ExercicesChapitre 2 — Intervalles et fonctions

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Sommaire

I — Droite numérique, intervalles fermés
II — Intervalles ouverts, inégalités
III — Intersection, réunion, complémentaire
IV — Image et antécédent
V — Ensemble de définition
VI — Tableau de valeurs
VII — Courbe représentative
VIII — Calculatrice
IX — Résolution graphique
X — Comparer deux fonctions

I Droite numérique, intervalles fermés

Exercice 1 — Représenter des intervalles fermés

1)
Représenter sur une droite graduée :
$I = [1; 4]$ ; $J = [- 6; - 3]$ ; $K = [- 2; 3]$ ; $L = [- \frac{1}{2}; \frac{5}{2}]$ .
2)
Écrire l'intervalle représenté ci-dessous.
3)
Pour chaque nombre, dire s'il appartient à l'intervalle écrit à côté :
a) $4$ et $[0; 4]$ ; b) $9$ et $[3; 8, 9]$ ; c) $- 3$ et $[- 4; - 2]$ ; d) $- 50$ et $[- 49; - 5]$ .

Corrigé

Une droite par intervalle, ou deux couleurs sur une même droite.

2) $[- 2; 5]$

3) a) $4 \in [0; 4]$ (borne incluse) ; b) $9 \in / [3; 8, 9]$ ; c) $- 3 \in [- 4; - 2]$ ; d) $- 50 \in / [- 49; - 5]$ ( $- 50 < - 49$ ).

Exercice 2 — Appartenance

Compléter par $\in$ ou $\in /$ :

a)
$2 \dots [- 3; 7]$
b)
$- 4 \dots [- 3; 5]$
c)
$1 0^{- 2} \dots [0; 1]$
d)
$π \dots [3, 1; 3, 2]$
e)
$- 3 \dots [- 6; - 3]$
f)
$1, 5 \dots [1, 6; 2]$

Corrigé

2 \in [- 3; 7]

- 4 \in / [- 3; 5]

1 0^{- 2} \in [0; 1]

π \in [3, 1; 3, 2]

- 3 \in [- 6; - 3]

1, 5 \in / [1, 6; 2]

c) $1 0^{- 2} = 0, 01$ ; d) $π ≃ 3, 14$ .

Exercice 3 — Nombres dans un intervalle

1)
Donner tous les entiers positifs ou nuls de l'intervalle $[- 2; \frac{7}{2}]$ .
2)
Donner deux nombres décimaux de $[3, 7; 3, 8]$ , autres que les bornes.
3)
Donner un intervalle fermé qui contient $π$ et dont les bornes sont deux entiers qui se suivent.

Corrigé

1) $\frac{7}{2} = 3, 5$ : les entiers positifs ou nuls de l'intervalle sont $0; 1; 2; 3$ .

2) Par exemple $3, 72$ et $3, 75$ .

3) $3 < π < 4$ : $[3; 4]$ .

II Intervalles ouverts, inégalités

Exercice 4 — D'un intervalle à une inégalité

Écrire avec une inégalité le fait que $x$ appartient à chaque intervalle. Dire si l'intervalle est ouvert, fermé ou semi-ouvert.

a)
$[2; 7]$
b)
$] - 1, 5; + \infty [$
c)
$] - 4; 0]$
d)
$] - \infty; 5 [$
e)
$[- 3; 8 [$
f)
$] 0; 1 [$

Corrigé

a) $2 ⩽ x ⩽ 7$ , fermé b) $x > - 1, 5$ , ouvert

c) $- 4 < x ⩽ 0$ , semi-ouvert d) $x < 5$ , ouvert

e) $- 3 ⩽ x < 8$ , semi-ouvert f) $0 < x < 1$ , ouvert

Exercice 5 — D'une phrase à un intervalle

Chaque phrase décrit des nombres $x$ . Écrire l'inégalité qui les décrit, puis l'intervalle, et le représenter sur une droite graduée.

1)
Les nombres supérieurs ou égaux à $- 1$ .
2)
Les nombres strictement compris entre $- 3$ et $2$ .
3)
Les nombres strictement inférieurs à $4$ .
4)
Les nombres positifs ou nuls et strictement inférieurs à $6$ .

Corrigé

1) $x ⩾ - 1$ : $[- 1; + \infty [$

2) $- 3 < x < 2$ : $] - 3; 2 [$

3) $x < 4$ : $] - \infty; 4 [$

4) $0 ⩽ x < 6$ : $[0; 6 [$

« Positifs ou nuls » : $0$ est inclus ; « strictement » : la borne est exclue.

