ExercicesChapitre 3 — Polynômes du second degré

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Sommaire

I — Fonction polynôme du second degré
II — Forme factorisée et racines
III — Le discriminant
IV — Racines et équations du second degré
V — Factoriser un trinôme
VI — Représentation graphique
VII — Sommet et variations
VIII — Synthèse : étudier et tracer une parabole
IX — Signe d'un trinôme
X — Inéquations du second degré
XI — Intersection d'une parabole et d'une droite
XII — Position relative de deux courbes
XIII — Problèmes du second degré

I Fonction polynôme du second degré

Exercice 1 — Est-ce un trinôme ?

Pour chaque fonction, dire si c'est une fonction polynôme du second degré. Si oui, donner $a$ , $b$ et $c$ ; sinon, dire pourquoi.

a)
$f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 5$
b)
$g (x) = 4 x + 1$
c)
$h (x) = - x^{2} + 6$
d)
$k (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 1$
e)
$l (x) = (x + 2) (x - 4)$
f)
$m (x) = x^{2} - (x - 1)^{2}$

Corrigé

a)
Oui : $a = 3$ , $b = - 2$ , $c = 5$ .
b)
Non : $4 x + 1$ est affine (pas de $x^{2}$ ).
c)
Oui : $a = - 1$ , $b = 0$ , $c = 6$ .
d)
Non : il y a un terme en $x^{3}$ .
e)
$l (x) = x^{2} - 2 x - 8$ : oui, $a = 1$ , $b = - 2$ , $c = - 8$ .
f)
$m (x) = x^{2} - (x^{2} - 2 x + 1) = 2 x - 1$ : non, affine.

Une expression avec des parenthèses se développe avant de conclure.

Exercice 2 — Lire les coefficients

Donner $a$ , $b$ et $c$ , avec leur signe.

A $=$
$3 x^{2} - 4 x + 2$
B $=$
$- x^{2} + 5 x$
C $=$
$x^{2} - 16$
D $=$
$- 2 x^{2} + 7$
E $=$
$\frac{1}{3} x^{2} + x - 4$
F $=$
$6 - 3 x - x^{2}$
G $=$
$- x^{2} + 2 x - 5$
H $=$
$5 x^{2}$

Corrigé

f

3

;

- 4

;

2

g

- 1

;

5

;

0

h

1

;

0

;

- 16

k

- 2

;

0

;

7

l

\frac{1}{3}

;

1

;

- 4

m

- 1

;

- 3

;

6

n

- 1

;

2

;

- 5

p

5

;

0

;

0

Pour $m$ , on range d'abord : $- x^{2} - 3 x + 6$ . Un terme absent vaut $0$ .

Exercice 3 — Développer d'abord

Développer et réduire, puis donner $a$ , $b$ et $c$ quand c'est un trinôme. Deux de ces expressions n'en sont pas.

A $=$
$(x + 3) (x - 4)$
B $=$
$(3 x - 2) (x + 1)$
C $=$
$(x - 2)^{2} + 5$
D $=$
$2 (x + 3)^{2} - 1$
E $=$
$(x + 3)^{2} - (x - 3)^{2}$
F $=$
$(3 x + 1)^{2} - 9 x^{2}$

Corrigé

f (x) = x^{2} - x - 12

g (x) = 3 x^{2} + x - 2

h (x) = x^{2} - 4 x + 9

k (x) = 2 x^{2} + 12 x + 17

l (x)

= x^{2} + 6 x + 9 - (x^{2} - 6 x + 9)

l (x)

= 12 x

m (x)

= 9 x^{2} + 6 x + 1 - 9 x^{2}

m (x)

= 6 x + 1

$l$ et $m$ ne sont $pas des trin \overset{o}{ˆ} mes$ (les $x^{2}$ s'éliminent).

Exercice 4 — Calculer des images

1)
$f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1$ : calculer $f (0)$ , $f (1)$ , $f (- 2)$ et $f (\frac{1}{3})$ .
2)
$g (x) = - x^{2} + 6 x$ : calculer $g (2)$ , $g (- 1)$ , $g (7)$ et $g (\frac{1}{2})$ .
3)
Que remarque-t-on pour $g (- 1)$ et $g (7)$ ?

Corrigé

1°)
$f (0) = 1$ ; $f (1) = 3 - 2 + 1 = 2$ ; $f (- 2) = 12 + 4 + 1 = 17$ ;
$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3}$
2°)
$g (2) = - 4 + 12 = 8$ ; $g (- 1) = - 1 - 6 = - 7$ ; $g (7) = - 49 + 42 = - 7$ ;
$g (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 = \frac{11}{4}$
3°)
$g (- 1) = g (7)$ : $- 1$ et $7$ sont symétriques par rapport à $3$ , l'axe de la parabole.

$(- 2)^{2} = 4$ : le carré d'un nombre négatif est positif.

II Forme factorisée et racines

Exercice 5 — De la forme factorisée à la forme développée

Développer et réduire.

A $=$
$3 (x - 2) (x + 1)$
B $=$
$- (x + 3) (x - 4)$
C $=$
$2 (x + 1)^{2}$
D $=$
$- 3 (x - 1) (x - 2)$

Corrigé

f (x)

= 3 (x^{2} - x - 2)

f (x)

= 3 x^{2} - 3 x - 6

g (x)

= - (x^{2} - x - 12)

g (x)

= - x^{2} + x + 12

h (x)

= 2 (x^{2} + 2 x + 1)

h (x)

= 2 x^{2} + 4 x + 2

k (x)

= - 3 (x^{2} - 3 x + 2)

k (x)

= - 3 x^{2} + 9 x - 6

On développe les deux parenthèses, puis on multiplie par $a$ .

Exercice 6 — Équations produit

Résoudre dans $R$ :

a)
$(x - 5) (x + 2) = 0$
b)
$- 3 (x + 4) (2 x - 3) = 0$
c)
$5 (x + 1)^{2} = 0$
d)
$x (2 x - 8) = 0$

Corrigé

a)
$S = {- 2; 5}$
b)
$x + 4 = 0$ ou $2 x - 3 = 0$ : $S = {- 4; \frac{3}{2}}$
c)
$x + 1 = 0$ : $S = {- 1}$
d)
$x = 0$ ou $2 x - 8 = 0$ : $S = {0; 4}$

Le facteur $- 3$ (ou $5$ ) ne s'annule jamais : il n'intervient pas.

