ExercicesChapitre 4 — Dérivation

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Cours Exercices Corrigé des exercices Enseignants : chapitre complet

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Sommaire

I — Limite en zéro d'une fonction
II — Nombre dérivé
III — Tangente à une courbe
IV — Approximation linéaire
V — Dérivées des fonctions polynômes
VI — Dérivées des autres fonctions de référence
VII — Dérivée d'une somme et d'un produit
VIII — Dérivée d'un inverse et d'un quotient
IX — Dérivée des fonctions composées
X — Étude des variations d'une fonction
XI — Extremums d'une fonction
XII — Étude complète d'une fonction
XIII — Problèmes concrets

I Limite en zéro d'une fonction

Exercice 1 — Conjecturer avec un tableau de valeurs

On considère $f (x) = \frac{x ^{2} - 3 x}{x}$ , avec $x \neq = 0$ .

1.
Calculer $f (x)$ pour $x$ égal à $- 0, 1$ , puis $- 0, 01$ , puis $0, 01$ et $0, 1$ .
2.
Quelle semble être la limite de $f (x)$ quand $x$ tend vers $0$ ?
3.
Simplifier $f (x)$ et retrouver cette limite.

Corrigé

1.
$f (- 0, 1) = - 3, 1$ ; $f (- 0, 01) = - 3, 01$ ; $f (0, 01) = - 2, 99$ ; $f (0, 1) = - 2, 9$ .
2.
$f (x)$ semble s'approcher de $- 3$ .
3.
Pour $x \neq = 0$ :

$f (x)$
$= \frac{x ( x - 3 )}{x}$
on factorise par $x$
$f (x)$
$= x - 3$

Quand $x$ tend vers $0$ , $x - 3$ tend vers $- 3$ : $x \to 0 lim f (x) = - 3$ .

Exercice 2 — Calculer des limites en zéro

Calculer la limite en $0$ de chaque fonction.

a)
$f (x) = \frac{x ^{2} + 4 x}{x}$
b)
$g (x) = \frac{2 x ^{2} - 6 x}{x}$
c)
$h (x) = \frac{4 x ^{3} + x}{x}$
d)
$k (x) = \frac{3 x ^{3} - x ^{2} + 8 x}{x}$

Corrigé

On factorise par $x$ et on simplifie, puis on remplace $x$ par $0$ .

a)
$f (x) = x + 4$ : limite $4$ .
b)
$g (x) = 2 x - 6$ : limite $- 6$ .
c)
$h (x) = 4 x^{2} + 1$ : limite $1$ .
d)
$k (x) = 3 x^{2} - x + 8$ : limite $8$ .

Exercice 3 — Avec une identité remarquable

Calculer la limite en $0$ de chaque fonction.

a)
$f (x) = \frac{( 1 + x ) ^{2} - 1}{x}$
b)
$g (x) = \frac{( 5 + x ) ^{2} - 25}{x}$
c)
$h (x) = \frac{( x - 2 ) ^{2} - 4}{x}$
d)
$k (x) = \frac{( 3 - x ) ^{2} - 9}{x}$

Corrigé

On développe le carré : la constante disparaît, puis on simplifie par $x$ .

a)
$f (x) = \frac{1 + 2 x + x ^{2} - 1}{x} = 2 + x$ : limite $2$ .
b)
$g (x) = \frac{25 + 10 x + x ^{2} - 25}{x} = 10 + x$ : limite $10$ .
c)
$h (x) = \frac{x ^{2} - 4 x + 4 - 4}{x} = x - 4$ : limite $- 4$ .
d)
$k (x) = \frac{9 - 6 x + x ^{2} - 9}{x} = x - 6$ : limite $- 6$ .

Exercice 4 — Limites quand $h$ tend vers $0$

Calculer la limite de chaque expression quand $h$ tend vers $0$ .

a)
$\frac{h ^{2} + 6 h}{h}$
b)
$\frac{( 2 + h ) ^{2} - 4}{h}$
c)
$\frac{3 ( 1 + h ) ^{2} - 3}{h}$

Corrigé

a)
$\frac{h ^{2} + 6 h}{h} = h + 6$ : limite $6$ .
b)
$\frac{4 + 4 h + h ^{2} - 4}{h} = 4 + h$ : limite $4$ .
c)
$\frac{3 + 6 h + 3 h ^{2} - 3}{h} = 6 + 3 h$ : limite $6$ .

II Nombre dérivé

Exercice 5 — Nombre dérivé par la définition

Pour chaque fonction, calculer le taux de variation $T (h)$ , puis le nombre dérivé demandé.

a)
$f (x) = x^{2}$ : calculer $f^{'} (3)$ .
b)
$g (x) = x^{2} + 2 x$ : calculer $g^{'} (1)$ .
c)
$k (x) = - x^{2} + 5 x$ : calculer $k^{'} (1)$ .
d)
$m (x) = 2 x^{2} - 3$ : calculer $m^{'} (- 1)$ .

Corrigé

a)
$T (h)$
$= \frac{( 3 + h ) ^{2} - 9}{h}$
$T (h)$
$= \frac{9 + 6 h + h ^{2} - 9}{h}$
$T (h)$
$= 6 + h$
$f^{'} (3)$
$= h \to 0 lim (6 + h)$
$f^{'} (3)$
$= 6$
b)
$g (1) = 3$ et $g (1 + h) = 1 + 2 h + h^{2} + 2 + 2 h = 3 + 4 h + h^{2}$ .

$T (h)$
$= \frac{3 + 4 h + h ^{2} - 3}{h}$
$T (h)$
$= 4 + h$
$g^{'} (1)$
$= h \to 0 lim (4 + h)$
$g^{'} (1)$
$= 4$
c)
$k (1) = 4$ et $k (1 + h) = - (1 + 2 h + h^{2}) + 5 + 5 h = 4 + 3 h - h^{2}$ .

