ExercicesChapitre 4 — Calcul littéral

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Cours Exercices Corrigé des exercices Enseignants : chapitre complet

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Sommaire

I — Réduire, substituer
II — Développer
III — Identités remarquables
IV — Factoriser
V — Factoriser avec une identité remarquable
VI — Factorisations avancées
VII — Fractions rationnelles
VIII — Équations du premier degré
IX — Équations produit
X — Équations $x^{2} = a$ et équations quotient
XI — Mise en équation
XII — Problèmes de géométrie
XIII — Isoler une grandeur

On écrit toutes les étapes. On contrôle chaque fois que c'est possible : en redéveloppant une factorisation, ou en remplaçant $x$ par la solution trouvée.

I Réduire, substituer

Exercice 1 — Réduire une somme

Réduire, si possible :

A = 7 a + 5 a + 2 a

B = 6 + 2 a + 5 a

C = 4 a^{2} + 3 + 7 a^{2}

D = 6 a + 3 a^{2} + 4 a^{2}

E = 9 m - 12 m + 5 m

F = - 6 m - 3 m - 4 m

G = 3 m - 8 m^{2} + 5 m^{2}

H = - 6 m^{2} + 4 m^{2} - 5 m^{2}

$K = 3 n^{2} + 6 n - 5 + 4 n^{2} + 3 + 8$

$L = 4 + 5 n - 3 n^{2} + 7 n^{2} + 2 n - 4$

$M = - 7 n^{2} + 6 - 4 n + 3 n^{2} - 3 n - 9$

Corrigé

A = 14 a

B = 7 a + 6

C = 11 a^{2} + 3

D = 7 a^{2} + 6 a

E = 2 m

F = - 13 m

G = - 3 m^{2} + 3 m

H = - 7 m^{2}

K = 7 n^{2} + 6 n + 6

L = 4 n^{2} + 7 n

$M = - 4 n^{2} - 7 n - 3$

Dans $B$ , le $6$ reste seul : on n'écrit pas $13 a$ .

Exercice 2 — Réduire un produit

Réduire :

A = 6 \times 4 x

B = 3 x \times 5 x

C = 7 \times 2 x^{2}

D = 3 x^{2} \times 5

E = - 4 x \times 3 x

F = - 6 \times 5 x

G = 2 x (- 7 x)

H = - 3 x (- 6 x)

K = 4 (- 3 x^{2})

L = - 5 (- 2 x^{2})

M = 3 x^{2} \times (- 4)

Corrigé

A = 24 x

B = 15 x^{2}

C = 14 x^{2}

D = 15 x^{2}

E = - 12 x^{2}

F = - 30 x

G = - 14 x^{2}

H = 18 x^{2}

K = - 12 x^{2}

L = 10 x^{2}

$M = - 12 x^{2}$

Exercice 3 — Substituer

1.
Calculer $B = 3 x^{2} - 4 x - 4$ pour $x = 2$ , $x = 3$ , $x = - 1$ , $x = - 2$ , puis $x = \frac{1}{3}$ .
2.
Calculer $C = 2 m - 4 p + 5$ pour $m = 3$ et $p = - 2$ , puis pour $m = - 1$ et $p = 4$ .

Corrigé

1) Pour $x = 2$ : $B = 12 - 8 - 4 = 0$ ; pour $x = 3$ : $B = 27 - 12 - 4 = 11$ ; pour $x = - 1$ : $B = 3 + 4 - 4 = 3$ ; pour $x = - 2$ : $B = 12 + 8 - 4 = 16$ ; pour $x = \frac{1}{3}$ : $B = \frac{1}{3} - \frac{4}{3} - 4 = - 5$ .

2) $C = 6 + 8 + 5 = 19$ ; $C = - 2 - 16 + 5 = - 13$ .

$- 4 p$ pour $p = - 2$ : $- 4 \times (- 2) = + 8$ .

Exercice 4 — Égales ou non ?

On pose $A = (x - 2) (x + 5)$ et $B = 2 x^{2} - 10$ .

1.
Calculer $A$ et $B$ pour $x = 0$ , puis pour $x = 1$ .
2.
$A$ et $B$ sont-elles égales ?
3.
Développer $A$ . Que conclure ?

Corrigé

1) Pour $x = 0$ : $A = - 10$ et $B = - 10$ ; pour $x = 1$ : $A = - 6$ et $B = - 8$ .

2) $Non$ : pour $x = 1$ , elles sont différentes.

3) $A = x^{2} + 5 x - 2 x - 10 = x^{2} + 3 x - 10$ , qui n'est pas $B$ .

Un test réussi ( $x = 0$ ) ne prouve pas une égalité ; un seul contre-exemple suffit à la réfuter.

II Développer

Exercice 5 — Distributivité simple

Développer et réduire :

A = 4 (3 x + 5)

B = (6 + 3 x) \times 2

C = x (4 x + 5)

D = 3 x (2 x + 7)

E = 5 x + 3 (2 x + 4)

F = 2 (5 x + 6) + 4 (2 x + 3)

G = 5 (3 + 2 x) + 4 x

H = 3 (4 x + 2) + 2 (6 + 3 x)

K = x (3 x + 5) + 2 (5 x + 1)

L = 2 x (4 x + 3) + 3 x (2 x + 5)

Corrigé

A = 12 x + 20

B = 6 x + 12

C = 4 x^{2} + 5 x

D = 6 x^{2} + 21 x

E = 11 x + 12

F = 18 x + 24

G = 14 x + 15

H = 18 x + 18

K = 3 x^{2} + 15 x + 2

L = 14 x^{2} + 21 x

Exercice 6 — Avec des signes moins

Développer et réduire :

A = 6 (a + 3) - 4 a

B = - 7 a + 3 (2 a - 4)

$C = 4 (3 + 2 a) - 3 (5 + 2 a)$

$D = - 5 (- 3 a + 2) + 2 (4 a - 3)$

E = 3 b + 2 b (5 + 7 b)

F = 5 b (- 3 b + 2) + 4 b^{2}

$G = 4 b (- 3 b - 2) - b (2 b - 9)$

$H = - 3 b (4 b - 2) + 6 b (- 2 b - 3)$

Corrigé

A = 2 a + 18

B = - a - 12

C

= 12 + 8 a - 15 - 6 a = 2 a - 3

D

= 15 a - 10 + 8 a - 6 = 23 a - 16

E = 14 b^{2} + 13 b

F = - 11 b^{2} + 10 b

G

= - 12 b^{2} - 8 b - 2 b^{2} + 9 b

G

= - 14 b^{2} + b

H

= - 12 b^{2} + 6 b - 12 b^{2} - 18 b

H

= - 24 b^{2} - 12 b

Dans $G$ : $- b \times (- 9) = + 9 b$ .

Exercice 7 — Double distributivité

Développer et réduire :

A = (2 x + 5) (4 x + 3)

B = (3 + 4 x) (2 x + 7)

C = (3 x - 4) (- 2 x + 5)

D = (- 5 + 2 x) (3 - 4 x)

E = (- 4 x - 2) (- 3 x - 5)

F = (2 - 3 x) (4 - 5 x)

G = (- 6 x + 5) (- 3 x + 2)

H = (- 3 + 2 x) (4 x - 5)

Corrigé

A = 8 x^{2} + 26 x + 15

B = 8 x^{2} + 34 x + 21

C

= - 6 x^{2} + 15 x + 8 x - 20 = - 6 x^{2} + 23 x - 20

D

= - 15 + 20 x + 6 x - 8 x^{2} = - 8 x^{2} + 26 x - 15

E = 12 x^{2} + 26 x + 10

F = 15 x^{2} - 22 x + 8

G = 18 x^{2} - 27 x + 10

H = 8 x^{2} - 22 x + 15

Exercice 8 — Une différence de produits

Développer et réduire. Le produit qui suit un $-$ se développe d'abord entre crochets.

