37$ ; $43$ ; $49$ ; $55$ .

1°)
$u_{1} = 13$ et $u_{3} = 25$ .
2°)
Le $5^{e}$ terme est de rang $4$ : $u_{4} = 31$ .
3°)
$u_{8} = 55$ , le $9^{e}$ nombre de la liste.

Le rang vaut la position moins $1$ , puisqu'on commence à $u_{0}$ .

Exercice 3 — Lire un tableau

Voici les premiers termes d'une suite $(u_{n})$ .

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$u_{n}$	$15$	$11$	$7$	$3$	$- 1$	$- 5$

1)
Donner $u_{3}$ , puis le $3^{e}$ terme de la suite.
2)
Pour quel rang $n$ a-t-on $u_{n} = - 1$ ?
3)
Comment passe-t-on d'un terme au suivant ? En déduire $u_{6}$ .

Corrigé

1°)
$u_{3} = 3$ ; le $3^{e}$ terme est $u_{2} = 7$ .
2°)
$u_{n} = - 1$ pour $n = 4$ .
3°)
On enlève $4$ à chaque fois : $u_{6} = - 5 - 4 = - 9$ .

Exercice 4 — Les tribunes d'un stade

Dans une tribune, la première rangée compte $30$ sièges, et chaque rangée en compte $4$ de plus que la précédente. On note $u_{0} = 30$ le nombre de sièges de la première rangée, $u_{1}$ celui de la deuxième, etc.

1)
Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ .
2)
Combien de sièges compte la $1 0^{e}$ rangée ?
3)
Quelle rangée compte $70$ sièges ?

Corrigé

1°)
On ajoute $4$ sièges par rangée : $u_{1} = 34$ ; $u_{2} = 38$ ; $u_{3} = 42$ ; $u_{4} = 46$ .
2°)
La $1 0^{e}$ rangée correspond à $u_{9}$ : on ajoute $9$ fois $4$ sièges à $u_{0}$ , soit $30 + 36 = 66$ sièges.
3°)
De $30$ à $70$ , on ajoute $40$ sièges, soit $10$ fois $4$ : $u_{10} = 70$ . C'est la $1 1^{e}$ rangée.

Piège du décalage : $u_{10}$ est la $1 1^{e}$ rangée.

II Suites définies explicitement

Exercice 5 — Des entiers

Soit $u_{n} = 5 n - 8$ . Calculer $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ , puis $u_{20}$ et $u_{100}$ .

Corrigé

u_{0}

= 5 \times 0 - 8 = - 8

u_{1}

= 5 \times 1 - 8 = - 3

u_{2}

= 5 \times 2 - 8 = 2

u_{3}

= 5 \times 3 - 8 = 7

u_{4}

= 5 \times 4 - 8 = 12

u_{20}

= 5 \times 20 - 8 = 92

u_{100}

= 5 \times 100 - 8 = 492

Exercice 6 — Pour chaque formule

Pour chaque suite, calculer les quatre premiers termes, puis le terme de rang $10$ .

a)
$a_{n} = 3^{n}$
b)
$b_{n} = n^{2} + n$
c)
$c_{n} = - 3 n + 4$
d)
$d_{n} = n^{2} - 4 n$
e)
$e_{n} = \frac{1}{2} n^{2} - 1$
f)
$f_{n} = (n - 3)^{2}$

Corrigé

a)
$1$ ; $3$ ; $9$ ; $27$ et $a_{10} = 3^{10} = 59049$
b)
$0$ ; $2$ ; $6$ ; $12$ et $b_{10} = 100 + 10 = 110$
c)
$4$ ; $1$ ; $- 2$ ; $- 5$ et $c_{10} = - 30 + 4 = - 26$
d)
$0$ ; $- 3$ ; $- 4$ ; $- 3$ et $d_{10} = 100 - 40 = 60$
e)
$- 1$ ; $- \frac{1}{2}$ ; $1$ ; $\frac{7}{2}$ et $e_{10} = 50 - 1 = 49$
f)
$9$ ; $4$ ; $1$ ; $0$ et $f_{10} = 7^{2} = 49$

Priorités : la puissance avant la multiplication, $\frac{1}{2} \times 3^{2} = \frac{9}{2}$ .

Exercice 7 — Fractions et signes

1)
Soit $u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2}$ . Calculer $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{8}$ , sous forme de fractions.
2)
Soit $v_{n} = (- 1)^{n}$ . Calculer $v_{1}$ , $v_{2}$ , $v_{3}$ et $v_{4}$ , puis $v_{40}$ , $v_{65}$ et $v_{100}$ .

Corrigé

1°)
$u_{0} = \frac{1}{2}$ ; $u_{1} = \frac{2}{3}$ ; $u_{2} = \frac{3}{4}$ ; $u_{3} = \frac{4}{5}$ ; $u_{8} = \frac{9}{10}$ .
2°)
$v_{1} = - 1$ ; $v_{2} = 1$ ; $v_{3} = - 1$ ; $v_{4} = 1$ .
Rang pair : $1$ ; rang impair : $- 1$ . Donc $v_{40} = 1$ ; $v_{65} = - 1$ ; $v_{100} = 1$ .

Exercice 8 — $u_{n + 1}$ ou $u_{n} + 1$ ?

Pour chaque suite, exprimer $u_{n + 1}$ , puis $u_{n} + 1$ , en fonction de $n$ .

a)
$u_{n} = 3 n + 2$
b)
$u_{n} = 5 - 4 n$
c)
$u_{n} = n^{2} - 2$

Corrigé

a)
$u_{n + 1} = 3 (n + 1) + 2 = 3 n + 5$ ; $u_{n} + 1 = 3 n + 3$
b)
$u_{n + 1} = 5 - 4 (n + 1) = 1 - 4 n$ ; $u_{n} + 1 = 6 - 4 n$
c)
$u_{n + 1} = (n + 1)^{2} - 2 = n^{2} + 2 n - 1$ ; $u_{n} + 1 = n^{2} - 1$

$u_{n + 1}$ : on remplace $n$ par $n + 1$ , entre parenthèses.

Exercice 9 — La borne de recharge

Une borne de recharge pour voiture électrique facture $2$ € la connexion, puis $3$ € par heure. On note $p_{n}$ le prix payé pour $n$ heures de charge.