$T (h)$
$= \frac{3 h - h ^{2}}{h}$
$T (h)$
$= 3 - h$
$k^{'} (1)$
$= h \to 0 lim (3 - h)$
$k^{'} (1)$
$= 3$
d)
$m (- 1) = - 1$ et $m (- 1 + h) = 2 (1 - 2 h + h^{2}) - 3 = - 1 - 4 h + 2 h^{2}$ .

$T (h)$
$= \frac{- 4 h + 2 h ^{2}}{h}$
$T (h)$
$= - 4 + 2 h$
$m^{'} (- 1)$
$= h \to 0 lim (- 4 + 2 h)$
$m^{'} (- 1)$
$= - 4$

→ Erreur fréquente : oublier les parenthèses dans $- (1 + h)^{2}$ .

Exercice 6 — Le taux de variation est donné

Dans chaque cas, $h \neq = 0$ . En déduire le nombre dérivé demandé.

a)
Le taux de variation de $f$ entre $1$ et $1 + h$ est $T (h) = 3 h + 7$ : calculer $f^{'} (1)$ .
b)
Le taux de variation de $g$ entre $4$ et $4 + h$ est $T (h) = h^{2} - h - 2$ : calculer $g^{'} (4)$ .
c)
On a $k (- 1 + h) - k (- 1) = 5 h - 2 h^{2}$ : calculer $k^{'} (- 1)$ .

Corrigé

On remplace $h$ par $0$ dans $T (h)$ .

a)
$f^{'} (1) = h \to 0 lim (3 h + 7) = 7$ .
b)
$g^{'} (4) = h \to 0 lim (h^{2} - h - 2) = - 2$ .
c)
On divise d'abord par $h$ : $T (h) = \frac{5 h - 2 h ^{2}}{h} = 5 - 2 h$ , donc $k^{'} (- 1) = 5$ .

Exercice 7 — Avec des fractions

1.
$f (x) = \frac{1}{x}$ . Montrer que $f (4 + h) - f (4) = \frac{- h}{4 ( 4 + h )}$ , puis calculer $f^{'} (4)$ .
2.
$g (x) = \frac{1}{x + 1}$ . Calculer $g (1 + h) - g (1)$ , puis $g^{'} (1)$ .

Corrigé

1.
$f (4 + h) - f (4)$
$= \frac{1}{4 + h} - \frac{1}{4}$
$f (4 + h) - f (4)$
$= \frac{1 \times 4}{( 4 + h ) \times 4} - \frac{1 \times ( 4 + h )}{4 \times ( 4 + h )}$
même dénominateur
$f (4 + h) - f (4)$
$= \frac{- h}{4 ( 4 + h )}$

On divise par $h$ , puis on passe à la limite :

$T (h)$
$= \frac{- 1}{4 ( 4 + h )}$
$f^{'} (4)$
$= h \to 0 lim \frac{- 1}{4 ( 4 + h )}$
$f^{'} (4)$
$= - \frac{1}{16}$
2.
$g (1) = \frac{1}{2}$ et $g (1 + h) = \frac{1}{2 + h}$ .

$g (1 + h) - g (1)$
$= \frac{1}{2 + h} - \frac{1}{2}$
$g (1 + h) - g (1)$
$= \frac{2 - ( 2 + h )}{2 ( 2 + h )}$
$g (1 + h) - g (1)$
$= \frac{- h}{2 ( 2 + h )}$

On divise par $h$ , puis on passe à la limite :

$T (h)$
$= \frac{- 1}{2 ( 2 + h )}$
$g^{'} (1)$
$= h \to 0 lim \frac{- 1}{2 ( 2 + h )}$
$g^{'} (1)$
$= - \frac{1}{4}$

Exercice 8 — Pour un nombre $a$ quelconque

On considère $f (x) = x^{2} - 4 x$ et un nombre $a$ .

1.
Montrer que le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a + h$ est $T (h) = 2 a - 4 + h$ .
2.
En déduire $f^{'} (a)$ en fonction de $a$ .
3.
Calculer $f^{'} (0)$ , $f^{'} (2)$ et $f^{'} (5)$ .

Corrigé

1.
$f (a + h) - f (a)$
$= (a + h)^{2} - 4 (a + h) - a^{2} + 4 a$
$f (a + h) - f (a)$
$= a^{2} + 2 ah + h^{2} - 4 a - 4 h - a^{2} + 4 a$
$f (a + h) - f (a)$
$= 2 ah + h^{2} - 4 h$
$T (h)$
$= 2 a + h - 4$
on divise par $h$
2.
$f^{'} (a) = h \to 0 lim (2 a - 4 + h) = 2 a - 4$ .
3.
$f^{'} (0) = - 4$ ; $f^{'} (2) = 0$ ; $f^{'} (5) = 6$ .

III Tangente à une courbe

Exercice 9 — Lecture graphique

On a tracé la courbe $C_{f}$ d'une fonction $f$ définie sur $[- 3; 5]$ et trois de ses tangentes, aux points $A$ , $B$ et $C$ .

1.
Lire $f (- 1)$ , $f (1)$ et $f (3)$ .
2.
Lire $f^{'} (- 1)$ , $f^{'} (1)$ et $f^{'} (3)$ .
3.
Donner une équation de la tangente à $C_{f}$ en $B$ .

Corrigé

1.
$f (- 1) = 2$ ; $f (1) = 0$ ; $f (3) = - 2$ .
2.
Les tangentes en $A$ et $C$ sont horizontales : $f^{'} (- 1) = 0$ et $f^{'} (3) = 0$ . La tangente en $B$ passe par $B (1; 0)$ et par $(3; - 3)$ : quand on avance de $2$ , elle descend de $3$ , donc $f^{'} (1) = - \frac{3}{2}$ .
3.
$y$
$= f^{'} (1) (x - 1) + f (1)$
$y$
$= - \frac{3}{2} (x - 1) + 0$
$y$
$= - \frac{3}{2} x + \frac{3}{2}$

Exercice 10 — Équation de la tangente

Dans chaque cas, donner une équation de la tangente à $C_{f}$ au point d'abscisse $a$ .

a)
$a = 2$ ; $f (2) = 3$ et $f^{'} (2) = 4$
b)
$a = - 1$ ; $f (- 1) = 2$ et $f^{'} (- 1) = - 3$
c)
$a = 0$ ; $f (0) = 5$ et $f^{'} (0) = \frac{1}{2}$
d)
$a = 4$ ; $f (4) = - 1$ et $f^{'} (4) = 0$

Corrigé

On applique $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ .

a)
$y = 4 (x - 2) + 3$ , soit $y = 4 x - 5$ .
b)
$y = - 3 (x + 1) + 2$ , soit $y = - 3 x - 1$ .
c)
$y = \frac{1}{2} (x - 0) + 5$ , soit $y = \frac{1}{2} x + 5$ .
d)
$y = 0 \times (x - 4) - 1$ , soit $y = - 1$ (tangente horizontale).