Exercice 7 — Lire les racines

Donner les racines de chaque fonction, sans calcul.

A $=$
$(x - 3) (x + 4)$
B $=$
$2 (x + 2) (x - 6)$
C $=$
$- 3 (x - 5) (x + 1)$
D $=$
$(3 x - 1) (x + 2)$
E $=$
$4 (x - 1)^{2}$
F $=$
$- (x + 5) (x - 5)$
G $=$
$x (x - 7)$
H $=$
$2 (x + 1) (x + 6)$

Corrigé

f

3 et - 4

g

- 2 et 6

h

5 et - 1

k

\frac{1}{3} et - 2

l

1

(double)

m

- 5 et 5

n

0 et 7

p

- 1 et - 6

Pour $k$ , $3 x - 1 = 0$ donne $x = \frac{1}{3}$ : ce n'est pas $1$ .

Exercice 8 — Les deux formes d'une même fonction

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = 3 (x + 1) (x - 2)$ .

1)
Développer et réduire $f (x)$ .
2)
Calculer $f (0)$ avec chacune des deux formes.
3)
Donner les racines de $f$ , puis résoudre $f (x) = 0$ .
4)
$f$ est-elle une fonction polynôme du second degré ? Donner $a$ .

Corrigé

1°)
$f (x) = 3 (x^{2} - x - 2) = 3 x^{2} - 3 x - 6$
2°)
Forme factorisée : $f (0) = 3 \times 1 \times (- 2) = - 6$ ; forme développée : $f (0) = - 6$ .
3°)
Racines $- 1$ et $2$ : $S = {- 1; 2}$ .
4°)
Oui, avec $a = 3$ .

III Le discriminant

Exercice 9 — Calculer un discriminant

Calculer $Δ$ et donner son signe.

A $=$
$x^{2} - 2 x - 15$
B $=$
$x^{2} + 2 x - 15$
C $=$
$x^{2} + 2 x + 15$
D $=$
$- x^{2} + 2 x - 15$
E $=$
$4 x^{2} - 12 x + 9$
F $=$
$25 x^{2} - 10 x + 1$
G $=$
$- 2 x^{2} + 5 x - 3$
H $=$
$- 3 x^{2} + 4 x - 2$
I $=$
$- 2 x^{2} + 7 x - 3$

Corrigé

$Δ = b^{2} - 4 a c$ , avec les nombres négatifs entre parenthèses.

f

4 + 60 = 64 > 0

g

4 + 60 = 64 > 0

h

4 - 60 = - 56 < 0

k

4 - 60 = - 56 < 0

l

144 - 144 = 0

m

100 - 100 = 0

n

25 - 24 = 1 > 0

p

16 - 24 = - 8 < 0

q

49 - 24 = 25 > 0

Pour $k$ : $- 4 \times (- 1) \times (- 15) = - 60$ . Le signe de $- 4 a c$ dépend des signes de $a$ et de $c$ .

Exercice 10 — Combien de racines ?

Calculer $Δ$ , puis dire combien le polynôme a de racines.

A $=$
$x^{2} + 5 x + 4$
B $=$
$x^{2} + 4 x + 5$
C $=$
$x^{2} - 8 x + 7$
D $=$
$9 x^{2} + 6 x + 1$
E $=$
$2 x^{2} + 5 x + 3$
F $=$
$- 3 x^{2} - x - 2$

Corrigé

f

Δ = 9

2

g

Δ = - 4

0

h

Δ = 36

2

k

Δ = 0

1

l

Δ = 1

2

m

Δ = - 23

0

Exercice 11 — Quand $b$ ou $c$ est nul

Même consigne. Attention aux termes absents et aux signes.

A $=$
$x^{2} - 25$
B $=$
$- 3 x^{2} + 12$
C $=$
$2 x^{2} - 7 x$
D $=$
$- x^{2} + 6 x$
E $=$
$- 2 x^{2} - 5$
F $=$
$4 x^{2} + 1$

Corrigé

f

0 + 100 = 100

: 2

g

0 + 144 = 144

: 2

h

49 - 0 = 49

: 2

k

36 - 0 = 36

: 2

l

0 - 40 = - 40

: 0

m

0 - 16 = - 16

: 0

Si $b = 0$ , $Δ = - 4 a c$ ; si $c = 0$ , $Δ = b^{2}$ .

IV Racines et équations du second degré

Exercice 12 — Deux racines

Résoudre dans $R$ . Le discriminant est à chaque fois un carré parfait.

a)
$x^{2} - 2 x - 15 = 0$
b)
$2 x^{2} + 3 x - 2 = 0$
c)
$3 x^{2} - 8 x + 5 = 0$
d)
$- x^{2} + 7 x - 12 = 0$

Corrigé

a) $Δ = 4 + 60 = 64$ :

x_{1}

= \frac{2 - 8}{2} = - 3 x_{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5

$S = {- 3; 5}$

b) $Δ = 9 + 16 = 25$ :

x_{1}

= \frac{- 3 - 5}{4} = - 2 x_{2} = \frac{- 3 + 5}{4} = \frac{1}{2}

$S = {- 2; \frac{1}{2}}$

c) $Δ = 64 - 60 = 4$ :

x_{1}

= \frac{8 - 2}{6} = 1 x_{2} = \frac{8 + 2}{6} = \frac{5}{3}

$S = {1; \frac{5}{3}}$

d) $Δ = 49 - 48 = 1$ :

x_{1}

= \frac{- 7 - 1}{- 2} = 4 x_{2} = \frac{- 7 + 1}{- 2} = 3

$S = {3; 4}$

Avec $a < 0$ , le dénominateur $2 a$ est négatif : attention aux signes.

