ExercicesChapitre 2 — Fonctions

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Cours Exercices Corrigé des exercices Enseignants : chapitre complet

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Sommaire

I — Images et antécédents
II — Ensemble de définition
III — Comparaison de deux fonctions
IV — Sens de variation
V — Fonction carré
VI — Fonction cube
VII — Fonction inverse
VIII — Fonction racine carrée
IX — Fonction valeur absolue
X — Fonctions affines
XI — Prolongement : vers la dérivation

I Images et antécédents

Exercice 1 — Vocabulaire

1)
Écrire chaque phrase sous la forme d'une égalité.
1. a)
  L'image de $3$ par la fonction $f$ est $- 1$ .
2. b)
  Le nombre $- 2$ est un antécédent de $6$ par la fonction $g$ .
3. c)
  Le point $B (0; 5)$ est sur la courbe de la fonction $h$ .
4. d)
  Par la fonction $k$ , le nombre $4$ a pour image $9$ .
2)
On sait que $f (5) = - 7$ . Écrire trois phrases : la première avec le mot « image », la deuxième avec « antécédent », la troisième avec « courbe ».

Corrigé

1°)
a) $f (3) = - 1$ b) $g (- 2) = 6$ c) $h (0) = 5$ d) $k (4) = 9$
2°)
L'image de $5$ par $f$ est $- 7$ . Le nombre $5$ est un antécédent de $- 7$ par $f$ . Le point de coordonnées $(5; - 7)$ est sur la courbe de $f$ .

→ On dit « l'image » (il n'y en a qu'une) mais « un antécédent » (il peut y en avoir plusieurs).

Exercice 2 — Calculer des images

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = 2 x^{2} - 5 x$ .

1)
Calculer l'image par $f$ de $3$ ; de $- 2$ ; de $\frac{1}{2}$ ; de $- 1, 5$ ; de $3$ .
2)
Le nombre $- 1$ est-il un antécédent de $7$ ? Le nombre $2$ a-t-il pour image $2$ ?

Corrigé

Avec $f (x) = 2 x^{2} - 5 x$ :

1°)
$f (3) = 2 \times 9 - 15 = 3$ $f (- 2) = 2 \times 4 + 10 = 18$ $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} = - 2$
$f (- 1, 5) = 2 \times 2, 25 + 7, 5 = 12$ $f (3) = 2 \times 3 - 53 = 6 - 53$
2°)
$f (- 1) = 2 + 5 = 7$ : oui, $- 1$ est un antécédent de $7$ .
$f (2) = 8 - 10 = - 2$ : non, l'image de $2$ est $- 2$ .

→ $(- 2)^{2} = 4$ et $- 5 \times (- 2) = + 10$ : les parenthèses autour des nombres négatifs évitent les erreurs de signe.

Exercice 3 — Calculer des antécédents

Pour chaque fonction, déterminer les antécédents du nombre indiqué.

a)
$f (x) = x - 7$ ; antécédents de $2$ .
b)
$g (x) = x^{2}$ ; antécédents de $49$ .
c)
$h (x) = 5 x + 3$ ; antécédents de $0$ .
d)
$k (x) = (x - 1) (x + 4)$ ; antécédents de $0$ .
e)
$m (x) = x^{2} + 3$ ; antécédents de $2$ .

Corrigé

On résout à chaque fois l'équation « $f (x) =$ nombre ».

a)
$x - 7 = 2$ , donc $x = 9$ .
b)
$x^{2} = 49$ : deux antécédents, $- 7$ et $7$ .
c)
$5 x + 3 = 0$ , soit $5 x = - 3$ , donc $x = - \frac{3}{5}$ .
d)
$(x - 1) (x + 4) = 0$ : un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul, donc $x = 1$ ou $x = - 4$ .
e)
$x^{2} + 3 = 2$ , soit $x^{2} = - 1$ : un carré n'est jamais négatif, $2$ n'a aucun antécédent.

Exercice 4 — Lire des images et des antécédents

La courbe $C_{g}$ d'une fonction $g$ définie sur $[- 3; 5]$ est tracée ci-dessous.

1)
Lire les images de $- 2$ ; $0$ ; $3$ ; $5$ .
2)
Lire les antécédents de $1$ ; $- 1$ ; $- 2$ ; $5$ .
3)
Combien de solutions l'équation $g (x) = 0$ a-t-elle ?
4)
Compléter : $g (\dots) = 4$ .

Corrigé

1°)
$g (- 2) = 1$ ; $g (0) = - 2$ ; $g (3) = 2$ ; $g (5) = - 1$
2°)
Antécédents de $1$ : $- 2$ ; $2$ et $4$ . Antécédents de $- 1$ : $- 1$ ; $1$ et $5$ . Antécédent de $- 2$ : $0$ (un seul). Antécédents de $5$ : aucun, la courbe ne monte pas au-dessus de $4$ .
3°)
L'axe des abscisses coupe la courbe en trois points : trois solutions (une entre $- 2$ et $- 1$ , une entre $1$ et $2$ , une entre $4$ et $5$ ).
4°)
$g (- 3) = 4$ .

→ Une image se lit sur l'axe des ordonnées ; un antécédent sur l'axe des abscisses.

Exercice 5 — Points d'une courbe

Soit $h$ la fonction définie sur $R$ par $h (x) = x^{2} + 2 x - 8$ , de courbe $C_{h}$ .

1)
Les points $A (1; - 5)$ et $B (- 2; 0)$ sont-ils sur $C_{h}$ ?
2)
Calculer les coordonnées du point où $C_{h}$ coupe l'axe des ordonnées.
3)
Développer $(x - 2) (x + 4)$ , puis en déduire les points où $C_{h}$ coupe l'axe des abscisses.

Corrigé

Avec $h (x) = x^{2} + 2 x - 8$ :

1°)
$h (1) = 1 + 2 - 8 = - 5$ : c'est l'ordonnée de $A$ , donc $A$ est sur $C_{h}$ .
$h (- 2) = 4 - 4 - 8 = - 8$ , et non $0$ : $B$ n'est pas sur $C_{h}$ .
2°)
Sur l'axe des ordonnées, $x = 0$ : $h (0) = - 8$ , le point est $(0; - 8)$ .
3°)
$(x - 2) (x + 4)$
$= x^{2} + 4 x - 2 x - 8$
$(x - 2) (x + 4)$
$= x^{2} + 2 x - 8$

donc $h (x) = (x - 2) (x + 4)$ . Sur l'axe des abscisses, $h (x) = 0$ : $x = 2$ ou $x = - 4$ . Les points sont $(2; 0)$ et $(- 4; 0)$ .

→ « Le point est sur la courbe » se vérifie par un calcul : ses coordonnées vérifient $y = h (x)$ .

II Ensemble de définition

Exercice 6 — Un nombre sans image

Pour chaque fonction $f$ , $g$ , $h$ , l'un des nombres $- 2$ ; $0$ ; $5$ ; $10$ n'a pas d'image. Lequel ?

f (x) = \frac{3}{x}

g (x) = \frac{x + 3}{x - 5}

h (x) = x + 1

Corrigé

Pour $f$ , $0$ n'a pas d'image (division par $0$ ). Pour $g$ , $5$ n'a pas d'image ( $5 - 5 = 0$ ). Pour $h$ , $- 2$ n'a pas d'image ( $- 1$ n'existe pas).