1)
Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$ .
2)
Combien coûtent $5$ heures de charge ? $8$ heures ?
3)
Une conductrice a payé $23$ €. Combien de temps sa voiture a-t-elle chargé ?

Corrigé

1°)
$p_{n} = 2 + 3 n$
2°)
$p_{5} = 2 + 15 = 17$ € ; $p_{8} = 2 + 24 = 26$ €.
3°)
$2 + 3 n = 23$ , soit $3 n = 21$ et $n = 7$ : $7 heures$ .

III Suites définies par récurrence

Exercice 10 — Tripler et enlever

Soit $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 2$ . Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ , $u_{4}$ et $u_{5}$ .

Corrigé

u_{1}

= 3 \times 2 - 2 = 4

u_{2}

= 3 \times 4 - 2 = 10

u_{3}

= 3 \times 10 - 2 = 28

u_{4}

= 3 \times 28 - 2 = 82

u_{5}

= 3 \times 82 - 2 = 244

Exercice 11 — Des relatifs

Pour chaque suite, calculer les quatre termes qui suivent le premier.

a)
$u_{0} = 4$ et $u_{n + 1} = - 2 u_{n} + 3$
b)
$v_{0} = 1$ et $v_{n + 1} = v_{n}^{2} - 3$
c)
$w_{0} = - 4$ et $w_{n + 1} = 6 - w_{n}$

Corrigé

a)
$u_{1} = - 8 + 3 = - 5$ ; $u_{2} = 10 + 3 = 13$ ; $u_{3} = - 26 + 3 = - 23$ ; $u_{4} = 46 + 3 = 49$ .
$- 5; 13; - 23; 49$
b)
$v_{1} = 1 - 3 = - 2$ ; $v_{2} = 4 - 3 = 1$ , puis on recommence.
$- 2; 1; - 2; 1$
c)
$w_{1} = 6 - (- 4) = 10$ ; $w_{2} = 6 - 10 = - 4$ , puis on recommence.
$10; - 4; 10; - 4$

$- 2 \times (- 4) = 8$ : parenthèses autour d'un terme négatif.

Exercice 12 — Sans tout calculer ?

1)
Soit $a_{0} = - 3$ et $a_{n + 1} = - a_{n}$ . Calculer $a_{1}$ à $a_{5}$ , puis deviner $a_{40}$ et $a_{77}$ .
2)
Soit $b_{0} = 5$ et $b_{n + 1} = b_{n} + 4$ . Calculer $b_{1}$ à $b_{5}$ . Combien de calculs faudrait-il pour obtenir $b_{50}$ de cette façon ?

Corrigé

1°)
$a_{1} = 3$ ; $a_{2} = - 3$ ; $a_{3} = 3$ ; $a_{4} = - 3$ ; $a_{5} = 3$ .
Rang pair : $- 3$ ; rang impair : $3$ . Donc $a_{40} = - 3$ et $a_{77} = 3$ .
2°)
$9$ ; $13$ ; $17$ ; $21$ ; $25$ . Il faudrait $50$ calculs, un par terme.

Une formule explicite donnerait $b_{50}$ en un seul calcul (partie IX).

Exercice 13 — Avec des fractions

Soit $u_{0} = 50$ et $u_{n + 1} = \frac{10}{u _{n}}$ . Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ . Que remarque-t-on ?

Corrigé

u_{1}

= \frac{10}{50} = \frac{1}{5}

u_{2}

= 10 \div \frac{1}{5} = 10 \times 5 = 50

u_{3}

= \frac{10}{50} = \frac{1}{5}

u_{4}

= 50

Les termes $alternent entre 50 et \frac{1}{5}$ .

Diviser par $\frac{1}{5}$ , c'est multiplier par $5$ .

Exercice 14 — Quand la relation contient $n$

Soit $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = u_{n} - 2 n + 5$ . Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ (le nombre $n$ change à chaque étape).

Corrigé

u_{1}

= u_{0} - 2 \times 0 + 5 = 2 + 5 = 7

n = 0

u_{2}

= u_{1} - 2 \times 1 + 5 = 7 + 3 = 10

n = 1

u_{3}

= u_{2} - 2 \times 2 + 5 = 10 + 1 = 11

n = 2

u_{4}

= u_{3} - 2 \times 3 + 5 = 11 - 1 = 10

n = 3

Pour calculer $u_{n + 1}$ , on remplace $n$ par le rang du terme précédent.

Exercice 15 — Une culture de levures

Une cuve contient $300$ milliers de levures. Chaque heure, leur nombre double, puis on en prélève $80$ milliers. On note $b_{n}$ le nombre de levures (en milliers) après $n$ heures.

1)
Donner $b_{0}$ , puis exprimer $b_{n + 1}$ en fonction de $b_{n}$ .
2)
Calculer $b_{1}$ , $b_{2}$ et $b_{3}$ .

Corrigé

1°)
$b_{0} = 300$ et $b_{n + 1} = 2 b_{n} - 80$ .
2°)
$b_{1} = 600 - 80 = 520$ ; $b_{2} = 1040 - 80 = 960$ ; $b_{3} = 1920 - 80 = 1840$ (en milliers).

IV Programmer une suite définie par récurrence

Exercice 16 — Que renvoie ce programme ?

def suite(n):
    u = 3
    for i in range(n):
        u = 3*u - 4
    return u

1)
Quelle suite ce programme calcule-t-il ? Donner $u_{0}$ et la relation de récurrence.
2)
Calculer à la main ce que renvoient suite(1), suite(2) et suite(5).

Corrigé

1°)
$u_{0} = 3$ et $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 4$ .
2°)
$u_{1}$
$= 3 \times 3 - 4 = 5$
$u_{2}$
$= 3 \times 5 - 4 = 11$
$u_{3}$
$= 3 \times 11 - 4 = 29$
$u_{4}$
$= 3 \times 29 - 4 = 83$
$u_{5}$
$= 3 \times 83 - 4 = 245$

suite(1) renvoie $5$ , suite(2) renvoie $11$ , suite(5) renvoie $245$ .

La boucle tourne $n$ fois : suite(5) applique $5$ fois la relation à partir de $u_{0}$ .

Exercice 17 — Même travail

Même travail avec la ligne u = 160 au départ et la ligne u = 0.5*u + 2 dans la boucle, pour suite(1), suite(2) et suite(6).