Exercice 13 — Les trois cas

Résoudre dans $R$ , en précisant à chaque fois le cas.

a)
$4 x^{2} - 20 x + 25 = 0$
b)
$x^{2} + 2 x + 4 = 0$
c)
$- 3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$
d)
$x^{2} + 8 x + 16 = 0$
e)
$6 x^{2} + x - 2 = 0$
f)
$- 2 x^{2} + 5 x - 2 = 0$

Corrigé

a)
$Δ = 400 - 400 = 0$ ; $x_{0} = \frac{20}{8}$ : $S = {\frac{5}{2}}$
b)
$Δ = 4 - 16 = - 12 < 0$ : $S = \emptyset$
c)
$Δ = 4 - 60 = - 56 < 0$ : $S = \emptyset$
d)
$Δ = 64 - 64 = 0$ ; $x_{0} = \frac{- 8}{2}$ : $S = {- 4}$
e)
$Δ = 1 + 48 = 49$ ; $\frac{- 1 - 7}{12}$ et $\frac{- 1 + 7}{12}$ :
$S = {- \frac{2}{3}; \frac{1}{2}}$
f)
$Δ = 25 - 16 = 9$ ; $\frac{- 5 - 3}{- 4}$ et $\frac{- 5 + 3}{- 4}$ : $S = {\frac{1}{2}; 2}$

Exercice 14 — Sans discriminant

Résoudre dans $R$ sans calculer de discriminant.

a)
$x^{2} - 7 = 0$
b)
$2 x^{2} - 9 x = 0$
c)
$x^{2} - 64 = 0$
d)
$9 x^{2} - 4 = 0$
e)
$3 x^{2} + 12 x = 0$
f)
$x^{2} + 9 = 0$

Corrigé

a)
$x^{2} = 7$ : $S = {- 7; 7}$
b)
$x (2 x - 9) = 0$ : $S = {0; \frac{9}{2}}$
c)
$(x - 8) (x + 8) = 0$ : $S = {- 8; 8}$
d)
$(3 x - 2) (3 x + 2) = 0$ : $S = {- \frac{2}{3}; \frac{2}{3}}$
e)
$3 x (x + 4) = 0$ : $S = {- 4; 0}$
f)
$x^{2} = - 9$ , impossible : $S = \emptyset$

Pas de terme constant : facteur commun $x$ . Pas de terme en $x$ : on isole $x^{2}$ .

Exercice 15 — Tout ramener d'un côté

Résoudre dans $R$ :

a)
$3 x^{2} + 2 x - 1 = 2 x^{2} + 7$
b)
$x (x + 3) = - (2 x + 6)$
c)
$x^{2} - 3 x + 7 = 5$
d)
$(x + 2) (x - 3) = 6$

Corrigé

a)
$x^{2} + 2 x - 8 = 0$ ; $Δ = 36$ : $S = {- 4; 2}$
b)
$x^{2} + 3 x + 2 x + 6 = 0$ , soit $x^{2} + 5 x + 6 = 0$ ; $Δ = 1$ :
$S = {- 3; - 2}$
c)
$x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ; $Δ = 1$ : $S = {1; 2}$
d)
$x^{2} - x - 6 - 6 = 0$ , soit $x^{2} - x - 12 = 0$ ; $Δ = 49$ :
$S = {- 3; 4}$

En d), on ne résout pas « $x + 2 = 6$ ou $x - 3 = 6$ » : le produit vaut $6$ , pas $0$ .

Exercice 16 — Racines d'une fonction

Déterminer les racines de chaque fonction, si elle en a.

a)
$f (x) = x^{2} - 9 x + 20$
b)
$g (x) = - 3 x^{2} + 3 x + 18$
c)
$h (x) = x^{2} + 4 x + 7$
d)
$k (x) = 9 x^{2} - 6 x + 1$

Corrigé

a)
$Δ = 81 - 80 = 1$ : $4 et 5$
b)
$Δ = 9 + 216 = 225$ ; $\frac{- 3 - 15}{- 6}$ et $\frac{- 3 + 15}{- 6}$ : $3 et - 2$
c)
$Δ = 16 - 28 = - 12 < 0$ : $aucune racine$
d)
$Δ = 36 - 36 = 0$ : $\frac{1}{3}$ (racine double)

En b), on peut aussi diviser par $- 3$ : $x^{2} - x - 6 = 0$ , même racines.

V Factoriser un trinôme

Exercice 17 — Les racines sont données

Écrire la forme factorisée. Ne pas oublier le coefficient $a$ .

a)
$x^{2} + x - 6$ , de racines $- 3$ et $2$
b)
$3 x^{2} + 3 x - 18$ , de racines $- 3$ et $2$
c)
$- x^{2} + 5 x - 4$ , de racines $1$ et $4$
d)
$2 x^{2} - 12 x + 18$ , de racine double $3$

Corrigé

a)
$(x + 3) (x - 2)$
b)
$3 (x + 3) (x - 2)$
c)
$- (x - 1) (x - 4)$
d)
$2 (x - 3)^{2}$

Contrôle sur le terme constant : en b), $3 \times 3 \times (- 2) = - 18$ .

Exercice 18 — Factoriser

Calculer $Δ$ , puis factoriser.

A $=$
$x^{2} - 2 x - 8$
B $=$
$2 x^{2} - x - 1$
C $=$
$- x^{2} - 2 x + 3$
D $=$
$3 x^{2} - 7 x + 2$

Corrigé

a)
$Δ = 36$ , racines $- 2$ et $4$ : $(x + 2) (x - 4)$
b)
$Δ = 9$ , racines $- \frac{1}{2}$ et $1$ : $2 (x + \frac{1}{2}) (x - 1)$
c)
$Δ = 16$ , racines $1$ et $- 3$ : $- (x - 1) (x + 3)$
d)
$Δ = 25$ , racines $\frac{1}{3}$ et $2$ : $3 (x - \frac{1}{3}) (x - 2)$

En b) et d), on peut aussi écrire $(2 x + 1) (x - 1)$ et $(3 x - 1) (x - 2)$ .

Exercice 19 — Factoriser si c'est possible

Factoriser quand c'est possible ; sinon, justifier.

