ExercicesChapitre 3 — Vecteurs

Télécharger en PDF

Cours Exercices Corrigé des exercices Enseignants : chapitre complet

En ligne

Sommaire

I — Caractéristiques d'un vecteur
II — Translation
III — Parallélogramme et égalité de vecteurs
IV — Somme de deux vecteurs
V — Milieu d'un segment
VI — Multiplier un vecteur par un réel
VII — Relation de Chasles

Les figures se font au crayon et à la règle. On reproduit le quadrillage quand il y en a un, et on vérifie chaque vecteur en comptant les carreaux.

I Caractéristiques d'un vecteur

Exercice 1 — Égaux ou non

La figure ci-dessous est tracée sur un quadrillage.

Tracer chaque vecteur sur la figure, puis compléter par $=$ ou $\neq =$ :

a)
$K L \dots NP$ b) $K N \dots L P$
c)
$K P \dots L Q$ d) $N L \dots K N$
e)
$K M \dots NQ$ f) $PQ \dots PN$

Corrigé

K L = NP

K N = L P

K P = L Q

N L \neq = K N

K M = NQ

PQ \neq = PN

f) Même direction, même norme, mais sens contraires : $PN = - PQ$ .

Exercice 2 — Lire sur la figure

On utilise la figure de l'exercice 1.

1.
Citer un vecteur égal à $K N$ , puis un vecteur égal à $L M$ .
2.
Citer un vecteur opposé à $K N$ , puis un vecteur opposé à $K L$ .
3.
Citer deux vecteurs :
- de même direction et de même sens, mais pas égaux ;
- de même norme, mais pas égaux ;
- de même direction et de sens contraires, mais pas opposés.

Corrigé

1) $K N = L P = MQ$ ; $L M = K L = NP = PQ$ .

2) Opposés à $K N$ : $N K$ , $P L$ , $QM$ ; à $K L$ : $L K$ , $PN$ , $QP$ …

3) Par exemple : $K L$ et $K M$ ; $K L$ et $PN$ ; $K M$ et $L K$ .

Exercice 3 — Construire un représentant

Tracer un vecteur $u$ de norme $3$ cm. Construire ensuite un représentant du vecteur $v$ dans chaque cas :

1.
$v$ a la même direction et le même sens que $u$ , et pour norme $6$ cm ;
2.
$v$ a la même direction et la même norme que $u$ , et le sens contraire ;
3.
$v$ a la même direction que $u$ , le sens contraire, et pour norme $1, 5$ cm ;
4.
$v$ a la même norme que $u$ et une autre direction.

Corrigé

1) et 3) : on mesure la longueur demandée sur la même direction. 4) Toute flèche de $3$ cm dans une autre direction convient.

Exercice 4 — Vrai ou faux

$EFG H$ et $H G K L$ sont deux parallélogrammes. Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

1.
L'image de $H$ par la translation de vecteur $GF$ est le point $E$ .
2.
Les vecteurs $K G$ et $H L$ ont la même direction.
3.
$K G = H L$ .
4.
$EF = L K$ .

Corrigé

1) $Vrai$ : $EFG H$ est un parallélogramme, donc $GF = H E$ , et la translation de vecteur $H E$ envoie $H$ sur $E$ .

2) $Vrai$ : $H G K L$ est un parallélogramme, donc $(G K) ∥ (H L)$ .

3) $Faux$ : $G K = H L$ , donc $K G = - H L$ : les vecteurs sont opposés.

4) $Vrai$ : $EF = H G$ et $H G = L K$ .

Exercice 5 — Dans un parallélogramme

$RST U$ est un parallélogramme de centre $O$ . Faire une figure.

1.
Donner un vecteur égal à :

a) $RS$ b) $T U$ c) $R U$
2.
Compléter par le point qui convient :

a) $RO = O \dots$ b) $U O = O \dots$ c) $SO = O \dots$

Corrigé

1) $RS = U T$ ; $T U = SR$ ; $R U = ST$ .