Exercice 11 — Nombre dérivé, puis tangente

1.
$f (x) = x^{2} + x - 2$ . Calculer $f^{'} (1)$ par la définition, puis une équation de la tangente à $C_{f}$ au point d'abscisse $1$ .
2.
$g (x) = \frac{1}{x}$ . Calculer $g^{'} (- 1)$ par la définition, puis une équation de la tangente à $C_{g}$ au point d'abscisse $- 1$ .

Corrigé

1.
$f (1) = 0$ et $f (1 + h) = 1 + 2 h + h^{2} + 1 + h - 2 = 3 h + h^{2}$ .

$T (h)$
$= \frac{3 h + h ^{2}}{h}$
$T (h)$
$= 3 + h$
$f^{'} (1)$
$= h \to 0 lim (3 + h)$
$f^{'} (1)$
$= 3$
$y$
$= 3 (x - 1) + 0$
$y = f^{'} (1) (x - 1) + f (1)$
$y$
$= 3 x - 3$
2.
$g (- 1) = - 1$ .

$g (- 1 + h) - g (- 1)$
$= \frac{1}{- 1 + h} + 1$
$g (- 1 + h) - g (- 1)$
$= \frac{1 + ( - 1 + h )}{- 1 + h}$
même dénominateur
$g (- 1 + h) - g (- 1)$
$= \frac{h}{- 1 + h}$
$T (h)$
$= \frac{1}{- 1 + h}$
$g^{'} (- 1)$
$= h \to 0 lim \frac{1}{- 1 + h}$
$g^{'} (- 1)$
$= - 1$
$y$
$= - (x + 1) - 1$
$y$
$= - x - 2$

Exercice 12 — Tangente passant par un point

1.
La tangente à $C_{f}$ au point $A (1; - 2)$ passe par $B (3; 4)$ . Calculer $f^{'} (1)$ , puis donner une équation de cette tangente.
2.
La tangente à $C_{g}$ au point $C (- 2; 1)$ passe par $D (0; - 3)$ . Calculer $g^{'} (- 2)$ , puis donner une équation de cette tangente.

Corrigé

$f^{'} (1)$ est le coefficient directeur de la tangente, donc de la droite $(A B)$ .

1.
$f^{'} (1)$
$= \frac{4 - ( - 2 )}{3 - 1}$
$\frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$
$f^{'} (1)$
$= 3$
$y$
$= 3 (x - 1) - 2$
$y$
$= 3 x - 5$
2.
$g^{'} (- 2)$
$= \frac{- 3 - 1}{0 - ( - 2 )}$
$g^{'} (- 2)$
$= - 2$
$y$
$= - 2 (x + 2) + 1$
$y$
$= - 2 x - 3$

IV Approximation linéaire

Exercice 13 — Valeurs approchées sans calculatrice

On utilise $f (a + h) ≃ f (a) + f^{'} (a) \times h$ , pour $h$ proche de $0$ ; chaque nombre dérivé se calcule par le taux d'accroissement.

1.
Pour $6, 0 2^{2}$ , on prend $f (x) = x^{2}$ , $a = 6$ et $h = 0, 02$ . Calculer $f (6)$ et $f^{'} (6)$ , puis une valeur approchée de $6, 0 2^{2}$ .
2.
Même méthode pour $1, 0 1^{3}$ , avec $g (x) = x^{3}$ , $a = 1$ et $h = 0, 01$ .
3.
Pour $\frac{1}{0 , 98}$ , avec $k (x) = \frac{1}{x}$ : choisir $a$ et $h$ , calculer $k^{'} (a)$ , puis donner une valeur approchée.
4.
Même question pour $\frac{1}{2 , 01}$ .
5.
Comparer les quatre résultats avec la calculatrice.

Corrigé

1.
$f (6) = 36$ . Nombre dérivé en $6$ , pour $h \neq = 0$ :

$T (h)$
$= \frac{( 6 + h ) ^{2} - 36}{h}$
$T (h)$
$= \frac{12 h + h ^{2}}{h}$
$T (h)$
$= 12 + h$
$f^{'} (6)$
$= 12$
limite quand $h$ tend vers $0$

$6, 0 2^{2} ≃ 36 + 12 \times 0, 02 = 36, 24$ .
2.
$g (1) = 1$ . Nombre dérivé en $1$ , pour $h \neq = 0$ :

$g (1 + h)$
$= (1 + 2 h + h^{2}) (1 + h)$
$g (1 + h)$
$= 1 + 3 h + 3 h^{2} + h^{3}$
$T (h)$
$= 3 + 3 h + h^{2}$
on divise $3 h + 3 h^{2} + h^{3}$ par $h$
$g^{'} (1)$
$= 3$

$1, 0 1^{3} ≃ 1 + 3 \times 0, 01 = 1, 03$ .
3.
$a = 1$ et $h = - 0, 02$ ; $k (1) = 1$ . Nombre dérivé en $1$ , pour $h \neq = 0$ :

$T (h)$
$= \frac{\frac{1}{1 + h} - 1}{h}$
$T (h)$
$= \frac{- h}{1 + h} \times \frac{1}{h}$
$\frac{1}{1 + h} - 1 = \frac{1 - ( 1 + h )}{1 + h}$
$T (h)$
$= \frac{- 1}{1 + h}$
$k^{'} (1)$
$= - 1$
$1 + h$ tend vers $1$