Corrigé

$u_{0} = 160$ et $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 2$ .

u_{1}

= 0, 5 \times 160 + 2 = 82

u_{2}

= 0, 5 \times 82 + 2 = 43

u_{3}

= 0, 5 \times 43 + 2 = 23, 5

u_{4}

= 0, 5 \times 23, 5 + 2 = 13, 75

u_{5}

= 0, 5 \times 13, 75 + 2 = 8, 875

u_{6}

= 0, 5 \times 8, 875 + 2 = 6, 4375

suite(1) renvoie $82$ , suite(2) renvoie $43$ , suite(6) renvoie $6, 4375$ .

Python affiche 82.0 : avec 0.5, le résultat est un nombre décimal.

Exercice 18 — Compléter le programme

Soit $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = 1 + 2 u_{n}$ .

1)
Calculer $u_{3}$ à la main.
2)
Compléter le programme, puis donner $u_{10}$ .

def suite(n):
    u = .....
    for i in range(n):
        u = .....
    return u

3)
Même travail avec $v_{0} = 1$ et $v_{n + 1} = 6 - 2 v_{n}$ : écrire le programme, puis donner $v_{1}$ , $v_{5}$ et $v_{10}$ .

Corrigé

1°)
$u_{1}$
$= 1 + 2 \times 2 = 5$
$u_{2}$
$= 1 + 2 \times 5 = 11$
$u_{3}$
$= 1 + 2 \times 11 = 23$
2°)
On range $u_{0}$ dans u, puis on traduit la relation :
```
def suite(n):
    u = 2
    for i in range(n):
        u = 1 + 2*u
    return u
```
suite(10) affiche 3071 : $u_{10} = 3071$ .
3°)
Seules la valeur de départ et la ligne de la boucle changent :
```
def suite(n):
    u = 1
    for i in range(n):
        u = 6 - 2*u
    return u
```
$v_{1} = 4$ ; $v_{5} = 34$ ; $v_{10} = - 1022$ .

On contrôle le programme sur un terme calculé à la main : suite(3) doit afficher $23$ .

Exercice 19 — Les abonnés d'une salle de sport

Une salle de sport compte $1200$ abonnés en 2024. Chaque année, $40 %$ des abonnés ne se réinscrivent pas, et $600$ nouveaux abonnés arrivent. On note $a_{n}$ le nombre d'abonnés l'année $2024 + n$ : $a_{0} = 1200$ .

1)
Calculer $a_{1}$ et $a_{2}$ .
2)
Exprimer $a_{n + 1}$ en fonction de $a_{n}$ .
3)
Écrire un programme qui renvoie $a_{n}$ .
4)
Combien y aura-t-il d'abonnés en 2039 (arrondi à l'unité) ?
5)
Vers quelle valeur le nombre d'abonnés semble-t-il se stabiliser ?

Corrigé

1°)
$60 %$ des abonnés restent, puis $600$ arrivent :

$a_{1}$
$= 0, 6 \times 1200 + 600 = 1320$
$a_{2}$
$= 0, 6 \times 1320 + 600 = 1392$
2°)
$a_{n + 1} = 0, 6 a_{n} + 600$

3°)

Sur le modèle de la fonction suite(n) du cours :

def abonnes(n):
    a = 1200
    for i in range(n):
        a = 0.6*a + 600
    return a

4°)
2039 correspond à $n = 15$ : abonnes(15) affiche 1499.85…, soit environ $1500$ abonnés.
5°)
Le nombre d'abonnés semble se stabiliser vers $1500$ .

Non exigé : avec $1500$ abonnés, $0, 6 \times 1500 + 600 = 1500$ , le nombre ne change plus.

V Représentation graphique d'une suite

Exercice 20 — Placer les points

Soit $u_{n} = n^{2} - 6 n + 5$ .

1)
Calculer $u_{0}$ , $u_{1}$ , …, $u_{6}$ .
2)
Représenter ces termes dans le repère ci-contre.

Corrigé

1°) $u_{n} = n^{2} - 6 n + 5$ :

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$u_{n}$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

Par exemple : $u_{3} = 9 - 18 + 5 = - 4$ .

2°) On place les points $(n; u_{n})$ , sans les relier.

Les points ne sont pas reliés : il n'y a pas de rang $1, 5$ .

Exercice 21 — Une suite qui alterne

Soit $u_{0} = 4$ et $u_{n + 1} = - u_{n} + 2$ . Calculer $u_{1}$ à $u_{6}$ , puis représenter ces termes dans un repère.

Corrigé

u_{1}

= - 4 + 2 = - 2

u_{2}

= - (- 2) + 2 = 4

Puis on recommence : $u_{3} = - 2$ ; $u_{4} = 4$ ; $u_{5} = - 2$ ; $u_{6} = 4$ .

Les termes $alternent entre 4 et - 2$ .

Exercice 22 — Une suite qui se rapproche

Soit $u_{0} = - 6$ et $u_{n + 1} = \frac{u _{n} + 10}{2}$ . Calculer $u_{1}$ à $u_{4}$ , puis représenter $u_{0}$ à $u_{4}$ dans un repère. De quel nombre les termes semblent-ils se rapprocher ?

Corrigé

u_{1}

= \frac{- 6 + 10}{2} = 2

u_{2}

= \frac{2 + 10}{2} = 6

u_{3}

= \frac{6 + 10}{2} = 8

u_{4}

= \frac{8 + 10}{2} = 9

Les termes semblent se rapprocher de $10$ .

Chaque terme est à mi-chemin entre le précédent et $10$ : l'écart à $10$ est divisé par $2$ à chaque étape.

Exercice 23 — Lire un graphique

Les croix représentent les premiers termes d'une suite $(u_{n})$ .

1)
Lire $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ .
2)
Comment passe-t-on d'un terme au suivant ?
3)
En déduire $u_{5}$ et $u_{6}$ .

Corrigé

1°)
$u_{0} = 8$ ; $u_{1} = 6$ ; $u_{2} = 4$ ; $u_{3} = 2$ ; $u_{4} = 0$ .
2°)
On $enl \overset{e}{ˋ} ve 2$ à chaque fois.
3°)
$u_{5} = - 2$ et $u_{6} = - 4$ .

