ExercicesChapitre 5 — Variations, signe et inéquations

Télécharger en PDF

Cours Exercices Corrigé des exercices Enseignants : chapitre complet

En ligne

Cours complet, avec les exercices

Sommaire

I — Fonction croissante, fonction décroissante
II — Maximum, minimum
III — Tableau de variations
IV — Fonctions affines et linéaires
V — Fonction affine par lecture graphique
VI — Fonction affine passant par deux points
VII — Signe d'une fonction par lecture graphique
VIII — Propriétés des inégalités, encadrer une quantité
IX — Résoudre une inéquation du premier degré
X — Signe d'une fonction affine par le calcul
XI — Inéquations produit
XII — Inéquations quotient
XIII — Inéquations avancées
XIV — Problèmes d'inéquations

I Fonction croissante, fonction décroissante

Exercice 1 — Lire les variations

La courbe $C_{f}$ d'une fonction $f$ est tracée ci-dessous.

1.
Sur quel intervalle $f$ est-elle définie ?
2.
Sur quels intervalles $f$ est-elle croissante ? décroissante ?

Corrigé

1) $f$ est définie sur $[- 3; 5]$ .

2) $f$ est croissante sur $[- 3; 0]$ , décroissante sur $[0; 3]$ et croissante sur $[3; 5]$ .

Les intervalles s'écrivent avec des valeurs de $x$ , pas avec les hauteurs.

Exercice 2 — Une randonnée

À 8 h, Inès quitte le parking (altitude 1 200 m) et monte jusqu'à un refuge, qu'elle atteint à 11 h. Elle s'y repose jusqu'à 12 h, puis redescend au parking, où elle arrive à 15 h. On note $f (t)$ son altitude à l'heure $t$ , pour $t$ dans $[8; 15]$ .

1.
Sur quels intervalles $f$ est-elle croissante ? constante ? décroissante ?
2.
Comparer $f (9)$ et $f (10)$ , puis $f (13)$ et $f (14)$ .

Corrigé

1) $f$ est croissante sur $[8; 11]$ (montée), constante sur $[11; 12]$ (pause) et décroissante sur $[12; 15]$ (descente).

2) $9 < 10$ et $f$ croissante sur $[8; 11]$ : $f (9) ⩽ f (10)$ .

$13 < 14$ et $f$ décroissante sur $[12; 15]$ : $f (13) ⩾ f (14)$ .

Exercice 3 — Comparer des images

1.
$g$ est une fonction définie sur $R$ . Comparer $g (2)$ et $g (5)$ lorsque : a) $g$ est croissante ; b) $g$ est décroissante ; c) $g$ est constante.
2.
$f$ est croissante sur $[- 5; 5]$ . Comparer $f (- 4)$ et $f (- 1)$ .

Corrigé

1) $2 < 5$ , donc : a) $g (2) ⩽ g (5)$ ; b) $g (2) ⩾ g (5)$ ; c) $g (2) = g (5)$ .

2) $- 4 < - 1$ et $f$ croissante : $f (- 4) ⩽ f (- 1)$ .

Exercice 4 — Conserver ou renverser l'ordre

La fonction $f$ est croissante sur $[0; 10]$ ; la fonction $g$ est décroissante sur $[0; 10]$ .

1.
Ranger $f (1)$ , $f (3)$ , $f (4)$ et $f (8)$ dans l'ordre croissant.
2.
Ranger $g (1)$ , $g (3)$ , $g (4)$ et $g (8)$ dans l'ordre croissant.
3.
Recopier et compléter : « Une fonction croissante … l'ordre ; une fonction décroissante … l'ordre. »
4.
On sait que $f (a) < f (b)$ . Peut-on avoir $a > b$ ? Justifier.

Corrigé

1) $1 < 3 < 4 < 8$ et $f$ croissante : $f (1) ⩽ f (3) ⩽ f (4) ⩽ f (8)$ .

2) $g$ décroissante : l'ordre est inversé, $g (8) ⩽ g (4) ⩽ g (3) ⩽ g (1)$ .

3) Une fonction croissante conserve l'ordre ; une fonction décroissante renverse l'ordre.

4) Non : si $a > b$ , alors $f (b) ⩽ f (a)$ ( $f$ croissante), ce qui contredit $f (a) < f (b)$ . Donc $a < b$ .

Exercice 5 — Tracer une courbe

Dans un repère, tracer une courbe passant par $A (0; 1)$ et $B (6; 3)$ et pouvant représenter une fonction $f$ définie sur $[0; 6]$ :

1.
croissante sur $[0; 6]$ ;
2.
décroissante sur $[0; 2]$ , puis croissante sur $[2; 6]$ .

Corrigé

1) Courbe bleue : elle monte de $A$ à $B$ .

2) Courbe rouge : elle descend de $A$ jusqu'à un point d'abscisse $2$ , par exemple $(2; - 1)$ , puis monte jusqu'à $B$ .

Exercice 6 — Vrai ou faux

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, puis justifier (une courbe peut servir de contre-exemple).

1.
Si $f$ est croissante sur $[0; 10]$ , alors elle est croissante sur $[2; 5]$ .
2.
Si $f (1) < f (4)$ , alors $f$ est croissante sur $[1; 4]$ .
3.
Si $f$ n'est pas croissante sur $[0; 5]$ , alors elle est décroissante sur $[0; 5]$ .

Corrigé

1) Vrai : $[2; 5]$ est contenu dans $[0; 10]$ ; la courbe y monte aussi.

2) Faux : la courbe peut monter, redescendre, puis remonter. Par exemple $f (1) = 0$ , $f (2) = 3$ , $f (3) = - 1$ et $f (4) = 1$ : $f (1) < f (4)$ , mais $f (2) > f (3)$ .

3) Faux : une fonction peut descendre puis monter ; elle n'est alors ni croissante ni décroissante sur $[0; 5]$ .

Pour montrer qu'une affirmation est fausse, un seul contre-exemple suffit.

II Maximum, minimum

Exercice 7 — Lire des extremums

On reprend la fonction $f$ de l'exercice 1. Donner son maximum et son minimum, et où ils sont atteints :

1.
sur $[- 3; 5]$ ;
2.
sur $[0; 5]$ ;
3.
sur $[3; 5]$ .