Exercice 7 — Ensembles de définition

Déterminer l'ensemble de définition de chaque fonction.

f (x) = \frac{2}{x + 6}

g (x) = \frac{5}{4 x - 12}

h (x) = \frac{x}{x ^{2} + 5}

k (x) = \frac{1}{x ^{2} - 16}

m (x) = 12 - 3 x

p (x) = \frac{1}{x - 1}

Corrigé

Quotient : on retire les valeurs qui annulent le dénominateur. Racine carrée : le nombre sous la racine doit être positif ou nul.

a)
$x + 6 = 0$ pour $x = - 6$ : $f$ est définie sur $R ∖ {- 6}$ .
b)
$4 x - 12 = 0$ pour $x = 3$ : $g$ est définie sur $R ∖ {3}$ .
c)
$x^{2} + 5 ⩾ 5$ ne s'annule jamais : $h$ est définie sur $R$ .
d)
$x^{2} - 16 = 0$ pour $x^{2} = 16$ , soit $x = - 4$ ou $x = 4$ : $k$ est définie sur $R ∖ {- 4; 4}$ .
e)
$12 - 3 x$
$⩾ 0$
$- 3 x$
$⩾ - 12$
$x$
$⩽ 4$
on divise par $- 3 < 0$ : le sens change

$m$ est définie sur $] - \infty; 4]$ .
f)
Deux conditions : $x - 1 ⩾ 0$ pour la racine, et $x - 1 \neq = 0$ pour le dénominateur, soit $x \neq = 1$ . Il reste $x > 1$ : $p$ est définie sur $] 1; + \infty [$ .

→ En c), le numérateur peut s'annuler : seul le dénominateur compte.

Exercice 8 — Avec une valeur interdite

Soit $f$ la fonction définie par $f (x) = \frac{6}{x - 1}$ .

1)
Déterminer l'ensemble de définition de $f$ .
2)
Calculer $f (0)$ ; $f (4)$ ; $f (- 2)$ .
3)
Déterminer les antécédents de $3$ ; de $- 6$ ; de $0$ .

Corrigé

Avec $f (x) = \frac{6}{x - 1}$ :

1°)
$x - 1 = 0$ pour $x = 1$ : $f$ est définie sur $R ∖ {1}$ .
2°)
$f (0) = \frac{6}{- 1} = - 6$ $f (4) = \frac{6}{3} = 2$ $f (- 2) = \frac{6}{- 3} = - 2$
3°)
Pour $x \neq = 1$ :
- $\frac{6}{x - 1} = 3$ lorsque $x - 1 = 2$ , soit $x = 3$ ;
- $\frac{6}{x - 1} = - 6$ lorsque $x - 1 = - 1$ , soit $x = 0$ ;
- le numérateur vaut $6$ , jamais $0$ : $0$ n'a aucun antécédent.

→ Le 3) se contrôle avec le 2) : $f (0) = - 6$ .

Exercice 9 — Avec une racine carrée

Soit $g$ la fonction définie par $g (x) = 4 x + 8$ .

1)
Déterminer l'ensemble de définition de $g$ .
2)
Calculer, si possible, $g (2)$ ; $g (- 1)$ ; $g (- 3)$ .
3)
Déterminer les antécédents de $6$ ; de $0$ ; de $- 1$ .

Corrigé

Avec $g (x) = 4 x + 8$ :

1°)
$4 x + 8 ⩾ 0$ , soit $4 x ⩾ - 8$ , donc $x ⩾ - 2$ : $g$ est définie sur $[- 2; + \infty [$ .
2°)
$g (2) = 16 = 4$ $g (- 1) = 4 = 2$ $- 3 < - 2$ : $g (- 3) = - 4$ n'existe pas.
3°)
Pour $x ⩾ - 2$ :
- $4 x + 8 = 6$ lorsque $4 x + 8 = 36$ , soit $4 x = 28$ , donc $x = 7$ ;
- $4 x + 8 = 0$ lorsque $4 x + 8 = 0$ , donc $x = - 2$ ;
- une racine carrée est positive : $- 1$ n'a aucun antécédent.

III Comparaison de deux fonctions

Exercice 10 — Comparer sur un graphique

Les courbes de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $[- 3; 5]$ sont tracées ci-dessous.

Résoudre graphiquement :

a)
l'équation $f (x) = g (x)$ ;
b)
l'inéquation $f (x) > g (x)$ (réponse avec des intervalles) ;
c)
l'inéquation $g (x) ⩾ 2$ .

Corrigé

a)
Les courbes se coupent aux points d'abscisses $- 2$ ; $1$ et $4$ : $S = {- 2; 1; 4}$ .
b)
$C_{f}$ est strictement au-dessus de $C_{g}$ : $S = [- 3; - 2 [\cup] 1; 4 [$ .
c)
$g (x) = 2$ en $- 1$ (le maximum local de $g$ touche la droite $y = 2$ ) et en $4$ ; $C_{g}$ est au-dessus de cette droite après $4$ : $S = {- 1} \cup [4; 5]$ .

→ On répond par des abscisses, jamais par les ordonnées des points d'intersection. En c), le nombre isolé $- 1$ est souvent oublié.

Exercice 11 — Signe d'une différence

Pour chaque couple de fonctions définies sur $R$ , calculer $f (x) - g (x)$ , étudier son signe, puis en déduire la position relative de $C_{f}$ et $C_{g}$ .

a)
$f (x) = 3 x - 4$ et $g (x) = x + 2$
b)
$f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 2 x - 1$
c)
$f (x) = x^{2} - x$ et $g (x) = - x + 4$

Corrigé

a)
$f (x) - g (x)$
$= 3 x - 4 - (x + 2)$
$f (x) - g (x)$
$= 2 x - 6$

$2 x - 6 > 0$ pour $x > 3$ . $C_{f}$ est au-dessous de $C_{g}$ sur $] - \infty; 3 [$ , au-dessus sur $] 3; + \infty [$ ; les droites se coupent en $(3; 5)$ , car $g (3) = 5$ .
b)
$f (x) - g (x)$
$= x^{2} - (2 x - 1)$
$f (x) - g (x)$
$= x^{2} - 2 x + 1$
$f (x) - g (x)$
$= (x - 1)^{2}$

Un carré est positif : $C_{f}$ est au-dessus de $C_{g}$ sur $R$ , avec un seul point commun, $(1; 1)$ . La droite touche la parabole sans la traverser.
c)
$f (x) - g (x)$
$= x^{2} - x - (- x + 4)$
$f (x) - g (x)$
$= x^{2} - 4$
$f (x) - g (x)$
$= (x - 2) (x + 2)$

$x + 2 = 0$ pour $x = - 2$ , et $x - 2 = 0$ pour $x = 2$ (tableau ci-dessous).

$C_{f}$ est au-dessous de $C_{g}$ sur $] - 2; 2 [$ , au-dessus sur $] - \infty; - 2 [$ et sur $] 2; + \infty [$ ; points d'intersection $(- 2; 6)$ et $(2; 2)$ .

→ L'ordonnée d'un point d'intersection se calcule avec $f$ ou avec $g$ : on doit trouver le même nombre, ce qui contrôle le calcul.

Exercice 12 — Une parabole et une droite

Soient $f$ et $g$ définies sur $R$ par $f (x) = x^{2} - 2 x - 2$ et $g (x) = x + 2$ .

1)
Dresser un tableau de valeurs de $f$ et de $g$ pour $x$ entier de $- 2$ à $5$ , puis tracer $C_{f}$ et $C_{g}$ dans un même repère.
2)
Résoudre graphiquement $f (x) = g (x)$ , puis $f (x) ⩽ g (x)$ .
3)
Démontrer que $f (x) - g (x) = (x + 1) (x - 4)$ .
4)
Dresser le tableau de signes de $f (x) - g (x)$ .
5)
En déduire la position relative de $C_{f}$ et $C_{g}$ ; comparer avec le 2).