$\frac{1}{0 , 98} ≃ 1 + (- 1) \times (- 0, 02) = 1, 02$ .
4.
$a = 2$ et $h = 0, 01$ ; $k (2) = 0, 5$ . Nombre dérivé en $2$ , pour $h \neq = 0$ :

$T (h)$
$= \frac{\frac{1}{2 + h} - \frac{1}{2}}{h}$
$T (h)$
$= \frac{- h}{2 ( 2 + h )} \times \frac{1}{h}$
$\frac{1}{2 + h} - \frac{1}{2} = \frac{2 - ( 2 + h )}{2 ( 2 + h )}$
$T (h)$
$= \frac{- 1}{2 ( 2 + h )}$
$k^{'} (2)$
$= - \frac{1}{4}$
$2 + h$ tend vers $2$

$\frac{1}{2 , 01} ≃ 0, 5 - \frac{1}{4} \times 0, 01 = 0, 4975$ .
5.
La calculatrice donne $36, 2404$ ; $1, 030301$ ; $1, 02040 \dots$ ; $0, 49751 \dots$ : les valeurs approchées sont justes au centième (et même mieux).

→ Le point clé : choisir $a$ « rond » (où l'on sait calculer $f (a)$ et $f^{'} (a)$ ) et $h$ petit.

Exercice 14 — Augmentations et baisses successives

Chaque nombre dérivé se calcule par le taux d'accroissement.

1.
Un abonnement augmente de $1, 5$ % par mois pendant $2$ mois. Avec $f (x) = x^{2}$ , calculer $f^{'} (1)$ , puis donner une valeur approchée de $1, 01 5^{2}$ et le pourcentage d'augmentation sur les $2$ mois.
2.
La population d'un village baisse de $2$ % par an pendant $3$ ans. Avec $g (x) = x^{3}$ , calculer $g^{'} (1)$ , puis donner une valeur approchée de $0, 9 8^{3}$ et le pourcentage de baisse sur les $3$ ans.

Corrigé

1.
$f (1) = 1$ et, pour $h \neq = 0$ , $T (h) = \frac{2 h + h ^{2}}{h} = 2 + h$ , donc $f^{'} (1) = 2$ . Avec $a = 1$ et $h = 0, 015$ : $1, 01 5^{2} ≃ 1 + 2 \times 0, 015 = 1, 03$ . Hausse d'environ $3 %$ (la calculatrice donne $1, 030225$ ).
2.
$g (1) = 1$ et $T (h) = 3 + 3 h + h^{2}$ (exercice 13), donc $g^{'} (1) = 3$ . Avec $a = 1$ et $h = - 0, 02$ : $0, 9 8^{3} ≃ 1 + 3 \times (- 0, 02) = 0, 94$ . Baisse d'environ $6 %$ (la calculatrice donne $0, 941192$ ).

→ Pour de petits pourcentages, $n$ hausses de $t %$ font environ $n \times t %$ .

Exercice 15 — Courbe et tangente

1.
On considère $f (x) = x^{2} + 3 x$ . Calculer $f (2)$ , puis $f^{'} (2)$ par le taux d'accroissement.
2.
En déduire une valeur approchée de $f (2, 1)$ , puis calculer l'écart avec la valeur exacte.
3.
Même question pour $f (1, 95)$ .

Corrigé

1.
$f (2) = 4 + 6 = 10$ . Pour $h \neq = 0$ :

$f (2 + h) - f (2)$
$= 4 + 4 h + h^{2} + 6 + 3 h - 10$
$f (2 + h) - f (2)$
$= 7 h + h^{2}$
$T (h)$
$= 7 + h$
on divise par $h$
$f^{'} (2)$
$= 7$
2.
$f (2, 1) ≃ 10 + 7 \times 0, 1 = 10, 7$ . Valeur exacte : $f (2, 1) = 4, 41 + 6, 3 = 10, 71$ ; l'écart est $0, 01$ .
3.
$f (1, 95) ≃ 10 + 7 \times (- 0, 05) = 9, 65$ . Valeur exacte : $f (1, 95) = 3, 8025 + 5, 85 = 9, 6525$ ; l'écart est $0, 0025$ .

V Dérivées des fonctions polynômes

Exercice 16 — Dériver un polynôme

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = 7$
b)
$g (x) = 5 x - 3$
c)
$h (x) = x^{6}$
d)
$k (x) = 3 x^{2} - 4 x + 1$
e)
$m (x) = - 2 x^{3} + x^{2} - 5 x$
f)
$p (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 7 x - 1$

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = 0$ (constante)
b)
$g^{'} (x) = 5$
c)
$h^{'} (x) = 6 x^{5}$
d)
$k^{'} (x) = 6 x - 4$
e)
$m^{'} (x) = - 6 x^{2} + 2 x - 5$
f)
$p^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 7$

→ Le coefficient se garde : la dérivée de $- 2 x^{3}$ est $- 2 \times 3 x^{2} = - 6 x^{2}$ .

Exercice 17 — Avec des fractions

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x$
b)
$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 4$
c)
$h (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{3} x^{3}$
d)
$k (x) = \frac{x ^{3} - 6 x}{3}$

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = \frac{1}{2} \times 2 x - 3 = x - 3$
b)
$g^{'} (x) = \frac{1}{3} \times 3 x^{2} - 2 x = x^{2} - 2 x$
c)
$h^{'} (x) = \frac{1}{4} \times 4 x^{3} + \frac{2}{3} \times 3 x^{2} = x^{3} + 2 x^{2}$
d)
$k (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x$ , donc $k^{'} (x) = x^{2} - 2$

Exercice 18 — Développer d'abord

Développer, puis calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = (x + 4)^{2}$
b)
$g (x) = (3 x - 1)^{2}$
c)
$h (x) = x (x^{2} - 5)$
d)
$k (x) = (x + 2) (x - 2)$