Corrigé

1) Sur $[- 3; 5]$ : maximum $3$ , atteint en $0$ ; minimum $- 2$ , atteint en $- 3$ .

2) Sur $[0; 5]$ : maximum $3$ , en $0$ ; minimum $- 1$ , en $3$ .

3) Sur $[3; 5]$ : minimum $- 1$ , en $3$ ; maximum $2$ , en $5$ .

Sur un intervalle plus petit, on ne regarde que le morceau de courbe correspondant : un extremum peut être au bord.

Exercice 8 — Tracer à partir d'une description

Une fonction $f$ est définie sur $[- 2; 6]$ . Elle est croissante sur $[- 2; 1]$ , décroissante sur $[1; 4]$ et croissante sur $[4; 6]$ ; son maximum est $4$ , atteint en $1$ , et son minimum est $- 3$ , atteint en $4$ . De plus, $f (- 2) = 0$ et $f (6) = 2$ .

1.
Placer dans un repère les points connus de la courbe, puis tracer une courbe pouvant représenter $f$ .
2.
Donner le maximum et le minimum de $f$ sur $[4; 6]$ .

Corrigé

1) Points connus : $(- 2; 0)$ , $(1; 4)$ , $(4; - 3)$ et $(6; 2)$ ; la courbe monte, descend, puis remonte, avec une tangente horizontale en $(1; 4)$ et en $(4; - 3)$ .

2) Sur $[4; 6]$ : minimum $- 3$ , en $4$ ; maximum $2$ , en $6$ .

Exercice 9 — Les marées

Un jour de grande marée, à Saint-Malo, la mer est haute à 2 h (hauteur d'eau $12$ m), basse à 8 h ( $2$ m), haute à 14 h ( $13$ m) et basse à 20 h ( $1$ m). Entre deux de ces instants, la hauteur varie toujours dans le même sens. On note $f (t)$ la hauteur d'eau (en m) à l'heure $t$ , pour $t$ dans $[2; 20]$ .

1.
Donner les variations de $f$ .
2.
Donner le maximum et le minimum de $f$ sur $[2; 20]$ , puis sur $[2; 8]$ , et à quelle heure ils sont atteints.
3.
Tracer une courbe pouvant représenter $f$ : en abscisse, l'heure de $0$ à $20$ (1 carreau pour 2 h) ; en ordonnée, la hauteur de $0$ à $14$ m (1 carreau pour 1 m). Placer d'abord les quatre points connus.

Corrigé

1) $f$ est décroissante sur $[2; 8]$ , croissante sur $[8; 14]$ et décroissante sur $[14; 20]$ .

2) Sur $[2; 20]$ : maximum $13$ m, à 14 h ; minimum $1$ m, à 20 h. Sur $[2; 8]$ : maximum $12$ m, à 2 h ; minimum $2$ m, à 8 h.

3) Une courbe possible, un carreau pour 2 h et pour 1 m (tangente horizontale aux pleines et basses mers) :

III Tableau de variations

Exercice 10 — De la courbe au tableau

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ de l'exercice 1.

Corrigé

Sur la première ligne : les bornes $- 3$ et $5$ , et les valeurs $0$ et $3$ où le sens de variation change.

Exercice 11 — Du tableau à la courbe

Une fonction $g$ a le tableau de variations ci-dessous.

1.
Sur quel intervalle $g$ est-elle définie ?
2.
Décrire ses variations par des phrases.
3.
Tracer, dans un repère, une courbe pouvant représenter $g$ .

Corrigé

1) $g$ est définie sur $[- 4; 5]$ .

2) $g$ est décroissante sur $[- 4; - 1]$ , croissante sur $[- 1; 2]$ et décroissante sur $[2; 5]$ .

3) Une courbe possible ci-contre.

Exercice 12 — Exploiter un tableau

Une fonction $k$ a le tableau de variations ci-dessous.

1.
Comparer $k (- 4)$ et $k (- 2)$ , puis $k (1)$ et $k (3)$ .
2.
Expliquer pourquoi on ne peut pas comparer $k (- 3)$ et $k (2)$ .
3.
Donner le maximum et le minimum de $k$ .

Corrigé

1) $- 4$ et $- 2$ sont dans $[- 5; - 1]$ , où $k$ est croissante ; $- 4 < - 2$ , donc $k (- 4) ⩽ k (- 2)$ .

$1$ et $3$ sont dans $[- 1; 4]$ , où $k$ est décroissante ; $1 < 3$ , donc $k (1) ⩾ k (3)$ .

2) $- 3$ et $2$ ne sont pas dans un même intervalle où $k$ varie dans un seul sens : $k (- 3)$ est entre $- 2$ et $4$ , $k (2)$ entre $0$ et $4$ ; on ne peut pas conclure.

3) Maximum $4$ , en $- 1$ ; minimum $- 2$ , en $- 5$ .

Exercice 13 — Extremums et tableau

Une fonction $h$ a le tableau de variations ci-dessous.

1.
Donner le maximum et le minimum de $h$ sur $[- 4; 6]$ , sur $[- 4; 0]$ , puis sur $[3; 6]$ , et où ils sont atteints.
2.
Donner deux nombres $m$ et $M$ tels que $m ⩽ h (x) ⩽ M$ pour tout $x$ de $[- 4; 6]$ .

Corrigé

1) Sur $[- 4; 6]$ : maximum $5$ , en $0$ ; minimum $- 3$ , en $3$ .

Sur $[- 4; 0]$ : maximum $5$ , en $0$ ; minimum $2$ , en $- 4$ .

Sur $[3; 6]$ : minimum $- 3$ , en $3$ ; maximum $1$ , en $6$ .

2) Par exemple $m = - 3$ et $M = 5$ : $- 3 ⩽ h (x) ⩽ 5$ .

Exercice 14 — D'une description au tableau

Une fonction $f$ est définie sur $[- 3; 6]$ ; elle est décroissante sur $[- 3; 1]$ , croissante sur $[1; 4]$ et décroissante sur $[4; 6]$ . De plus, $f (- 3) = 5$ , $f (1) = - 2$ , $f (4) = 3$ et $f (6) = 0$ .

1.
Dresser le tableau de variations de $f$ .
2.
Donner son maximum et son minimum.
3.
Tracer, dans un repère, une courbe pouvant représenter $f$ .

Corrigé

2) Maximum $5$ , en $- 3$ ; minimum $- 2$ , en $1$ .