Exercice 6 — D'une inégalité à un intervalle

Écrire avec un intervalle, puis représenter sur une droite graduée :

a)
$- 4 ⩽ x ⩽ 2$
b)
$x < 3$
c)
$x > 5$
d)
$2 < x < 3$
e)
$x ⩾ 1, 5$
f)
$x ⩽ 1 0^{- 2}$

Corrigé

[- 4; 2]

] - \infty; 3 [

] 5; + \infty [

] 2; 3 [

[1, 5; + \infty [

] - \infty; 1 0^{- 2}]

Les représentations se font comme à l'exercice 1 : crochet tourné vers l'extérieur pour une borne exclue et du côté de l'infini.

Exercice 7 — Tableau à compléter

1)
Écrire avec un intervalle :

a) $\frac{1}{4} ⩽ x < \frac{2}{3}$ b) $x > π$ c) $x < - 1$
2)
Compléter le tableau (représentation sur une droite graduée à main levée).

Inégalité(s)	Intervalle	Représentation
$- 1 ⩽ x ⩽ 4$
	$] 1; 5]$
$- 3 ⩽ x < 2$
$0 < x < 3$
$x > 2$
$x ⩽ 1$
	$[- 2; 6 [$

Corrigé

1) $[\frac{1}{4}; \frac{2}{3} [$ ; $] π; + \infty [$ ; $] - \infty; - 1 [$

Inégalité(s)	Intervalle
$- 1 ⩽ x ⩽ 4$	$[- 1; 4]$
$1 < x ⩽ 5$	$] 1; 5]$
$- 3 ⩽ x < 2$	$[- 3; 2 [$
$0 < x < 3$	$] 0; 3 [$
$x > 2$	$] 2; + \infty [$
$x ⩽ 1$	$] - \infty; 1]$
$- 2 ⩽ x < 6$	$[- 2; 6 [$

Exercice 8 — Bornes incluses ou exclues ?

Compléter par $\in$ ou $\in /$ , en s'aidant des crochets.

a)
$6 \dots] - 2; 6]$
b)
$- 2 \dots] - 2; 4 [$
c)
$1 0^{- 2} \dots] 0; + \infty [$
d)
$π \dots] 3, 1; 3, 2 [$
e)
$- 4 \dots] - \infty; - 4 [$
f)
$- 1, 5 \dots [- 1, 5; 1, 5 [$
g)
$0 \dots] - \infty; + \infty [$
h)
$- 1 \dots] - 1; 3]$

Corrigé

6 \in] - 2; 6]

- 2 \in /] - 2; 4 [

1 0^{- 2} \in] 0; + \infty [

π \in] 3, 1; 3, 2 [

- 4 \in /] - \infty; - 4 [

- 1, 5 \in [- 1, 5; 1, 5 [

0 \in] - \infty; + \infty [

- 1 \in /] - 1; 3]

III Intersection, réunion, complémentaire

Exercice 9 — Premières intersections et réunions

Pour chaque couple d'intervalles $I$ et $J$ , déterminer $I \cap J$ et $I \cup J$ (on peut représenter $I$ et $J$ sur une même droite graduée).

a)
$I = [- 1, 5; 3 [$ et $J =] 0; 6]$
b)
$I =] - \infty; 3 [$ et $J = [1; + \infty [$

Corrigé

a) $I \cap J =] 0; 3 [$ ; $I \cup J = [- 1, 5; 6]$

b) $I \cap J = [1; 3 [$ ; $I \cup J = R$

En a), $0 \in / J$ et $3 \in / I$ : les deux bornes de $I \cap J$ sont exclues.

Exercice 10 — Attention aux bornes

Même consigne.

a)
$I = [- 2; + \infty [$ et $J =] - 3; 1]$
b)
$I = [3; 6, 5 [$ et $J =] 1; 3 [$
c)
$I =] - \infty; 2]$ et $J =] - \infty; 4 [$
d)
$I =] - \infty; 5]$ et $J = [5; + \infty [$
e)
$I = [- 1; + \infty [$ et $J =] - \infty; - 1 [$

Corrigé

a) $I \cap J = [- 2; 1]$ ; $I \cup J =] - 3; + \infty [$

b) $I \cap J = \emptyset$ ; $I \cup J =] 1; 6, 5 [$

c) $I \cap J =] - \infty; 2]$ ; $I \cup J =] - \infty; 4 [$

d) $I \cap J = {5}$ ; $I \cup J = R$

e) $I \cap J = \emptyset$ ; $I \cup J = R$

b) $3 \in I$ mais $3 \in / J$ : pas de nombre commun, et la réunion n'a pas de trou. d) Seul $5$ est dans les deux intervalles.