$A = (4 x + 3) (2 x + 5) - (3 x + 2) (2 x - 5)$

$B = (- 2 x + 7) (3 x - 4) + (5 x - 2) (2 x - 3)$

$C = (- 4 x - 5) (- 3 x + 6) - (2 + 3 x) (5 - 4 x)$

$D = (6 x + 1) (3 x - 2) - (5 x - 2) (4 - 3 x)$

Corrigé

A

= 8 x^{2} + 26 x + 15 - [6 x^{2} - 11 x - 10]

A

= 2 x^{2} + 37 x + 25

B

= - 6 x^{2} + 29 x - 28 + 10 x^{2} - 19 x + 6

B

= 4 x^{2} + 10 x - 22

C

= 12 x^{2} - 9 x - 30 - [- 12 x^{2} + 7 x + 10]

C

= 24 x^{2} - 16 x - 40

D

= 18 x^{2} - 9 x - 2 - [- 15 x^{2} + 26 x - 8]

D

= 33 x^{2} - 35 x + 6

Le crochet garde le produit entier ; le $-$ change ensuite tous ses signes.

Exercice 9 — Crochets et trois facteurs

Développer et réduire :

$A = (6 - 3 x) - 4 - (5 x - 2)$

$B = (4 x - 3) + 5 x - (6 x + 2)$

$C = 4 - [6 - (2 x + 3)] + (3 - 4 x)$

$D = 5 x + [2 - (6 - x)] - [3 x - (x - 4)]$

$E = 3 x (2 x + 5) - 4 (2 x + 5) (x - 3)$

$F = (x + 2) (3 x - 4) (- x + 3)$

Corrigé

A

= 6 - 3 x - 4 - 5 x + 2 = 4 - 8 x

B

= 4 x - 3 + 5 x - 6 x - 2 = 3 x - 5

C

= 4 - [3 - 2 x] + 3 - 4 x = 4 - 2 x

D

= 5 x + [x - 4] - [2 x + 4] = 4 x - 8

E

= 6 x^{2} + 15 x - 4 [2 x^{2} - x - 15]

E

= - 2 x^{2} + 19 x + 60

F

= (3 x^{2} + 2 x - 8) (- x + 3)

F

= - 3 x^{3} + 7 x^{2} + 14 x - 24

III Identités remarquables

Exercice 10 — Le carré d'une somme

Développer :

A = (3 x + 4)^{2}

B = (5 + 2 x)^{2}

C = (4 a + 3)^{2}

D = (3 + 5 b)^{2}

E = (x + 6)^{2}

F = (4 x + 1)^{2}

G = (3 m + 5)^{2}

H = (4 + 3 r)^{2}

Corrigé

A = 9 x^{2} + 24 x + 16

B = 25 + 20 x + 4 x^{2}

C = 16 a^{2} + 24 a + 9

D = 9 + 30 b + 25 b^{2}

E = x^{2} + 12 x + 36

F = 16 x^{2} + 8 x + 1

G = 9 m^{2} + 30 m + 25

H = 16 + 24 r + 9 r^{2}

Le double produit : pour $A$ , $2 \times 3 x \times 4 = 24 x$ .

Exercice 11 — Le carré d'une différence

Développer :

A = (4 x - 3)^{2}

B = (3 x - 5)^{2}

C = (4 - 3 x)^{2}

D = (5 - 2 x)^{2}

E = (5 a - 3)^{2}

F = (2 - 5 b)^{2}

G = (3 m - 1)^{2}

H = (n - 4)^{2}

Corrigé

A = 16 x^{2} - 24 x + 9

B = 9 x^{2} - 30 x + 25

C = 16 - 24 x + 9 x^{2}

D = 25 - 20 x + 4 x^{2}

E = 25 a^{2} - 30 a + 9

F = 4 - 20 b + 25 b^{2}

G = 9 m^{2} - 6 m + 1

H = n^{2} - 8 n + 16

Exercice 12 — Somme par différence

Développer. Attention : un des produits n'est pas une identité remarquable.

A = (4 x + 3) (4 x - 3)

B = (2 x + 5) (2 x - 3)

C = (3 + 5 x) (3 - 5 x)

D = (3 a + 4) (3 a - 4)

E = (b - 5) (b + 5)

F = (7 + c) (7 - c)

Corrigé

A = 16 x^{2} - 9

C = 9 - 25 x^{2}

D = 9 a^{2} - 16

E = b^{2} - 25

$F = 49 - c^{2}$

$B = 4 x^{2} - 6 x + 10 x - 15 = 4 x^{2} + 4 x - 15$

$B$ n'est pas une identité : $2 x + 5$ et $2 x - 3$ n'ont pas les mêmes termes.

Exercice 13 — Choisir la bonne formule

Développer et réduire :

A = 3 (2 x + 5)

B = (2 x + 5)^{2}

C = (3 x - 4)^{2}

D = (5 x - 3) (5 x + 3)

E = (7 x + 2) (3 x - 5)

F = (3 + 7 x) (3 - 7 x)

$G = (2 x + 3)^{2} - (x - 4)^{2}$

$H = (x - 5) (x + 5) - (2 x + 1) (2 x - 1)$

$K = (x + 4)^{2} + 3 (2 x - 1) (x + 2)$

$L = (3 x + 1) (3 x - 1) - 2 (x - 3)^{2}$

Corrigé

A = 6 x + 15

B = 4 x^{2} + 20 x + 25

C = 9 x^{2} - 24 x + 16

D = 25 x^{2} - 9

E = 21 x^{2} - 29 x - 10

F = 9 - 49 x^{2}

G

= 4 x^{2} + 12 x + 9 - [x^{2} - 8 x + 16]

G

= 3 x^{2} + 20 x - 7

H

= x^{2} - 25 - [4 x^{2} - 1] = - 3 x^{2} - 24

K

= x^{2} + 8 x + 16 + 3 [2 x^{2} + 3 x - 2]

K

= 7 x^{2} + 17 x + 10

L

= 9 x^{2} - 1 - 2 [x^{2} - 6 x + 9]

L

= 7 x^{2} + 12 x - 19

IV Factoriser

Exercice 14 — Compléter les factorisations

Compléter :

5 \times x + 5 \times 8 = 5 (\dots + \dots)

12 x - 8 = 4 (\dots - \dots)

10 x - 15 = \dots (2 x - 3)

8 x^{2} + 12 x = 4 x (\dots + \dots)

x^{2} - 9 x = \dots (x - 9)

f) $(x + 3) (3 x - 2) + (x + 3) (x + 4) = (x + 3) (\dots)$

Corrigé

5 (x + 8)

4 (3 x - 2)

5 (2 x - 3)

4 x (2 x + 3)

e) $x (x - 9)$ f) $(x + 3) (3 x - 2 + x + 4) = (x + 3) (4 x + 2)$

Exercice 15 — Un nombre ou $x$ en facteur

Factoriser le plus possible :

A = 48 a - 36 b

B = 150 a - 90 b

C = 24 x - 36

D = 35 x + 13 x^{2}

E = 28 x^{2} - 7 x

F = 5 x^{3} + 10 x^{2} + 15 x

Corrigé

A = 12 (4 a - 3 b)

B = 30 (5 a - 3 b)

C = 12 (2 x - 3)

D = x (35 + 13 x)

E = 7 x (4 x - 1)

F = 5 x (x^{2} + 2 x + 3)

On prend le plus grand facteur commun : $C = 6 (4 x - 6)$ n'est pas terminé.