3) Une courbe possible ci-contre.

Le maximum est au bord : $5 > 3$ .

IV Fonctions affines et linéaires

Exercice 15 — Reconnaître une fonction affine

Pour chaque fonction, dire si elle est affine ; si oui, donner $a$ et $b$ , et préciser si elle est linéaire ou constante.

f (x) = 5 x + 2

g (x) = 6 - 2 x

h (x) = \frac{x}{3}

k (x) = - 4

m (x) = x^{2} + 3

p (x) = \frac{x - 1}{2}

Corrigé

f

: affine,

a = 5

b = 2

g

: affine,

a = - 2

b = 6

h

: linéaire,

a = \frac{1}{3}

b = 0

k

: constante,

a = 0

b = - 4

m

: non affine (

x^{2}

)

p

: affine,

a = \frac{1}{2}

b = - \frac{1}{2}

$g (x) = 6 - 2 x = - 2 x + 6$ : $a$ est le nombre devant $x$ , pas le premier nombre écrit. $p (x) = \frac{x - 1}{2} = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ .

Exercice 16 — Développer d'abord

Développer et réduire, puis dire si la fonction est affine et donner ses variations.

$f (x) = (x + 3)^{2} - x^{2}$

$g (x) = (2 x - 1) (x + 2) - 2 x^{2}$

$h (x) = (x + 1) (x - 1) - x (x + 2)$

Corrigé

f (x)

= (x + 3)^{2} - x^{2}

f (x)

= x^{2} + 6 x + 9 - x^{2}

f (x)

= 6 x + 9

$f$ affine, $a = 6 > 0$ : croissante.

g (x)

= (2 x - 1) (x + 2) - 2 x^{2}

g (x)

= 2 x^{2} + 4 x - x - 2 - 2 x^{2}

g (x)

= 3 x - 2

$g$ affine, $a = 3 > 0$ : croissante.

h (x)

= (x + 1) (x - 1) - x (x + 2)

h (x)

= x^{2} - 1 - x^{2} - 2 x

h (x)

= - 2 x - 1

$h$ affine, $a = - 2 < 0$ : décroissante.

Exercice 17 — Sens de variation

1.
Donner le sens de variation de chaque fonction :

$f (x) = - 3 x + 1$ $g (x) = 0, 5 x - 4$

$h (x) = 7$ $k (x) = 2 - \frac{x}{5}$
2.
Sans calcul, comparer $f (- 2)$ et $f (3)$ , puis $g (- 2)$ et $g (3)$ .

Corrigé

1) $f$ : $a = - 3 < 0$ , décroissante ; $g$ : $a = 0, 5 > 0$ , croissante ; $h$ : constante ; $k (x) = - \frac{1}{5} x + 2$ : $a < 0$ , décroissante.

2) $- 2 < 3$ et $f$ décroissante : $f (- 2) ⩾ f (3)$ . $g$ croissante : $g (- 2) ⩽ g (3)$ .

Contrôle : $f (- 2) = 7$ et $f (3) = - 8$ ; $g (- 2) = - 5$ et $g (3) = - 2, 5$ .

Exercice 18 — Tracer des droites

Dans un même repère, tracer les droites représentant les fonctions $f (x) = 2 x - 1$ , $g (x) = - x + 3$ , $h (x) = \frac{1}{2} x + 1$ et $k (x) = - 2$ .

Corrigé

Deux points par droite :

$f$ : $(0; - 1)$ et $(2; 3)$ ;

$g$ : $(0; 3)$ et $(3; 0)$ ;

$h$ : $(0; 1)$ et $(2; 2)$ ;

$k$ : droite horizontale passant par $(0; - 2)$ .

Pour $h$ , on choisit $x$ pair : $\frac{1}{2} x$ est entier.

Exercice 19 — Deux formules d'abonnement

Une salle de sport propose deux formules mensuelles : A, $30$ € par mois ; B, $12$ € par mois plus $3$ € par séance. On note $x$ le nombre de séances dans le mois, entre $0$ et $10$ .

1.
Exprimer les prix $A (x)$ et $B (x)$ en fonction de $x$ .
2.
Quelle est la nature de chaque fonction ? Donner leurs variations.
3.
Tracer leurs représentations dans un repère (1 carreau pour une séance en abscisse, 1 carreau pour 5 € en ordonnée).
4.
Lire à partir de combien de séances la formule A est la moins chère.
5.
Le confirmer en calculant $B (6)$ .

Corrigé

1) $A (x) = 30$ et $B (x) = 3 x + 12$ .

2) $A$ est constante ; $B$ est affine, croissante ( $a = 3 > 0$ ).

3) Droite horizontale pour $A$ ; droite passant par $(0; 12)$ et $(10; 42)$ pour $B$ .

4) Les droites se coupent en $x = 6$ ; au-delà, celle de $B$ est au-dessus : A est la moins chère à partir de 7 séances.

5) $B (6) = 3 \times 6 + 12 = 30$ : à $6$ séances, les deux formules coûtent $30$ €.

V Fonction affine par lecture graphique

Exercice 20 — Lire l'expression

Les droites $(d_{1})$ à $(d_{4})$ représentent des fonctions affines $f_{1}$ à $f_{4}$ .

1.
Donner l'expression de $f_{1}$ , $f_{2}$ , $f_{3}$ et $f_{4}$ .
2.
Laquelle est linéaire ?

Corrigé

1) $(d_{1})$ : $b = - 2$ ; de $(0; - 2)$ à $(1; 0)$ , on avance de $1$ et on monte de $2$ : $f_{1} (x) = 2 x - 2$ .

$(d_{2})$ : $b = 2$ ; de $(0; 2)$ à $(2; 1)$ : $a = \frac{- 1}{2}$ , $f_{2} (x) = - \frac{1}{2} x + 2$ .

$(d_{3})$ : $b = - 1$ ; de $(0; - 1)$ à $(1; - 2)$ : $a = - 1$ , $f_{3} (x) = - x - 1$ .

$(d_{4})$ : $b = 0$ ; de $(0; 0)$ à $(3; 2)$ : $a = \frac{2}{3}$ , $f_{4} (x) = \frac{2}{3} x$ .

2) $f_{4}$ est linéaire : sa droite passe par l'origine.