VI Sens de variation d'une suite

Exercice 24 — Conjecturer

Voici les premiers termes de quatre suites. Pour chacune, dire si elle semble croissante, décroissante, ou ni l'une ni l'autre.

a)
$1$ ; $3$ ; $6$ ; $10$ ; $15$
b)
$8$ ; $5$ ; $1$ ; $- 4$ ; $- 10$
c)
$2$ ; $- 2$ ; $2$ ; $- 2$ ; $2$
d)
$- 9$ ; $- 7$ ; $- 6$ ; $- 4$ ; $- 3$

Corrigé

a)
Les termes augmentent : $croissante$ .
b)
Les termes diminuent : $d \overset{e}{ˊ} croissante$ .
c)
Ils montent puis descendent : $ni l’une ni l’autre$ .
d)
Les termes augmentent : $croissante$ .

Quelques termes ne prouvent rien : c'est une conjecture.

Exercice 25 — Suites définies par récurrence

Étudier le sens de variation de chaque suite à l'aide de $u_{n + 1} - u_{n}$ .

a)
$u_{0} = 3$ et $u_{n + 1} = u_{n} - 6$
b)
$u_{0} = - 2$ et $u_{n + 1} = u_{n} + n^{2} + 1$
c)
$u_{0} = 4$ et $u_{n + 1} = u_{n} - 2 n^{2}$
d)
$u_{0} = - 5$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 5 n + 3$

Corrigé

a)
$u_{n + 1} - u_{n} = - 6 < 0$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$ .
b)
$u_{n + 1} - u_{n} = n^{2} + 1$ ; un carré est positif, donc $n^{2} + 1 ⩾ 1 > 0$ : $croissante$ .
c)
$u_{n + 1} - u_{n} = - 2 n^{2} ⩽ 0$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$ .
d)
$u_{n + 1} - u_{n} = 5 n + 3$ ; comme $n ⩾ 0$ , on a $5 n + 3 ⩾ 3 > 0$ : $croissante$ .

Avec une relation de récurrence, la différence se lit directement : les $u_{n}$ se simplifient.

Exercice 26 — Suites définies explicitement

Pour chaque suite, exprimer $u_{n + 1}$ en fonction de $n$ , puis étudier le sens de variation à l'aide de $u_{n + 1} - u_{n}$ .

a)
$u_{n} = 4 n - 9$
b)
$u_{n} = 6 - 3 n$
c)
$u_{n} = 2 n^{2} - 5$
d)
$u_{n} = n^{2} + 6 n$

Corrigé

a)
$u_{n + 1} = 4 n - 5$ et $u_{n + 1} - u_{n} = 4 n - 5 - (4 n - 9) = 4 > 0$ : $croissante$ .
b)
$u_{n + 1} = 3 - 3 n$ et $u_{n + 1} - u_{n} = 3 - 3 n - (6 - 3 n) = - 3 < 0$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$ .
c)
$u_{n + 1} = 2 (n + 1)^{2} - 5 = 2 n^{2} + 4 n - 3$ .
$u_{n + 1} - u_{n} = 4 n + 2$ ; comme $n ⩾ 0$ , on a $4 n + 2 ⩾ 2 > 0$ : $croissante$ .
d)
$u_{n + 1} = (n + 1)^{2} + 6 (n + 1) = n^{2} + 8 n + 7$ .
$u_{n + 1} - u_{n} = 2 n + 7$ ; comme $n ⩾ 0$ , on a $2 n + 7 ⩾ 7 > 0$ : $croissante$ .

On soustrait $u_{n}$ entre parenthèses : $- (6 - 3 n) = - 6 + 3 n$ .

Exercice 27 — Conjecture, puis preuve

Soit $u_{n} = - n^{2} + 4 n + 5$ .

1)
Calculer les six premiers termes. Que peut-on conjecturer à partir de $u_{2}$ ?
2)
Montrer que $u_{n + 1} - u_{n} = 3 - 2 n$ .
3)
Quel est le signe de $3 - 2 n$ quand $n ⩾ 2$ ? Conclure.

Corrigé

1°)
$5$ ; $8$ ; $9$ ; $8$ ; $5$ ; $0$ : à partir de $u_{2}$ , la suite $semble d \overset{e}{ˊ} croissante$ .
2°)
$u_{n + 1} = - (n + 1)^{2} + 4 (n + 1) + 5 = - n^{2} + 2 n + 8$ .
$u_{n + 1} - u_{n} = - n^{2} + 2 n + 8 - (- n^{2} + 4 n + 5) = 3 - 2 n$ .
3°)
Pour $n ⩾ 2$ , on a $2 n ⩾ 4$ , donc $3 - 2 n ⩽ - 1 < 0$ : la suite $est d \overset{e}{ˊ} croissante \overset{a}{ˋ} partir du rang 2$ .

$- (n + 1)^{2} = - (n^{2} + 2 n + 1)$ : le signe moins porte sur les trois termes.

VII Suites arithmétiques

Exercice 28 — Premiers termes

$(u_{n})$ est arithmétique. Écrire la relation de récurrence, puis calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .

a)
$u_{0} = 4$ et $r = 6$
b)
$u_{0} = 12$ et $r = - 5$
c)
$u_{0} = - 3$ et $r = 0, 5$
d)
$u_{0} = \frac{1}{4}$ et $r = \frac{1}{2}$

Corrigé

a)
$u_{n + 1} = u_{n} + 6$ : $10; 16; 22$
b)
$u_{n + 1} = u_{n} - 5$ : $7; 2; - 3$
c)
$u_{n + 1} = u_{n} + 0, 5$ : $- 2, 5; - 2; - 1, 5$
d)
$u_{n + 1} = u_{n} + \frac{1}{2}$ : $\frac{3}{4}; \frac{5}{4}; \frac{7}{4}$

En d), $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ : on ajoute $\frac{2}{4}$ à chaque fois.

Exercice 29 — Arithmétique ou pas ?

Pour chaque situation, dire si elle se traduit par une suite arithmétique ; si oui, donner le premier terme et la raison.

a)
Un loyer de $650$ € augmente de $15$ € chaque année.
b)
Une population de $5000$ bactéries augmente de $10 %$ par heure.
c)
Une piscine de $60 m^{3}$ se vide de $4 m^{3}$ par heure.
d)
Une balle lâchée de $3$ m remonte, à chaque rebond, aux trois quarts de sa hauteur précédente.