Exercice 11 — Plusieurs intervalles

1)
Écrire avec un intervalle l'ensemble des nombres $x$ tels que :

$I$ : $- 2 ⩽ x ⩽ 6$ $L$ : $x ⩽ 6$
$J$ : $- 4 ⩽ x < - 1$ $M$ : $2 < x$
2)
On pose aussi $K =] 1; 10]$ . Déterminer :
$I \cap J$ ; $I \cup J$ ; $J \cap K$ ; $K \cup L$ ; $I \cap L$ ; $K \cup M$ .

Corrigé

1) $I = [- 2; 6]$ ; $J = [- 4; - 1 [$ ; $L =] - \infty; 6]$ ; $M =] 2; + \infty [$ .

I \cap J = [- 2; - 1 [

I \cup J = [- 4; 6]

J \cap K = \emptyset

K \cup L =] - \infty; 10]

I \cap L = [- 2; 6]

K \cup M =] 1; + \infty [

$I$ est contenu dans $L$ : $I \cap L = I$ .

Exercice 12 — Complémentaire

Pour chaque ensemble, déterminer son complémentaire dans $R$ .

a)
$A =] 3; + \infty [$
b)
$B =] - \infty; 4]$
c)
$C = [- 2; + \infty [$
d)
$D =] - \infty; 6 [$
e)
$E = [1; 2]$
f)
$F =] - 5; 8 [$

Corrigé

] - \infty; 3]

] 4; + \infty [

] - \infty; - 2 [

[6; + \infty [

e) $] - \infty; 1 [\cup] 2; + \infty [$

f) $] - \infty; - 5] \cup [8; + \infty [$

Chaque crochet se retourne : une borne incluse devient exclue, et inversement.

Exercice 13 — Inégalités et intervalles : « et », « ou »

Compléter le tableau : sur chaque ligne, un même ensemble de nombres $x$ est décrit par des inégalités, puis par des intervalles. Deux conditions reliées par « et » donnent une intersection ( $\cap$ ), reliées par « ou » une réunion ( $\cup$ ). Écrire ensuite le résultat le plus simplement possible quand on le peut.

	Inégalités	Intervalles
a)	$- 3 < x ⩽ - 1$ ou $2 ⩽ x < 5$
b)		$[- 2; 0] \cup [3; + \infty [$
c)	$x < - 1$ ou $x > 4$
d)		$] - \infty; - 3] \cup] 2; + \infty [$
e)	$x > - 2$ et $x ⩽ 3$
f)		$[1; + \infty [\cap] - \infty; 5 [$
g)	$x ⩾ - 4$ et $x ⩾ 1$
h)	$x < 0$ ou $x ⩽ 2$
i)	$x < - 1$ et $x > 3$

Corrigé

a) $] - 3; - 1] \cup [2; 5 [$

b) $- 2 ⩽ x ⩽ 0 ou x ⩾ 3$

c) $] - \infty; - 1 [\cup] 4; + \infty [$

d) $x ⩽ - 3 ou x > 2$

e) $] - 2; + \infty [\cap] - \infty; 3] =] - 2; 3]$

f) $x ⩾ 1 et x < 5$ , soit $1 ⩽ x < 5$ : $[1; 5 [$

g) $[- 4; + \infty [\cap [1; + \infty [= [1; + \infty [$

h) $] - \infty; 0 [\cup] - \infty; 2] =] - \infty; 2]$

i) $] - \infty; - 1 [\cap] 3; + \infty [= \emptyset$

« et » : les deux conditions à la fois (intersection) ; « ou » : au moins l'une des deux (réunion). En g) et h), un intervalle contient l'autre ; en i), aucun nombre n'est à la fois inférieur à $- 1$ et supérieur à $3$ .

IV Image et antécédent

Exercice 14 — Calculer des images

On considère la fonction $f : x ⟼ 2 x - 3 x^{2}$ .

1)
Calculer l'image par $f$ de :

a) $1$ b) $- 2$ c) $\frac{1}{2}$
2)
Le nombre $2$ est-il un antécédent de $- 8$ par $f$ ? Justifier.

Corrigé

f (1)

= 2 - 3 = - 1

f (- 2)

= - 4 - 3 \times 4 = - 16

f (\frac{1}{2})

= 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}

2) $f (2) = 4 - 12 = - 8$ : $oui$ , $2$ est un antécédent de $- 8$ .

$- 3 x^{2}$ pour $x = - 2$ : $- 3 \times (- 2)^{2} = - 12$ , le carré d'abord.

Exercice 15 — Image et antécédent

On considère la fonction $g$ définie par $g (x) = 4 x - 5$ .

1)
Calculer l'image par $g$ de :

a) $- 3$ b) $5$ c) $\frac{3}{4}$
2)
Le nombre $\frac{1}{2}$ est-il un antécédent de $3$ par $g$ ? Justifier.
3)
Déterminer l'antécédent de $3$ par $g$ .