Corrigé

a)
$f (x) = x^{2} + 8 x + 16$ , donc $f^{'} (x) = 2 x + 8$
b)
$g (x) = 9 x^{2} - 6 x + 1$ , donc $g^{'} (x) = 18 x - 6$
c)
$h (x) = x^{3} - 5 x$ , donc $h^{'} (x) = 3 x^{2} - 5$
d)
$k (x) = x^{2} - 4$ , donc $k^{'} (x) = 2 x$

Exercice 19 — Entraînement : polynômes

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = x^{3} - 7 x^{2} + 2 x - 9$
b)
$g (x) = - 4 x^{5} + 3 x^{2}$
c)
$h (x) = 6 x^{4} - x^{3} + x$
d)
$k (x) = \frac{2}{5} x^{5} - x$
e)
$m (x) = 0, 5 x^{4} - 1, 5 x^{2}$
f)
$p (x) = \frac{x ^{2} - 3}{4}$
g)
$q (x) = x^{7} - x^{5} + x^{3}$
h)
$r (x) = 3 (x^{2} - 2 x + 5)$

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 14 x + 2$
b)
$g^{'} (x) = - 20 x^{4} + 6 x$
c)
$h^{'} (x) = 24 x^{3} - 3 x^{2} + 1$
d)
$k^{'} (x) = \frac{2}{5} \times 5 x^{4} - 1 = 2 x^{4} - 1$
e)
$m^{'} (x) = 0, 5 \times 4 x^{3} - 1, 5 \times 2 x = 2 x^{3} - 3 x$
f)
$p (x) = \frac{1}{4} x^{2} - \frac{3}{4}$ , donc $p^{'} (x) = \frac{1}{2} x$
g)
$q^{'} (x) = 7 x^{6} - 5 x^{4} + 3 x^{2}$
h)
$r (x) = 3 x^{2} - 6 x + 15$ , donc $r^{'} (x) = 6 x - 6$

Exercice 20 — Fonction dérivée et nombres dérivés

On considère $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ .

1.
Calculer $f^{'} (x)$ .
2.
En déduire $f^{'} (0)$ , $f^{'} (1)$ , $f^{'} (- 1)$ et $f^{'} (2)$ .
3.
Donner une équation de la tangente à $C_{f}$ au point d'abscisse $1$ .
4.
En quels points de $C_{f}$ la tangente est-elle horizontale ?

Corrigé

1.
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x$ .
2.
$f^{'} (0) = 0$ ; $f^{'} (1) = 3 - 6 = - 3$ ; $f^{'} (- 1) = 3 + 6 = 9$ ; $f^{'} (2) = 12 - 12 = 0$ .
3.
$f (1) = 1 - 3 + 2 = 0$ .

$y$
$= f^{'} (1) (x - 1) + f (1)$
$y$
$= - 3 (x - 1) + 0$
$y$
$= - 3 x + 3$
4.
La tangente est horizontale quand $f^{'} (x) = 0$ : $3 x (x - 2) = 0$ , soit $x = 0$ ou $x = 2$ . Avec $f (0) = 2$ et $f (2) = 8 - 12 + 2 = - 2$ : aux points $(0; 2)$ et $(2; - 2)$ .

VI Dérivées des autres fonctions de référence

Exercice 21 — Nombres dérivés des fonctions de référence

a)
$f (x) = \frac{1}{x}$ : calculer $f^{'} (5)$ et $f^{'} (\frac{1}{2})$ .
b)
$g (x) = x$ : calculer $g^{'} (16)$ et $g^{'} (\frac{1}{4})$ .
c)
$k (x) = \frac{1}{x ^{2}}$ : calculer $k^{'} (1)$ et $k^{'} (- 2)$ .

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}$ : $f^{'} (5) = - \frac{1}{25}$ et $f^{'} (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{4}} = - 4$ .
b)
$g^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ : $g^{'} (16) = \frac{1}{2 \times 4} = \frac{1}{8}$ et $g^{'} (\frac{1}{4}) = \frac{1}{2 \times \frac{1}{2}} = 1$ .
c)
$k^{'} (x) = - \frac{2}{x ^{3}}$ : $k^{'} (1) = - 2$ et $k^{'} (- 2) = - \frac{2}{- 8} = \frac{1}{4}$ .

Exercice 22 — Dériver avec les fonctions de référence

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = \frac{4}{x}$
b)
$g (x) = - 3 x$
c)
$h (x) = \frac{1}{x ^{4}}$
d)
$k (x) = \frac{5}{x ^{3}}$
e)
$m (x) = 2 cos x$
f)
$p (x) = - sin x$

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = 4 \times (- \frac{1}{x ^{2}}) = - \frac{4}{x ^{2}}$
b)
$g^{'} (x) = - 3 \times \frac{1}{2 x} = - \frac{3}{2 x}$
c)
$h^{'} (x) = - \frac{4}{x ^{5}}$
d)
$k^{'} (x) = 5 \times (- \frac{3}{x ^{4}}) = - \frac{15}{x ^{4}}$
e)
$m^{'} (x) = - 2 sin x$
f)
$p^{'} (x) = - cos x$

Exercice 23 — Entraînement : fonctions de référence

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = - \frac{7}{x}$
b)
$g (x) = 8 x$
c)
$h (x) = \frac{2}{x ^{2}}$
d)
$k (x) = - \frac{1}{x ^{5}}$
e)
$m (x) = \frac{1}{3} x$
f)
$p (x) = - 4 cos x$
g)
$q (x) = \frac{1}{2 x}$
h)
$r (x) = \frac{1}{2} sin x$

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = - 7 \times (- \frac{1}{x ^{2}}) = \frac{7}{x ^{2}}$
b)
$g^{'} (x) = 8 \times \frac{1}{2 x} = \frac{4}{x}$
c)
$h^{'} (x) = 2 \times (- \frac{2}{x ^{3}}) = - \frac{4}{x ^{3}}$
d)
$k^{'} (x) = - 1 \times (- \frac{5}{x ^{6}}) = \frac{5}{x ^{6}}$
e)
$m^{'} (x) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2 x} = \frac{1}{6 x}$
f)
$p^{'} (x) = - 4 \times (- sin x) = 4 sin x$
g)
$q (x) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{x}$ , donc $q^{'} (x) = \frac{1}{2} \times (- \frac{1}{x ^{2}}) = - \frac{1}{2 x ^{2}}$
h)
$r^{'} (x) = \frac{1}{2} cos x$

→ Deux signes « $-$ » donnent un « $+$ » : c'est l'erreur la plus fréquente en a), d) et f).