Exercice 16 — Une parenthèse en facteur

Factoriser, puis réduire chaque facteur :

$A = (4 x + 3) (2 x - 5) + (4 x + 3) (3 x + 7)$

$B = (6 x - 5) (2 x + 3) + (6 x - 5) (4 x - 1)$

$C = (3 x + 5) (2 x - 7) + (2 x - 7) (4 x + 1)$

$D = (8 r - 2) (5 r + 3) + (3 r - 4) (5 r + 3)$

$E = (x - 4) (x + 2) - (x - 4) (2 x + 5)$

$F = x (2 y - 5) + 3 (2 y - 5)$

Corrigé

A

= (4 x + 3) [(2 x - 5) + (3 x + 7)]

A

= (4 x + 3) (5 x + 2)

B

= (6 x - 5) [(2 x + 3) + (4 x - 1)]

B

= (6 x - 5) (6 x + 2)

C

= (2 x - 7) [(3 x + 5) + (4 x + 1)]

C

= (2 x - 7) (7 x + 6)

D

= (5 r + 3) [(8 r - 2) + (3 r - 4)]

D

= (5 r + 3) (11 r - 6)

E

= (x - 4) [(x + 2) - (2 x + 5)]

E

= (x - 4) (- x - 3)

F

= (2 y - 5) (x + 3)

$B$ peut encore s'écrire $2 (6 x - 5) (3 x + 1)$ .

V Factoriser avec une identité remarquable

Exercice 17 — Différence de deux carrés

Factoriser, si possible :

A = 25 x^{2} - 16

B = 1 - 9 x^{2}

C = 4 x^{2} + 9

D = 36 R^{2} - 25

E = 5 x^{2} - 5

F = - x^{2} + 9

Corrigé

A = (5 x + 4) (5 x - 4)

B = (1 + 3 x) (1 - 3 x)

C

impossible

D = (6 R + 5) (6 R - 5)

E = 5 (x^{2} - 1) = 5 (x + 1) (x - 1)

$F = 9 - x^{2} = (3 + x) (3 - x)$

$C$ est une somme de deux carrés. Pour $E$ , on factorise d'abord par $5$ .

Exercice 18 — Carrés parfaits

Factoriser, si possible. On trouve d'abord $a$ et $b$ , puis on contrôle $2 ab$ .

A = 9 x^{2} + 12 x + 4

B = 25 a^{2} + 15 a + 9

C = 24 d + 16 d^{2} + 9

D = 36 - 12 x + x^{2}

E = 9 x^{2} + 6 x - 1

F = 16 b^{2} + 25 - 40 b

Corrigé

A = (3 x + 2)^{2}

C = (4 d + 3)^{2}

D = (6 - x)^{2}

F = (4 b - 5)^{2}

$B$ : $a = 5 a$ , $b = 3$ , mais $2 \times 5 a \times 3 = 30 a \neq = 15 a$ : $impossible$ .

$E$ : $- 1$ n'est pas un carré : $impossible$ .

Exercice 19 — Quelle méthode ?

Factoriser, si possible :

A = 49 x^{2} - 16

B = 16 x^{2} + 7 x

C = 4 x^{2} + 20 x + 25

D = 64 - 48 x + 9 x^{2}

E = 5 a - 4 a^{2}

F = 1 + 25 f^{2} - 10 f

Corrigé

A = (7 x + 4) (7 x - 4)

B = x (16 x + 7)

C = (2 x + 5)^{2}

D = (8 - 3 x)^{2}

E = a (5 - 4 a)

F = (1 - 5 f)^{2}

VI Factorisations avancées

Exercice 20 — Identité remarquable sur des expressions

Factoriser, puis réduire chaque facteur. Écrire la factorisation avec des parenthèses à l'intérieur des crochets.

$A = (7 x + 5)^{2} - (3 x + 1)^{2}$

$B = (7 x - 3)^{2} - (2 x - 1)^{2}$

C = (3 x - 2)^{2} - 49

D = 81 - (2 x - 3)^{2}

$E = (x + 5)^{2} - (x + 2)^{2}$

Corrigé

A

= [(7 x + 5) + (3 x + 1)] [(7 x + 5) - (3 x + 1)]

A

= (10 x + 6) (4 x + 4)

B

= [(7 x - 3) + (2 x - 1)] [(7 x - 3) - (2 x - 1)]

B

= (9 x - 4) (5 x - 2)

C

= [(3 x - 2) + 7] [(3 x - 2) - 7]

C

= (3 x + 5) (3 x - 9)

D

= [9 - (2 x - 3)] [9 + (2 x - 3)]

D

= (12 - 2 x) (2 x + 6)

E

= [(x + 5) + (x + 2)] [(x + 5) - (x + 2)]

E

= 3 (2 x + 7)

Dans $B$ : $- (2 x - 1) = - 2 x + 1$ . On peut encore sortir des facteurs numériques : $A = 8 (5 x + 3) (x + 1)$ .

Exercice 21 — Le « 1 » caché et le carré

Factoriser :

$A = (5 x + 4) (3 x - 2) + (5 x + 4)$

$B = 3 (x - 1) (x + 2) - (x - 1)$

$C = (6 r - 4) (2 r - 3) + (6 r - 4)^{2}$

$D = (4 m - 2)^{2} - (4 m - 2) (3 m + 1)$

$E = (x + 2)^{2} + 4 (x + 2) + x + 2$

Corrigé

A

= (5 x + 4) [(3 x - 2) + 1] = (5 x + 4) (3 x - 1)

B

= (x - 1) [3 (x + 2) - 1] = (x - 1) (3 x + 5)

C

= (6 r - 4) [(2 r - 3) + (6 r - 4)]

C

= (6 r - 4) (8 r - 7)

D

= (4 m - 2) [(4 m - 2) - (3 m + 1)]

D

= (4 m - 2) (m - 3)

E

= (x + 2) [(x + 2) + 4 + 1] = (x + 2) (x + 7)

Dans $E$ , $x + 2$ apparaît trois fois : le dernier terme donne le « 1 ».

Exercice 22 — Faire apparaître le facteur commun

Factoriser. Penser aux facteurs opposés, aux multiples et aux identités cachées dans un seul morceau.

$A = (3 x - 4) (x + 2) + 6 (- 4 + 3 x)$

$B = (5 - x)^{2} + (x - 5)$

$C = (- x + 2) (3 x + 1) + (- 3 x - 1) (x - 7)$

$D = 9 x^{2} - 16 + (3 x + 4) (2 x + 5)$

$E = 16 x^{2} + 40 x + 25 - 2 (4 x + 5)$

Corrigé

A

= (3 x - 4) (x + 2) + 6 (3 x - 4)

A

= (3 x - 4) (x + 8)

B

= (x - 5)^{2} + (x - 5)

B

= (x - 5) (x - 4)

C

= (- x + 2) (3 x + 1) - (3 x + 1) (x - 7)

C

= (3 x + 1) (9 - 2 x)

D

= (3 x + 4) (3 x - 4) + (3 x + 4) (2 x + 5)

D

= (3 x + 4) (5 x + 1)

E

= (4 x + 5)^{2} - 2 (4 x + 5)

E

= (4 x + 5) (4 x + 3)

$B$ : $(5 - x)^{2} = (x - 5)^{2}$ (un carré efface le signe). $C$ : $- 3 x - 1 = - (3 x + 1)$ .