Corrigé

g (- 3)

= - 12 - 5 = - 17

g (5)

= 20 - 5 = 15

g (\frac{3}{4})

= 3 - 5 = - 2

2) $g (\frac{1}{2}) = 2 - 5 = - 3 \neq = 3$ : $non$ .

4 x - 5

= 3

4 x

= 8

x

= 2

Exercice 16 — Calculer des antécédents

Pour chaque fonction $f$ , calculer le ou les antécédents du nombre $y$ .

a)
$f (x) = x - 4$ , $y = - 2$
b)
$f (x) = x^{2}$ , $y = 36$
c)
$f (x) = \frac{1}{x}$ , $y = 4$
d)
$f (x) = x (x - 3)$ , $y = 0$

Corrigé

a) $x - 4 = - 2$ , donc $x = 2$ .

b) $x^{2} = 36$ : deux antécédents, $- 6$ et $6$ .

c) $\frac{1}{x} = 4$ , donc $x = \frac{1}{4}$ .

d) $x (x - 3) = 0$ : un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul : $0$ et $3$ .

b) $(- 6)^{2} = 36$ aussi : ne pas oublier l'antécédent négatif.

Exercice 17 — Deux fonctions égales

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $R$ par

f (x) = (x + 4) (3 - x) + x^{2} - 10

et

g (x) = 2 - x .

1)
Calculer l'image de $2$ par $f$ , puis par $g$ .
2)
Choisir un nombre et calculer son image par $f$ , puis par $g$ .
3)
Démontrer que tout nombre a la même image par $f$ et par $g$ .

Corrigé

1) $f (2) = 6 \times 1 + 4 - 10 = 0$ et $g (2) = 0$ .

2) Par exemple $f (0) = 12 - 10 = 2$ et $g (0) = 2$ .

f (x)

= 3 x - x^{2} + 12 - 4 x + x^{2} - 10

f (x)

= 2 - x

Donc $f (x) = g (x)$ pour tout nombre $x$ .

V Ensemble de définition

Exercice 18 — Un nombre sans image

Pour chaque fonction ci-dessous, un des nombres $- 5$ ; $2$ ; $0$ ; $9$ n'a pas d'image. Lequel ?

f_{1} (x) = \frac{1}{x}

f_{2} (x) = \frac{x + 5}{x - 2}

f_{3} (x) = x

Corrigé

$f_{1}$ : $0$ (division par zéro) ; $f_{2}$ : $2$ ( $2 - 2 = 0$ ) ; $f_{3}$ : $- 5$ (racine carrée d'un nombre négatif).

Exercice 19 — Valeurs interdites

Pour chaque fonction $f$ , déterminer la valeur interdite.

a)
$f (x) = \frac{1}{x - 6}$
b)
$f (x) = \frac{2}{x + 5}$
c)
$f (x) = \frac{5}{3 x}$
d)
$f (x) = \frac{x + 2}{2 x - 8}$
e)
$f (x) = \frac{3}{2 x + 6}$
f)
$f (x) = \frac{x - 1}{4 x - 12}$

Corrigé

x - 6 = 0

6

x + 5 = 0

- 5

3 x = 0

0

2 x - 8 = 0

4

2 x + 6 = 0

- 3

4 x - 12 = 0

3

Seul le dénominateur compte : le numérateur peut être nul.

Exercice 20 — Racines carrées

Pour chaque fonction $f$ , déterminer l'ensemble de définition, écrit avec un intervalle.

a)
$f (x) = x$
b)
$f (x) = x - 2$
c)
$f (x) = x + 4$
d)
$f (x) = x - 5$
e)
$f (x) = 3 x - 9$
f)
$f (x) = 2 x + 8$

Corrigé

[0; + \infty [

x ⩾ 2

[2; + \infty [

x ⩾ - 4

[- 4; + \infty [

x ⩾ 5

[5; + \infty [

e) $3 x - 9 ⩾ 0$ donne $3 x ⩾ 9$ puis $x ⩾ 3$ : $[3; + \infty [$

f) $2 x + 8 ⩾ 0$ donne $2 x ⩾ - 8$ puis $x ⩾ - 4$ : $[- 4; + \infty [$

Exercice 21 — Pour s'entraîner

Pour chaque fonction $f$ , donner l'ensemble de définition, écrit avec des intervalles.

a)
$f (x) = 3 x^{2} - 2$
b)
$f (x) = 5 - 2 x$
c)
$f (x) = \frac{3}{x - 1} + x$
d)
$f (x) = \frac{2 x + 3}{5 x + 15}$
e)
$f (x) = 4 x - 8 + 1$