Corrigé

a)
On ajoute $15$ : $oui, u_{0} = 650 et r = 15$ .
b)
On multiplie par $1, 1$ : $non$ (c'est une suite géométrique).
c)
On enlève $4$ : $oui, u_{0} = 60 et r = - 4$ .
d)
On multiplie par $0, 75$ : $non$ .

« Ajouter le même nombre » : arithmétique ; « le même pourcentage » : ce n'est pas arithmétique.

Exercice 30 — Le food truck

La première semaine, un food truck sert $40$ repas ; ensuite, il en sert chaque semaine $5$ de plus que la semaine précédente. On note $u_{1} = 40$ les repas de la première semaine, $u_{2}$ ceux de la deuxième, etc.

1)
Justifier que $(u_{n})$ est arithmétique et donner sa raison.
2)
Combien de repas sont servis la $2^{e}$ semaine ? la $6^{e}$ ?

Corrigé

1°)
Chaque semaine, on ajoute $5$ repas : $u_{n + 1} = u_{n} + 5$ . La suite est $arithm \overset{e}{ˊ} tique de raison 5$ .
2°)
$u_{2} = 40 + 5 = 45$ repas.
$u_{6}$ : de $u_{1}$ à $u_{6}$ , on ajoute $5$ fois $5$ , soit $40 + 25 = 65$ repas.

Exercice 31 — Une application

Une application compte $2500$ utilisateurs le premier mois, puis $400$ de plus chaque mois. On note $v_{1}$ le nombre d'utilisateurs du premier mois, $v_{2}$ celui du deuxième, etc.

1)
Donner $v_{1}$ , puis calculer $v_{2}$ , $v_{3}$ et $v_{4}$ .
2)
Quelle est la nature de la suite $(v_{n})$ ? Donner sa raison.

Corrigé

1°)
$v_{1} = 2500$ ; $v_{2} = 2900$ ; $v_{3} = 3300$ ; $v_{4} = 3700$ .
2°)
On ajoute $400$ chaque mois : $arithm \overset{e}{ˊ} tique de raison 400$ .

VIII Reconnaître une suite arithmétique

Exercice 32 — À partir des termes

Ces nombres peuvent-ils être les premiers termes d'une suite arithmétique ? Si oui, donner la raison.

a)
$3$ ; $8$ ; $13$ ; $18$
b)
$20$ ; $14$ ; $8$ ; $2$
c)
$2$ ; $3$ ; $5$ ; $8$
d)
$1, 5$ ; $2, 25$ ; $3$ ; $3, 75$
e)
$401$ ; $377$ ; $353$ ; $329$
f)
$2$ ; $4$ ; $8$ ; $16$

Corrigé

a)
Différences $5$ ; $5$ ; $5$ : $oui, r = 5$
b)
Différences $- 6$ ; $- 6$ ; $- 6$ : $oui, r = - 6$
c)
Différences $1$ puis $2$ : $non$
d)
Différences $0, 75$ ; $0, 75$ ; $0, 75$ : $oui, r = 0, 75$
e)
Différences $- 24$ ; $- 24$ ; $- 24$ : $oui, r = - 24$
f)
Différences $2$ puis $4$ : $non$

Exercice 33 — Démontrer

Soit $u_{n} = 5 n - 2$ .

1)
Calculer $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
2)
Exprimer $u_{n + 1}$ en fonction de $n$ .
3)
Démontrer que $(u_{n})$ est arithmétique ; préciser son premier terme et sa raison.

Corrigé

1°)
$u_{0} = - 2$ ; $u_{1} = 3$ ; $u_{2} = 8$ ; $u_{3} = 13$ .
2°)
$u_{n + 1} = 5 (n + 1) - 2 = 5 n + 3$ .
3°)
$u_{n + 1} - u_{n} = 5 n + 3 - (5 n - 2) = 5$ : un nombre, sans $n$ .
$(u_{n}) est arithm \overset{e}{ˊ} tique, u_{0} = - 2 et r = 5$

Exercice 34 — Pour chaque suite

Pour chaque suite, dire si elle est arithmétique. Si oui, donner sa raison et son premier terme ; sinon, le prouver avec les premiers termes.

a)
$a_{n} = 4 n$
b)
$b_{n} = 2 - 3 n$
c)
$c_{n} = n^{2} + n$
d)
$d_{n} = \frac{n}{3}$
e)
$e_{n} = 2 - n^{2}$
f)
$f_{n} = (n + 2)^{2} - n^{2}$
g)
$g_{0} = 1$ et $g_{n + 1} = g_{n}^{2} + 1$

Corrigé

a)
$a_{n + 1} - a_{n} = 4$ : $oui, r = 4 et a_{0} = 0$
b)
$b_{n + 1} - b_{n} = - 3$ : $oui, r = - 3 et b_{0} = 2$
c)
$0$ ; $2$ ; $6$ , différences $2$ et $4$ : $non$
d)
$d_{n + 1} - d_{n} = \frac{1}{3}$ : $oui, r = \frac{1}{3} et d_{0} = 0$
e)
$2$ ; $1$ ; $- 2$ , différences $- 1$ et $- 3$ : $non$
f)
$f_{n} = n^{2} + 4 n + 4 - n^{2} = 4 n + 4$ , donc $f_{n + 1} - f_{n} = 4$ : $oui, r = 4 et f_{0} = 4$
g)
$1$ ; $2$ ; $5$ , différences $1$ et $3$ : $non$

En f), on développe d'abord : l'expression se simplifie en $4 n + 4$ .

IX Terme général et variations d'une suite arithmétique

Exercice 35 — Calculer un terme éloigné

$(u_{n})$ est arithmétique. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , calculer le terme demandé, puis donner le sens de variation.

a)
$u_{0} = 8$ , $r = - 3$ : $u_{9}$
b)
$u_{0} = 2$ , $r = 6$ : $u_{100}$
c)
$u_{0} = - 5$ , $r = \frac{5}{2}$ : $u_{6}$
d)
$u_{0} = 4$ , $r = - \frac{2}{3}$ : $u_{9}$

Corrigé

a)
$u_{n} = 8 - 3 n$ ; $u_{9} = 8 - 27 = - 19$ ; $r < 0$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$
b)
$u_{n} = 2 + 6 n$ ; $u_{100} = 2 + 600 = 602$ ; $r > 0$ : $croissante$
c)
$u_{n} = - 5 + \frac{5}{2} n$ ; $u_{6} = - 5 + 15 = 10$ ; $r > 0$ : $croissante$
d)
$u_{n} = 4 - \frac{2}{3} n$ ; $u_{9} = 4 - 6 = - 2$ ; $r < 0$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$

Exercice 36 — Quand on ne part pas de $u_{0}$

$(u_{n})$ est arithmétique.

a)
$u_{1} = 3$ et $r = 4$ . Exprimer $u_{n}$ , puis calculer $u_{10}$ .
b)
$u_{1} = - 6$ et $r = 0, 5$ . Calculer $u_{21}$ .
c)
$u_{4} = 10$ et $r = 3$ . Calculer $u_{0}$ , puis $u_{12}$ .