Exercice 23 — Choisir la méthode

Factoriser :

A = 16 x^{2} - 56 x + 49

B = 24 x - 10 x^{2} + 3 x^{3}

$C = (2 x + 5) (3 x - 4) + (2 x + 5) (4 x + 9)$

$D = (5 x + 3) (4 x - 9) - (5 x + 3) (6 x - 9)$

$E = (4 x - 1)^{2} - (3 x + 2)^{2}$

Corrigé

A = (4 x - 7)^{2}

B = x (3 x^{2} - 10 x + 24)

C

= (2 x + 5) [(3 x - 4) + (4 x + 9)]

C

= (2 x + 5) (7 x + 5)

D

= (5 x + 3) [(4 x - 9) - (6 x - 9)]

D

= - 2 x (5 x + 3)

E

= [(4 x - 1) + (3 x + 2)] [(4 x - 1) - (3 x + 2)]

E

= (7 x + 1) (x - 3)

VII Fractions rationnelles

Exercice 24 — Valeurs interdites

Donner la ou les valeurs interdites :

A = \frac{2 x + 5}{x + 3}

B = \frac{7}{3 x - 2}

C = \frac{x - 1}{x ( x + 5 )}

D = \frac{4 x}{( 3 x + 2 ) ( 2 - x )}

E = \frac{5}{x ^{2} - 16}

Corrigé

A

- 3

B

\frac{2}{3}

C

0

- 5

D

- \frac{2}{3}

2

$E$ : $x^{2} - 16 = 0$ pour $- 4$ et $4$ .

Exercice 25 — Premiers calculs

Écrire avec une seule fraction, pour $x \neq = 0$ :

A = 2 + \frac{1}{x}

B = 4 - \frac{3}{x}

C = \frac{2}{x} + \frac{5}{x}

D = x + \frac{3}{x}

E = \frac{1}{3} + \frac{2}{x}

Corrigé

A = \frac{2 x + 1}{x}

B = \frac{4 x - 3}{x}

C = \frac{7}{x}

D = \frac{x ^{2} + 3}{x}

$E = \frac{x}{3 x} + \frac{6}{3 x} = \frac{x + 6}{3 x}$

Exercice 26 — Une seule fraction

Écrire avec une seule fraction, en précisant les valeurs interdites :

A = 1 + \frac{3}{x - 2}

B = \frac{4}{x} - \frac{3}{x + 2}

C = \frac{x}{x + 3} + \frac{2}{x}

D = 3 - \frac{x + 2}{x - 1}

E = \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x + 2}

Corrigé

A

= \frac{x - 2 + 3}{x - 2} = \frac{x + 1}{x - 2}

B

= \frac{4 ( x + 2 ) - 3 x}{x ( x + 2 )} = \frac{x + 8}{x ( x + 2 )}

C

= \frac{x ^{2} + 2 ( x + 3 )}{x ( x + 3 )} = \frac{x ^{2} + 2 x + 6}{x ( x + 3 )}

D

= \frac{3 ( x - 1 ) - ( x + 2 )}{x - 1} = \frac{2 x - 5}{x - 1}

E

= \frac{x + 2 + x - 2}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{2 x}{( x - 2 ) ( x + 2 )}

Valeurs interdites : $A$ : $2$ ; $B$ : $0$ et $- 2$ ; $C$ : $0$ et $- 3$ ; $D$ : $1$ ; $E$ : $2$ et $- 2$ .

$D$ : la parenthèse autour de $x + 2$ est indispensable.

Exercice 27 — Démontrer une égalité

1.
Démontrer que, pour tout $x \neq = 1$ : $\frac{2 x - 3}{x - 1} = 2 - \frac{1}{x - 1}$ .
2.
Démontrer que, pour tout $x \neq = 0$ et $x \neq = 2$ :

$\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x} = \frac{2}{x ( x - 2 )} .$

Corrigé

2 - \frac{1}{x - 1}

= \frac{2 ( x - 1 ) - 1}{x - 1}

2 - \frac{1}{x - 1}

= \frac{2 x - 3}{x - 1}

\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x}

= \frac{x - ( x - 2 )}{x ( x - 2 )}

\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x}

= \frac{2}{x ( x - 2 )}

VIII Équations du premier degré

Exercice 28 — Les deux règles

Résoudre dans $R$ :

4 x + 3 = 3 x + 8

3 x + 2 = 4 x - 6

2 x + 5 = 6 x + 1

7 - 2 x = 0

2 x - 9 = 5 x + 12

3 x + 7 = 3 x - 4

Corrigé

S = {5}

S = {8}

4 = 4 x

S = {1}

S = {\frac{7}{2}}

- 3 x = 21

S = {- 7}

0 x = - 11

S = \emptyset

Exercice 29 — Avec des parenthèses

Résoudre dans $R$ , en supprimant d'abord les parenthèses :

a) $7 - (x - 2) = 5 x - (4 x - 9)$

b) $4 (x - 2) + 3 (3 - x) = 0$

c) $6 (x + 3) - 2 (x + 4) = x + 16$

d) $3 (x - 2) - 2 (x + 1) = 5 (x - 4)$

e) $m - (4 - 2 m) = 2 m + 5$

Corrigé

a) 9 - x

= x + 9

- 2 x

= 0 : S = {0}

b) x + 1

= 0 : S = {- 1}

c) 4 x + 10

= x + 16

3 x

= 6 : S = {2}

d) x - 8

= 5 x - 20

12

= 4 x : S = {3}

e) 3 m - 4

= 2 m + 5 : S = {9}

Exercice 30 — Coefficients fractionnaires

Résoudre dans $R$ :

\frac{- 5 x}{3} = \frac{10}{3}

\frac{12 x}{5} = \frac{3}{10}

\frac{3}{4} x = \frac{9}{2}

- 3 x = \frac{12}{5}

\frac{- 3}{7} x = \frac{- 1}{14}

\frac{5}{6} = \frac{- 10}{9} x

Corrigé

S = {- 2}

S = {\frac{1}{8}}

S = {6}

S = {- \frac{4}{5}}

S = {\frac{1}{6}}

S = {- \frac{3}{4}}

c) $x = \frac{9}{2} \times \frac{4}{3}$ : on multiplie par l'inverse du coefficient.

Exercice 31 — Supprimer les fractions

Résoudre dans $R$ , en multipliant chaque terme par le dénominateur commun :

- \frac{1}{3} x + 4 = x - 8

\frac{5}{2} x + 1 = 3 x - 4

\frac{3 x}{5} - \frac{4}{3} = \frac{7}{15}

\frac{x}{2} + \frac{5}{3} = - \frac{x}{6} + 9

e) $\frac{x - 3}{2} - 4 = \frac{3 x + 1}{4} + \frac{1}{2}$

f) $\frac{3 x + 1}{4} - \frac{x - 3}{4} = \frac{x + 5}{3}$

Corrigé

a) - x + 12

= 3 x - 24 : S = {9}

b) 5 x + 2

= 6 x - 8 : S = {10}

c) 9 x - 20

= 7 : S = {3}

d) 3 x + 10

= - x + 54 : S = {11}

e) 2 x - 6 - 16

= 3 x + 1 + 2 : S = {- 25}

f) 3 (2 x + 4)

= 4 (x + 5) : S = {4}

On multiplie par $3$ , $2$ , $15$ , $6$ , $4$ et $12$ ; chaque terme, y compris celui sans fraction.

Exercice 32 — Produit en croix, cas particuliers

1.
Résoudre avec un produit en croix :

a) $\frac{3 x + 2}{4} = \frac{5 x - 1}{3}$ b) $\frac{3 x - 2}{5} = \frac{2}{3}$
2.
Résoudre, en concluant par $S = R$ ou $S = \emptyset$ :

a) $\frac{1}{2} (x + 4) - \frac{2}{3} (x - 3) = \frac{1}{6} (- x + 12) + 2$

b) $\frac{x + 1}{3} - \frac{2 x - 1}{4} - 1 = - \frac{2 x + 1}{12}$

Corrigé

1) a) $9 x + 6 = 20 x - 4$ : $S = {\frac{10}{11}}$ b) $9 x - 6 = 10$ : $S = {\frac{16}{9}}$

2) a) ( $\times 6$ ) $- x + 24 = - x + 24$ : $0 x = 0$ , $S = R$ .

b) ( $\times 12$ ) $- 2 x - 5 = - 2 x - 1$ : $0 x = 4$ , $S = \emptyset$ .