2) $RO = OT$ ; $U O = OS$ ; $SO = O U$ .

Les diagonales $[RT]$ et $[S U]$ se coupent en leur milieu $O$ .

II Translation

Exercice 6 — Représentants d'origine donnée

Tracer un triangle $D EF$ et un point $P$ . Tracer le représentant d'origine $P$ de chacun des vecteurs $D E$ , $EF$ et $F D$ .

Corrigé

Chaque flèche part de $P$ , avec la direction, le sens et la longueur du côté.

Exercice 7 — Quatre points à placer

$A BC$ est un triangle. Placer les points $M$ , $N$ , $P$ et $Q$ tels que

A C = BM = NB,

PC = A B,

A Q = CB .

Corrigé

$Q$ est confondu avec $N$ : $A Q = CB$ et $NB = A C$ donnent le même point. $A BMC$ , $A NBC$ et $A PCB$ sont des parallélogrammes.

Exercice 8 — Origine ou extrémité

On donne un vecteur non nul $u$ et trois points $E$ , $F$ , $G$ . Tracer le représentant de $u$ d'origine $E$ , puis celui d'extrémité $F$ , puis celui d'extrémité $G$ .

Corrigé

Pour un représentant d'extrémité $F$ , on part de $F$ en reculant du déplacement de $u$ , puis on trace la flèche vers $F$ .

Exercice 9 — Image d'un triangle

Tracer un triangle $A BC$ tel que $A B = 5$ cm, $BC = 4$ cm et $A C = 3$ cm. Construire les images $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ de ses sommets par la translation de vecteur $BC$ . Que dire des triangles $A BC$ et $A^{'} B^{'} C^{'}$ ?

Corrigé

On reporte le vecteur $BC$ depuis $A$ , $B$ et $C$ ; l'image de $B$ est $C$ . Les triangles $A BC$ et $A^{'} B^{'} C^{'}$ sont $superposables$ : une translation conserve les longueurs ( $A^{'} B^{'} = 5$ cm, $B^{'} C^{'} = 4$ cm, $A^{'} C^{'} = 3$ cm).

Exercice 10 — Neuf points

Neuf points sont placés sur un quadrillage.

1.
Citer tous les vecteurs formés par deux de ces points et égaux à $A B$ .
2.
Citer tous ceux qui sont égaux à $A E$ .
3.
Citer deux vecteurs opposés à $A B$ .

Corrigé

1) Égaux à $A B$ : $BC; D E; EF; G H; H I$

2) Égaux à $A E$ : $BF; DH; E I$

3) Par exemple $B A$ et $CB$ .

III Parallélogramme et égalité de vecteurs

Exercice 11 — Deux parallélogrammes

$EFG H$ et $EF I J$ sont deux parallélogrammes. Faire une figure.

1.
Donner, en justifiant, deux vecteurs égaux à $EF$ .
2.
Démontrer que $H G I J$ est un parallélogramme.

Corrigé

1) $EFG H$ est un parallélogramme, donc $EF = H G$ ; $EF I J$ en est un, donc $EF = J I$ .

2) Ainsi $H G = J I$ ; d'après le théorème 1, $H G I J$ est un parallélogramme.

$A B = C D$ donne $A B D C$ : ici $H G = J I$ donne $H G I J$ .

Exercice 12 — Autour d'un triangle

Tracer un triangle $D EF$ .

1.
Construire les points $M$ et $N$ tels que $FM = D E$ et $NF = D E$ .
2.
Construire le point $K$ , image de $D$ par la translation de vecteur $FE$ .
3.
Quel point de la figure a pour image $E$ par la translation de vecteur $F D$ ?
4.
Écrire trois autres égalités de vecteurs lues sur la figure.

Corrigé

3) C'est $M$ : $ME = F D$ car $F D EM$ est un parallélogramme.

4) Par exemple $NF = FM$ ; $DK = FE$ ; $D F = EM$ .