A $=$
$x^{2} + 4 x + 4$
B $=$
$x^{2} + 9$
C $=$
$x^{2} - 9$
D $=$
$6 x^{2} + x - 2$
E $=$
$3 x^{2} + x + 2$
F $=$
$- 3 x^{2} + 6 x - 3$

Corrigé

a)
$Δ = 0$ , racine $- 2$ : $(x + 2)^{2}$
b)
$Δ = - 36 < 0$ : $ne se factorise pas$
c)
$(x - 3) (x + 3)$
d)
$Δ = 49$ , racines $- \frac{2}{3}$ et $\frac{1}{2}$ : $6 (x + \frac{2}{3}) (x - \frac{1}{2})$
e)
$Δ = 1 - 24 = - 23 < 0$ : $ne se factorise pas$
f)
$Δ = 36 - 36 = 0$ , racine $1$ : $- 3 (x - 1)^{2}$

Exercice 20 — Racine évidente

Pour chaque trinôme $f$ , $g$ , $h$ , vérifier que le nombre indiqué est une racine, puis factoriser.

a)
$f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ , avec $1$
b)
$g (x) = 2 x^{2} + 5 x - 7$ , avec $1$
c)
$h (x) = - 2 x^{2} - 5 x - 3$ , avec $- 1$

Corrigé

a)
$f (1) = 1 - 6 + 5 = 0$ . $f (x) = (x - 1) (x - x_{2})$ et $f (0) = 5 = x_{2}$ : $(x - 1) (x - 5)$
b)
$g (1) = 2 + 5 - 7 = 0$ . $g (0) = - 7$ et $g (0) = 2 \times (- 1) \times (- x_{2})$ , soit $2 x_{2}$ ; donc $x_{2} = - \frac{7}{2}$ : $2 (x - 1) (x + \frac{7}{2})$
c)
$h (- 1) = - 2 + 5 - 3 = 0$ . $h (0) = - 3$ et $h (0) = - 2 \times 1 \times (- x_{2})$ , soit $2 x_{2}$ ; donc $x_{2} = - \frac{3}{2}$ : $- 2 (x + 1) (x + \frac{3}{2})$

On vérifie en développant : le calcul du discriminant donne le même résultat.

VI Représentation graphique

Exercice 21 — Tableau de valeurs et tracé

Soit $f$ la fonction définie sur $[- 3; 2]$ par $f (x) = x^{2} + x - 2$ .

1)
Quel est le signe de $a$ ? La parabole est-elle un creux ou une bosse ?
2)
Calculer les racines de $f$ .
3)
Recopier et compléter le tableau de valeurs :

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$

4)
Placer les points et tracer la courbe dans le repère ci-dessous.

Corrigé

1°) $a = 1 > 0$ : $un creux$ .

2°) $Δ = 1 + 8 = 9$ : racines $\frac{- 1 - 3}{2} = - 2$ et $\frac{- 1 + 3}{2} = 1$ .

3°)

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$4$	$0$	$- 2$	$- 2$	$0$	$4$

4°)

Le tableau est symétrique par rapport à $x = - \frac{1}{2}$ : $f (- 1) = f (0)$ , $f (- 2) = f (1)$ . On relie à main levée, sans ligne brisée.

Exercice 22 — Un deuxième tracé

Même travail avec la fonction $g$ définie sur $[0; 4]$ par $g (x) = - x^{2} + 4 x - 3$ : signe de $a$ , racines, tableau de valeurs par pas de $1$ , puis tracé dans un repère orthonormé.

Corrigé

$a = - 1 < 0$ : une bosse.

$Δ = 16 - 12 = 4$ : racines $1$ et $3$ .

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$g (x)$	$- 3$	$0$	$1$	$0$	$- 3$

Exercice 23 — Associer une courbe à une fonction

On donne quatre fonctions :

f (x) = x^{2} - 1

g (x) = - x^{2} + 3

h (x) = x^{2} + 1

k (x) = (x + 1)^{2}

1)
Pour chacune, donner le signe de $a$ et le nombre de racines.
2)
Associer chaque fonction à sa courbe.

Corrigé

1°)
$f$ : $a > 0$ , deux racines ( $\pm 1$ ) ; $g$ : $a < 0$ , deux racines ( $\pm 3$ ) ;
$h$ : $a > 0$ , aucune racine ; $k$ : $a > 0$ , une racine double ( $- 1$ ).
2°)
Courbe 1 : $g$ (une bosse) ; courbe 2 : $k$ (touche l'axe en $- 1$ ) ;
courbe 3 : $f$ (coupe l'axe en $\pm 1$ ) ; courbe 4 : $h$ (au-dessus de l'axe).

Exercice 24 — Sans tracer

Dire, en une ligne de calcul, en combien de points la parabole coupe l'axe des abscisses.

A $=$
$x^{2} - 8 x + 16$
B $=$
$3 x^{2} + x + 4$
C $=$
$- x^{2} + 2 x + 8$
D $=$
$2 x^{2} - 18$
E $=$
$- 9 x^{2} + 6 x - 1$
F $=$
$x^{2} + 4 x + 6$

Corrigé

f

Δ = 0

1 point

g

Δ = - 47

0

h

Δ = 36

2

k

Δ = 144

2

l

Δ = 0

1

m

Δ = - 8

0

VII Sommet et variations

Exercice 25 — Coordonnées du sommet

Calculer $α$ et $β$ , puis donner les coordonnées du sommet $S$ .

a)
$f (x) = x^{2} - 6 x + 2$
b)
$g (x) = - x^{2} + 4 x + 3$
c)
$h (x) = 2 x^{2} + 8 x + 5$
d)
$k (x) = - 2 x^{2} + 12 x - 7$

Corrigé

$α = - \frac{b}{2 a}$ , puis $β = f (α)$ .

a)
$α = \frac{6}{2} = 3$ ; $β = 9 - 18 + 2 = - 7$ : $S (3; - 7)$
b)
$α = - \frac{4}{- 2} = 2$ ; $β = - 4 + 8 + 3 = 7$ : $S (2; 7)$
c)
$α = - \frac{8}{4} = - 2$ ; $β = 8 - 16 + 5 = - 3$ : $S (- 2; - 3)$
d)
$α = - \frac{12}{- 4} = 3$ ; $β = - 18 + 36 - 7 = 11$ : $S (3; 11)$

Exercice 26 — Tableau de variations

Dresser le tableau de variations sur $R$ , puis dire si la fonction a un minimum ou un maximum, et donner sa valeur.

a)
$f (x) = x^{2} - 4 x + 3$
b)
$g (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 9$
c)
$h (x) = 2 x^{2} + 8 x$
d)
$k (x) = - x^{2} - 6 x - 5$

Corrigé

a) $α = 2$ , $β = - 1$ , $a > 0$ : $minimum - 1$ en $x = 2$ . b) $α = 1$ , $β = - 3 + 6 + 9 = 12$ , $a < 0$ : $maximum 12$ en $x = 1$ . c) $α = - 2$ , $β = 8 - 16 = - 8$ , $a > 0$ : $minimum - 8$ en $x = - 2$ .

d) $α = - 3$ , $β = - 9 + 18 - 5 = 4$ , $a < 0$ : $maximum 4$ en $x = - 3$ .

c) et d) : tableaux sur le même modèle que a) et b).