Exercice 33 — L'inconnue au dénominateur

Résoudre, après avoir donné les valeurs interdites :

\frac{3 x - 2}{2 x + 1} = 2

\frac{3 - 2 x}{2 - x} = 1

\frac{3 - x}{2 x + 1} = \frac{3}{4}

\frac{2 + x}{1 + 2 x} = \frac{1}{2}

\frac{3 - x}{x - 2} = 2

\frac{- 3 x}{2 + x} = 2

Corrigé

a) x

\neq = - \frac{1}{2} : 3 x - 2 = 4 x + 2

x

= - 4 : S = {- 4}

b) x

\neq = 2 : 3 - 2 x = 2 - x

x

= 1 : S = {1}

c) x

\neq = - \frac{1}{2} : 12 - 4 x = 6 x + 3

x

= \frac{9}{10} : S = {\frac{9}{10}}

d) x

\neq = - \frac{1}{2} : 4 + 2 x = 1 + 2 x

0 x

= - 3 : S = \emptyset

e) x

\neq = 2 : 3 - x = 2 x - 4

x

= \frac{7}{3} : S = {\frac{7}{3}}

f) x

\neq = - 2 : - 3 x = 4 + 2 x

x

= - \frac{4}{5} : S = {- \frac{4}{5}}

IX Équations produit

Exercice 34 — Produit nul

Résoudre dans $R$ :

2 x (3 x - 5) = 0

- 4 x^{2} (3 x - 8) = 0

(- 2 x + 5)^{2} = 0

x^{2} (x + 2) (- 4 - 3 x) = 0

e) $(x + 1) (3 x - 2) (x - 5) = 0$

Corrigé

S = {0; \frac{5}{3}}

S = {0; \frac{8}{3}}

S = {\frac{5}{2}}

S = {- 2; - \frac{4}{3}; 0}

e) $S = {- 1; \frac{2}{3}; 5}$

c) Un carré est nul si et seulement si le nombre est nul : une seule solution.

Exercice 35 — Factoriser d'abord

Résoudre en se ramenant à une équation produit :

3 x^{2} - 8 x = 0

2 x^{3} - 5 x^{2} = 0

c) $(x + 3)^{2} = (x + 3) (4 x - 3)$

d) $(2 x - 5) (3 x + 1) = (2 x - 5) (4 - x)$

e) $9 x^{2} - 4 - 3 (3 x + 2) + x (3 x + 2) = 0$

f) $(3 x - 1) (x + 2)^{2} = 9 (3 x - 1)$

Corrigé

a) x (3 x - 8)

= 0 : S = {0; \frac{8}{3}}

b) x^{2} (2 x - 5)

= 0 : S = {0; \frac{5}{2}}

c) (x + 3) [(x + 3) - (4 x - 3)]

= 0

(x + 3) (6 - 3 x)

= 0 : S = {- 3; 2}

d) (2 x - 5) [(3 x + 1) - (4 - x)]

= 0

(2 x - 5) (4 x - 3)

= 0 : S = {\frac{3}{4}; \frac{5}{2}}

e) (3 x + 2) (3 x - 2 - 3 + x)

= 0

(3 x + 2) (4 x - 5)

= 0 : S = {- \frac{2}{3}; \frac{5}{4}}

f) (3 x - 1) [(x + 2)^{2} - 9]

= 0

(3 x - 1) (x + 5) (x - 1)

= 0 : S = {- 5; \frac{1}{3}; 1}

e) $9 x^{2} - 4 = (3 x + 2) (3 x - 2)$ fait apparaître le facteur commun.

Exercice 36 — Différence de deux carrés nulle

Résoudre dans $R$ :

9 x^{2} - (x + 2)^{2} = 0

(3 x + 1)^{2} - (x + 3)^{2} = 0

c) $(3 x + 5)^{2} - 4 (x + 1)^{2} = 0$

d) $9 (x + 1)^{2} - 4 (2 x + 3)^{2} = 0$

Corrigé

a) (3 x - x - 2) (3 x + x + 2)

= 0

(2 x - 2) (4 x + 2)

= 0 : S = {- \frac{1}{2}; 1}

b) (2 x - 2) (4 x + 4)

= 0 : S = {- 1; 1}

c) [(3 x + 5) - 2 (x + 1)] [(3 x + 5) + 2 (x + 1)]

= 0

(x + 3) (5 x + 7)

= 0 : S = {- 3; - \frac{7}{5}}

d) [3 (x + 1) - 2 (2 x + 3)] [3 (x + 1) + 2 (2 x + 3)]

= 0

(- x - 3) (7 x + 9)

= 0 : S = {- 3; - \frac{9}{7}}

c) $4 (x + 1)^{2} = [2 (x + 1)]^{2}$ .

Exercice 37 — Développer d'abord

Résoudre en commençant par développer. Les $x^{2}$ s'éliminent-ils ?

a) $(3 x - 2) (4 + x) = 3 x^{2} + 5$

b) $(2 x + 3)^{2} = 4 x (x + 0, 5)$

c) $(x + 3) (x - 1) = (x + 5) (x - 4)$

d) $x (4 - x)^{2} = x^{2} (x + 3)$

Corrigé

a) 3 x^{2} + 10 x - 8

= 3 x^{2} + 5

10 x

= 13 : S = {\frac{13}{10}}

b) 4 x^{2} + 12 x + 9

= 4 x^{2} + 2 x

10 x

= - 9 : S = {- 0, 9}

c) x^{2} + 2 x - 3

= x^{2} + x - 20 : S = {- 17}

d) x^{3} - 8 x^{2} + 16 x

= x^{3} + 3 x^{2}

x (16 - 11 x)

= 0 : S = {0; \frac{16}{11}}

En d), ce sont les $x^{3}$ qui s'éliminent ; il reste une équation produit.

Exercice 38 — Choisir la bonne écriture

Pour tout réel $x$ , on pose $E (x) = (x - 2)^{2} - 36$ (forme A).

1.
Prouver que $E (x) = x^{2} - 4 x - 32$ (forme B), puis que $E (x) = (x - 8) (x + 4)$ (forme C).
2.
Avec la forme la mieux adaptée, calculer $E (0)$ , puis résoudre $E (x) = 0$ , $E (x) = - 32$ et $E (x) = - 36$ .

Corrigé

1) $E (x) = x^{2} - 4 x + 4 - 36 = x^{2} - 4 x - 32$ ; $E (x) = [(x - 2) - 6] [(x - 2) + 6]$ , soit $(x - 8) (x + 4)$ .

2) $E (0) = - 32$ (forme B) ; $E (x) = 0$ : $S = {- 4; 8}$ (forme C) ; $E (x) = - 32$ : $x (x - 4) = 0$ , $S = {0; 4}$ (forme B) ; $E (x) = - 36$ : $(x - 2)^{2} = 0$ , $S = {2}$ (forme A).