Exercice 21 — Associer fonctions et droites

Associer chaque fonction à sa droite, en justifiant : $f (x) = 2 x + 1$ , $g (x) = 2 x - 3$ , $h (x) = - x + 1$ et $k (x) = - \frac{1}{3} x + 1$ .

Corrigé

$f$ et $g$ ont le même $a = 2$ : les deux droites qui montent le plus. $f$ passe par $(0; 1)$ : $f \to (D_{2})$ ; $g$ passe par $(0; - 3)$ : $g \to (D_{4})$ .

$h$ et $k$ descendent et passent par $(0; 1)$ ; $h$ descend plus vite ( $a = - 1$ ) : $h \to (D_{1})$ et $k \to (D_{3})$ .

Le signe de $a$ dit si la droite monte ou descend ; $b$ dit où elle coupe l'axe des ordonnées.

Exercice 22 — Location de vélo

La droite ci-dessous donne le prix $p (x)$ , en euros, de la location d'un vélo électrique pendant $x$ heures.

1.
Lire le prix pour 2 h de location.
2.
Lire l'ordonnée à l'origine $b$ . Que représente-t-elle ?
3.
Lire le coefficient directeur $a$ . Que représente-t-il ?
4.
En déduire $p (x)$ , puis calculer le prix pour 8 h.

Corrigé

1) $p (2) = 10$ €.

2) $b = 4$ : le prix fixe, payé même pour une durée nulle.

3) De $(0; 4)$ à $(2; 10)$ : on avance de $2$ et on monte de $6$ , donc $a = \frac{6}{2} = 3$ : le prix d'une heure de location.

4) $p (x) = 3 x + 4$ ; $p (8) = 3 \times 8 + 4 = 28$ €.

VI Fonction affine passant par deux points

Exercice 23 — Deux images connues

Trouver la fonction affine qui vérifie :

f (1) = 4

f (3) = 10

g (- 2) = 7

g (2) = - 1

h (0) = 5

h (4) = 3

k (- 3) = - 4

k (6) = 2

Corrigé

$f$ : $a = \frac{10 - 4}{3 - 1} = 3$ ; $f (1) = 3 + b = 4$ , donc $b = 1$ : $f (x) = 3 x + 1$ .

$g$ : $a = \frac{- 1 - 7}{2 - ( - 2 )} = - 2$ ; $g (- 2) = 4 + b = 7$ , donc $b = 3$ : $g (x) = - 2 x + 3$ .

$h$ : $b = h (0) = 5$ ; $a = \frac{3 - 5}{4 - 0} = - \frac{1}{2}$ : $h (x) = - \frac{1}{2} x + 5$ .

$k$ : $a = \frac{2 - ( - 4 )}{6 - ( - 3 )} = \frac{6}{9}$ , soit $a = \frac{2}{3}$ ; $k (6) = 4 + b = 2$ , donc $b = - 2$ : $k (x) = \frac{2}{3} x - 2$ .

Attention aux soustractions de nombres négatifs : $2 - (- 2) = 4$ . Contrôle avec l'autre point : $k (- 3) = - 2 - 2 = - 4$ .

Exercice 24 — Droite passant par deux points

1.
Trouver la fonction affine $f$ dont la droite passe par $A (2; 1)$ et $B (6; 3)$ . Que remarque-t-on ?
2.
Le point $E (10; 5)$ est-il sur la droite $(A B)$ ?
3.
Trouver la fonction affine $g$ dont la droite passe par $C (- 1; 5)$ et $D (2; - 4)$ .
4.
Le point $F (3; - 6)$ est-il sur la droite $(C D)$ ?

Corrigé

1) $a = \frac{3 - 1}{6 - 2} = \frac{1}{2}$ ; $f (2) = 1 + b = 1$ , donc $b = 0$ : $f (x) = \frac{1}{2} x$ . La fonction est linéaire : la droite passe par l'origine.

2) $f (10) = 5$ : oui, $E$ est sur $(A B)$ .

3) $a = \frac{- 4 - 5}{2 - ( - 1 )} = - 3$ ; $g (- 1) = 3 + b = 5$ , donc $b = 2$ : $g (x) = - 3 x + 2$ .

4) $g (3) = - 9 + 2 = - 7 \neq = - 6$ : non, $F$ n'est pas sur $(C D)$ .

Exercice 25 — Température

Un matin de printemps, il fait $6$ °C à 8 h et $18$ °C à 14 h. On admet que la température $T (h)$ est une fonction affine de l'heure $h$ sur $[8; 14]$ .

1.
Donner $T (8)$ et $T (14)$ , puis l'expression de $T (h)$ .
2.
Calculer la température à 11 h.
3.
À quelle heure fait-il $14$ °C ?

Corrigé

1) $T (8) = 6$ et $T (14) = 18$ . $a = \frac{18 - 6}{14 - 8} = 2$ ; $T (8) = 16 + b = 6$ , donc $b = - 10$ : $T (h) = 2 h - 10$ .

2) $T (11) = 22 - 10 = 12$ °C.

2 h - 10

= 14

2 h

= 24

h

= 12

Il fait $14$ °C à 12 h.

Exercice 26 — Facture d'électricité

Une facture d'électricité est une fonction affine $f$ de la consommation $x$ (en kWh) : pour $300$ kWh, on paie $72$ € ; pour $500$ kWh, on paie $102$ €.

1.
Trouver $f (x)$ .
2.
Que représentent $a$ et $b$ ?
3.
Combien paie-t-on pour $800$ kWh ?

Corrigé

1) $a = \frac{102 - 72}{500 - 300} = \frac{30}{200}$ , soit $a = 0, 15$ ; $f (300) = 45 + b = 72$ , donc $b = 27$ : $f (x) = 0, 15 x + 27$ .

2) $a$ : le prix d'un kWh ( $0, 15$ €) ; $b$ : l'abonnement ( $27$ €), payé même sans consommer.

3) $f (800) = 120 + 27 = 147$ €.

VII Signe d'une fonction par lecture graphique

Exercice 27 — Signe d'une fonction

La courbe $C_{f}$ d'une fonction $f$ définie sur $[- 4; 5]$ est tracée ci-dessous.

1.
Résoudre graphiquement $f (x) = 0$ .
2.
Dresser le tableau de signes de $f$ .
3.
Résoudre graphiquement $f (x) > 0$ .
4.
Dresser le tableau de variations de $f$ .