Exercice 24 — Tangentes aux courbes de référence

1.
Donner une équation de la tangente à la courbe de $f (x) = \frac{1}{x}$ au point d'abscisse $1$ .
2.
Donner une équation de la tangente à la courbe de $g (x) = x$ au point d'abscisse $4$ .
3.
Justifier que la courbe de $f$ n'a aucune tangente horizontale.

Corrigé

1.
$f (1) = 1$ et $f^{'} (1) = - 1$ .

$y$
$= - 1 \times (x - 1) + 1$
$y$
$= - x + 2$
2.
$g (4) = 2$ et $g^{'} (4) = \frac{1}{2 \times 2} = \frac{1}{4}$ .

$y$
$= \frac{1}{4} (x - 4) + 2$
$y$
$= \frac{1}{4} x + 1$
3.
$f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}$ est toujours strictement négatif (un carré non nul est positif) : $f^{'} (x)$ ne vaut jamais $0$ , donc aucune tangente n'est horizontale.

VII Dérivée d'une somme et d'un produit

Exercice 25 — Dériver une somme

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = x^{3} + \frac{1}{x}$
b)
$g (x) = 2 x^{2} - x$
c)
$h (x) = \frac{3}{x} + 5 x$
d)
$k (x) = x + cos x$

Corrigé

On dérive chaque terme.

a)
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - \frac{1}{x ^{2}}$
b)
$g^{'} (x) = 4 x - \frac{1}{2 x}$
c)
$h^{'} (x) = - \frac{3}{x ^{2}} + 5$
d)
$k^{'} (x) = 1 - sin x$

Exercice 26 — Dériver un produit

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = (3 x - 2) (x + 4)$
b)
$g (x) = (x^{2} + 1) (2 x - 3)$
c)
$h (x) = (x + 1) x$
d)
$k (x) = x^{2} cos x$

Corrigé

a)
$u (x) = 3 x - 2$ , $u^{'} (x) = 3$ ; $v (x) = x + 4$ , $v^{'} (x) = 1$ .

$f^{'} (x)$
$= 3 (x + 4) + (3 x - 2) \times 1$
$u^{'} v + u v^{'}$
$f^{'} (x)$
$= 3 x + 12 + 3 x - 2$
$f^{'} (x)$
$= 6 x + 10$
b)
$u (x) = x^{2} + 1$ , $u^{'} (x) = 2 x$ ; $v (x) = 2 x - 3$ , $v^{'} (x) = 2$ .

$g^{'} (x)$
$= 2 x (2 x - 3) + (x^{2} + 1) \times 2$
$g^{'} (x)$
$= 4 x^{2} - 6 x + 2 x^{2} + 2$
$g^{'} (x)$
$= 6 x^{2} - 6 x + 2$
c)
$u (x) = x + 1$ , $u^{'} (x) = 1$ ; $v (x) = x$ , $v^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ .

$h^{'} (x)$
$= 1 \times x + (x + 1) \times \frac{1}{2 x}$
$h^{'} (x)$
$= \frac{2 x}{2 x} + \frac{x + 1}{2 x}$
$x = \frac{x \times 2 x}{2 x} = \frac{2 x}{2 x}$
$h^{'} (x)$
$= \frac{3 x + 1}{2 x}$
d)
$u (x) = x^{2}$ , $u^{'} (x) = 2 x$ ; $v (x) = cos x$ , $v^{'} (x) = - sin x$ .

$k^{'} (x)$
$= 2 x cos x + x^{2} \times (- sin x)$
$k^{'} (x)$
$= 2 x cos x - x^{2} sin x$

Exercice 27 — Entraînement : sommes et produits

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = x^{2} - 3 x + \frac{4}{x}$
b)
$g (x) = 4 x - 2 x^{3}$
c)
$h (x) = (x^{2} - 4) (3 x + 1)$
d)
$k (x) = (2 x - 1) x$
e)
$m (x) = (x + 2) cos x$
f)
$p (x) = \frac{1}{x} (x + 5)$
g)
$q (x) = (x^{2} + x) (x^{2} - x)$
h)
$r (x) = sin x cos x$

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = 2 x - 3 + 4 \times (- \frac{1}{x ^{2}}) = 2 x - 3 - \frac{4}{x ^{2}}$
b)
$g^{'} (x) = 4 \times \frac{1}{2 x} - 6 x^{2} = \frac{2}{x} - 6 x^{2}$
c)
$u (x) = x^{2} - 4$ , $u^{'} (x) = 2 x$ ; $v (x) = 3 x + 1$ , $v^{'} (x) = 3$ .

$h^{'} (x)$
$= 2 x (3 x + 1) + (x^{2} - 4) \times 3$
$h^{'} (x)$
$= 6 x^{2} + 2 x + 3 x^{2} - 12$
$h^{'} (x)$
$= 9 x^{2} + 2 x - 12$
d)
$u (x) = 2 x - 1$ , $u^{'} (x) = 2$ ; $v (x) = x$ , $v^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ .

$k^{'} (x)$
$= 2 x + (2 x - 1) \times \frac{1}{2 x}$
$k^{'} (x)$
$= \frac{4 x}{2 x} + \frac{2 x - 1}{2 x}$
$2 x = \frac{4 x}{2 x}$
$k^{'} (x)$
$= \frac{6 x - 1}{2 x}$
e)
$u (x) = x + 2$ , $u^{'} (x) = 1$ ; $v (x) = cos x$ , $v^{'} (x) = - sin x$ .

$m^{'} (x)$
$= 1 \times cos x + (x + 2) (- sin x)$
$m^{'} (x)$
$= cos x - (x + 2) sin x$
f)
$u (x) = \frac{1}{x}$ , $u^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}$ ; $v (x) = x + 5$ , $v^{'} (x) = 1$ .