Corrigé

1°)
$x$ $- 2$ $- 1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$
$f (x)$ $6$ $1$ $- 2$ $- 3$ $- 2$ $1$ $6$ $13$
$g (x)$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$

$C_{f}$ est une parabole, $C_{g}$ une droite (figure ci-contre). Les courbes se coupent en $(- 1; 1)$ et $(4; 6)$ : $S = {- 1; 4}$ .
$C_{f}$ est sur ou sous $C_{g}$ entre ces points : $S = [- 1; 4]$ (en rouge sur l'axe).
2°)
$f (x) - g (x)$
$= x^{2} - 2 x - 2 - (x + 2)$
$f (x) - g (x)$
$= x^{2} - 3 x - 4$
$(x + 1) (x - 4)$
$= x^{2} - 4 x + x - 4$
$(x + 1) (x - 4)$
$= x^{2} - 3 x - 4$

Les deux expressions sont égales : $f (x) - g (x) = (x + 1) (x - 4)$ .
3°)
$x + 1 = 0$ pour $x = - 1$ et $x - 4 = 0$ pour $x = 4$ :
4°)
$C_{f}$ est au-dessus de $C_{g}$ sur $] - \infty; - 1 [$ et sur $] 4; + \infty [$ , au-dessous sur $] - 1; 4 [$ ; elles se coupent en $(- 1; 1)$ et $(4; 6)$ . Le calcul démontre ce que la figure du 2) laissait voir.

Exercice 13 — Une fonction quotient

Soit $f$ la fonction définie par $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ .

1)
Déterminer l'ensemble de définition $D$ de $f$ .
2)
Calculer $f (0)$ ; $f (4)$ ; $f (2)$ .
3)
Les nombres $1$ ; $0$ ; $2$ ont-ils des antécédents ? Si oui, lesquels ?
4)
Justifier que, pour tout $x$ de $D$ , $f (x) = 2 + \frac{7}{x - 3}$ .
5)
En déduire la position de $C_{f}$ par rapport à la droite d'équation $y = 2$ .
6)
Calculer $f (x)$ pour $x = - 4$ ; $- 1$ ; $5$ ; $10$ (au centième près), puis tracer $C_{f}$ et la droite d'équation $y = 2$ .

Corrigé

Avec $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ :

1°)
$x - 3 = 0$ pour $x = 3$ : $D = R ∖ {3}$ .
2°)
$f (0) = \frac{1}{- 3} = - \frac{1}{3}$ $f (4) = \frac{9}{1} = 9$ $f (2) = \frac{5}{- 1} = - 5$
3°)
Pour $x \neq = 3$ :
- $f (x) = 1$ lorsque $2 x + 1 = x - 3$ , soit $x = - 4$ ;
- $f (x) = 0$ lorsque $2 x + 1 = 0$ , soit $x = - \frac{1}{2}$ ;
- $f (x) = 2$ lorsque $2 x + 1 = 2 (x - 3)$ , soit $2 x + 1 = 2 x - 6$ , ou $1 = - 6$ : c'est impossible, $2$ n'a aucun antécédent.
4°)
On réduit au même dénominateur :

$2 + \frac{7}{x - 3}$
$= \frac{2 ( x - 3 ) + 7}{x - 3}$
$2 + \frac{7}{x - 3}$
$= \frac{2 x + 1}{x - 3}$

c'est bien $f (x)$ .
5°)
$f (x) - 2 = \frac{7}{x - 3}$ a le signe de $x - 3$ :
- pour $x > 3$ , $f (x) - 2 > 0$ : $C_{f}$ est au-dessus de la droite $y = 2$ ;
- pour $x < 3$ , $f (x) - 2 < 0$ : $C_{f}$ est au-dessous.
La courbe ne coupe jamais la droite : on retrouve le 3).
6°)
$f (- 4) = 1$ ; $f (- 1) = 0, 25$ ; $f (5) = 5, 5$ ; $f (10) = 3$ .
Avec le 2) : $f (0) ≃ - 0, 33$ ; $f (2) = - 5$ ; $f (4) = 9$ .
La courbe a deux branches, de part et d'autre de la droite verticale $x = 3$ ; elles s'approchent de la droite $y = 2$ , la gauche par-dessous, la droite par-dessus.

IV Sens de variation

Exercice 14 — Lecture graphique complète

La courbe $C_{f}$ d'une fonction $f$ définie sur $[- 4; 6]$ est tracée ci-dessous, avec la droite $(D)$ d'équation $y = - x + 1$ .

1)
Lire les antécédents de $0$ ; $1$ ; $- 2$ ; $4$ .
2)
Donner le maximum et le minimum de $f$ sur $[- 4; 6]$ , et en quelles valeurs ils sont atteints.
3)
Dresser le tableau de variations de $f$ .
4)
Résoudre graphiquement $f (x) ⩾ 0$ , puis $f (x) < 1$ .
5)
Compléter : si $- 2 ⩽ x ⩽ 2$ , alors $\dots ⩽ f (x) ⩽ \dots$ ; si $2 ⩽ x ⩽ 5$ , alors $\dots ⩽ f (x) ⩽ \dots$
6)
Résoudre graphiquement $f (x) = - x + 1$ , puis $f (x) ⩽ - x + 1$ .

Corrigé

1°)
Antécédents de $0$ : $- 4$ ; $0$ et $4$ . Antécédents de $1$ : $- 3$ ; $- 1$ et $5$ . Antécédents de $- 2$ : $1$ et $3$ . Antécédents de $4$ : aucun, car le maximum de $f$ vaut $3$ .
2°)
Le maximum est $3$ , atteint en $6$ ; le minimum est $- 3$ , atteint en $2$ .
3°)
$f$ est croissante sur $[- 4; - 2]$ , décroissante sur $[- 2; 2]$ , croissante sur $[2; 6]$ .
4°)
$f (x) ⩾ 0$ : $C_{f}$ est sur ou au-dessus de l'axe des abscisses, $S = [- 4; 0] \cup [4; 6]$ .
$f (x) < 1$ : $C_{f}$ est strictement sous la droite $y = 1$ , $S = [- 4; - 3 [\cup] - 1; 5 [$ .
5°)
Si $- 2 ⩽ x ⩽ 2$ , alors $- 3$ $⩽ f (x) ⩽$ $2$ ; si $2 ⩽ x ⩽ 5$ , alors $- 3$ $⩽ f (x) ⩽$ $1$ .
6°)
$C_{f}$ et $(D)$ se coupent en un seul point, $(3; - 2)$ : $S = {3}$ .
$C_{f}$ est sur ou sous $(D)$ avant ce point : $S = [- 4; 3]$ .

→ En 5), on lit le tableau de variations : sur $[- 2; 2]$ , $f$ descend de $2$ à $- 3$ ; sur $[2; 5]$ , elle monte de $- 3$ à $f (5) = 1$ .

Exercice 15 — Du tableau de variations à la courbe

Voici le tableau de variations d'une fonction $g$ .

1)
Quel est l'ensemble de définition de $g$ ?
2)
Décrire les variations de $g$ par des phrases.
3)
Donner le maximum et le minimum de $g$ , et où ils sont atteints.
4)
Tracer une courbe qui peut représenter $g$ .

Corrigé

1°)
$[- 3; 4]$ : c'est la première ligne du tableau.
2°)
$g$ est croissante sur $[- 3; 0]$ (de $- 1$ à $3$ ), décroissante sur $[0; 2]$ (de $3$ à $- 2$ ), puis croissante sur $[2; 4]$ (de $- 2$ à $1$ ).
3°)
Le maximum est $3$ , atteint en $0$ ; le minimum est $- 2$ , atteint en $2$ .
4°)
Une courbe possible ci-contre : elle passe par $(- 3; - 1)$ , $(0; 3)$ , $(2; - 2)$ et $(4; 1)$ , et respecte les variations.

→ Un tableau de variations ne donne que l'allure de la courbe : il y a une infinité de courbes possibles.