Corrigé

1) $C_{f}$ coupe l'axe des abscisses en $- 3$ , $1$ et $4$ : $S = {- 3; 1; 4}$ .

3) $S = [- 4; - 3 [\cup] 1; 4 [$ .

Ne pas confondre les deux tableaux : le signe dit si la courbe est au-dessus ou au-dessous de l'axe ; les variations, si elle monte ou descend.

Exercice 28 — Signe de fonctions affines

Dresser le tableau de signes des fonctions $f_{1}$ , $f_{2}$ , $f_{3}$ et $f_{4}$ de l'exercice 20.

Corrigé

On lit où chaque droite coupe l'axe des abscisses :

$f_{1}$ : $-$ avant $1$ , $+$ après ; $f_{2}$ : $+$ avant $4$ , $-$ après ;

$f_{3}$ : $+$ avant $- 1$ , $-$ après ; $f_{4}$ : $-$ avant $0$ , $+$ après.

Même présentation pour $f_{3}$ et $f_{4}$ .

Exercice 29 — Des variations au signe

Une fonction $f$ , définie sur $[- 3; 5]$ , a le tableau de variations ci-dessous ; de plus, $f (- 1) = 0$ et $f (3) = 0$ . Dresser son tableau de signes.

Corrigé

$f$ monte de $- 2$ à $4$ en passant par $0$ en $- 1$ , puis descend de $4$ à $- 1$ en passant par $0$ en $3$ :

VIII Propriétés des inégalités, encadrer une quantité

Exercice 30 — Règles des inégalités

On sait que $a < b$ . Compléter par $<$ ou $>$ .

a + 4 \dots b + 4

a - 7 \dots b - 7

3 a \dots 3 b

- 5 a \dots - 5 b

\frac{a}{2} \dots \frac{b}{2}

- a \dots - b

Corrigé

a) $a + 4 < b + 4$ ; b) $a - 7 < b - 7$ : ajouter ou soustraire conserve le sens.

c) $3 a < 3 b$ ; e) $\frac{a}{2} < \frac{b}{2}$ : multiplier ou diviser par un nombre positif conserve le sens.

d) $- 5 a > - 5 b$ ; f) $- a > - b$ : multiplier par un nombre négatif change le sens.

Exercice 31 — Encadrer

On sait que $1 ⩽ x ⩽ 4$ . Encadrer chaque expression.

A = 2 x + 3

B = - 3 x + 1

C = 5 - 2 x

D = \frac{1}{2} x - 1

Corrigé

$A$ : $2 ⩽ 2 x ⩽ 8$ , puis $5 ⩽ A ⩽ 11$ .

$B$ :

1 - 3 - 2 ⩽ ⩾ ⩾ x - 3 x - 3 x + 1 ⩽ ⩾ ⩾ 4 - 12 - 11 \times (- 3) : le sens change

donc $- 11 ⩽ B ⩽ - 2$ .

$C$ : $- 2 ⩾ - 2 x ⩾ - 8$ , puis $3 ⩾ 5 - 2 x ⩾ - 3$ : $- 3 ⩽ C ⩽ 3$ .

$D$ : $\frac{1}{2} ⩽ \frac{1}{2} x ⩽ 2$ , puis $- \frac{1}{2} ⩽ D ⩽ 1$ .

Après une multiplication par un nombre négatif, on réécrit l'encadrement dans l'ordre croissant.

Exercice 32 — Mesures imprécises

1.
Un potager rectangulaire mesure $6$ m de large ; sa longueur $x$ , en mètres, vérifie $10 ⩽ x ⩽ 12$ . Encadrer son périmètre $P = 2 x + 12$ , puis son aire $A = 6 x$ .
2.
Une température $C$ en degrés Celsius vaut $F = 1, 8 C + 32$ en degrés Fahrenheit. Au printemps, $15 ⩽ C ⩽ 25$ . Encadrer $F$ .

Corrigé

1) $20 ⩽ 2 x ⩽ 24$ , donc $32 ⩽ P ⩽ 36$ (en m) ; $60 ⩽ A ⩽ 72$ (en m²).

2) $27 ⩽ 1, 8 C ⩽ 45$ , donc $59 ⩽ F ⩽ 77$ .

IX Résoudre une inéquation du premier degré

Exercice 33 — Est-ce une solution ?

Le nombre $3$ est-il solution de chaque inéquation ? Justifier.

2 x - 1 > 4

- x + 5 ⩾ 2

4 x - 9 < x

5 - 2 x ⩽ - 1

Corrigé

a) $2 \times 3 - 1 = 5$ et $5 > 4$ : oui.

b) $- 3 + 5 = 2$ et $2 ⩾ 2$ : oui.

c) $4 \times 3 - 9 = 3$ et $3 < 3$ est faux : non.

d) $5 - 2 \times 3 = - 1$ et $- 1 ⩽ - 1$ : oui.

Avec $⩽$ ou $⩾$ , l'égalité convient (b et d).

Exercice 34 — Résoudre

Résoudre chaque inéquation ; donner $S$ sous forme d'intervalle.

x + 6 > 2

- 3 x < 15

2 x - 5 ⩾ 7

9 - 4 x > 1

3 x + 2 ⩽ 5 x - 6

- x + 4 ⩾ 3 x - 8

Corrigé

a) $x > 2 - 6$ , donc $x > - 4$ : $S =] - 4; + \infty [$ .

b) On divise par $- 3 < 0$ : $x > - 5$ , $S =] - 5; + \infty [$ .

c) $2 x ⩾ 12$ , donc $x ⩾ 6$ : $S = [6; + \infty [$ .

d) $- 4 x > - 8$ , donc $x < 2$ : $S =] - \infty; 2 [$ .

3 x + 2

⩽ 5 x - 6

3 x - 5 x

⩽ - 6 - 2

- 2 x

⩽ - 8

x

⩾ 4 \div (- 2) : le sens change

$S = [4; + \infty [$ .

f) $- 4 x ⩾ - 12$ , donc $x ⩽ 3$ : $S =] - \infty; 3]$ .

Exercice 35 — Parenthèses et fractions

Résoudre chaque inéquation.

2 (x - 3) < x + 1

3 (2 - x) ⩾ 2 (x + 8)

\frac{x}{2} + 1 > 4

\frac{2 x - 1}{3} ⩽ x

Corrigé

a) $2 x - 6 < x + 1$ , donc $x < 7$ : $S =] - \infty; 7 [$ .