$p^{'} (x)$
$= - \frac{1}{x ^{2}} (x + 5) + \frac{1}{x} \times 1$
$p^{'} (x)$
$= \frac{- x - 5}{x ^{2}} + \frac{x}{x ^{2}}$
même dénominateur
$p^{'} (x)$
$= - \frac{5}{x ^{2}}$

→ Plus court : $p (x) = 1 + \frac{5}{x}$ , puis on dérive la somme.
g)
$u (x) = x^{2} + x$ , $u^{'} (x) = 2 x + 1$ ; $v (x) = x^{2} - x$ , $v^{'} (x) = 2 x - 1$ .

$q^{'} (x)$
$= (2 x + 1) (x^{2} - x) + (x^{2} + x) (2 x - 1)$
$q^{'} (x)$
$= 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{3} + x^{2} - x$
$q^{'} (x)$
$= 4 x^{3} - 2 x$

→ Vérification : $q (x) = x^{4} - x^{2}$ , de dérivée $4 x^{3} - 2 x$ .
h)
$u (x) = sin x$ , $u^{'} (x) = cos x$ ; $v (x) = cos x$ , $v^{'} (x) = - sin x$ .

$r^{'} (x)$
$= cos x \times cos x + sin x \times (- sin x)$
$r^{'} (x)$
$= (cos x)^{2} - (sin x)^{2}$

Exercice 28 — Deux façons de dériver

On considère $f (x) = (2 x + 5) (1 - 3 x)$ .

1.
Calculer $f^{'} (x)$ avec la dérivée d'un produit.
2.
Développer $f (x)$ , puis dériver l'expression obtenue.
3.
Vérifier que les deux résultats sont égaux.

Corrigé

1.
$u (x) = 2 x + 5$ , $u^{'} (x) = 2$ ; $v (x) = 1 - 3 x$ , $v^{'} (x) = - 3$ .

$f^{'} (x)$
$= 2 (1 - 3 x) + (2 x + 5) (- 3)$
$f^{'} (x)$
$= 2 - 6 x - 6 x - 15$
$f^{'} (x)$
$= - 12 x - 13$
2.
$f (x)$
$= 2 x - 6 x^{2} + 5 - 15 x$
$f (x)$
$= - 6 x^{2} - 13 x + 5$
$f^{'} (x)$
$= - 12 x - 13$
3.
On trouve bien la même dérivée.

Exercice 29 — Produit et tangente

On considère $f (x) = (x - 3) x$ sur $] 0; + \infty [$ .

1.
Montrer que $f^{'} (x) = \frac{3 x - 3}{2 x}$ .
2.
Calculer $f (4)$ et $f^{'} (4)$ .
3.
Donner une équation de la tangente à $C_{f}$ au point d'abscisse $4$ .

Corrigé

1.
$u (x) = x - 3$ , $u^{'} (x) = 1$ ; $v (x) = x$ , $v^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ .

$f^{'} (x)$
$= x + \frac{x - 3}{2 x}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{2 x}{2 x} + \frac{x - 3}{2 x}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{3 x - 3}{2 x}$
2.
$f (4) = 1 \times 2 = 2$ et $f^{'} (4) = \frac{12 - 3}{2 \times 2} = \frac{9}{4}$ .
3.
$y$
$= \frac{9}{4} (x - 4) + 2$
$y$
$= \frac{9}{4} x - 9 + 2$
$y$
$= \frac{9}{4} x - 7$

VIII Dérivée d'un inverse et d'un quotient

Exercice 30 — Dériver un inverse

Calculer la dérivée de chaque fonction, là où elle est définie.

a)
$f (x) = \frac{1}{2 x + 3}$
b)
$g (x) = \frac{1}{x ^{2} + 4}$
c)
$h (x) = \frac{3}{x - 1}$
d)
$k (x) = \frac{1}{x ^{2} - 2 x}$

Corrigé

On applique $(\frac{1}{v})^{'} = - \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$ .

a)
$v (x) = 2 x + 3$ , $v^{'} (x) = 2$ : $f^{'} (x) = - \frac{2}{( 2 x + 3 ) ^{2}}$
b)
$v (x) = x^{2} + 4$ , $v^{'} (x) = 2 x$ : $g^{'} (x) = - \frac{2 x}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}}$
c)
$h (x) = 3 \times \frac{1}{x - 1}$ : $h^{'} (x) = 3 \times (- \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}) = - \frac{3}{( x - 1 ) ^{2}}$
d)
$v (x) = x^{2} - 2 x$ , $v^{'} (x) = 2 x - 2$ : $k^{'} (x) = - \frac{2 x - 2}{( x ^{2} - 2 x ) ^{2}}$

Exercice 31 — Dériver un quotient

Calculer la dérivée de chaque fonction, là où elle est définie.

a)
$f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$
b)
$g (x) = \frac{4 x - 1}{2 x + 1}$
c)
$h (x) = \frac{x ^{2}}{x - 3}$
d)
$k (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 1}$

Corrigé

On applique $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .

a)
$u (x) = x + 3$ , $u^{'} (x) = 1$ ; $v (x) = x - 2$ , $v^{'} (x) = 1$ .

$f^{'} (x)$
$= \frac{1 \times ( x - 2 ) - ( x + 3 ) \times 1}{( x - 2 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{x - 2 - x - 3}{( x - 2 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{- 5}{( x - 2 ) ^{2}}$
b)
$u (x) = 4 x - 1$ , $u^{'} (x) = 4$ ; $v (x) = 2 x + 1$ , $v^{'} (x) = 2$ .

$g^{'} (x)$
$= \frac{4 ( 2 x + 1 ) - ( 4 x - 1 ) \times 2}{( 2 x + 1 ) ^{2}}$
$g^{'} (x)$
$= \frac{8 x + 4 - 8 x + 2}{( 2 x + 1 ) ^{2}}$
$g^{'} (x)$
$= \frac{6}{( 2 x + 1 ) ^{2}}$
c)
$u (x) = x^{2}$ , $u^{'} (x) = 2 x$ ; $v (x) = x - 3$ , $v^{'} (x) = 1$ .