X Équations $x^{2} = a$ et équations quotient

Exercice 39 — Équations $x^{2} = a$

Résoudre dans $R$ :

x^{2} = 81

x^{2} = - 16

3 x^{2} = 48

x^{2} - 5 = 0

4 x^{2} - 25 = 0

(x + 2)^{2} = 49

Corrigé

S = {- 9; 9}

S = \emptyset

x^{2} = 16

S = {- 4; 4}

S = {- 5; 5}

x^{2} = \frac{25}{4}

S = {- \frac{5}{2}; \frac{5}{2}}

f) $x + 2 = 7$ ou $x + 2 = - 7$ : $S = {- 9; 5}$

Exercice 40 — Équations quotient

Résoudre, après avoir donné les valeurs interdites :

\frac{3 x - 4}{x + 2} = 0

\frac{2 x + 9}{3 - x} = 0

c) $\frac{( 2 x + 3 ) ^{2} - 9 ( x - 1 ) ^{2}}{4 x ^{2} - 4} = 0$

(factoriser le numérateur et le dénominateur)

d) $\frac{9 x ^{2} - 16 - 2 ( 3 x - 4 )}{12 - 9 x} = 0$

e) $\frac{3}{x} + \frac{1}{2} = \frac{7}{2 x}$ (se ramener à un quotient nul)

Corrigé

a) $x \neq = - 2$ : $S = {\frac{4}{3}}$ b) $x \neq = 3$ : $S = {- \frac{9}{2}}$

c) Numérateur : $[(2 x + 3) - 3 (x - 1)] [(2 x + 3) + 3 (x - 1)] = (6 - x) \times 5 x$ ; dénominateur : $4 (x - 1) (x + 1)$ , nul pour $1$ et $- 1$ . Le numérateur s'annule pour $0$ et $6$ : $S = {0; 6}$ .

d) Numérateur : $(3 x - 4) (3 x + 4) - 2 (3 x - 4) = (3 x - 4) (3 x + 2)$ ; dénominateur nul pour $\frac{4}{3}$ . Il reste $S = {- \frac{2}{3}}$ .

e) Pour $x \neq = 0$ : $\frac{6 + x - 7}{2 x} = 0$ , soit $x - 1 = 0$ : $S = {1}$ .

d) $\frac{4}{3}$ annule aussi le numérateur, mais il est interdit.

Exercice 41 — Dans des problèmes

1.
Un carré a pour aire $30$ cm $^{2}$ . Donner la valeur exacte de son côté.
2.
Un disque a pour aire $49 π$ cm $^{2}$ . Quel est son rayon ?
3.
Le carré d'un nombre, augmenté de $7$ , vaut $43$ . Quel peut être ce nombre ?
4.
Pour quelle valeur de $x$ la fraction $\frac{x - 6}{x + 2}$ est-elle nulle ? Peut-elle valoir $1$ ?

Corrigé

1) $c^{2} = 30$ et $c > 0$ : $c = 30 cm$ .

2) $π r^{2} = 49 π$ , soit $r^{2} = 49$ : $r = 7 cm$ .

3) $x^{2} + 7 = 43$ , soit $x^{2} = 36$ : $- 6$ ou $6$ .

4) Pour $x = 6$ ( $x \neq = - 2$ ). Valoir $1$ : $x - 6 = x + 2$ est impossible : $jamais$ .

XI Mise en équation

Exercice 42 — Quatre problèmes courts

Pour chacun : choisir l'inconnue, écrire l'équation, la résoudre et conclure.

1.
Zoé ajoute $9$ à son âge et multiplie le résultat par $3$ : elle trouve $75$ . Quel âge a-t-elle ?
2.
« Choisissez un nombre, multipliez-le par $3$ , retranchez $4$ , puis multipliez le tout par $5$ . » Lina annonce $205$ . Quel nombre avait-elle choisi ?
3.
En ajoutant $15$ L dans une cuve remplie au quart, on la remplit aux deux tiers. Quelle est la contenance de la cuve ?
4.
Trouver deux entiers impairs consécutifs dont la somme vaut $152$ .

Corrigé

1) Soit $x$ l'âge de Zoé : $3 (x + 9) = 75$ donne $x + 9 = 25$ : Zoé a $16 ans$ .

2) Soit $x$ le nombre choisi : $5 (3 x - 4) = 205$ donne $3 x - 4 = 41$ : $x = 15$ .

3) Soit $x$ la contenance : $\frac{x}{4} + 15 = \frac{2 x}{3}$ ; ( $\times 12$ ) $3 x + 180 = 8 x$ : $36 L$ .

4) $n + (n + 2) = 152$ , $n = 75$ : $75$ et $77$ .

Exercice 43 — Entiers et âges

1.
On prend trois entiers consécutifs. Le premier, augmenté du triple du troisième, donne $98$ . Quels sont ces entiers ?
2.
Trois sœurs ont $30$ , $18$ et $4$ ans. Dans combien d'années l'âge de l'aînée sera-t-il égal à la somme des âges des deux autres ?

Corrigé

1) $n + 3 (n + 2) = 98$ donne $4 n + 6 = 98$ , puis $n = 23$ : $23$ , $24$ et $25$ .

2) Dans $x$ ans : $30 + x = (18 + x) + (4 + x)$ , soit $30 + x = 22 + 2 x$ : $8 ans$ .

Vérification : $38 = 26 + 12$ .

Exercice 44 — Stocks, jardin et concert

1.
Un magasin reçoit $95$ paires de chaussures : des bottes, des baskets et des sandales. Il y a trois fois plus de baskets que de bottes, et $5$ paires de sandales de plus que de bottes. Combien y a-t-il de paires de chaque sorte ?
2.
Le quart d'un jardin est un potager, le tiers une pelouse, et le reste, soit $75$ m $^{2}$ , un verger. Quelle est l'aire du jardin ?
3.
$800$ spectateurs assistent à un concert. Une place assise coûte $40$ €, une place debout $25$ €, et la recette est de $26000$ €. Combien de places assises ont été vendues ?

Corrigé

1) Soit $b$ le nombre de paires de bottes : $b + 3 b + (b + 5) = 95$ donne $5 b = 90$ , puis $b = 18$ : $18$ bottes, $54$ baskets, $23$ sandales.

2) Le verger représente $1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = \frac{5}{12}$ du jardin : $\frac{5}{12} x = 75$ , $x = 180 m^{2}$ .

3) $40 x + 25 (800 - x) = 26000$ donne $15 x = 6000$ : $400$ places assises.

XII Problèmes de géométrie

Exercice 45 — Exprimer des longueurs et des aires

1.
Exprimer $GO$ , puis $RS$ , en fonction de $x$ ( $[RT]$ est partagé en cinq parts égales).

1.
Exprimer l'aire de la partie colorée en fonction de $x$ (avec $0 < x < 6$ ). Que remarque-t-on ?

Corrigé

1) $GO = x + 7$ ; $RS = \frac{2 x}{5}$ (deux parts sur cinq).

2) Le grand rectangle moins le rectangle blanc : $6 (x + 6) - 6 x = 36$ . L'aire ne dépend pas de $x$ .

Exercice 46 — Un trapèze et un triangle

Les longueurs sont en cm, avec $x > 0$ .

1.
Exprimer l'aire de chaque figure en fonction de $x$ .
2.
Montrer que la somme de ces aires est l'aire d'un rectangle dont un côté mesure $3 x$ . Quel est l'autre côté ?

Corrigé

1) Trapèze : $\frac{( x + 3 x ) ( x + 3 )}{2} = 2 x^{2} + 6 x$ ; triangle : $\frac{( 6 + x ) \times 2 x}{2} = x^{2} + 6 x$ .

2) Somme : $3 x^{2} + 12 x = 3 x (x + 4)$ : l'autre côté mesure $x + 4$ .

Exercice 47 — Deux solides

Montrer que le pavé droit et le prisme droit ci-dessous ont le même volume, pour tout $x > 0$ .

Corrigé

Pavé : $(2 x + 6) \times 2 x \times x = 4 x^{3} + 12 x^{2}$ .