Exercice 16 — Le bénéfice d'un atelier

Un atelier assemble et vend des trottinettes électriques. Pour $x$ dizaines de trottinettes vendues dans la semaine, avec $x \in [1; 11]$ , le bénéfice, en centaines d'euros, est $B (x) = - x^{2} + 12 x - 20$ .

1)
Calculer $B (x)$ pour $x$ entier de $1$ à $11$ .
2)
Tracer la courbe de $B$ (en abscisses $1$ cm pour une dizaine, en ordonnées $1$ cm pour $200$ €).
3)
Dresser le tableau de variations de $B$ .
4)
Quel est le bénéfice maximal ? Pour combien de trottinettes ?
5)
Pour quelles ventes l'atelier ne perd-il pas d'argent ( $B (x) ⩾ 0$ ) ?

Corrigé

Avec $B (x) = - x^{2} + 12 x - 20$ :

1°)
$x$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$ $11$
$B (x)$ $- 9$ $0$ $7$ $12$ $15$ $16$ $15$ $12$ $7$ $0$ $- 9$
2°)
La courbe est une parabole « tournée vers le bas », symétrique par rapport à la droite $x = 6$ (repère à unités différentes : grandeurs différentes sur les deux axes). $B$ est croissante sur $[1; 6]$ , décroissante sur $[6; 11]$ .
4°)
Le bénéfice maximal est $16$ centaines d'euros, soit $1600$ €, pour $x = 6$ , c'est-à-dire $60$ trottinettes.
5°)
$B (x) ⩾ 0$ pour $x \in [2; 10]$ (en rouge sur l'axe) : l'atelier ne perd pas d'argent lorsqu'il vend entre $20$ et $100$ trottinettes.

→ Attention aux unités : $x$ est en dizaines de trottinettes, $B$ en centaines d'euros.

Exercice 17 — Sens de variation par le calcul

Dans tout l'exercice, $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a < b$ .

1)
Soit $f (x) = 4 x - 7$ sur $R$ . Calculer et factoriser $f (a) - f (b)$ , en déduire son signe, puis le sens de variation de $f$ .
2)
Même travail avec $g (x) = - 3 x + 2$ .
3)
Que peut-on conclure pour une fonction affine $x \mapsto m x + p$ , selon le signe de $m$ ?
4)
Soit $u (x) = x^{2} + 4 x$ sur $[0; + \infty [$ . Démontrer que $u (a) - u (b) = (a - b) (a + b + 4)$ , puis conclure.
5)
Soit $v (x) = 1 - \frac{1}{x}$ sur $] 0; + \infty [$ . Démontrer que $v (a) - v (b) = \frac{a - b}{ab}$ , puis conclure.

Corrigé

Dans tout l'exercice, $a < b$ , donc $a - b < 0$ .

1°)
$f (a) - f (b)$
$= (4 a - 7) - (4 b - 7)$
$f (a) - f (b)$
$= 4 a - 4 b$
$f (a) - f (b)$
$= 4 (a - b)$

$4 > 0$ et $a - b < 0$ : $f (a) - f (b) < 0$ , donc $f (a) < f (b)$ . $f$ est strictement croissante sur $R$ .
2°)
$g (a) - g (b)$
$= (- 3 a + 2) - (- 3 b + 2)$
$g (a) - g (b)$
$= - 3 a + 3 b$
$g (a) - g (b)$
$= - 3 (a - b)$

$- 3 < 0$ et $a - b < 0$ : $g (a) - g (b) > 0$ , donc $g (a) > g (b)$ . $g$ est strictement décroissante sur $R$ .
3°)
De même, $(ma + p) - (mb + p) = m (a - b)$ , de signe contraire à celui de $m$ : croissante si $m > 0$ , décroissante si $m < 0$ , constante si $m = 0$ .
4°)
$u (a) - u (b)$
$= a^{2} + 4 a - b^{2} - 4 b$
$u (a) - u (b)$
$= (a^{2} - b^{2}) + 4 (a - b)$
$u (a) - u (b)$
$= (a - b) (a + b) + 4 (a - b)$
$u (a) - u (b)$
$= (a - b) (a + b + 4)$
facteur commun $a - b$

Sur $[0; + \infty [$ , $a + b + 4 > 0$ et $a - b < 0$ : $u (a) - u (b) < 0$ , donc $u (a) < u (b)$ . $u$ est croissante sur $[0; + \infty [$ .
5°)
$v (a) - v (b)$
$= (1 - \frac{1}{a}) - (1 - \frac{1}{b})$
$v (a) - v (b)$
$= - \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$
$v (a) - v (b)$
$= \frac{- b + a}{ab}$
même dénominateur $ab$
$v (a) - v (b)$
$= \frac{a - b}{ab}$

$a - b < 0$ et $ab > 0$ (deux nombres positifs) : $v (a) - v (b) < 0$ , donc $v (a) < v (b)$ . $v$ est croissante sur $] 0; + \infty [$ .

→ Toujours la même démarche : calculer $f (a) - f (b)$ , factoriser pour faire apparaître $a - b$ , puis conclure sur le signe.

V Fonction carré

Exercice 18 — Équations avec des carrés

Résoudre dans $R$ :

x^{2} = 36

x^{2} = 11

2 x^{2} - 5 = x^{2} + 4

(3 x + 1)^{2} = 16

x^{2} + 9 = 0

Corrigé

On se ramène à $x^{2} = k$ (ou $A^{2} = k$ ) : deux solutions si $k > 0$ , aucune si $k < 0$ .

a)
$x^{2} = 36$ : $S = {- 6; 6}$ .
b)
$x^{2} = 11$ : $S = {- 11; 11}$ .
c)
$2 x^{2} - 5 = x^{2} + 4$ équivaut à $x^{2} = 9$ : $S = {- 3; 3}$ .
d)
$(3 x + 1)^{2} = 16$ équivaut à $3 x + 1 = 4$ ou $3 x + 1 = - 4$ , soit $x = 1$ ou $x = - \frac{5}{3}$ : $S = {- \frac{5}{3}; 1}$ .
e)
$x^{2} + 9 = 0$ équivaut à $x^{2} = - 9$ : un carré n'est jamais négatif, $S = \emptyset$ .

Exercice 19 — Comparer et encadrer des carrés

1)
Comparer sans calculatrice, en citant le sens de variation utilisé : $(- 4, 2)^{2}$ et $(- 3, 9)^{2}$ ; puis $1, 0 5^{2}$ et $1, 5^{2}$ .
2)
Encadrer $x^{2}$ sachant que $3 ⩽ x ⩽ 6$ ; puis $- 5 ⩽ x ⩽ - 2$ ; puis $- 3 ⩽ x ⩽ 1$ .

Corrigé

1°)
$- 4, 2 < - 3, 9 ⩽ 0$ et la fonction carré est décroissante sur $] - \infty; 0]$ : elle inverse l'ordre, $(- 4, 2)^{2} > (- 3, 9)^{2}$ .
$0 ⩽ 1, 05 < 1, 5$ et elle est croissante sur $[0; + \infty [$ : elle conserve l'ordre, $1, 0 5^{2} < 1, 5^{2}$ .
2°)
Sur $[3; 6]$ (positifs, ordre conservé) : $9 ⩽ x^{2} ⩽ 36$ .
Sur $[- 5; - 2]$ (négatifs, ordre inversé) : $4 ⩽ x^{2} ⩽ 25$ .
Sur $[- 3; 1]$ , qui contient $0$ : $x^{2}$ descend de $9$ à $0$ , puis monte jusqu'à $1$ , donc $0 ⩽ x^{2} ⩽ 9$ .

→ Piège du dernier cas : écrire $1 ⩽ x^{2} ⩽ 9$ . Dès que l'intervalle contient $0$ , la plus petite valeur de $x^{2}$ est $0$ .