Corrigé

a)
$u_{n} = 3 + (n - 1) \times 4 = 4 n - 1$ ; $u_{10} = 39$ .
b)
$u_{21} = - 6 + 20 \times 0, 5 = 4$ .
c)
De $u_{0}$ à $u_{4}$ , on ajoute $4$ fois $3$ : $u_{0} = 10 - 12 = - 2$ .
$u_{12} = - 2 + 12 \times 3 = 34$ .

De $u_{1}$ à $u_{21}$ , on ajoute $20$ fois la raison, pas $21$ .

Exercice 37 — Une application (suite)

On reprend l'exercice 31 : $v_{1} = 2500$ et $r = 400$ .

1)
Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ .
2)
Combien l'application comptera-t-elle d'utilisateurs le $1 2^{e}$ mois ?
3)
Quel est le sens de variation de $(v_{n})$ ?

Corrigé

1°)
$v_{n} = 2500 + (n - 1) \times 400$
2°)
$v_{12} = 2500 + 11 \times 400 = 6900$ utilisateurs.
3°)
$r = 400 > 0$ : $(v_{n}) est croissante$ .

Exercice 38 — Économiser pour un scooter

Une apprentie veut acheter un scooter à $2000$ €. Le $1^{er}$ mars, elle a $1100$ € ; elle met ensuite $75$ € de côté chaque mois. On note $u_{1} = 1100$ son épargne au $1^{er}$ mars, $u_{2}$ au $1^{er}$ avril, etc.

1)
Calculer $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{4}$ .
2)
Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer $u_{7}$ .
3)
Pour quel $n$ a-t-on $u_{n} = 2000$ ? À quelle date pourra-t-elle acheter le scooter ?

Corrigé

1°)
$u_{2} = 1175$ ; $u_{3} = 1250$ ; $u_{4} = 1325$ .
2°)
$u_{n} = 1100 + (n - 1) \times 75$ ; $u_{7} = 1100 + 6 \times 75 = 1550$ .
3°)
$1100 + (n - 1) \times 75 = 2000$ , soit $(n - 1) \times 75 = 900$ , $n - 1 = 12$ et $n = 13$ .
$u_{13}$ : $12$ mois après le $1^{er}$ mars, donc $le 1^{er} mars de l’ann \overset{e}{ˊ} e suivante$ .

Exercice 39 — La production d'une usine

En 2024, une usine fabrique $4500$ pièces ; sa production augmente ensuite de $500$ pièces par an. On note $p_{1} = 4500$ la production de 2024, $p_{2}$ celle de 2025, etc.

1)
Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$ .
2)
Calculer la production en 2027, puis en 2040.
3)
En quelle année la production aura-t-elle triplé ?

Corrigé

1°)
$p_{n} = 4500 + (n - 1) \times 500$
2°)
2027 : $n = 4$ , $p_{4} = 4500 + 1500 = 6000$ pièces.
2040 : $n = 17$ , $p_{17} = 4500 + 8000 = 12500$ pièces.
3°)
Tripler : $3 \times 4500 = 13500$ . $(n - 1) \times 500 = 9000$ , soit $n - 1 = 18$ et $n = 19$ : $en 2042$ .

L'année $2023 + n$ correspond au rang $n$ : $p_{1}$ est 2024.

X Suites géométriques

Exercice 40 — Coefficient multiplicateur

Donner le coefficient multiplicateur $q$ de chaque évolution.

a)
Augmenter de $4 %$
b)
Diminuer de $4 %$
c)
Augmenter de $30 %$
d)
Diminuer de $30 %$
e)
Augmenter de $65 %$
f)
Diminuer de $12 %$
g)
Augmenter de $200 %$
h)
Diminuer de $45 %$

Corrigé

a)
$1, 04$
b)
$0, 96$
c)
$1, 3$
d)
$0, 7$
e)
$1, 65$
f)
$0, 88$
g)
$3$
h)
$0, 55$

Augmenter de $200 %$ , c'est multiplier par $1 + 2 = 3$ .

Exercice 41 — Dans l'autre sens

Pour chaque coefficient multiplicateur, dire s'il traduit une augmentation ou une diminution, et de quel pourcentage.

a)
$0, 96$
b)
$1, 07$
c)
$0, 25$
d)
$1, 6$
e)
$3$
f)
$0, 98$
g)
$1, 035$
h)
$0, 82$

Corrigé

a)
$- 4 %$
b)
$+ 7 %$
c)
$- 75 %$
d)
$+ 60 %$
e)
$+ 200 %$
f)
$- 2 %$
g)
$+ 3, 5 %$
h)
$- 18 %$

$q > 1$ : augmentation de $(q - 1) \times 100 %$ ; $q < 1$ : diminution de $(1 - q) \times 100 %$ .

Exercice 42 — Premiers termes

$(u_{n})$ est géométrique. Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .

a)
$u_{0} = 5$ et $q = 3$
b)
$u_{0} = 96$ et $q = 0, 5$
c)
$u_{0} = 2000$ et $q = 1, 05$
d)
$u_{0} = 81$ et $q = \frac{1}{3}$

Corrigé

a)
$15; 45; 135$
b)
$48; 24; 12$
c)
$2100; 2205; 2315, 25$
d)
$27; 9; 3$

Exercice 43 — Deux situations

Pour chaque situation, donner le premier terme et la relation entre $u_{n + 1}$ et $u_{n}$ , puis calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .

a)
Une technicienne place une prime de $3000$ € à $2 %$ par an ; $u_{n}$ est le capital après $n$ années.
b)
Une ville de $40000$ habitants perd $3 %$ de sa population chaque année ; $u_{n}$ est la population après $n$ années.