Prisme : aire de la base $\frac{2 x \times 4 x}{2} = 4 x^{2}$ , puis volume $4 x^{2} (x + 3) = 4 x^{3} + 12 x^{2}$ .

Les volumes sont $\overset{e}{ˊ} gaux$ pour tout $x > 0$ .

Exercice 48 — Une aire donnée

Les longueurs sont en cm et $A EF D$ est un rectangle. Calculer $x$ sachant que l'aire du rectangle $A BC D$ vaut $30$ cm $^{2}$ .

Corrigé

$4 (6 + x) = 30$ , $24 + 4 x = 30$ , $x = 1, 5 cm$ .

Exercice 49 — Un carré dans un carré

On entoure un carré de $3$ cm de côté par une bande de largeur $x$ cm : on obtient un autre carré. Calculer $x$ pour que :

1.
le périmètre du grand carré soit égal à $36$ cm ;
2.
l'aire du grand carré soit égale à $49$ cm $^{2}$ ;
3.
l'aire de la bande soit égale au triple de celle du petit carré.

Corrigé

Le grand carré a pour côté $3 + 2 x$ .

1) $4 (3 + 2 x) = 36$ : $x = 3$ .

2) $(3 + 2 x)^{2} = 49$ et $3 + 2 x > 0$ : $3 + 2 x = 7$ , $x = 2$ .

3) $(3 + 2 x)^{2} - 9 = 27$ , soit $(3 + 2 x)^{2} = 36$ : $3 + 2 x = 6$ , $x = 1, 5$ .

Exercice 50 — Un bassin dans une parcelle

Dans une parcelle carrée de côté $x$ (en m, avec $x > 2$ ), on creuse un bassin carré en laissant, sur deux côtés, une bordure de $2$ m (en gris).

1.
Parmi ces expressions, lesquelles donnent l'aire de la bordure ?

a) $(x + 2)^{2} - x^{2}$ b) $4 x$ c) $4 x - 4$ d) $x^{2} - (x - 2)^{2}$ e) $x (x - 2)$
2.
Pour quelle valeur de $x$ l'aire du bassin vaut-elle $36$ m $^{2}$ ?

Corrigé

1) $c)$ et $d)$ : la parcelle moins le bassin, $x^{2} - (x - 2)^{2} = 4 x - 4$ .

2) Le bassin a pour côté $x - 2$ : $(x - 2)^{2} = 36$ et $x - 2 > 0$ , donc $x - 2 = 6$ et $x = 8 m$ .

XIII Isoler une grandeur

Exercice 51 — Échauffement

Isoler $A$ dans chaque égalité :

A + 3 = B

5 - A = B

4 A = B

\frac{A}{3} = B

\frac{6}{A} = B

2 A + B = C

Corrigé

A = B - 3

A = 5 - B

A = \frac{B}{4}

A = 3 B

A = \frac{6}{B}

A = \frac{C - B}{2}

Exercice 52 — Formules de géométrie et de physique

1.
Volume d'un pavé $V = L ℓ h$ : isoler $ℓ$ .
2.
Aire d'un triangle $A = \frac{b \times h}{2}$ : isoler $h$ .
3.
Tension aux bornes d'une pile $U = E - r I$ : isoler $r$ .
4.
$L H - \frac{V}{d} = 0$ : isoler $d$ .
5.
Capital placé $C = C_{0} (1 + t)$ : isoler $C_{0}$ .
6.
Aire d'un disque $A = π r^{2}$ : isoler $r$ (avec $r > 0$ ).

Corrigé

ℓ = \frac{V}{L h}

h = \frac{2 A}{b}

r = \frac{E - U}{I}

d = \frac{V}{L H}

C_{0} = \frac{C}{1 + t}

r = \frac{A}{π}

3) $r I = E - U$ ; 4) $L H = \frac{V}{d}$ , puis produit en croix.

Exercice 53 — Plus difficile

Les grandeurs sont strictement positives.

1.
Formule des lentilles $\frac{1}{f} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ : exprimer $f$ en fonction de $a$ et $b$ . (Réduire d'abord le membre de droite au même dénominateur.)
2.
$F = 6, 67 \times 1 0^{- 11} \frac{m m ^{'}}{d ^{2}}$ : exprimer $d$ en fonction de $m$ , $m^{'}$ et $F$ .

Corrigé

1) $\frac{1}{f} = \frac{a + b}{ab}$ , donc $f = \frac{ab}{a + b}$ .

2) $d^{2} = \frac{6 , 67 \times 1 0 ^{- 11} m m ^{'}}{F}$ , donc $d = \frac{6 , 67 \times 1 0 ^{- 11} m m ^{'}}{F}$ .

Exercice 54 — Isoler, puis calculer

1.
On a $4 x + 2 y - 3 z = 10$ . Exprimer $y$ en fonction de $x$ et $z$ , puis calculer $y$ pour $x = 1$ et $z = 2$ .
2.
Un pavé droit a pour volume $72$ cm $^{3}$ , pour longueur $6$ cm et pour hauteur $3$ cm. Calculer sa largeur avec l'exercice .
3.
Un disque a une aire de $80$ cm $^{2}$ . Calculer son rayon, arrondi au millimètre.

Corrigé

1) $2 y = 10 - 4 x + 3 z$ , $y = \frac{10 - 4 x + 3 z}{2}$ ; pour $x = 1$ et $z = 2$ : $y = 6$ .

2) $ℓ = \frac{72}{6 \times 3} = 4 cm$ .

3) $r = \frac{80}{π} ≃ 5, 0 cm$ .

Vers le devoir commun

Les tâches du devoir commun, avec d'autres nombres. Sans calculatrice.

Exercice 55 — Maîtrise des calculs

1.
Développer et réduire :

$A (x) = 3 (2 x - 5) + (3 x + 4) (2 x - 1)$

$B (x) = (x + 2) (- 3 x + 4) - (5 - x)$
2.
Factoriser :

$C (x) = 8 x^{2} - 5 x$ $D (x) = 9 x^{2} + 30 x + 25$

$E (x) = (2 x - 5) - 3 (2 x - 5)^{2}$

$F (x) = (x + 2) (- 2 x + 3) - (x + 2)^{2}$

Corrigé

A (x)

= 6 x - 15 + 6 x^{2} + 5 x - 4

A (x)

= 6 x^{2} + 11 x - 19

B (x)

= - 3 x^{2} - 2 x + 8 - 5 + x

B (x)

= - 3 x^{2} - x + 3

C (x) = x (8 x - 5)

D (x) = (3 x + 5)^{2}

E (x)

= (2 x - 5) [1 - 3 (2 x - 5)]

E (x)

= (2 x - 5) (16 - 6 x)

F (x)

= (x + 2) [(- 2 x + 3) - (x + 2)]

F (x)

= (x + 2) (- 3 x + 1)

Exercice 56 — Une fonction, trois écritures

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = (x + 3)^{2} - 16$ .

1.
Développer $f (x)$ , puis factoriser $f (x)$ .
2.
Avec l'écriture la plus adaptée : calculer $f (0)$ et $f (\frac{1}{2})$ ; déterminer les antécédents de $0$ , de $- 7$ , puis de $- 16$ par $f$ .

Corrigé

1) $f (x) = x^{2} + 6 x + 9 - 16 = x^{2} + 6 x - 7$ ; $f (x) = [(x + 3) - 4] [(x + 3) + 4]$ , soit $(x - 1) (x + 7)$ .

2) $f (0) = - 7$ ; $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + 3 - 7 = - \frac{15}{4}$ .

Antécédents de $0$ : $(x - 1) (x + 7) = 0$ , $1$ et $- 7$ .