Exercice 20 — Deux paraboles

Soient $f$ et $g$ définies sur $R$ par $f (x) = 2 x^{2} + x + 7$ et $g (x) = x^{2} - 3 x + 3$ .

1)
Calculer $f (x) - g (x)$ , puis vérifier que $f (x) - g (x) = (x + 2)^{2}$ .
2)
En déduire la position relative de $C_{f}$ et $C_{g}$ , et leur point commun.

Corrigé

1°)
$f (x) - g (x)$
$= 2 x^{2} + x + 7 - (x^{2} - 3 x + 3)$
$f (x) - g (x)$
$= x^{2} + 4 x + 4$
$f (x) - g (x)$
$= (x + 2)^{2}$
identité remarquable
2°)
Un carré est positif : $f (x) - g (x) ⩾ 0$ pour tout $x$ , $C_{f}$ est au-dessus de $C_{g}$ sur $R$ . L'égalité n'a lieu que pour $x = - 2$ : $f (- 2) = 8 - 2 + 7 = 13$ , le point commun est $(- 2; 13)$ .

VI Fonction cube

Exercice 21 — Variations de la fonction cube

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ .

1)
Développer $(a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ et vérifier que l'on obtient $a^{3} - b^{3}$ .
2)
On suppose $a < b ⩽ 0$ . Justifier que $a^{2} + ab + b^{2} > 0$ , puis en déduire le signe de $a^{3} - b^{3}$ et le sens de variation de la fonction cube sur $] - \infty; 0]$ .
3)
Même travail pour $0 ⩽ a < b$ . Conclure sur $R$ .

Corrigé

1°)
$(a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$
$= a^{3} + a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b - a b^{2} - b^{3}$
$(a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$
$= a^{3} - b^{3}$
les termes $a^{2} b$ et $a b^{2}$ s'annulent
2°)
Si $a < b ⩽ 0$ : $a^{2} > 0$ (car $a < 0$ ), $b^{2} ⩾ 0$ , et $ab ⩾ 0$ (produit de deux nombres négatifs). Donc $a^{2} + ab + b^{2} > 0$ .
Comme $a - b < 0$ , le produit $a^{3} - b^{3}$ est négatif : $a^{3} < b^{3}$ . La fonction cube est croissante sur $] - \infty; 0]$ .
3°)
Si $0 ⩽ a < b$ : $a^{2} ⩾ 0$ , $b^{2} > 0$ et $ab ⩾ 0$ , donc $a^{2} + ab + b^{2} > 0$ , et de nouveau $a^{3} < b^{3}$ : elle est croissante sur $[0; + \infty [$ .
Enfin, si $a < 0 < b$ , alors $a^{3} < 0 < b^{3}$ . La fonction cube est croissante sur $R$ .

→ C'est la différence avec la fonction carré, qui change de sens en $0$ .

Exercice 22 — Calculs et équations

1)
Calculer le cube de $3$ ; de $- 2$ ; de $\frac{1}{3}$ ; de $- 0, 2$ .
2)
Résoudre dans $R$ :

a) $x^{3} = - 125$ b) $x^{3} = 1$

c) $3 x^{3} + 24 = 0$ d) $x^{3} = 4 x$

Corrigé

1°)
$3^{3} = 27$ ; $(- 2)^{3} = - 8$ ; $(\frac{1}{3})^{3} = \frac{1}{27}$ ; $(- 0, 2)^{3} = - 0, 008$
2°)
L'équation $x^{3} = k$ a une seule solution, la racine cubique $3 k$ .
1. a)
  $x = 3 - 125$ , soit $x = - 5$ : $S = {- 5}$ .
2. b)
  $x = 31$ , soit $x = 1$ : $S = {1}$ .
3. c)
  $3 x^{3} = - 24$ , soit $x^{3} = - 8$ , donc $x = 3 - 8$ : $S = {- 2}$ .
4. d)
  $x^{3} - 4 x = 0$ , soit $x (x^{2} - 4) = 0$ , ou $x (x - 2) (x + 2) = 0$ : $S = {- 2; 0; 2}$ .

→ En d), « diviser par $x$ » ferait perdre la solution $0$ : on factorise et l'on utilise le produit nul.

Exercice 23 — Encadrer des cubes

1)
Encadrer $x^{3}$ sachant que $- 3 ⩽ x ⩽ 2$ .
2)
Comparer sans calculatrice $(- 2, 1)^{3}$ et $(- 1, 9)^{3}$ .
3)
Une boîte cubique a une arête de $x$ cm. Son arête est comprise entre $2$ et $3$ cm : encadrer son volume. Quelle arête donne un volume de $64$ cm $^{3}$ ?

Corrigé

1°)
La fonction cube conserve l'ordre : $(- 3)^{3} ⩽ x^{3} ⩽ 2^{3}$ , soit $- 27 ⩽ x^{3} ⩽ 8$ .
2°)
$- 2, 1 < - 1, 9$ et la fonction cube est croissante : $(- 2, 1)^{3} < (- 1, 9)^{3}$ .
3°)
Le volume est $V = x^{3}$ : $2 ⩽ x ⩽ 3$ donne $8 ⩽ V ⩽ 27$ (en cm $^{3}$ ). $x^{3} = 64$ pour $x = 364$ , soit $4$ : une arête de $4$ cm.

VII Fonction inverse

Exercice 24 — Variations de la fonction inverse

1)
Soient $0 < a < b$ . Justifier que $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab}$ , puis que ce nombre est positif. En déduire le sens de variation de la fonction inverse sur $] 0; + \infty [$ .
2)
Même travail pour $a < b < 0$ .
3)
Dresser le tableau de variations de la fonction inverse.
4)
Comparer $\frac{1}{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ . La fonction inverse est-elle décroissante sur $R^{*}$ ?

Corrigé

1°)
$\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$
$= \frac{b}{ab} - \frac{a}{ab}$
$\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$
$= \frac{b - a}{ab}$

$b - a > 0$ (car $a < b$ ) et $ab > 0$ (deux positifs) : $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} > 0$ , donc $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ . La fonction inverse est décroissante sur $] 0; + \infty [$ .
2°)
Si $a < b < 0$ : le calcul est le même, $b - a > 0$ , et $ab > 0$ comme produit de deux négatifs. Elle est décroissante sur $] - \infty; 0 [$ .
3°)
La double barre : $0$ n'a pas d'image.
4°)
$\frac{1}{- 2} = - \frac{1}{2}$ et $\frac{1}{2}$ : $- 2 < 2$ et $- \frac{1}{2} < \frac{1}{2}$ , l'ordre est conservé. La fonction inverse n'est pas décroissante sur $R^{*}$ : elle l'est sur chacun des deux intervalles, séparément.

Exercice 25 — Équations et encadrements

1)
Résoudre :

a) $\frac{1}{x} = 8$ b) $\frac{1}{x} = - \frac{2}{3}$

c) $\frac{4}{x} = 6$ d) $\frac{5}{x} = \frac{x}{5}$
2)
Encadrer $\frac{1}{x}$ sachant que $2 ⩽ x ⩽ 8$ ; puis $- 10 ⩽ x ⩽ - 5$ .
3)
Comparer sans calculatrice $\frac{1}{0 , 3}$ et $\frac{1}{0 , 4}$ .