Exercice 27 — Le sommet à partir des racines

Soit $f (x) = x^{2} - 6 x + 8$ et $g (x) = - 2 x^{2} + 8 x + 10$ .

1)
Déterminer les racines de $f$ , puis celles de $g$ .
2)
En déduire $α$ pour chacune, sans la formule $- \frac{b}{2 a}$ . (Le sommet est à mi-chemin des racines.)
3)
Calculer $β$ , puis dresser les deux tableaux de variations.

Corrigé

1°)
$f$ : $Δ = 4$ , racines $2$ et $4$ . $g$ : on divise par $- 2$ , $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ , racines $- 1$ et $5$ .
2°)
$f$ : $α = \frac{2 + 4}{2} = 3$ ; $g$ : $α = \frac{- 1 + 5}{2} = 2$ .
3°)
$f (3) = 9 - 18 + 8 = - 1$ : minimum (creux) ;
$g (2) = - 8 + 16 + 10 = 18$ : maximum (bosse).

Exercice 28 — Maximum ou minimum ?

Lesquelles de ces fonctions ont un maximum ? un minimum ? Donner sa valeur et le $x$ où il est atteint.

a)
$f_{1} (x) = 4 x^{2} - 8 x + 1$
b)
$f_{2} (x) = - x^{2} + 4 x + 2$
c)
$f_{3} (x) = - 3 x^{2} + 6 x$
d)
$f_{4} (x) = x^{2} + 8 x + 12$

Corrigé

a)
$a > 0$ ; $α = 1$ : $minimum - 3$ en $x = 1$
b)
$a < 0$ ; $α = 2$ : $maximum 6$ en $x = 2$
c)
$a < 0$ ; $α = 1$ : $maximum 3$ en $x = 1$
d)
$a > 0$ ; $α = - 4$ : $minimum - 4$ en $x = - 4$

Le signe de $a$ suffit à dire « maximum » ou « minimum ».

VIII Synthèse : étudier et tracer une parabole

Exercice 29 — Étude complète

Faire l'étude complète de la fonction $f$ définie sur $[- 2; 4]$ par $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ , puis tracer sa courbe dans un repère orthonormé.

Corrigé

$a = 1 > 0$ : un creux. $α = 1$ , $β = - 4$ . $Δ = 16$ : racines $- 1$ et $3$ .

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$5$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$0$	$5$

Exercice 30 — Étude complète

Même travail avec la fonction $g$ définie sur $[- 3; 2]$ par $g (x) = - x^{2} - x + 2$ .

Corrigé

$a = - 1 < 0$ : une bosse. $α = - \frac{1}{2}$ , $β = - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 2 = \frac{9}{4}$ . $Δ = 1 + 8 = 9$ : racines $- 2$ et $1$ .

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$g (x)$	$- 4$	$0$	$2$	$2$	$0$	$- 4$

Exercice 31 — Étude complète

Même travail avec la fonction $h$ définie sur $[- 2; 1]$ par $h (x) = 2 x^{2} + 2 x - 4$ . Vérifier que la courbe passe par les points d'ordonnée $0$ calculés.

Corrigé

$a = 2 > 0$ : un creux. $α = - \frac{2}{4} = - \frac{1}{2}$ , $β = \frac{1}{2} - 1 - 4 = - \frac{9}{2}$ . $Δ = 4 + 32 = 36$ : racines $\frac{- 2 - 6}{4} = - 2$ et $\frac{- 2 + 6}{4} = 1$ .

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$
$h (x)$	$0$	$- 4$	$- 4$	$0$

La courbe passe bien par $(- 2; 0)$ et $(1; 0)$ .

IX Signe d'un trinôme

Exercice 32 — À partir de la forme factorisée

Dresser le tableau de signes de chaque polynôme.

A $=$
$3 (x + 2) (x - 5)$
B $=$
$- 2 (x - 1) (x + 6)$
C $=$
$4 (x + 4) (3 x - 1)$
D $=$
$- 3 (2 x - 5) (4 x + 1)$

Corrigé

Signe de $a$ à l'extérieur des racines, signe contraire entre elles.

$f$ : racines $- 2$ et $5$ , $a = 3 > 0$ . $g$ : racines $- 6$ et $1$ , $a = - 2 < 0$ : signe $-$ , $+$ , $-$ .

$h$ : racines $- 4$ et $\frac{1}{3}$ , $a = 12 > 0$ : signe $+$ , $-$ , $+$ .

$k$ : racines $- \frac{1}{4}$ et $\frac{5}{2}$ , $a = - 24 < 0$ : signe $-$ , $+$ , $-$ .

Pour $h$ , $a = 4 \times 3 = 12$ : le coefficient de $x^{2}$ après développement.

Exercice 33 — À partir de la forme développée

Calculer $Δ$ , les racines, puis dresser le tableau de signes.

a)
$f (x) = 2 x^{2} + 5 x - 12$
b)
$g (x) = - x^{2} + 2 x + 8$
c)
$h (x) = 2 x^{2} - 7 x + 3$
d)
$k (x) = - 3 x^{2} - x + 2$

Corrigé

a)
$Δ = 25 + 96 = 121$ ; racines $- 4$ et $\frac{3}{2}$ ; $a > 0$ : $+$ , $-$ , $+$ .
b)
$Δ = 4 + 32 = 36$ ; racines $- 2$ et $4$ ; $a < 0$ : $-$ , $+$ , $-$ .
c)
$Δ = 49 - 24 = 25$ ; racines $\frac{1}{2}$ et $3$ ; $a > 0$ : $+$ , $-$ , $+$ .
d)
$Δ = 1 + 24 = 25$ ; racines $- 1$ et $\frac{2}{3}$ ; $a < 0$ : $-$ , $+$ , $-$ .

a) par exemple :

On range toujours les racines dans l'ordre croissant avant de remplir le tableau.