Corrigé

a)
$u_{0} = 3000$ et $u_{n + 1} = 1, 02 \times u_{n}$ .
$u_{1} = 3060$ € ; $u_{2} = 3121, 20$ €.
b)
$u_{0} = 40000$ et $u_{n + 1} = 0, 97 \times u_{n}$ .
$u_{1} = 38800$ ; $u_{2} = 37636$ habitants.

XI Reconnaître une suite géométrique

Exercice 44 — À partir des termes

Ces nombres peuvent-ils être les premiers termes d'une suite géométrique ? Si oui, donner la raison.

a)
$5$ ; $10$ ; $20$ ; $40$
b)
$3$ ; $12$ ; $48$ ; $180$
c)
$128$ ; $32$ ; $8$ ; $2$
d)
$4$ ; $8$ ; $12$ ; $16$
e)
$200$ ; $220$ ; $242$ ; $266, 2$
f)
$50$ ; $10$ ; $2$ ; $0, 4$

Corrigé

a)
Quotients $2$ ; $2$ ; $2$ : $oui, q = 2$
b)
$\frac{12}{3} = 4$ ; $\frac{48}{12} = 4$ ; mais $\frac{180}{48} = 3, 75$ : $non$
c)
Quotients $\frac{1}{4}$ : $oui, q = \frac{1}{4}$
d)
$\frac{8}{4} = 2$ mais $\frac{12}{8} = 1, 5$ : $non$
e)
Quotients $1, 1$ : $oui, q = 1, 1$
f)
Quotients $0, 2$ : $oui, q = 0, 2$

En b), $48 \times 4 = 192$ , pas $180$ : un seul quotient différent suffit pour dire non.

Exercice 45 — Démontrer

Soit $u_{n} = 2 \times 3^{n}$ .

1)
Calculer $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
2)
Exprimer $u_{n + 1}$ en fonction de $n$ .
3)
Démontrer que $(u_{n})$ est géométrique ; préciser son premier terme et sa raison.

Corrigé

1°)
$u_{0} = 2$ ; $u_{1} = 6$ ; $u_{2} = 18$ ; $u_{3} = 54$ .
2°)
$u_{n + 1} = 2 \times 3^{n + 1}$ .
3°)
$u_{n + 1} = 2 \times 3^{n} \times 3 = 3 \times u_{n}$ .
$(u_{n}) est g \overset{e}{ˊ} om \overset{e}{ˊ} trique, u_{0} = 2 et q = 3$

Exercice 46 — Pour chaque suite

Pour chaque suite, dire si elle est géométrique. Si oui, donner sa raison et son premier terme ; sinon, le prouver avec les premiers termes.

a)
$a_{n} = 5^{n}$
b)
$b_{n} = n^{2} + 3$
c)
$c_{n} = 8 \times 0, 5^{n}$
d)
$d_{n} = 3 n + 1$

e)
$e_{0} = 1$ et $e_{n + 1} = e_{n}^{2} + 2$

Corrigé

a)
$a_{n + 1} = 5^{n} \times 5 = 5 \times a_{n}$ : $oui, q = 5 et a_{0} = 1$
b)
$3$ ; $4$ ; $7$ , quotients $\frac{4}{3}$ et $\frac{7}{4}$ : $non$
c)
$c_{n + 1} = 0, 5 \times c_{n}$ : $oui, q = 0, 5 et c_{0} = 8$
d)
$1$ ; $4$ ; $7$ , quotients $4$ et $\frac{7}{4}$ : $non$
e)
$1$ ; $3$ ; $11$ , quotients $3$ et $\frac{11}{3}$ : $non$

En d), la suite est arithmétique (raison $3$ ), pas géométrique.

Exercice 47 — La valeur d'une machine

La valeur d'une machine-outil (en euros) est relevée chaque année :

$n$ (années)	$0$	$1$	$2$	$3$
$v_{n}$	$12000$	$10800$	$9720$	$8748$

1)
Montrer que ces valeurs sont celles d'une suite géométrique, dont on donnera la raison.
2)
De quel pourcentage la machine perd-elle de la valeur chaque année ?
3)
Calculer $v_{4}$ .

Corrigé

1°)
$\frac{10 800}{12 000} = 0, 9$ ; $\frac{9 720}{10 800} = 0, 9$ ; $\frac{8 748}{9 720} = 0, 9$ : $g \overset{e}{ˊ} om \overset{e}{ˊ} trique, q = 0, 9$ .
2°)
$q = 1 - 0, 1$ : $elle perd 10 % par an$ .
3°)
$v_{4} = 0, 9 \times 8748 = 7873, 20$ €.

XII Terme général et variations d'une suite géométrique

Exercice 48 — Calculer un terme éloigné

$(u_{n})$ est géométrique. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , calculer le terme demandé, puis donner le sens de variation.

a)
$u_{0} = 3$ , $q = 2$ : $u_{10}$
b)
$u_{0} = 6$ , $q = \frac{1}{2}$ : $u_{5}$
c)
$u_{0} = 2000$ , $q = 0, 8$ : $u_{5}$
d)
$u_{0} = 8$ , $q = 1$ : $u_{30}$

Corrigé

a)
$u_{n} = 3 \times 2^{n}$ ; $u_{10} = 3 \times 1024 = 3072$ ; $q > 1$ : $croissante$
b)
$u_{n} = 6 \times (\frac{1}{2})^{n}$ ; $u_{5} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$ ; $0 < q < 1$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$
c)
$u_{n} = 2000 \times 0, 8^{n}$ ; $u_{5} = 655, 36$ ; $0 < q < 1$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$
d)
$u_{n} = 8 \times 1^{n} = 8$ ; $u_{30} = 8$ ; $q = 1$ : $constante$

Exercice 49 — Quand on ne part pas de $u_{0}$

$(u_{n})$ est géométrique.

a)
$u_{1} = 4$ et $q = 3$ . Exprimer $u_{n}$ , puis calculer $u_{6}$ .
b)
$u_{2} = 5$ et $q = 2$ . Calculer $u_{3}$ , $u_{4}$ et $u_{5}$ .