Exercice 13 — Un milieu à démontrer

$RST U$ est un parallélogramme.

1.
Faire une figure.
2.
Construire le point $V$ tel que $RS U V$ soit un parallélogramme.
3.
Démontrer que $U$ est le milieu de $[T V]$ .

Corrigé

$RST U$ est un parallélogramme, donc $RS = U T$ . $RS U V$ en est un, donc $RS = V U$ . Ainsi $V U = U T$ : $U est le milieu de [T V]$ .

Exercice 14 — Vrai ou faux

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

1.
Si $F$ est l'image de $C$ par la translation de vecteur $D E$ , alors $FC = D E$ .
2.
Si $K L = NM$ , alors $K L MN$ est un parallélogramme.
3.
Si $A BC D$ est un parallélogramme, la translation de vecteur $A D$ transforme $B$ en $C$ .

Corrigé

1) $Faux$ : c'est $CF = D E$ (le vecteur va de $C$ vers son image).

2) $Vrai$ : $K L = NM$ donne le parallélogramme $K L MN$ (théorème 1).

3) $Vrai$ : $A D = BC$ , donc la translation envoie $B$ sur $C$ .

IV Somme de deux vecteurs

Exercice 15 — Trois points à construire

Tracer un triangle $A BC$ , puis construire les points $D$ , $E$ et $F$ tels que

B D = BC + C A, BE = B A + BC, CF = CB + A B .

Corrigé

$BC + C A = B A$ : $D = A$ .

On reporte $BC$ à la suite de $B A$ , depuis $A$ : $E$ ; $B A EC$ est un parallélogramme.

$CF = CB + A B$ : on met bout à bout.

Exercice 16 — Somme et différence sur un quadrillage

Reproduire chaque figure, puis placer le point $M$ tel que $A M = u + v$ et le point $N$ tel que $A N = u - v$ .

Corrigé

Gauche : $u + v$ fait $4$ à droite et $3$ vers le haut ; $u - v$ , $2$ à droite et $1$ vers le bas.

Exercice 17 — Origine imposée

On pose $w = u + v$ . Reproduire chaque figure et tracer le représentant de $w$ d'origine $T$ .

Corrigé

Gauche : $w$ fait $3$ à droite et $1$ vers le haut ; droite : $1$ à droite et $3$ vers le bas.

Exercice 18 — Quand c'est l'origine qui manque

Ici, le point à placer est l'origine du vecteur, et non son extrémité. Reproduire chaque figure, puis placer le point $N$ tel que :

1.
$N A = u + v$ (figure de gauche) ;
2.
$N A = u - v$ (figure de droite).

Corrigé

On construit le vecteur à partir de $A$ en reculant : $N$ est à l'autre bout. Gauche : $u + v$ fait $3$ à droite et $1$ vers le haut, donc $N$ est $3$ carreaux à gauche et $1$ plus bas que $A$ . Droite : $u - v$ fait $1$ à droite et $1$ vers le bas.

Exercice 19 — Avec des longueurs

$A BC$ est un triangle tel que $A B = 6$ cm, $A C = 5$ cm et $BC = 4$ cm. Faire une figure en vraie grandeur.

1.
Construire le point $D$ tel que $A D = A B + A C$ .
2.
Construire le point $E$ tel que $BE = BC - B A$ .
3.
Quelle est la nature du quadrilatère $A B D C$ ? Justifier.

Corrigé

1) On reporte $A C$ à la suite de $A B$ , depuis $B$ : on arrive en $D$ .

2) $BC - B A = A B + BC$ , soit $A C$ : on reporte $A C$ depuis $B$ .

3) Par construction, $B D = A C$ : $A B D C est un parall \overset{e}{ˊ} logramme$ (théorème 1) ; ses côtés mesurent $6$ cm et $5$ cm.

Exercice 20 — Trois vecteurs

Reproduire la figure, puis construire :

1.
les représentants d'origine $A$ de $u + v$ et de $u + w$ ;
2.
le représentant d'origine $B$ de $v + w$ .