Exercice 34 — Les trois cas

Étudier le signe de chaque polynôme.

A $=$
$x^{2} + 4 x + 4$
B $=$
$x^{2} - 4$
C $=$
$x^{2} + 4$
D $=$
$- x^{2} + 2 x - 4$
E $=$
$- 9 x^{2} + 6 x - 1$
F $=$
$2 x^{2} - 5 x + 3$

Corrigé

a)
$Δ = 0$ , racine $- 2$ : positif, nul en $- 2$ .
b)
Racines $- 2$ et $2$ : $+$ , $-$ , $+$ .
c)
$Δ = - 16 < 0$ , $a > 0$ : toujours positif.
d)
$Δ = - 12 < 0$ , $a < 0$ : toujours négatif.
e)
$Δ = 0$ , racine $\frac{1}{3}$ , $a < 0$ : négatif, nul en $\frac{1}{3}$ .
f)
$Δ = 1$ , racines $1$ et $\frac{3}{2}$ , $a > 0$ : $+$ , $-$ , $+$ .

Exercice 35 — Sans tableau de signes

Pour chaque trinôme, dire s'il est toujours positif, toujours négatif, ou s'il change de signe, en s'appuyant sur le signe de $a$ et celui de $Δ$ .

A $=$
$x^{2} + 2 x + 3$
B $=$
$- 2 x^{2} - 3$
C $=$
$3 x^{2} - 12$
D $=$
$- x^{2} + 4 x - 4$
E $=$
$4 x^{2} + x + 1$
F $=$
$- 3 x^{2} + 2 x - 1$

Corrigé

a)
$a > 0$ , $Δ = - 8 < 0$ : $toujours positif$
b)
$a < 0$ , $Δ = - 24 < 0$ : $toujours n \overset{e}{ˊ} gatif$
c)
$Δ = 144 > 0$ : $change de signe$ (en $- 2$ et $2$ )
d)
$a < 0$ , $Δ = 0$ : $n \overset{e}{ˊ} gatif ou nul$ (nul en $2$ )
e)
$a > 0$ , $Δ = - 15 < 0$ : $toujours positif$
f)
$a < 0$ , $Δ = - 8 < 0$ : $toujours n \overset{e}{ˊ} gatif$

X Inéquations du second degré

Exercice 36 — Inéquations

Résoudre dans $R$ , en donnant les solutions sous forme d'intervalles.

a)
$x^{2} + 4 x + 4 > 0$
b)
$- 2 x^{2} + 5 x - 3 ⩽ 0$
c)
$x^{2} - 2 x - 15 ⩾ 0$
d)
$x^{2} + 3 x - 10 < 0$

Corrigé

a)
$Δ = 0$ , racine $- 2$ ; positif sauf en $- 2$ : $S = R ∖ {- 2}$
b)
$Δ = 1$ , racines $1$ et $\frac{3}{2}$ ; $a < 0$ : négatif à l'extérieur :
$S =] - \infty; 1] \cup [\frac{3}{2}; + \infty [$
c)
Racines $- 3$ et $5$ ; $a > 0$ : $S =] - \infty; - 3] \cup [5; + \infty [$
d)
$Δ = 49$ , racines $- 5$ et $2$ : $S =] - 5; 2 [$

Crochets fermés en une racine pour $⩽$ ou $⩾$ , ouverts pour $<$ ou $>$ .

Exercice 37 — Tout ramener d'un côté

Résoudre dans $R$ :

a)
$- 2 x^{2} + 7 x ⩽ 3$
b)
$2 x^{2} ⩾ 3 x - 4$
c)
$x (x - 4) ⩾ x - 6$
d)
$x^{2} + 8 < 6 x$

Corrigé

a)
$- 2 x^{2} + 7 x - 3 ⩽ 0$ ; $Δ = 25$ , racines $\frac{1}{2}$ et $3$ ; $a < 0$ :
$S =] - \infty; \frac{1}{2}] \cup [3; + \infty [$
b)
$2 x^{2} - 3 x + 4 ⩾ 0$ ; $Δ = - 23 < 0$ , $a > 0$ : $S = R$
c)
$x^{2} - 5 x + 6 ⩾ 0$ ; racines $2$ et $3$ :
$S =] - \infty; 2] \cup [3; + \infty [$
d)
$x^{2} - 6 x + 8 < 0$ ; racines $2$ et $4$ : $S =] 2; 4 [$

Exercice 38 — Cas particuliers

Résoudre dans $R$ :

a)
$x^{2} ⩾ 25$
b)
$x^{2} < 9$
c)
$- x^{2} + 1 > 0$
d)
$3 x^{2} + 6 ⩽ 0$
e)
$(x + 2)^{2} > 0$
f)
$x^{2} - x + 4 > 0$

Corrigé

a)
$S =] - \infty; - 5] \cup [5; + \infty [$
b)
$S =] - 3; 3 [$
c)
$S =] - 1; 1 [$
d)
$3 x^{2} + 6 > 0$ toujours : $S = \emptyset$
e)
Un carré est positif, nul seulement en $- 2$ : $S = R ∖ {- 2}$
f)
$Δ = - 15 < 0$ , $a > 0$ : $S = R$

En a), $x^{2} ⩾ 25$ ne donne pas seulement $x ⩾ 5$ : on n'oublie pas les négatifs.

Exercice 39 — Lecture graphique

Voici la courbe de la fonction $f$ définie par $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ .

Résoudre graphiquement, puis par le calcul :

a)
$f (x) = 0$
b)
$f (x) > 0$
c)
$f (x) ⩽ 0$
d)
$f (x) = - 3$

Corrigé

a)
La courbe coupe l'axe des abscisses en $- 3$ et $1$ ; par le calcul, $Δ = 16$ : $S = {- 3; 1}$
b)
Courbe au-dessus de l'axe : $S =] - \infty; - 3 [\cup] 1; + \infty [$
c)
$S = [- 3; 1]$
d)
$x^{2} + 2 x - 3 = - 3$ , soit $x (x + 2) = 0$ : $S = {- 2; 0}$ ; sur le graphique, la droite $y = - 3$ coupe la courbe en $- 2$ et $0$ .