De $- 7$ : $x^{2} + 6 x = 0$ , soit $x (x + 6) = 0$ : $0$ et $- 6$ ; de $- 16$ : $(x + 3)^{2} = 0$ : $- 3$ .

Exercice 57 — Lire, puis démontrer

Soit $f$ la fonction définie sur $[- 2; 5]$ par

f (x) = (2 x - 3) (x + 1) - (x + 1)^{2} .

Sa courbe est tracée ci-contre.

1.
Par lecture graphique, conjecturer les solutions de $f (x) = 0$ , puis de $f (x) = - 4$ .
2.
Montrer que $f (x) = x^{2} - 3 x - 4$ , puis que $f (x) = (x + 1) (x - 4)$ .
3.
Avec la forme adaptée, calculer $f (2)$ , puis résoudre $f (x) = 0$ et $f (x) = - 4$ . Conclure sur les conjectures.

Corrigé

1) On lit $f (x) = 0$ pour $x = - 1$ et $x = 4$ ; $f (x) = - 4$ pour $x = 0$ et $x = 3$ .

f (x)

= 2 x^{2} - x - 3 - (x^{2} + 2 x + 1)

f (x)

= x^{2} - 3 x - 4

f (x)

= (x + 1) [(2 x - 3) - (x + 1)]

f (x)

= (x + 1) (x - 4)

3) $f (2) = 4 - 6 - 4 = - 6$ ; $f (x) = 0$ : $S = {- 1; 4}$ ; $f (x) = - 4$ : $x (x - 3) = 0$ , $S = {0; 3}$ . Les conjectures sont démontrées.

Exercice 58 — Équations

Résoudre dans $R$ :

\frac{2}{3} x - 3 = 5

\frac{7}{4} - \frac{x}{3} = 1

4 x + 3 = 1 - 3 (2 - x)

(3 x - 4)^{2} - (x + 6)^{2} = 0

e) $9 x^{2} - 12 x + 4 = 4 (x + 2)^{2}$ (reconnaître deux carrés)

Corrigé

\frac{2}{3} x = 8

S = {12}

S = {\frac{9}{4}}

c) $4 x + 3 = - 5 + 3 x$ : $S = {- 8}$

d) $(2 x - 10) (4 x + 2) = 0$ : $S = {- \frac{1}{2}; 5}$

e) $(3 x - 2)^{2} - [2 (x + 2)]^{2} = 0$ , soit $(x - 6) (5 x + 2) = 0$ : $S = {- \frac{2}{5}; 6}$

Exercice 59 — Points d'intersection de deux courbes

Pour chaque couple, calculer les coordonnées des points d'intersection de $C_{f}$ et $C_{g}$ (on résout $f (x) = g (x)$ ).

f (x) = x^{2} + 2 x - 3

g (x) = 2 x + 6

f (x) = 3 x^{2} - x + 1

g (x) = 5 x + 1

Corrigé

a) $x^{2} + 2 x - 3 = 2 x + 6$ donne $x^{2} - 9 = 0$ , soit $(x - 3) (x + 3) = 0$ . $g (3) = 12$ et $g (- 3) = 0$ : $(3; 12)$ et $(- 3; 0)$ .

b) $3 x^{2} - x + 1 = 5 x + 1$ donne $3 x^{2} - 6 x = 0$ , soit $3 x (x - 2) = 0$ . $g (0) = 1$ et $g (2) = 11$ : $(0; 1)$ et $(2; 11)$ .

Exercice 60 — Deux problèmes

1.
Quand on augmente de $3$ cm les côtés d'un carré, son aire augmente de $51$ cm $^{2}$ . Quelle est l'aire du carré de départ ?
2.
Dans le rectangle $A BC D$ , $A B = 6$ cm et $BC = 9$ cm ; $M$ est sur $[A B]$ et $A M = x$ . On construit le carré $A MNP$ et le rectangle $NQCR$ (méthode 16 du cours). Où placer $M$ pour qu'ils aient la même aire ?

Corrigé

1) $(x + 3)^{2} = x^{2} + 51$ donne $6 x + 9 = 51$ , puis $x = 7$ : l'aire de départ vaut $49 cm^{2}$ .

2) $0 < x ⩽ 6$ ; carré : $x^{2}$ ; rectangle : $(6 - x) (9 - x) = 54 - 15 x + x^{2}$ . $x^{2} = 54 - 15 x + x^{2}$ donne $x = 3, 6 cm$ , qui convient.

ExercicesChapitre 4 — Calcul littéral

I Réduire, substituer

Exercice 1 — Réduire une somme

Exercice 2 — Réduire un produit

Exercice 3 — Substituer

Exercice 4 — Égales ou non ?

II Développer

Exercice 5 — Distributivité simple

Exercice 6 — Avec des signes moins

Exercice 7 — Double distributivité

Exercice 8 — Une différence de produits

Exercice 9 — Crochets et trois facteurs

III Identités remarquables

Exercice 10 — Le carré d'une somme

Exercice 11 — Le carré d'une différence

Exercice 12 — Somme par différence

Exercice 13 — Choisir la bonne formule

IV Factoriser

Exercice 14 — Compléter les factorisations

Exercice 15 — Un nombre ou x en facteur

Exercice 16 — Une parenthèse en facteur

V Factoriser avec une identité remarquable

Exercice 17 — Différence de deux carrés

Exercice 18 — Carrés parfaits

Exercice 19 — Quelle méthode ?

VI Factorisations avancées

Exercice 20 — Identité remarquable sur des expressions

Exercice 21 — Le « 1 » caché et le carré

Exercice 22 — Faire apparaître le facteur commun

Exercice 23 — Choisir la méthode

VII Fractions rationnelles

Exercice 24 — Valeurs interdites

Exercice 25 — Premiers calculs

Exercice 26 — Une seule fraction

Exercice 27 — Démontrer une égalité

VIII Équations du premier degré

Exercice 28 — Les deux règles

Exercice 29 — Avec des parenthèses

Exercice 30 — Coefficients fractionnaires

Exercice 31 — Supprimer les fractions

Exercice 32 — Produit en croix, cas particuliers

Exercice 33 — L'inconnue au dénominateur

IX Équations produit

Exercice 34 — Produit nul

Exercice 35 — Factoriser d'abord

Exercice 36 — Différence de deux carrés nulle

Exercice 37 — Développer d'abord

Exercice 38 — Choisir la bonne écriture

X Équations x2=a et équations quotient

Exercice 39 — Équations x2=a

Exercice 40 — Équations quotient

Exercice 41 — Dans des problèmes

XI Mise en équation

Exercice 42 — Quatre problèmes courts

Exercice 43 — Entiers et âges

Exercice 44 — Stocks, jardin et concert

XII Problèmes de géométrie

Exercice 45 — Exprimer des longueurs et des aires

Exercice 46 — Un trapèze et un triangle

Exercice 47 — Deux solides

Exercice 48 — Une aire donnée

Exercice 49 — Un carré dans un carré

Exercice 50 — Un bassin dans une parcelle

XIII Isoler une grandeur

Exercice 51 — Échauffement

Exercice 52 — Formules de géométrie et de physique

Exercice 53 — Plus difficile

Exercice 54 — Isoler, puis calculer

Vers le devoir commun

Exercice 55 — Maîtrise des calculs

Exercice 56 — Une fonction, trois écritures

Exercice 57 — Lire, puis démontrer

Exercice 58 — Équations

Exercice 59 — Points d'intersection de deux courbes

Exercice 60 — Deux problèmes

Exercice 15 — Un nombre ou $x$ en facteur

X Équations $x^{2} = a$ et équations quotient

Exercice 39 — Équations $x^{2} = a$