Corrigé

$u + v$ : $3$ à droite ; $u + w$ : $3$ vers le haut ; $v + w$ : $1$ à droite et $1$ vers le haut.

V Milieu d'un segment

Exercice 21 — Une différence, un parallélogramme

$A BC$ est un triangle.

1.
Construire le point $D$ tel que $A D = A C - A B$ . Quelle est la nature du quadrilatère $A D CB$ ? Que dire des segments $[A C]$ et $[D B]$ ?
2.
Placer le point $E$ tel que $CE = B A + CB$ . Que constate-t-on ?

Corrigé

1) $A C - A B = B A + A C$ , soit $BC$ . Donc $A D = BC$ : $A D CB$ est un parallélogramme, et ses diagonales $[A C]$ et $[D B]$ ont le même milieu.

2) $CE = CB + B A = C A$ : $E = A$ .

Exercice 22 — Trois points à construire

$A BC$ est un triangle. Construire le point $M$ tel que :

1.
$A M = A C - A B$ ;
2.
$CM = CB - B A$ ;
3.
$BM = A C + B A - CB$ .

Corrigé

1) $A M = BC$ ( $A BCM$ est un parallélogramme).

2) $CM = CB + A B$ : bout à bout depuis $C$ .

3) $A C + B A - CB = B A + A C + BC$ , soit $BC + BC$ , donc $BM = 2 BC$ .

Les indices $1$ , $2$ , $3$ distinguent les points des trois questions.

Exercice 23 — Symétrie centrale

$E$ , $F$ et $G$ sont trois points. $E^{'}$ est le symétrique de $E$ par rapport à $G$ , et $F^{'}$ celui de $F$ par rapport à $G$ .

1.
Démontrer que $FE F^{'} E^{'}$ est un parallélogramme.
2.
1. (a)
  Justifier que $E^{'} F^{'} = FE$ .
2. (b)
  Que peut-on en déduire pour les longueurs $E^{'} F^{'}$ et $EF$ ?
3. (c)
  Quelle propriété de la symétrie centrale vient-on de démontrer ?

Corrigé

1) $G$ est le milieu de $[E E^{'}]$ et de $[F F^{'}]$ : les diagonales $[F F^{'}]$ et $[E E^{'}]$ de $FE F^{'} E^{'}$ ont le même milieu, donc $FE F^{'} E^{'} est un parall \overset{e}{ˊ} logramme$ .

2) a) Dans ce parallélogramme, $FE = E^{'} F^{'}$ .

b) Deux vecteurs égaux ont la même norme : $E^{'} F^{'} = EF$ .

c) La symétrie centrale $conserve les longueurs$ .

VI Multiplier un vecteur par un réel

Exercice 24 — Multiples d'un vecteur

Reproduire la figure, puis représenter, à partir du point $O$ , les vecteurs $2 a$ , $3 a$ , $- a$ et $- 2 a$ .

Corrigé

$a$ fait $1$ à droite et $1$ vers le bas ; $- 2 a$ fait $2$ à gauche et $2$ vers le haut.

Exercice 25 — Avec des coefficients

$A BC$ est un triangle. Construire les points $M$ , $N$ et $P$ tels que

A M = 3 A C,

CN = \frac{1}{2} CB,

BP = - \frac{1}{2} B A .

Corrigé

$M$ est sur la demi-droite $[A C)$ avec $A M = 3 A C$ ; $N$ est le milieu de $[CB]$ ; $P$ est sur la droite $(A B)$ , au-delà de $B$ , avec $BP = \frac{1}{2} A B$ .

Exercice 26 — Sur un quadrillage

Quatre points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ sont placés sur un quadrillage.