Corrigé

R

R

(affine)

c) valeur interdite $1$ : $] - \infty; 1 [\cup] 1; + \infty [$

d) $5 x + 15 = 0$ pour $x = - 3$ : $] - \infty; - 3 [\cup] - 3; + \infty [$

e) $4 x - 8 ⩾ 0$ donne $x ⩾ 2$ : $[2; + \infty [$

VI Tableau de valeurs

Exercice 22 — Lire un tableau

Voici un tableau de valeurs d'une fonction $f$ :

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$f (x)$	$2$	$0$	$- 3$	$- 1$	$4$

1)
Quelle est l'image par $f$ de :

a) $- 1$ b) $1$ c) $- 2$
2)
Le nombre $2$ est-il un antécédent de $- 1$ par $f$ ? Quel antécédent de $- 1$ lit-on dans le tableau ?

Corrigé

1) $f (- 1) = 0$ ; $f (1) = - 1$ ; $f (- 2) = 2$ .

2) $f (2) = 4 \neq = - 1$ : $non$ . Le tableau donne $f (1) = - 1$ : $1$ est un antécédent de $- 1$ .

Exercice 23 — Lire un tableau (suite)

Voici un tableau de valeurs d'une fonction $g$ :

$x$	$- 3$	$- 1$	$2$	$4$	$6$
$g (x)$	$4$	$- 2$	$0$	$5$	$4$

1)
Quelle est l'image par $g$ de :

a) $4$ b) $2$ c) $- 1$
2)
Donner les antécédents lus dans le tableau de :

a) $5$ b) $- 2$ c) $4$

Corrigé

1) $g (4) = 5$ ; $g (2) = 0$ ; $g (- 1) = - 2$ .

2) Antécédents de $5$ : $4$ ; de $- 2$ : $- 1$ ; de $4$ : $- 3$ et $6$ .

Exercice 24 — Construire un tableau

On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = 0, 5 (x - 1)^{2} - 2$ .

1)
Dresser le tableau de valeurs de $f$ de $- 2$ à $4$ avec un pas de $1$ .
2)
Donner, d'après le tableau, deux antécédents de $0$ et deux antécédents de $2, 5$ .
3)
Tracer la courbe de $f$ dans un repère.

Corrigé

1) Par exemple $f (- 2) = 0, 5 \times (- 3)^{2} - 2 = 2, 5$ .

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$2, 5$	$0$	$- 1, 5$	$- 2$	$- 1, 5$	$0$	$2, 5$

2) Antécédents de $0$ : $- 1$ et $3$ ; de $2, 5$ : $- 2$ et $4$ .

3) Ci-contre.

VII Courbe représentative

Exercice 25 — Lecture graphique

La courbe ci-dessus représente une fonction $f$ . Lire :

a)
l'ensemble de définition de $f$ ;
b)
l'image de $3$ et l'image de $- 1$ ;
c)
$f (- 2)$ et $f (- 4)$ ;
d)
les antécédents de $2$ , de $0$ , de $- 2$ et de $- 3$ ;
e)
les nombres $x$ tels que $f (x) = 3$ .

Corrigé

a) $D_{f} = [- 4; 5]$

b) $f (3) = 0$ et $f (- 1) = 0$

c) $f (- 2) = 2$ et $f (- 4) = 2$

d) Antécédents de $2$ : $- 4; - 2; 4$ ; de $0$ : $- 1; 3$ ; de $- 2$ : $1$ ; $- 3$ n'a $aucun ant \overset{e}{ˊ} c \overset{e}{ˊ} dent$ .

e) $- 3$ et $5$ .

Pour les antécédents de $2$ , on trace la droite $y = 2$ et on lit toutes les abscisses des points de la courbe sur cette droite.

Exercice 26 — Points et courbes

1)
$C_{f}$ est la courbe d'une fonction $f$ . Traduire chaque égalité par une phrase « le point … appartient à $C_{f}$ » :

a) $f (0) = - 3$ b) $f (- 4) = 0$ c) $f (2) = f (6) = 1$
2)
Traduire par des égalités : a) $C_{f}$ passe par le point $(3; - 2)$ ; b) $C_{f}$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée $4$ ; c) $C_{f}$ coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $- 1$ et $5$ .
3)
Pour chaque fonction $f$ , dire si les points $A$ , $B$ et $C$ sont sur sa courbe, puis donner les coordonnées de deux autres points de cette courbe.
1. a)
  $f (x) = x^{2} - 3$ : $A (- 2; 1)$ , $B (3; 5)$ , $C (1, 5; - 0, 75)$ .
2. b)
  $f (x) = 3 x + 1$ : $A (- 2; - 5)$ , $B (2; 6)$ , $C (\frac{1}{3}; 2)$ .