Corrigé

1°)
Pour $x \neq = 0$ :
1. a)
  $x = \frac{1}{8}$ : $S = {\frac{1}{8}}$ .
2. b)
  $x = - \frac{3}{2}$ (l'inverse de $- \frac{2}{3}$ ) : $S = {- \frac{3}{2}}$ .
3. c)
  $4 = 6 x$ , soit $x = \frac{2}{3}$ : $S = {\frac{2}{3}}$ .
4. d)
  Produit en croix : $x^{2} = 25$ , soit $S = {- 5; 5}$ .
2°)
Sur $[2; 8]$ (positifs, ordre inversé) : $\frac{1}{8} ⩽ \frac{1}{x} ⩽ \frac{1}{2}$ .
Sur $[- 10; - 5]$ (négatifs, ordre inversé) : $- \frac{1}{5} ⩽ \frac{1}{x} ⩽ - \frac{1}{10}$ .
3°)
$0 < 0, 3 < 0, 4$ et la fonction inverse est décroissante sur $] 0; + \infty [$ : $\frac{1}{0 , 3} > \frac{1}{0 , 4}$ .

Exercice 26 — Équations et inéquations quotient

1)
Résoudre $\frac{x + 3}{x - 2} = \frac{3}{2}$ , après avoir donné la valeur interdite.
2)
Résoudre en se ramenant à un quotient comparé à $0$ , puis avec un tableau de signes :

a) $\frac{1}{x} - 3 ⩽ 0$ b) $\frac{4}{x - 1} ⩾ 2$

Corrigé

1°)
Valeur interdite : $2$ . Produit en croix, pour $x \neq = 2$ :

$2 (x + 3)$
$= 3 (x - 2)$
$2 x + 6$
$= 3 x - 6$
$x$
$= 12$

$12 \neq = 2$ : $S = {12}$ .
2°)
1. a)
  Valeur interdite : $0$ .
  
  $\frac{1}{x} - 3$
  $= \frac{1 - 3 x}{x}$
  
  On cherche où $\frac{1 - 3 x}{x} ⩽ 0$ :
  $S =] - \infty; 0 [\cup [\frac{1}{3}; + \infty [$ .
2. b)
  Valeur interdite : $1$ .
  
  $\frac{4}{x - 1} - 2$
  $= \frac{4 - 2 ( x - 1 )}{x - 1}$
  $\frac{4}{x - 1} - 2$
  $= \frac{6 - 2 x}{x - 1}$
  
  On cherche où $\frac{6 - 2 x}{x - 1} ⩾ 0$ : $S =] 1; 3]$ .

→ On ne multiplie jamais une inéquation par $x$ ou par $x - 1$ , dont le signe est inconnu : on se ramène à un quotient comparé à $0$ . La valeur interdite est toujours exclue.

VIII Fonction racine carrée

Exercice 27 — Se ramener au second degré

1)
Résoudre $x = x - 20$ ; on admet que $x^{2} - 41 x + 400 = (x - 16) (x - 25)$ .
2)
Résoudre $x = x - 30$ ; on admet que $x^{2} - 61 x + 900 = (x - 25) (x - 36)$ .
3)
On considère l'équation $(E)$ : $x + 3 = x + 1$ . À la calculatrice, conjecturer le nombre de solutions de $(E)$ et leur valeur.
4)
Démontrer que toute solution de $(E)$ vérifie $x + 1 ⩾ 0$ et $x^{2} + x - 2 = 0$ .
5)
Vérifier que $x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1)$ , puis résoudre $(E)$ .
6)
Même démarche pour $2 x = x - 3$ : se ramener à $x^{2} - 10 x + 9 = 0$ , puis vérifier que $x^{2} - 10 x + 9 = (x - 5)^{2} - 4^{2}$ pour factoriser.

Corrigé

1°)
Une solution vérifie $x - 20 ⩾ 0$ , soit $x ⩾ 20$ . On élève au carré :

$x$
$= (x - 20)^{2}$
$x$
$= x^{2} - 40 x + 400$
$0$
$= x^{2} - 41 x + 400$
$0$
$= (x - 16) (x - 25)$

$x = 16$ ou $x = 25$ ; $16 < 20$ ne convient pas ; contrôle pour $25$ : $25 = 5 = 25 - 20$ . $S = {25}$ .
2°)
Une solution vérifie $x ⩾ 30$ . On élève au carré :

$x$
$= (x - 30)^{2}$
$x$
$= x^{2} - 60 x + 900$
$0$
$= x^{2} - 61 x + 900$
$0$
$= (x - 25) (x - 36)$

$x = 25$ ou $x = 36$ ; $25 < 30$ ne convient pas ; contrôle pour $36$ : $36 = 6 = 36 - 30$ . $S = {36}$ .
3°)
La courbe de $x \mapsto x + 3$ et la droite $y = x + 1$ ont un seul point commun, d'abscisse environ $1$ .
4°)
Une racine carrée est positive : une solution vérifie $x + 1 ⩾ 0$ . On élève au carré :

$x + 3$
$= (x + 1)^{2}$
$x + 3$
$= x^{2} + 2 x + 1$
$0$
$= x^{2} + x - 2$
5°)
$(x + 2) (x - 1) = x^{2} - x + 2 x - 2$ , soit $x^{2} + x - 2$ . Une solution vérifie donc $(x + 2) (x - 1) = 0$ : $x = - 2$ ou $x = 1$ . Or $- 2 + 1 < 0$ : $- 2$ ne convient pas. Contrôle pour $1$ : $4 = 2 = 1 + 1$ . $S = {1}$ .
6°)
Il faut $x - 3 ⩾ 0$ , soit $x ⩾ 3$ . On élève au carré :

$4 x$
$= (x - 3)^{2}$
$4 x$
$= x^{2} - 6 x + 9$
$0$
$= x^{2} - 10 x + 9$
$(x - 5)^{2} - 4^{2}$
$= x^{2} - 10 x + 25 - 16$
$(x - 5)^{2} - 4^{2}$
$= x^{2} - 10 x + 9$

Avec $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ : $x^{2} - 10 x + 9 = (x - 9) (x - 1)$ , donc $x = 9$ ou $x = 1$ . Or $1 < 3$ ne convient pas ; contrôle pour $9$ : $29 = 6 = 9 - 3$ . $S = {9}$ .

→ Élever au carré fait apparaître une fausse solution : on revient toujours à la condition ( $x + 1 ⩾ 0$ , $x ⩾ 3$ ).

Exercice 28 — Équations avec des racines carrées

Résoudre, en précisant d'abord les valeurs de $x$ possibles :

x = 9

x = - 3

x - 4 = 5

3 2 x + 1 = 15

Corrigé

a)
Il faut $x ⩾ 0$ ; on élève au carré : $x = 81$ . $S = {81}$ .
b)
Une racine carrée est positive : $S = \emptyset$ .
c)
Il faut $x ⩾ 4$ ; $x - 4 = 25$ , donc $x = 29$ . $S = {29}$ .
d)
$2 x + 1 = 5$ ; il faut $x ⩾ - \frac{1}{2}$ ; $2 x + 1 = 25$ , donc $x = 12$ . $S = {12}$ .

Exercice 29 — Calculer avec des racines carrées

1)
Écrire plus simplement :

a) $18 - 2$ b) $(5 - 2) (5 + 2)$

c) $(3 + 6)^{2}$
2)
Soient $A = 3 - 10$ et $B = 19 - 610$ . Calculer $A^{2}$ et $B^{2}$ . A-t-on $A = B$ ?
3)
Justifier les égalités :

a) $\frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ b) $\frac{1}{7 - 2} = \frac{7 + 2}{3}$

c) $50 - 32 + 2 = 22$
4)
Calculer $(6 + 7) (6 - 7)$ ; en déduire, sans calculatrice, que $6 < 7$ .