3 (2 - x)

⩾ 2 (x + 8)

6 - 3 x

⩾ 2 x + 16

- 5 x

⩾ 10

x

⩽ - 2 \div (- 5) : le sens change

$S =] - \infty; - 2]$ .

c) $\frac{x}{2} > 3$ , donc $x > 6$ : $S =] 6; + \infty [$ .

\frac{2 x - 1}{3}

⩽ x

2 x - 1

⩽ 3 x \times 3 > 0

- x

⩽ 1

x

⩾ - 1 \times (- 1) : le sens change

$S = [- 1; + \infty [$ .

Exercice 36 — Corriger les erreurs

Chaque résolution ci-dessous est fausse. Trouver l'erreur, puis corriger.

1.
$- 2 x + 3 > 9$ , donc $- 2 x > 6$ , donc $x > - 3$ .
2.
$5 x ⩽ - 10$ , donc $x ⩾ - 2$ .

Corrigé

1) On a divisé par $- 2$ sans changer le sens : $- 2 x > 6$ donne $x < - 3$ , soit $S =] - \infty; - 3 [$ .

2) On a changé le sens en divisant par $5 > 0$ : $x ⩽ - 2$ , soit $S =] - \infty; - 2]$ .

Le sens ne change que si l'on multiplie ou divise par un nombre négatif ; le signe du résultat ne compte pas.

X Signe d'une fonction affine par le calcul

Exercice 37 — Tableaux de signes

Dresser le tableau de signes de chaque expression.

A (x) = 2 x - 8

B (x) = - 3 x + 9

C (x) = 5 x + 15

D (x) = - \frac{1}{2} x + 4

E (x) = 7 x

F (x) = - 6 x + 4

Corrigé

On cherche la valeur qui annule l'expression, puis le signe de $a$ donne l'ordre des signes.

$A$ : $2 x - 8 = 0$ pour $x = 4$ ; $a = 2 > 0$ : $-$ avant $4$ , $+$ après.

$B$ : $- 3 x + 9 = 0$ pour $x = 3$ ; $a < 0$ : $+$ avant $3$ , $-$ après.

$C$ : $5 x + 15 = 0$ pour $x = - 3$ ; $a > 0$ : $-$ avant $- 3$ , $+$ après.

$D$ : $- \frac{1}{2} x + 4 = 0$ pour $x = 8$ ; $a < 0$ : $+$ avant $8$ , $-$ après.

$E$ : $7 x = 0$ pour $x = 0$ ; $a > 0$ : $-$ avant $0$ , $+$ après.

$F$ : $- 6 x + 4 = 0$ pour $x = \frac{2}{3}$ ; $a < 0$ : $+$ avant $\frac{2}{3}$ , $-$ après.

Pour $D$ : $- \frac{1}{2} x = - 4$ , puis $x = - 4 \times (- 2) = 8$ .

Exercice 38 — Variations, droite et signe

On considère $f (x) = 3 x - 6$ et $g (x) = 8 - 2 x$ .

1.
Donner le sens de variation de $f$ et de $g$ .
2.
Tracer leurs droites dans un même repère.
3.
Dresser le tableau de signes de $f$ et de $g$ par le calcul, puis le vérifier sur le graphique.

Corrigé

1) $f$ : $a = 3 > 0$ , croissante ; $g (x) = - 2 x + 8$ : $a = - 2 < 0$ , décroissante.

2) $f$ : points $(1; - 3)$ et $(3; 3)$ ; $g$ : points $(1; 6)$ et $(4; 0)$ .

3) $3 x - 6 = 0$ pour $x = 2$ : $f$ : $-$ avant $2$ , $+$ après.

$8 - 2 x = 0$ pour $x = 4$ : $g$ : $+$ avant $4$ , $-$ après.

Sur le graphique, les droites coupent l'axe en $2$ et en $4$ .

Exercice 39 — Associer

Associer chaque fonction $f (x) = 4 x - 12$ et $g (x) = 6 - 2 x$ à son tableau de signes, en justifiant.

Corrigé

$f (3) = 0$ et $g (3) = 0$ : les deux s'annulent en $3$ .

$f$ : $a = 4 > 0$ , $-$ puis $+$ : tableau 2. $g$ : $a = - 2 < 0$ , $+$ puis $-$ : tableau 1.

Exercice 40 — Bénéfice

Une artisane fabrique des bougies. Pour $x$ bougies vendues dans le mois (de $0$ à $100$ ), son bénéfice, en euros, est $B (x) = 12 x - 480$ .

1.
Calculer $B (0)$ . Que représente ce nombre ?
2.
Dresser le tableau de signes de $B (x)$ sur $[0; 100]$ .
3.
À partir de combien de bougies vendues gagne-t-elle de l'argent ?

Corrigé

1) $B (0) = - 480$ : sans vente, l'artisane perd $480$ € (matériel, frais).

2) $12 x - 480 = 0$ pour $x = 40$ ; $a = 12 > 0$ :

3) $B (x) > 0$ pour $x > 40$ : elle gagne de l'argent à partir de 41 bougies.

XI Inéquations produit

Exercice 41 — Signe d'un produit

Dresser le tableau de signes de chaque produit.

$A (x) = (x - 2) (3 x + 6)$

$B (x) = (4 x - 12) (- x + 1)$

$C (x) = (5 - x) (2 x + 8)$

Corrigé

$A$ : $x - 2 = 0$ pour $x = 2$ ; $3 x + 6 = 0$ pour $x = - 2$ ; $a > 0$ pour les deux.

$B$ : $4 x - 12 = 0$ pour $x = 3$ ( $a > 0$ ) ; $- x + 1 = 0$ pour $x = 1$ ( $a < 0$ ).

$C$ : $5 - x = 0$ pour $x = 5$ ( $a < 0$ ) ; $2 x + 8 = 0$ pour $x = - 4$ ( $a > 0$ ).

Exercice 42 — Résoudre

Résoudre chaque inéquation.