Corrigé

1) Les points $(0; - 3)$ ; $(- 4; 0)$ ; $(2; 1)$ et $(6; 1)$ appartiennent à $C_{f}$ .

2) a) $f (3) = - 2$ ; b) $f (0) = 4$ ; c) $f (- 1) = 0$ et $f (5) = 0$ .

3) a) $f (- 2) = 1$ : $A \in C_{f}$ ; $f (3) = 6 \neq = 5$ : $B \in / C_{f}$ ; $f (1, 5) = 2, 25 - 3 = - 0, 75$ : $C \in C_{f}$ . Autres points : $(0; - 3)$ , $(1; - 2)$ .

b) $f (- 2) = - 5$ : $A \in C_{f}$ ; $f (2) = 7 \neq = 6$ : $B \in / C_{f}$ ; $f (\frac{1}{3}) = 2$ : $C \in C_{f}$ . Autres points : $(0; 1)$ , $(1; 4)$ .

Exercice 27 — Trois antécédents

À l'aide de la courbe de la fonction $f$ ci-contre, déterminer :

a)
l'ensemble des nombres qui ont une image ;
b)
l'image de $2$ ;
c)
les antécédents de $- 3$ ;
d)
un nombre qui a trois antécédents ;
e)
un nombre qui n'a aucun antécédent.

Corrigé

a) $[- 3; 3]$ b) $f (2) = 0$ c) $- 3$

d) $0$ (antécédents $- 2$ , $0$ et $2$ ) ; tout nombre strictement compris entre $- 1$ et $2$ convient aussi.

e) Par exemple $5$ : aucun point de la courbe n'a une ordonnée supérieure à $4$ .

Exercice 28 — Quelle courbe passe par ce point ?

On considère les fonctions définies sur $] 0; + \infty [$ par :

f (x) = 10 - x;

g (x) = \frac{24}{x};

h (x) = - 2 x + 14;

k (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x - 4.

1)
Parmi ces fonctions, lesquelles ont une courbe qui passe par le point $A (4; 6)$ ?
2)
Même question avec $B (6; 4)$ , puis avec $C (8; 4)$ .

Corrigé

	$f$	$g$	$h$	$k$
$x = 4$	$6$	$6$	$6$	$8$
$x = 6$	$4$	$4$	$2$	$8$
$x = 8$	$2$	$3$	$- 2$	$4$

1) $A (4; 6)$ : courbes de $f$ , $g$ et $h$ .

2) $B (6; 4)$ : courbes de $f$ et $g$ ; $C (8; 4)$ : courbe de $k$ .

VIII Calculatrice

Exercice 29 — Antécédents à la calculatrice

1)
Afficher le tableau de valeurs de la fonction $f$ définie sur $[- 2; 6]$ par $f (x) = 0, 5 x^{2} - 2 x + 1$ , de $- 2$ à $6$ avec un pas de $1$ , puis tracer sa courbe à l'écran avec des axes adaptés.
2)
Avec Calculer, Antécédent, donner les antécédents de $2$ par $f$ arrondis à $0, 1$ .
3)
Le nombre $0$ a-t-il un antécédent ? plusieurs ?

Corrigé

1) Tableau : $7$ ; $3, 5$ ; $1$ ; $- 0, 5$ ; $- 1$ ; $- 0, 5$ ; $1$ ; $3, 5$ ; $7$ . Axes : $x$ de $- 2$ à $6$ , $y$ de $- 2$ à $8$ .

2) Antécédents de $2$ : $x ≃ - 0, 4$ et $x ≃ 4, 4$ .

3) Oui, deux : $x ≃ 0, 6$ et $x ≃ 3, 4$ .

Exercice 30 — Tableau avec un pas de 0,5

Soit $g$ la fonction définie sur $[- 1; 2]$ par $g (x) = - 2 x^{2} + x + 3$ .

1)
Afficher le tableau de valeurs de $g$ de $- 1$ à $2$ avec un pas de $0, 5$ , et le recopier.
2)
Tracer la courbe de $g$ à l'écran, puis sur la copie.
3)
Donner $g (0, 25)$ et les antécédents de $2$ et de $0$ .

Corrigé

$x$	$- 1$	$- 0, 5$	$0$	$0, 5$	$1$	$1, 5$	$2$
$g (x)$	$0$	$2$	$3$	$3$	$2$	$0$	$- 3$

2) Ci-contre.

3) $g (0, 25) = 3, 125$ ; antécédents de $2$ : $- 0, 5$ et $1$ ; de $0$ : $- 1$ et $1, 5$ .