XI Intersection d'une parabole et d'une droite

Exercice 40 — Points d'intersection

Trouver les points d'intersection de $P$ et $D$ , s'il y en a.

a)
$P$ : $y = x^{2} - 4 x + 2$ et $D$ : $y = - x + 2$
b)
$P$ : $y = x^{2} + 2 x + 4$ et $D$ : $y = 4 x + 3$
c)
$P$ : $y = x^{2} - x + 3$ et $D$ : $y = x + 1$

Corrigé

On résout $f (x) = g (x)$ ; les ordonnées se calculent avec la droite.

a)
$x^{2} - 3 x = 0$ , soit $x (x - 3) = 0$ : $(0; 2)$ et $(3; - 1)$
b)
$x^{2} - 2 x + 1 = 0$ , racine double $1$ : $(1; 7)$ (la droite est tangente)
c)
$x^{2} - 2 x + 2 = 0$ , $Δ = - 4 < 0$ : $aucun point$

Exercice 41 — Deux paraboles

Trouver les points d'intersection de $P$ et $P^{'}$ , s'il y en a.

a)
$P$ : $y = x^{2} + x - 3$ et $P^{'}$ : $y = - x^{2} + 3 x + 1$
b)
$P$ : $y = x^{2} - 2 x + 4$ et $P^{'}$ : $y = - x^{2} + 2 x + 2$
c)
$P$ : $y = 3 x^{2} - 2 x + 1$ et $P^{'}$ : $y = 3 x^{2} + 4 x - 5$ (que remarque-t-on ?)

Corrigé

a)
$2 x^{2} - 2 x - 4 = 0$ , soit $x^{2} - x - 2 = 0$ , racines $- 1$ et $2$ :
$(- 1; - 3)$ et $(2; 3)$
b)
$2 x^{2} - 4 x + 2 = 0$ , soit $(x - 1)^{2} = 0$ : $(1; 3)$
c)
$- 6 x + 6 = 0$ , donc $x = 1$ : $(1; 2)$

En c), les termes en $x^{2}$ s'éliminent : l'équation est du premier degré.

Exercice 42 — Combien de points ?

$P$ est la parabole d'équation $y = x^{2}$ . Pour chaque droite, dire sans calculer les points combien elle a de points communs avec $P$ :

D_{1} : y = 4 x - 4

D_{2} : y = 4 x - 5

D_{3} : y = 4 x + 1

Corrigé

$D_{1}$ : $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ , $Δ = 0$ : $1 point$ .
$D_{2}$ : $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ , $Δ = - 4$ : $aucun$ .
$D_{3}$ : $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ , $Δ = 20$ : $2 points$ .

Exercice 43 — Avec un paramètre

$P$ est la parabole d'équation $y = x^{2} + x$ et $D_{m}$ la droite d'équation $y = 3 x + m$ , où $m$ est un nombre réel.

1)
Montrer que les abscisses des points communs sont les solutions de $x^{2} - 2 x - m = 0$ .
2)
Calculer $Δ$ en fonction de $m$ .
3)
Pour quelles valeurs de $m$ la droite coupe-t-elle $P$ en deux points ? en un seul ? en aucun ?

Corrigé

1°)
$x^{2} + x = 3 x + m$ , soit $x^{2} - 2 x - m = 0$ .
2°)
$Δ = (- 2)^{2} - 4 \times 1 \times (- m) = 4 + 4 m$ .
3°)
Deux points si $4 + 4 m > 0$ , soit $m > - 1$ ; un seul si $m = - 1$ ; aucun si $m < - 1$ .

XII Position relative de deux courbes

Exercice 44 — Une parabole et une droite

Soit $f (x) = x^{2} + x - 2$ et $g (x) = 3 x - 2$ .

1)
Calculer et réduire $d (x) = f (x) - g (x)$ .
2)
Étudier le signe de $d (x)$ .
3)
En déduire la position relative de $C_{f}$ et de la droite $C_{g}$ .

Corrigé

1°)
$d (x) = x^{2} + x - 2 - (3 x - 2) = x^{2} - 2 x$
2°)
$d (x) = x (x - 2)$ : racines $0$ et $2$ , $a > 0$ : $+$ , $-$ , $+$ .
3°)
$C_{f}$ est $au-dessus$ de la droite sur $] - \infty; 0 [$ et sur $] 2; + \infty [$ , $au-dessous$ sur $] 0; 2 [$ ; elles se coupent en $(0; - 2)$ et $(2; 4)$ .

Exercice 45 — Trois situations

Étudier la position relative de $C_{f}$ et $C_{g}$ .

a)
$f (x) = x^{2} - 4 x + 5$ et $g (x) = x + 1$
b)
$f (x) = - x^{2} + 3 x + 1$ et $g (x) = x + 1$
c)
$f (x) = x^{2} + 3 x + 1$ et $g (x) = 5 x$

Corrigé

a)
$d (x) = x^{2} - 5 x + 4$ , racines $1$ et $4$ : $C_{f}$ au-dessous sur $] 1; 4 [$ , au-dessus ailleurs.
b)
$d (x) = - x^{2} + 2 x = - x (x - 2)$ : $C_{f}$ au-dessus sur $] 0; 2 [$ , au-dessous ailleurs.
c)
$d (x) = x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2} ⩾ 0$ : $C_{f}$ toujours au-dessus, sauf en $x = 1$ où elles se touchent.

Exercice 46 — Deux paraboles

Étudier la position relative de $C_{f}$ et $C_{g}$ .

a)
$f (x) = x^{2} + x + 1$ et $g (x) = - x^{2} + 4 x + 3$
b)
$f (x) = 3 x^{2} + x - 2$ et $g (x) = 3 x^{2} - 5 x + 4$
c)
$f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 1$ et $g (x) = x^{2} + 5 x + 2$

Corrigé

a)
$d (x) = 2 x^{2} - 3 x - 2$ , $Δ = 25$ , racines $- \frac{1}{2}$ et $2$ : $C_{f}$ au-dessous sur $] - \frac{1}{2}; 2 [$ , au-dessus ailleurs.
b)
$d (x) = 6 x - 6$ : $C_{f}$ au-dessus pour $x > 1$ , au-dessous pour $x < 1$ .
c)
$d (x) = x^{2} - 2 x - 3$ , racines $- 1$ et $3$ : $C_{f}$ au-dessous sur $] - 1; 3 [$ , au-dessus ailleurs.