(x - 4) (x + 1) < 0

(2 x + 6) (x - 5) ⩾ 0

(3 - x) (x + 2) > 0

(- 2 x + 4) (3 x - 9) ⩽ 0

Corrigé

Tableau de signes du produit dans chaque cas (valeurs rangées dans l'ordre), puis lecture.

a) Produit $+$ , $0$ , $-$ , $0$ , $+$ (valeurs $- 1$ et $4$ ) ; « $< 0$ » : $S =] - 1; 4 [$ .

b) Produit $+$ , $0$ , $-$ , $0$ , $+$ (valeurs $- 3$ et $5$ ) ; « $⩾ 0$ » : $S =] - \infty; - 3] \cup [5; + \infty [$ .

c) Produit $-$ , $0$ , $+$ , $0$ , $-$ (valeurs $- 2$ et $3$ ) ; « $> 0$ » : $S =] - 2; 3 [$ .

d) Produit $-$ , $0$ , $+$ , $0$ , $-$ (valeurs $2$ et $3$ ) ; « $⩽ 0$ » : $S =] - \infty; 2] \cup [3; + \infty [$ .

« $⩽$ » ou « $⩾$ » : les valeurs où le produit s'annule sont des solutions (crochets fermés).

Exercice 43 — Trouver l'erreur

Pour étudier le signe de $(x + 1) (2 - x)$ , Lina a dressé le tableau ci-dessous. Trouver son erreur, puis dresser le bon tableau.

Corrigé

Lina a mal rangé les valeurs : $- 1$ doit être écrit avant $2$ .

XII Inéquations quotient

Exercice 44 — Signe d'un quotient

Pour chaque quotient, donner la valeur interdite, puis dresser le tableau de signes.

A (x) = \frac{x + 3}{x - 2}

B (x) = \frac{6 - 2 x}{x + 4}

C (x) = \frac{3 x}{5 - x}

Corrigé

$A$ : valeur interdite $2$ ; $x + 3 = 0$ pour $x = - 3$ .

$B$ : valeur interdite $- 4$ ; $6 - 2 x = 0$ pour $x = 3$ ( $a < 0$ ).

$C$ : valeur interdite $5$ ; $3 x = 0$ pour $x = 0$ .

Exercice 45 — Résoudre

Résoudre chaque inéquation.

\frac{x - 1}{x + 3} ⩾ 0

\frac{2 x + 8}{x - 6} < 0

\frac{4 - x}{2 x - 2} ⩽ 0

\frac{- 3 x - 6}{x + 5} > 0

Corrigé

a) Interdite $- 3$ , s'annule en $1$ ; quotient $+$ , $∥$ , $-$ , $0$ , $+$ : $S =] - \infty; - 3 [\cup [1; + \infty [$ .

b) Interdite $6$ , s'annule en $- 4$ ; quotient $+$ , $0$ , $-$ , $∥$ , $+$ : $S =] - 4; 6 [$ .

c) Interdite $1$ , s'annule en $4$ ; quotient $-$ , $∥$ , $+$ , $0$ , $-$ : $S =] - \infty; 1 [\cup [4; + \infty [$ .

d) Interdite $- 5$ , s'annule en $- 2$ ; quotient $-$ , $∥$ , $+$ , $0$ , $-$ : $S =] - 5; - 2 [$ .

La valeur interdite est toujours exclue : crochet ouvert de son côté, même avec « $⩽$ » ou « $⩾$ ».

Exercice 46 — Produit, puis quotient

1.
Résoudre $(3 x + 6) (- x + 4) > 0$ .
2.
Pour quelle valeur de $x$ le quotient $\frac{3 x + 6}{- x + 4}$ n'existe-t-il pas ?
3.
Résoudre $\frac{3 x + 6}{- x + 4} ⩽ 0$ .

Corrigé

1) $3 x + 6$ : $-$ puis $+$ autour de $- 2$ ; $- x + 4$ : $+$ puis $-$ autour de $4$ .

$S =] - 2; 4 [$ .

2) Pour $x = 4$ : le dénominateur $- x + 4$ est nul.

3) $S =] - \infty; - 2] \cup] 4; + \infty [$ .

Même tableau de signes que le produit, sauf en $4$ : double barre.

XIII Inéquations avancées

Exercice 47 — Factoriser d'abord

Résoudre chaque inéquation.

x^{2} ⩾ 3 x

2 x^{2} < 8 x

x^{2} ⩽ - 5 x

Corrigé

a) $x^{2} - 3 x ⩾ 0$ , soit $x (x - 3) ⩾ 0$ ; produit $+$ , $0$ , $-$ , $0$ , $+$ : $S =] - \infty; 0] \cup [3; + \infty [$ .

b) $2 x^{2} - 8 x < 0$ , soit $2 x (x - 4) < 0$ : $S =] 0; 4 [$ .

c) $x^{2} + 5 x ⩽ 0$ , soit $x (x + 5) ⩽ 0$ : $S = [- 5; 0]$ .

Ne jamais diviser par $x$ : son signe est inconnu, et on perdrait la solution $0$ .

Exercice 48 — Avec une identité remarquable

Résoudre chaque inéquation.

x^{2} < 25

(x - 3)^{2} ⩾ 4

(2 x + 1)^{2} ⩽ 9

Corrigé

a) $x^{2} - 25 < 0$ , soit $(x - 5) (x + 5) < 0$ : $S =] - 5; 5 [$ .

b) $(x - 3)^{2} - 4 ⩾ 0$ , soit $(x - 3 - 2) (x - 3 + 2) ⩾ 0$ , donc $(x - 5) (x - 1) ⩾ 0$ : $S =] - \infty; 1] \cup [5; + \infty [$ .

c) $(2 x + 1)^{2} - 9 ⩽ 0$ , soit $(2 x + 1 - 3) (2 x + 1 + 3) ⩽ 0$ , donc $(2 x - 2) (2 x + 4) ⩽ 0$ : $S = [- 2; 1]$ .

On passe tout à gauche pour comparer à $0$ , puis on factorise avec $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

Exercice 49 — Comparer un quotient à un nombre

Résoudre chaque inéquation.

\frac{x + 5}{x - 1} ⩾ 2

\frac{3}{x + 2} < 1

Corrigé

a) Valeur interdite : $1$ .