Exercice 31 — Une fonction quotient

On considère la fonction $f$ définie sur $[0; 5]$ par

f (x) = \frac{2 x - 1}{( x + 1 ) ^{2}} .

1)
Dresser le tableau de valeurs de $f$ de $0$ à $5$ avec un pas de $0, 5$ (valeurs arrondies à $0, 01$ ).
2)
Tracer la courbe de $f$ à la calculatrice.
3)
Quels sont les antécédents de $0, 25$ ?
4)
Résoudre graphiquement $f (x) = 0$ , puis $f (x) ⩾ 0, 25$ .
5)
Tracer aussi la droite d'équation $y = x - 1$ , puis résoudre graphiquement $\frac{2 x - 1}{( x + 1 ) ^{2}} = x - 1$ (valeurs arrondies à $0, 01$ ).

Corrigé

1) $- 1$ ; $0$ ; $0, 25$ ; $0, 32$ ; $0, 33$ ; $0, 33$ ; $0, 31$ ; $0, 30$ ; $0, 28$ ; $0, 26$ ; $0, 25$ .

3) Antécédents de $0, 25$ : $1$ et $5$ .

4) $f (x) = 0$ : $S = {0, 5}$ ; $f (x) ⩾ 0, 25$ : $S = [1; 5]$ .

5) Les deux courbes se coupent en deux points : $S ≃ {0; 1, 30}$ .

$f (0) = - 1$ et $0 - 1 = - 1$ : $0$ est une solution exacte.

Exercice 32 — Intersections de courbes

1)
Tracer à l'écran les courbes des fonctions $f$ et $g$ définies sur $[- 2; 3]$ par $f (x) = x^{3} - 2 x^{2}$ et $g (x) = x - 2$ , puis résoudre graphiquement $x^{3} - 2 x^{2} ⩽ x - 2$ .
2)
Trouver les coordonnées du ou des points communs aux courbes d'équations $y = 3 x^{2} + x + 5$ et $y = 3 x^{2} - 2 x + 8$ . Confirmer par le calcul.
3)
Même question avec $y = \frac{1}{x}$ et $y = \frac{1 + 2 x}{x}$ .

Corrigé

1) Les courbes se coupent en $x = - 1$ , $x = 1$ et $x = 2$ ; $C_{f}$ est sur $C_{g}$ ou au-dessous pour $S = [- 2; - 1] \cup [1; 2]$ .

2) Un seul point commun, $(1; 9)$ . Par le calcul :

3 x^{2} + x + 5

= 3 x^{2} - 2 x + 8

3 x

= 3

x

= 1

et $3 + 1 + 5 = 9$ .

3) $\frac{1}{x} = \frac{1 + 2 x}{x}$ donne $1 = 1 + 2 x$ , soit $x = 0$ , valeur interdite : $aucun point commun$ .

IX Résolution graphique

Exercice 33 — Équations

Ci-dessous, la courbe d'une fonction $f$ définie sur $[0; 10]$ .

1)
Résoudre graphiquement :

a) $f (x) = 2$ b) $f (x) = 1$ c) $f (x) = 0$

d) $f (x) = - 2$ e) $f (x) = 3$
2)
Combien de solutions l'équation $f (x) = - 1$ a-t-elle ?

Corrigé

1) a) $S = {5}$ b) $S = {4; 6}$ c) $S = {0; 3; 8}$

d) $S = {1}$ e) $S = \emptyset$

2) La droite $y = - 1$ coupe la courbe en $3$ points (entre $0$ et $1$ , en $2$ et en $10$ ) : trois solutions.

Exercice 34 — Inéquations

La courbe de $f$ est celle de l'exercice précédent. Résoudre graphiquement :

a)
$f (x) > - 2$
b)
$f (x) < 1$
c)
$f (x) ⩽ 2$
d)
$f (x) ⩾ 1$

Corrigé

a) $S = [0; 1 [\cup] 1; 10]$

b) $S = [0; 4 [\cup] 6; 10]$

c) $S = [0; 10]$

d) $S = [4; 6]$

a) $f (1) = - 2$ : $1$ est exclu, car l'inégalité est stricte. c) La courbe ne monte jamais au-dessus de $y = 2$ .

Exercice 35 — Équation et inéquations

$C$ est la courbe d'une fonction $f$ définie sur $[- 4; 5]$ .

a)
Résoudre graphiquement $f (x) = 1$ .
b)
Résoudre graphiquement $f (x) ⩽ 1$ .
c)
Résoudre graphiquement $f (x) < - 1$ .

Corrigé

a) $S = {- 4; 0; 4}$

b) $S = [- 4; 0] \cup [4; 5]$

c) $S =] - 3; - 1 [$

Exercice 36 — Avec la formule

Soit $f$ la fonction définie sur $[- 3; 3]$ par $f (x) = \frac{x ^{3} - 7 x + 6}{2}$ , représentée ci-dessous.