Corrigé

a)
$u_{n} = 4 \times 3^{n - 1}$ ; $u_{6} = 4 \times 3^{5} = 972$ .
b)
On multiplie par $2$ : $u_{3} = 10$ ; $u_{4} = 20$ ; $u_{5} = 40$ .

De $u_{1}$ à $u_{6}$ , on multiplie $5$ fois par $q$ : l'exposant est $n - 1$ .

Exercice 50 — Un placement

On place $5000$ € à $5 %$ par an : chaque fin d'année, les intérêts s'ajoutent au capital. On note $C_{n}$ le capital après $n$ années.

1)
Calculer $C_{1}$ et $C_{2}$ .
2)
Quelle est la nature de la suite $(C_{n})$ ? Exprimer $C_{n}$ en fonction de $n$ .
3)
Calculer le capital après $10$ ans, arrondi au centime.
4)
Au bout de combien d'années le capital aura-t-il doublé ?

Corrigé

1°)
$C_{1} = 1, 05 \times 5000 = 5250$ € ; $C_{2} = 1, 05 \times 5250 = 5512, 50$ €.
2°)
Géométrique de raison $1, 05$ : $C_{n} = 5000 \times 1, 0 5^{n}$ .
3°)
$C_{10} = 5000 \times 1, 0 5^{10} ≃ 8144, 47$ €.
4°)
Tableau de valeurs : $C_{14} ≃ 9899, 66 < 10000$ et $C_{15} ≃ 10394, 64 ⩾ 10000$ .
$au bout de 15 ans$

Exercice 51 — La ville (suite)

On reprend la ville de l'exercice 43 b) : $u_{0} = 40000$ et $q = 0, 97$ .

1)
Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis donner le sens de variation.
2)
Quelle sera la population après $10$ ans ?
3)
Au bout de combien d'années la ville comptera-t-elle moins de $35000$ habitants ?

Corrigé

1°)
$u_{n} = 40000 \times 0, 9 7^{n}$ ; $0 < q < 1$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$ .
2°)
$u_{10} ≃ 29497$ habitants.
3°)
Tableau de valeurs : $u_{4} ≃ 35412$ et $u_{5} ≃ 34349 < 35000$ .
$au bout de 5 ans$

Une population s'arrondit à l'unité.

Exercice 52 — La batterie d'un drone

Au premier vol, la batterie d'un drone tient $30$ minutes. À chaque nouveau vol, elle s'use : elle ne tient plus que $98 %$ de la durée du vol précédent. On note $d_{1} = 30$ la durée du premier vol, $d_{2}$ celle du deuxième, etc.

1)
Quelle est la nature de la suite $(d_{n})$ ? Exprimer $d_{n}$ en fonction de $n$ .
2)
Calculer $d_{5}$ , arrondi au centième.
3)
À partir de quel vol la batterie tient-elle moins de $24$ minutes ?

Corrigé

1°)
On multiplie par $0, 98$ à chaque vol : géométrique de raison $0, 98$ , qui commence à $d_{1}$ .
$d_{n} = 30 \times 0, 9 8^{n - 1}$
2°)
$d_{5} = 30 \times 0, 9 8^{4} ≃ 27, 67$ minutes.
3°)
Tableau de valeurs : $d_{12} ≃ 24, 02$ et $d_{13} ≃ 23, 54 < 24$ .
$\overset{a}{ˋ} partir du 1 3^{e} vol$

La suite commence à $d_{1}$ : l'exposant est $n - 1$ .

ExercicesChapitre 4 — Suites numériques

I Définition d'une suite

Exercice 1 — Suites logiques

Exercice 2 — Rang et position

Exercice 3 — Lire un tableau

Exercice 4 — Les tribunes d'un stade

II Suites définies explicitement

Exercice 5 — Des entiers

Exercice 6 — Pour chaque formule

Exercice 7 — Fractions et signes

Exercice 8 — un+1​ ou un​+1 ?

Exercice 9 — La borne de recharge

III Suites définies par récurrence

Exercice 10 — Tripler et enlever

Exercice 11 — Des relatifs

Exercice 12 — Sans tout calculer ?

Exercice 13 — Avec des fractions

Exercice 14 — Quand la relation contient n

Exercice 15 — Une culture de levures

IV Programmer une suite définie par récurrence

Exercice 16 — Que renvoie ce programme ?

Exercice 17 — Même travail

Exercice 18 — Compléter le programme

Exercice 19 — Les abonnés d'une salle de sport

V Représentation graphique d'une suite

Exercice 20 — Placer les points

Exercice 21 — Une suite qui alterne

Exercice 22 — Une suite qui se rapproche

Exercice 23 — Lire un graphique

VI Sens de variation d'une suite

Exercice 24 — Conjecturer

Exercice 25 — Suites définies par récurrence

Exercice 26 — Suites définies explicitement

Exercice 27 — Conjecture, puis preuve

VII Suites arithmétiques

Exercice 28 — Premiers termes

Exercice 29 — Arithmétique ou pas ?

Exercice 30 — Le food truck

Exercice 31 — Une application

VIII Reconnaître une suite arithmétique

Exercice 32 — À partir des termes

Exercice 33 — Démontrer

Exercice 34 — Pour chaque suite

IX Terme général et variations d'une suite arithmétique

Exercice 35 — Calculer un terme éloigné

Exercice 36 — Quand on ne part pas de u0​

Exercice 37 — Une application (suite)

Exercice 38 — Économiser pour un scooter

Exercice 39 — La production d'une usine

X Suites géométriques

Exercice 40 — Coefficient multiplicateur

Exercice 41 — Dans l'autre sens

Exercice 42 — Premiers termes

Exercice 43 — Deux situations

XI Reconnaître une suite géométrique

Exercice 44 — À partir des termes

Exercice 45 — Démontrer

Exercice 46 — Pour chaque suite

Exercice 47 — La valeur d'une machine

XII Terme général et variations d'une suite géométrique

Exercice 48 — Calculer un terme éloigné

Exercice 49 — Quand on ne part pas de u0​

Exercice 50 — Un placement

Exercice 51 — La ville (suite)

Exercice 52 — La batterie d'un drone

Exercice 8 — $u_{n + 1}$ ou $u_{n} + 1$ ?

Exercice 14 — Quand la relation contient $n$

Exercice 36 — Quand on ne part pas de $u_{0}$

Exercice 49 — Quand on ne part pas de $u_{0}$