Reproduire la figure, puis tracer :

1.
le représentant d'origine $A$ de $2 BC$ ;
2.
le représentant d'origine $B$ de $0, 5 A C$ ;
3.
le représentant d'origine $D$ de $- \frac{1}{3} B D$ ;
4.
le représentant d'origine $C$ de $\frac{1}{3} B D$ ;
5.
le représentant d'origine $D$ de $A B - BC$ .

Chaque extrémité tombe sur un nœ ud du quadrillage.

Corrigé

$BC$ : $2$ à droite, $2$ vers le haut ; $A C$ : $6$ à droite, $2$ vers le haut ; $B D$ : $3$ à gauche, $3$ vers le haut ; $A B - BC$ : $2$ à droite, $2$ vers le bas.

VII Relation de Chasles

Exercice 27 — Un seul vecteur, si c'est possible

Écrire avec un seul vecteur lorsque c'est possible ; sinon, expliquer pourquoi.

a)
$BE + EG$ b) $D A + D C$
c)
$T U + K T$ d) $F H + H S$
e)
$PQ + QP$ f) $A B + CE$

Corrigé

BG

b) impossible

K T + T U = K U

FS

0

f) impossible

b) Même origine $D$ : Chasles ne s'applique pas. f) $B$ et $C$ sont différents.

Exercice 28 — Simplifier

$A BC$ est un triangle et $M$ un point. Simplifier à l'aide de la relation de Chasles :

u = BC + C A + A B

v = C A - CB + A C

w = MC - M A + CB

Aide : $- CB = BC$ .

Corrigé

u

= BC + C A + A B = BB

u

= 0

v

= C A + BC + A C

v

= BC + C A + A C = BC

w

= MC + A M + CB

w

= A M + MC + CB = A B

$C A + A C = CC = 0$ .

Exercice 29 — Compléter

Compléter par les points qui conviennent.

1.
$BC = B A + A \dots$
2.
$CB + \dots A = C A$
3.
$A \dots + C A = CB$
4.
$BC + D A + C D = \dots$

Corrigé

1) $A C$ 2) $B A$ 3) $A B$ 4) $BC + C D + D A = B A$

Exercice 30 — Peut-on réduire ?

Dire si chaque somme se réduit avec la relation de Chasles, et la réduire si c'est le cas.

a)
$MN + NP$ b) $MN + MP$
c)
$RO + OS$ d) $RO + SR$
e)
$G H + H G$ f) $K B + A K$

Corrigé

MP

b) non (même origine)

RS

SR + RO = SO

0

A K + K B = A B

Exercice 31 — Une égalité à démontrer

Démontrer que, pour tous points $O$ , $A$ , $B$ et $C$ :

OB - O A + BC = A C .

Corrigé

OB - O A + BC

= A O + OB + BC

OB - O A + BC

= A C

$- O A = A O$ , puis on range : $A \to O \to B \to C$ .

Exercice 32 — Exprimer avec deux vecteurs

$A BC$ est un triangle.

1.
Exprimer $u$ en fonction de $A B$ et $A C$ :

a) $u = CB$ b) $u = 3 CB + B A$
2.
Exprimer $v$ en fonction de $C A$ et $BC$ :

a) $v = B A + C A$

b) $v = A B + 2 BC + A C$

Corrigé

1) a)

u

= C A + A B

u

= A B - A C

u

= 3 (A B - A C) - A B

u

= 2 A B - 3 A C

2) a)

v

= BC + C A + C A

v

= BC + 2 C A

b) $A B = A C + CB = - C A - BC$ et $A C = - C A$ :

v

= - C A - BC + 2 BC - C A

v

= BC - 2 C A

Exercice 33 — Différences sur un quadrillage

Construire, à partir du point $A$ , un représentant de chaque vecteur demandé. On peut prolonger le quadrillage sur la feuille.

a)
$A C - A B$ b) $A D - B D$
c)
$A B - A D$ d) $A C - B D$

Corrigé

a) $BC$ ; b) $A D + D B = A B$ : on arrive en $B$ ; c) $D B$ ; d) $A C + D B$ : $8$ à droite et $1$ vers le bas.