Corrigé

1°)
a) $18 = 9 \times 2 = 32$ , donc $18 - 2 = 22$ .
b) $(5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 = 3$ ( $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ ).

c) $[t] (3 + 6)^{2} (3 + 6)^{2} (3 + 6)^{2} = 3 + 236 + 6 = 9 + 218 = 9 + 62$
2°)
$A^{2} = 9 - 610 + 10 = 19 - 610$ et $B^{2} = 19 - 610$ : $A^{2} = B^{2}$ .
Mais $A \neq = B$ : $10 > 3$ , donc $A < 0$ , alors que $B ⩾ 0$ (une racine carrée est positive). En fait, $B = - A = 10 - 3$ .
3°)
a) $\frac{1}{3} = \frac{3}{3 \times 3}$ , soit $\frac{3}{3}$ .
b) $[t] \frac{1}{7 - 2} \frac{1}{7 - 2} \frac{1}{7 - 2} = \frac{7 + 2}{( 7 - 2 ) ( 7 + 2 )} = \frac{7 + 2}{7 - 4} = \frac{7 + 2}{3} quantit \overset{e}{ˊ} conjugu \overset{e}{ˊ} e$

c) $50 = 52$ et $32 = 42$ , donc $50 - 32 + 2 = (5 - 4 + 1) 2$ , soit $22$ .
4°)
$(6 + 7) (6 - 7) = 6 - 7 = - 1$ . Ce produit est négatif et $6 + 7 > 0$ : donc $6 - 7 < 0$ , c'est-à-dire $6 < 7$ .

→ En 2), $A^{2} = B^{2}$ donne seulement $∣ A ∣ = ∣ B ∣$ : on ne peut pas conclure $A = B$ .

IX Fonction valeur absolue

Exercice 30 — Étude de $x \mapsto ∣ x + 3∣$

Soit $f$ la fonction définie sur $R$ par $f (x) = ∣ x + 3∣$ .

1)
Dresser un tableau de valeurs de $f$ pour $x$ entier de $- 6$ à $0$ .
2)
Tracer la courbe $C_{f}$ de $f$ .
3)
Dresser le tableau de variations de $f$ ; donner son minimum.
4)
Comment $C_{f}$ se déduit-elle de la courbe de la fonction valeur absolue ?
5)
Résoudre $f (x) = 2$ , puis $f (x) = - 5$ .
6)
Vérifier graphiquement.

Corrigé

1°)
$x$ $- 6$ $- 5$ $- 4$ $- 3$ $- 2$ $- 1$ $0$
$f (x)$ $3$ $2$ $1$ $0$ $1$ $2$ $3$
2°)
On place les points du tableau et on les relie : deux demi-droites en « V » (figure ci-contre).
3°)

Le minimum de $f$ est $0$ , atteint en $- 3$ .
4°)
C'est le « V » de la valeur absolue, décalé de $3$ unités vers la gauche, de sommet $(- 3; 0)$ .
5°)
$x + 3 = 2$ ou $x + 3 = - 2$ , soit $x = - 1$ ou $x = - 5$ : $S = {- 5; - 1}$ .
Une valeur absolue est positive : $f (x) = - 5$ n'a pas de solution, $S = \emptyset$ .
6°)
La droite d'équation $y = 2$ coupe $C_{f}$ en deux points, d'abscisses $- 5$ et $- 1$ ; $C_{f}$ n'a aucun point sous l'axe des abscisses, donc aucun d'ordonnée $- 5$ .

Exercice 31 — Calculs et distances

1)
Calculer :

a) $∣ - 12∣$ b) $∣3 - 10∣$ c) $∣ - 4∣ \times ∣ - 5∣$

d) $∣ 2 - 2∣$ e) $∣ - 6∣ - ∣2∣$
2)
Calculer $(- 8)^{2}$ et $(- 0, 5)^{2}$ . Que vaut $a^{2}$ pour un réel $a$ quelconque ?
3)
Calculer la distance entre $- 6$ et $3$ ; entre $7$ et $- 1$ .

Corrigé

1°)
a) $12$ b) $∣ - 7∣ = 7$ c) $4 \times 5 = 20$ d) $2 ≃ 1, 41 < 2$ , donc $∣ 2 - 2∣ = 2 - 2$ e) $6 - 2 = 4$
2°)
$(- 8)^{2} = 64 = 8$ ; $(- 0, 5)^{2} = 0, 25 = 0, 5$ . En général, $a^{2} = ∣ a ∣$ , et non $a$ , qui est faux pour $a < 0$ .
3°)
Distance entre $- 6$ et $3$ : $∣3 - (- 6) ∣ = 9$ . Entre $7$ et $- 1$ : $∣ - 1 - 7∣ = 8$ .

→ En d), on cherche d'abord le signe de $2 - 2$ : $∣ A ∣ = - A$ lorsque $A < 0$ .

Exercice 32 — Équations avec des valeurs absolues

Résoudre dans $R$ :

∣ x ∣ = 9

∣ x ∣ = - 3

∣ x + 2∣ = 6

∣3 x - 1∣ = 8

Corrigé

a)
$x = 9$ ou $x = - 9$ : $S = {- 9; 9}$ .
b)
Une valeur absolue est positive : $S = \emptyset$ .
c)
$x + 2 = 6$ ou $x + 2 = - 6$ , soit $x = 4$ ou $x = - 8$ : $S = {- 8; 4}$ .
d)
$3 x - 1 = 8$ ou $3 x - 1 = - 8$ , soit $x = 3$ ou $x = - \frac{7}{3}$ : $S = {- \frac{7}{3}; 3}$ .

X Fonctions affines

Exercice 33 — Lire l'expression d'une fonction affine

Donner l'expression de la fonction affine représentée par chaque droite $(d_{1})$ , $(d_{2})$ , $(d_{3})$ .

Corrigé

On lit l'ordonnée à l'origine $b$ (où la droite coupe l'axe des ordonnées), puis le coefficient directeur $a$ avec deux points à coordonnées entières.

$(d_{1})$ passe par $(0; 1)$ et descend de $2$ quand $x$ augmente de $1$ : $y = - 2 x + 1$ .
$(d_{2})$ est horizontale, à la hauteur $3$ : $y = 3$ (fonction constante).
$(d_{3})$ passe par $(0; - 2)$ et $(3; 0)$ : $a = \frac{0 - ( - 2 )}{3 - 0} = \frac{2}{3}$ , donc $y = \frac{2}{3} x - 2$ .

→ Pour $(d_{3})$ , la variation « quand $x$ augmente de $1$ » ne tombe pas sur le quadrillage : on prend deux points à coordonnées entières.

Exercice 34 — Équation réduite et alignement

On donne les points $A (- 1; 4)$ et $B (2; - 2)$ .

1)
Calculer le coefficient directeur de la droite $(A B)$ .
2)
En déduire l'équation réduite de $(A B)$ .
3)
Les points $C (5; - 8)$ et $D (- 3; 9)$ sont-ils alignés avec $A$ et $B$ ?

Corrigé

1°)
$a$
$= \frac{- 2 - 4}{2 - ( - 1 )}$
$a$
$= - 2$
2°)
L'équation est $y = - 2 x + b$ , et $A$ est sur la droite : $4 = - 2 \times (- 1) + b$ , soit $4 = 2 + b$ , donc $b = 2$ . $(A B) : y = - 2 x + 2$ . Contrôle avec $B$ : $- 4 + 2 = - 2$ .
3°)
$C$ : $- 2 \times 5 + 2 = - 8$ , c'est $y_{C}$ : $C$ est aligné avec $A$ et $B$ .
$D$ : $- 2 \times (- 3) + 2 = 8 \neq = 9$ : $D$ n'est pas aligné avec $A$ et $B$ .

Exercice 35 — Intersection de deux droites

Calculer les coordonnées du point d'intersection des droites $(d)$ et $(d^{'})$ .

1)
$(d) : y = 3 x - 5$ et $(d^{'}) : y = - 2 x + 5$ .
2)
$(d)$ passe par $A (0; - 1)$ et $B (3; 5)$ ; $(d^{'}) : y = - x + 5$ .