1)
Dresser à la calculatrice le tableau de valeurs de $f$ de $- 3$ à $3$ avec un pas de $1$ .
2)
Lire l'image de $0$ , puis résoudre graphiquement $f (x) = 6$ .
3)
Vérifier que $x^{3} - 7 x - 6 = (x + 1) (x + 2) (x - 3)$ et en déduire les solutions exactes de $f (x) = 6$ .
4)
Résoudre graphiquement $f (x) ⩾ 6$ , puis $f (x) < 0$ .
5)
Combien de solutions ont les équations $f (x) = 0$ ; $f (x) = 4$ ; $f (x) = - 1$ ?

Corrigé

1) $0$ ; $6$ ; $6$ ; $3$ ; $0$ ; $0$ ; $6$ .

2) $f (0) = 3$ ; $f (x) = 6$ : $S = {- 2; - 1; 3}$ .

(x + 1) (x + 2)

= x^{2} + 3 x + 2

(x^{2} + 3 x + 2) (x - 3)

= x^{3} - 7 x - 6

$f (x) = 6$ revient à $x^{3} - 7 x + 6 = 12$ , soit $x^{3} - 7 x - 6 = 0$ , c'est-à-dire $(x + 1) (x + 2) (x - 3) = 0$ : les solutions exactes sont $- 1$ , $- 2$ et $3$ .

4) $f (x) ⩾ 6$ : $S = [- 2; - 1] \cup {3}$ ; $f (x) < 0$ : $S =] 1; 2 [$ .

5) $f (x) = 0$ : $3$ solutions ( $- 3$ , $1$ , $2$ ) ; $f (x) = 4$ : $3$ ; $f (x) = - 1$ : $0$ .

X Comparer deux fonctions

Exercice 37 — Deux courbes

Les courbes ci-dessous représentent deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $[- 3; 7]$ .

Résoudre graphiquement :

a)
l'équation $f (x) = g (x)$ ;
b)
l'inéquation $f (x) > g (x)$ ;
c)
l'inéquation $f (x) ⩽ g (x)$ .

Corrigé

a) $S = {- 2; 2; 6}$

b) $S =] - 2; 2 [\cup] 6; 7]$

c) $S = [- 3; - 2] \cup [2; 6]$

On regarde quelle courbe est au-dessus entre deux points d'intersection qui se suivent.

Exercice 38 — Une droite et une courbe

$C_{f}$ (droite) et $C_{g}$ représentent deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $[- 6; 6]$ .

Résoudre graphiquement :

a)
$f (x) ⩽ 2$
b)
$g (x) < 0$
c)
$g (x) ⩾ 4$
d)
$f (x) = g (x)$
e)
$f (x) < g (x)$

Corrigé

a) La droite est sur $y = 2$ ou au-dessous à partir de $x = 0$ : $S = [0; 6]$

b) $S =] 3; 6]$ c) $S = [- 4; - 2]$

d) $S = {- 4; 2; 6}$ e) $S =] - 4; 2 [$

Exercice 39 — Graphique et calcul

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $[- 2; 3]$ par $f (x) = x^{2} - 2$ et $g (x) = x$ .

1)
Dresser les tableaux de valeurs de $f$ et de $g$ de $- 2$ à $3$ avec un pas de $1$ .
2)
Tracer les deux courbes dans un même repère.
3)
Résoudre graphiquement $f (x) = g (x)$ , puis $f (x) < g (x)$ .
4)
Vérifier que $x^{2} - 2 - x = (x + 1) (x - 2)$ , et retrouver ainsi les solutions de $f (x) = g (x)$ .
5)
Le point $P (1, 5; 0, 25)$ est-il sur la courbe de $f$ ? sur celle de $g$ ?

Corrigé

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f (x)$	$2$	$- 1$	$- 2$	$- 1$	$2$	$7$
$g (x)$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$

3) $S = {- 1; 2}$ ; $f (x) < g (x)$ : $S =] - 1; 2 [$ .

4) $(x + 1) (x - 2) = x^{2} - 2 x + x - 2 = x^{2} - x - 2$ ; $f (x) = g (x)$ revient à $(x + 1) (x - 2) = 0$ : $x = - 1$ ou $x = 2$ .

5) $f (1, 5) = 0, 25$ : $P \in C_{f}$ ; $g (1, 5) = 1, 5 \neq = 0, 25$ : $P \in / C_{g}$ .

$I$ : $- 2 ⩽ x ⩽ 6$	$L$ : $x ⩽ 6$
$J$ : $- 4 ⩽ x < - 1$	$M$ : $2 < x$