\frac{x + 5}{x - 1} - 2

⩾ 0

\frac{x + 5}{x - 1} - \frac{2 \times ( x - 1 )}{1 \times ( x - 1 )}

⩾ 0

\frac{x + 5 - 2 x + 2}{x - 1}

⩾ 0

\frac{- x + 7}{x - 1}

⩾ 0

Quotient $-$ , $∥$ , $+$ , $0$ , $-$ (valeurs $1$ et $7$ ) : $S =] 1; 7]$ .

b) Valeur interdite : $- 2$ .

\frac{3}{x + 2} - 1

< 0

\frac{3}{x + 2} - \frac{1 \times ( x + 2 )}{1 \times ( x + 2 )}

< 0

\frac{1 - x}{x + 2}

< 0

Quotient $-$ , $∥$ , $+$ , $0$ , $-$ (valeurs $- 2$ et $1$ ) : $S =] - \infty; - 2 [\cup] 1; + \infty [$ .

Contrôle de a) avec $x = 3$ : $\frac{8}{2} = 4 ⩾ 2$ , et $3$ est bien dans $S$ .

Exercice 50 — Coût moyen

Une imprimante 3D fabrique des figurines : $x$ figurines coûtent $2 x + 60$ € (matière et réglages). Le coût moyen d'une figurine est $M (x) = \frac{2 x + 60}{x}$ , pour $x > 0$ .

1.
Calculer $M (10)$ et $M (30)$ .
2.
Montrer que $M (x) ⩽ 5$ revient à $\frac{60 - 3 x}{x} ⩽ 0$ .
3.
À partir de combien de figurines le coût moyen est-il d'au plus $5$ € ?

Corrigé

1) $M (10) = \frac{80}{10} = 8$ € et $M (30) = \frac{120}{30} = 4$ €.

\frac{2 x + 60}{x} - 5

⩽ 0

\frac{2 x + 60}{x} - \frac{5 \times x}{1 \times x}

⩽ 0

\frac{60 - 3 x}{x}

⩽ 0

3) Pour $x > 0$ , le dénominateur est positif ; $60 - 3 x$ s'annule en $20$ et $a = - 3 < 0$ :

Le coût moyen est d'au plus $5$ € à partir de 20 figurines.

XIV Problèmes d'inéquations

Exercice 51 — Moyenne trimestrielle

Une élève a obtenu $9$ , $12$ et $10$ sur $20$ aux trois premiers devoirs du trimestre. On note $n$ sa note au quatrième devoir.

1.
Exprimer la moyenne $M (n)$ de ses quatre notes.
2.
Quelles notes doit-elle obtenir pour avoir au moins $12$ de moyenne ?
3.
Peut-elle encore obtenir au moins $15$ de moyenne ?

Corrigé

1) $M (n) = \frac{31 + n}{4}$ .

\frac{31 + n}{4}

⩾ 12

31 + n

⩾ 48 \times 4 > 0

n

⩾ 17

Il lui faut au moins 17 sur 20.

3) $31 + n ⩾ 60$ donne $n ⩾ 29$ : impossible, car une note ne dépasse pas $20$ .

Exercice 52 — Rectangle ou carré

Un rectangle a pour longueur $x + 5$ et pour largeur $3$ ; un carré a pour côté $x$ (longueurs en cm, $x > 0$ ).

1.
Exprimer le périmètre $P (x)$ du rectangle et le périmètre $Q (x)$ du carré.
2.
Pour quelles valeurs de $x$ le périmètre du carré est-il plus grand que celui du rectangle ?
3.
Vérifier avec $x = 10$ .

Corrigé

P (x)

= 2 (x + 5) + 2 \times 3

P (x)

= 2 x + 16

et $Q (x) = 4 x$ .

2) $4 x > 2 x + 16$ , donc $2 x > 16$ , puis $x > 8$ : pour $x > 8$ .

3) $P (10) = 36$ et $Q (10) = 40$ : on a bien $40 > 36$ .

Exercice 53 — Trottinettes en libre-service

Deux opérateurs louent des trottinettes. Opérateur A : $1$ € pour débloquer, puis $0, 20$ € par minute ; opérateur B : $0, 30$ € par minute, sans déblocage. On note $x$ la durée du trajet en minutes, entre $0$ et $30$ .

1.
Exprimer les prix $A (x)$ et $B (x)$ .
2.
Calculer le prix d'un trajet de $5$ minutes, puis de $20$ minutes, avec chaque opérateur.
3.
Résoudre l'inéquation $A (x) < B (x)$ sur $[0; 30]$ .
4.
Quel opérateur choisir, selon la durée du trajet ?

Corrigé

1) $A (x) = 0, 2 x + 1$ et $B (x) = 0, 3 x$ .

2) $5$ minutes : $A (5) = 2$ € et $B (5) = 1, 50$ € ; $20$ minutes : $A (20) = 5$ € et $B (20) = 6$ €.

0, 2 x + 1

< 0, 3 x

0, 2 x - 0, 3 x

< - 1

- 0, 1 x

< - 1

x

> 10 \div (- 0, 1) : le sens change

Avec $0 ⩽ x ⩽ 30$ : $S =] 10; 30]$ .

4) B est moins cher pour moins de $10$ minutes, A pour plus de $10$ minutes ; à $10$ minutes, les deux coûtent $3$ €.

Problème de synthèse

Exercice 54 — Étude complète d'une fonction

On considère la fonction $f$ définie sur $[0; 6]$ par $f (x) = (x - 1) (x - 5)$ .

1.
Dresser le tableau de valeurs de $f$ de $x = 0$ à $x = 6$ , avec un pas de $1$ .
2.
Tracer la courbe de $f$ dans un repère orthonormé (unité : 1 carreau).
3.
Donner les variations de $f$ , puis dresser son tableau de variations.
4.
Donner le maximum et le minimum de $f$ sur $[0; 6]$ .
5.
Dresser, par le calcul, le tableau de signes de $f (x)$ sur $[0; 6]$ .
6.
Résoudre $f (x) < 0$ , puis le vérifier sur la courbe.

Corrigé

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$f (x)$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

2) Courbe ci-contre.

3) $f$ est décroissante sur $[0; 3]$ et croissante sur $[3; 6]$ .

4) Maximum $5$ , en $0$ et en $6$ ; minimum $- 4$ , en $3$ .

5) $x - 1$ s'annule en $1$ , $x - 5$ en $5$ ; tous deux $-$ puis $+$ .

6) $S =] 1; 5 [$ : sur la courbe, c'est là qu'elle est au-dessous de l'axe des abscisses.