Corrigé

Un point commun a la même ordonnée sur les deux droites : on résout « $y$ de $(d)$ $=$ $y$ de $(d^{'})$ ».

1°)
$3 x - 5$
$= - 2 x + 5$
$5 x$
$= 10$
$x$
$= 2$

puis $y = 3 \times 2 - 5 = 1$ (contrôle : $- 4 + 5 = 1$ ). Le point est $(2; 1)$ .
2°)
$(d)$ : $a = \frac{5 - ( - 1 )}{3 - 0} = 2$ et $b = - 1$ (ordonnée de $A$ , d'abscisse $0$ ), donc $(d) : y = 2 x - 1$ . Puis $2 x - 1 = - x + 5$ , soit $3 x = 6$ , donc $x = 2$ et $y = 3$ (contrôle : $- 2 + 5 = 3$ ). Le point est $(2; 3)$ .

XI Prolongement : vers la dérivation

Exercice 36 — Calculer des taux de variation

1)
$f (x) = x^{2} + 2 x$ : taux de variation de $f$ entre $0$ et $3$ , puis entre $- 4$ et $- 1$ .
2)
$g (x) = - 2 x + 7$ : taux de variation de $g$ entre $- 1$ et $4$ , puis entre $2$ et $10$ . Que remarque-t-on ?
3)
Démontrer que, pour $x \mapsto m x + p$ , le taux de variation entre deux nombres distincts vaut toujours $m$ . Interpréter sur la droite.

Corrigé

1°)
$f (0) = 0$ et $f (3) = 15$ :

$T$
$= \frac{15 - 0}{3 - 0}$
$T$
$= 5$

$f (- 4) = 8$ et $f (- 1) = - 1$ :

$T$
$= \frac{- 1 - 8}{- 1 - ( - 4 )}$
$T$
$= - 3$
2°)
$g (- 1) = 9$ et $g (4) = - 1$ , donc $T = \frac{- 10}{5}$ , soit $- 2$ . $g (2) = 3$ et $g (10) = - 13$ , donc $T = \frac{- 16}{8}$ , soit $- 2$ . On trouve le même nombre, le coefficient directeur de la droite.
3°)
$T$
$= \frac{( mb + p ) - ( ma + p )}{b - a}$
$T$
$= \frac{m ( b - a )}{b - a}$
$T$
$= m$

La courbe d'une fonction affine est une droite : toute sécante est cette droite elle-même, de coefficient directeur $m$ .

Exercice 37 — Taux et sens de variation

1)
Soit $g (x) = x^{2} - 4 x$ . Démontrer que, pour $a \neq = b$ , le taux de variation de $g$ entre $a$ et $b$ vaut $a + b - 4$ . En déduire le sens de variation de $g$ sur $[2; + \infty [$ , puis sur $] - \infty; 2]$ .
2)
Soit $h (x) = \frac{1}{x}$ . Démontrer que, pour $a$ et $b$ non nuls et distincts, le taux de variation de $h$ entre $a$ et $b$ vaut $- \frac{1}{ab}$ . En déduire le sens de variation de $h$ sur $] 0; + \infty [$ .

Corrigé

1°)
$T$
$= \frac{( b ^{2} - 4 b ) - ( a ^{2} - 4 a )}{b - a}$
$T$
$= \frac{( b - a ) ( b + a ) - 4 ( b - a )}{b - a}$
$T$
$= a + b - 4$
on simplifie par $b - a \neq = 0$

Sur $[2; + \infty [$ : $a ⩾ 2$ et $b ⩾ 2$ , distincts, donc $a + b > 4$ et $T > 0$ : $g$ est croissante. Sur $] - \infty; 2]$ : $a + b < 4$ , $T < 0$ : $g$ est décroissante.
2°)
$T$
$= \frac{\frac{1}{b} - \frac{1}{a}}{b - a}$
$T$
$= \frac{a - b}{ab} \times \frac{1}{b - a}$
$T$
$= - \frac{1}{ab}$
$a - b = - (b - a)$

Sur $] 0; + \infty [$ : $ab > 0$ , donc $T < 0$ : $h$ est décroissante.

Exercice 38 — Vitesse moyenne d'une chute

On lâche une bille du haut d'une tour. Au bout de $t$ secondes, elle a parcouru $d (t) = 5 t^{2}$ mètres. Sa vitesse moyenne entre deux instants est le taux de variation de $d$ entre ces instants.

1)
Calculer la vitesse moyenne entre $1$ et $3$ secondes.
2)
Même question entre $2$ et $2, 5$ s, puis entre $2$ et $2, 1$ s.
3)
Quelle semble être la vitesse de la bille à l'instant $t = 2$ ?

Corrigé

1°)
$d (1) = 5$ et $d (3) = 45$ : $\frac{45 - 5}{3 - 1} = 20$ m/s.
2°)
$d (2) = 20$ et $d (2, 5) = 31, 25$ : $\frac{11 , 25}{0 , 5} = 22, 5$ m/s.
$d (2, 1) = 22, 05$ : $\frac{2 , 05}{0 , 1} = 20, 5$ m/s.
3°)
Quand le second instant se rapproche de $2$ , la vitesse moyenne se rapproche de $20$ m/s : c'est la vitesse de la bille à l'instant $t = 2$ , le futur nombre dérivé de $d$ en $2$ .

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f (x)$	$6$	$1$	$- 2$	$- 3$	$- 2$	$1$	$6$	$13$
$g (x)$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$
$B (x)$	$- 9$	$0$	$7$	$12$	$15$	$16$	$15$	$12$	$7$	$0$	$- 9$

$x$	$- 6$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$
$f (x)$	$3$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$	$3$

ExercicesChapitre 2 — Fonctions

I Images et antécédents

Exercice 1 — Vocabulaire

Exercice 2 — Calculer des images

Exercice 3 — Calculer des antécédents

Exercice 4 — Lire des images et des antécédents

Exercice 5 — Points d'une courbe

II Ensemble de définition

Exercice 6 — Un nombre sans image

Exercice 7 — Ensembles de définition

Exercice 8 — Avec une valeur interdite

Exercice 9 — Avec une racine carrée

III Comparaison de deux fonctions

Exercice 10 — Comparer sur un graphique

Exercice 11 — Signe d'une différence

Exercice 12 — Une parabole et une droite

Exercice 13 — Une fonction quotient

IV Sens de variation

Exercice 14 — Lecture graphique complète

Exercice 15 — Du tableau de variations à la courbe

Exercice 16 — Le bénéfice d'un atelier

Exercice 17 — Sens de variation par le calcul

V Fonction carré

Exercice 18 — Équations avec des carrés

Exercice 19 — Comparer et encadrer des carrés

Exercice 20 — Deux paraboles

VI Fonction cube

Exercice 21 — Variations de la fonction cube

Exercice 22 — Calculs et équations

Exercice 23 — Encadrer des cubes

VII Fonction inverse

Exercice 24 — Variations de la fonction inverse

Exercice 25 — Équations et encadrements

Exercice 26 — Équations et inéquations quotient

VIII Fonction racine carrée

Exercice 27 — Se ramener au second degré

Exercice 28 — Équations avec des racines carrées

Exercice 29 — Calculer avec des racines carrées

IX Fonction valeur absolue

Exercice 30 — Étude de x↦∣x+3∣

Exercice 31 — Calculs et distances

Exercice 32 — Équations avec des valeurs absolues

X Fonctions affines

Exercice 33 — Lire l'expression d'une fonction affine

Exercice 34 — Équation réduite et alignement

Exercice 35 — Intersection de deux droites

XI Prolongement : vers la dérivation

Exercice 36 — Calculer des taux de variation

Exercice 37 — Taux et sens de variation

Exercice 38 — Vitesse moyenne d'une chute

Exercice 30 — Étude de $x \mapsto ∣ x + 3∣$