On soustrait toute l'expression de $g$ : la parenthèse est indispensable.

XIII Problèmes du second degré

Exercice 47 — Une aire imposée

Un rectangle a pour périmètre $14$ cm. On note $x$ sa longueur, en cm.

1)
Entre quelles valeurs $x$ varie-t-il ?
2)
Exprimer la largeur, puis l'aire, en fonction de $x$ .
3)
On veut une aire supérieure à $10 cm^{2}$ . Écrire l'inéquation, la résoudre, et conclure.

Corrigé

1°)
Le demi-périmètre vaut $7$ : $0 < x < 7$ .
2°)
Largeur $7 - x$ ; aire $x (7 - x) = - x^{2} + 7 x$ .
3°)
$- x^{2} + 7 x > 10$ , soit $x^{2} - 7 x + 10 < 0$ ; racines $2$ et $5$ : $2 < x < 5$ . La longueur doit être strictement comprise entre $2$ et $5$ cm.

Exercice 48 — Une trajectoire

Un projectile est lancé depuis le toit d'un bâtiment. Sa hauteur, en mètres, au bout de $t$ secondes est

h (t) = - 5 t^{2} + 30 t + 35

(t ⩾ 0) .

1)
De quelle hauteur part le projectile ?
2)
Quelle hauteur maximale atteint-il, et à quel instant ?
3)
À quel instant touche-t-il le sol ?
4)
Pendant combien de temps est-il plus haut que son point de départ ?

Corrigé

1°)
$h (0) = 35 m$ .
2°)
$α = - \frac{30}{- 10} = 3$ ; $h (3) = - 45 + 90 + 35 = 80 m$ , au bout de $3$ s.
3°)
$- 5 t^{2} + 30 t + 35 = 0$ , soit $t^{2} - 6 t - 7 = 0$ ; racines $- 1$ et $7$ ; on garde $t = 7 s$ .
4°)
$h (t) > 35$ , soit $- 5 t^{2} + 30 t > 0$ , soit $t (t - 6) < 0$ : $t \in] 0; 6 [$ , soit $6 s$ .

Diviser par $- 5$ change le sens d'une inégalité.

Exercice 49 — Un atelier

Un atelier fabrique $x$ pièces par jour, avec $0 ⩽ x ⩽ 50$ . Le coût de production, en euros, est $C (x) = x^{2} - 8 x + 400$ , et la recette $R (x) = 42 x$ .

1)
Montrer que le bénéfice est $B (x) = - x^{2} + 50 x - 400$ .
2)
Pour quelles productions l'atelier fait-il un bénéfice ?
3)
Quelle production rend le bénéfice maximal ? Combien vaut-il ?

Corrigé

1°)
$B (x) = 42 x - (x^{2} - 8 x + 400) = - x^{2} + 50 x - 400$ .
2°)
$Δ = 2500 - 1600 = 900$ ; racines $10$ et $40$ ; $a < 0$ : $B (x) > 0$ pour $10 < x < 40$ .
3°)
$α = 25$ et $B (25) = - 625 + 1250 - 400$ : $225 € pour 25 pi \overset{e}{ˋ} ces$ .

ExercicesChapitre 3 — Polynômes du second degré

I Fonction polynôme du second degré

Exercice 1 — Est-ce un trinôme ?

Exercice 2 — Lire les coefficients

Exercice 3 — Développer d'abord

Exercice 4 — Calculer des images

II Forme factorisée et racines

Exercice 5 — De la forme factorisée à la forme développée

Exercice 6 — Équations produit

Exercice 7 — Lire les racines

Exercice 8 — Les deux formes d'une même fonction

III Le discriminant

Exercice 9 — Calculer un discriminant

Exercice 10 — Combien de racines ?

Exercice 11 — Quand b ou c est nul

IV Racines et équations du second degré

Exercice 12 — Deux racines

Exercice 13 — Les trois cas

Exercice 14 — Sans discriminant

Exercice 15 — Tout ramener d'un côté

Exercice 16 — Racines d'une fonction

V Factoriser un trinôme

Exercice 17 — Les racines sont données

Exercice 18 — Factoriser

Exercice 19 — Factoriser si c'est possible

Exercice 20 — Racine évidente

VI Représentation graphique

Exercice 21 — Tableau de valeurs et tracé

Exercice 22 — Un deuxième tracé

Exercice 23 — Associer une courbe à une fonction

Exercice 24 — Sans tracer

VII Sommet et variations

Exercice 25 — Coordonnées du sommet

Exercice 26 — Tableau de variations

Exercice 27 — Le sommet à partir des racines

Exercice 28 — Maximum ou minimum ?

VIII Synthèse : étudier et tracer une parabole

Exercice 29 — Étude complète

Exercice 30 — Étude complète

Exercice 31 — Étude complète

IX Signe d'un trinôme

Exercice 32 — À partir de la forme factorisée

Exercice 33 — À partir de la forme développée

Exercice 34 — Les trois cas

Exercice 35 — Sans tableau de signes

X Inéquations du second degré

Exercice 36 — Inéquations

Exercice 37 — Tout ramener d'un côté

Exercice 38 — Cas particuliers

Exercice 39 — Lecture graphique

XI Intersection d'une parabole et d'une droite

Exercice 40 — Points d'intersection

Exercice 41 — Deux paraboles

Exercice 42 — Combien de points ?

Exercice 43 — Avec un paramètre

XII Position relative de deux courbes

Exercice 44 — Une parabole et une droite

Exercice 45 — Trois situations

Exercice 46 — Deux paraboles

XIII Problèmes du second degré

Exercice 47 — Une aire imposée

Exercice 48 — Une trajectoire

Exercice 49 — Un atelier

Exercice 11 — Quand $b$ ou $c$ est nul