$h^{'} (x)$
$= \frac{2 x ( x - 3 ) - x ^{2} \times 1}{( x - 3 ) ^{2}}$
$h^{'} (x)$
$= \frac{x ^{2} - 6 x}{( x - 3 ) ^{2}}$
d)
$u (x) = x^{2} - 1$ , $u^{'} (x) = 2 x$ ; $v (x) = x^{2} + 1$ , $v^{'} (x) = 2 x$ .

$k^{'} (x)$
$= \frac{2 x ( x ^{2} + 1 ) - ( x ^{2} - 1 ) \times 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$
$k^{'} (x)$
$= \frac{2 x ^{3} + 2 x - 2 x ^{3} + 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$
$k^{'} (x)$
$= \frac{4 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$

→ Le « $-$ » devant $u v^{'}$ change tous les signes : on met $u v^{'}$ entre parenthèses.

Exercice 32 — Entraînement : inverses et quotients

Calculer la dérivée de chaque fonction, là où elle est définie.

a)
$f (x) = \frac{1}{3 - x}$
b)
$g (x) = \frac{- 2}{x ^{2} + x + 1}$
c)
$h (x) = \frac{5 x + 2}{x - 1}$
d)
$k (x) = \frac{1 - 2 x}{x + 3}$
e)
$m (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x}$
f)
$p (x) = \frac{3 x}{x ^{2} + 1}$
g)
$q (x) = \frac{x ^{2} - 4 x}{x + 2}$
h)
$r (x) = \frac{x}{x + 1}$

Corrigé

a)
$v (x) = 3 - x$ , $v^{'} (x) = - 1$ : $f^{'} (x) = - \frac{- 1}{( 3 - x ) ^{2}} = \frac{1}{( 3 - x ) ^{2}}$
b)
$g (x) = - 2 \times \frac{1}{x ^{2} + x + 1}$ et $v^{'} (x) = 2 x + 1$ : $g^{'} (x) = - 2 \times (- \frac{2 x + 1}{( x ^{2} + x + 1 ) ^{2}}) = \frac{4 x + 2}{( x ^{2} + x + 1 ) ^{2}}$
c)
$u^{'} (x) = 5$ ; $v^{'} (x) = 1$ .

$h^{'} (x)$
$= \frac{5 ( x - 1 ) - ( 5 x + 2 )}{( x - 1 ) ^{2}}$
$h^{'} (x)$
$= \frac{- 7}{( x - 1 ) ^{2}}$
d)
$u^{'} (x) = - 2$ ; $v^{'} (x) = 1$ .

$k^{'} (x)$
$= \frac{- 2 ( x + 3 ) - ( 1 - 2 x )}{( x + 3 ) ^{2}}$
$k^{'} (x)$
$= \frac{- 2 x - 6 - 1 + 2 x}{( x + 3 ) ^{2}}$
$k^{'} (x)$
$= \frac{- 7}{( x + 3 ) ^{2}}$
e)
$u (x) = x^{2} + 1$ , $u^{'} (x) = 2 x$ ; $v (x) = x$ , $v^{'} (x) = 1$ .

$m^{'} (x)$
$= \frac{2 x \times x - ( x ^{2} + 1 )}{x ^{2}}$
$m^{'} (x)$
$= \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}}$
f)
$u (x) = 3 x$ , $u^{'} (x) = 3$ ; $v (x) = x^{2} + 1$ , $v^{'} (x) = 2 x$ .

$p^{'} (x)$
$= \frac{3 ( x ^{2} + 1 ) - 3 x \times 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$
$p^{'} (x)$
$= \frac{3 - 3 x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$
g)
$u (x) = x^{2} - 4 x$ , $u^{'} (x) = 2 x - 4$ ; $v (x) = x + 2$ , $v^{'} (x) = 1$ .

$q^{'} (x)$
$= \frac{( 2 x - 4 ) ( x + 2 ) - ( x ^{2} - 4 x )}{( x + 2 ) ^{2}}$
$q^{'} (x)$
$= \frac{2 x ^{2} - 8 - x ^{2} + 4 x}{( x + 2 ) ^{2}}$
$(2 x - 4) (x + 2) = 2 x^{2} - 8$
$q^{'} (x)$
$= \frac{x ^{2} + 4 x - 8}{( x + 2 ) ^{2}}$
h)
$u (x) = x$ , $u^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ ; $v (x) = x + 1$ , $v^{'} (x) = 1$ .

$r^{'} (x)$
$= \frac{\frac{1}{2 x} ( x + 1 ) - x}{( x + 1 ) ^{2}}$
$r^{'} (x)$
$= \frac{( x + 1 ) - 2 x}{2 x ( x + 1 ) ^{2}}$
on multiplie en haut et en bas par $2 x$
$r^{'} (x)$
$= \frac{1 - x}{2 x ( x + 1 ) ^{2}}$

Exercice 33 — Choisir la bonne formule

Pour chaque fonction, dire s'il s'agit d'une somme, d'un produit, d'un inverse ou d'un quotient, puis calculer sa dérivée.

a)
$f (x) = 3 x^{4} - \frac{2}{x}$
b)
$g (x) = (x - 1) (x^{2} + 2)$
c)
$h (x) = \frac{4}{x ^{2} + 3}$
d)
$k (x) = \frac{x - 4}{2 x + 1}$
e)
$m (x) = x^{2} x$
f)
$p (x) = x + sin x$

Corrigé

a)
Somme : $f^{'} (x) = 12 x^{3} - 2 \times (- \frac{1}{x ^{2}}) = 12 x^{3} + \frac{2}{x ^{2}}$
b)
Produit, avec $u^{'} (x) = 1$ et $v^{'} (x) = 2 x$ .

$g^{'} (x)$
$= 1 \times (x^{2} + 2) + (x - 1) \times 2 x$
$g^{'} (x)$
$= x^{2} + 2 + 2 x^{2} - 2 x$
$g^{'} (x)$
$= 3 x^{2} - 2 x + 2$
c)
Inverse (multiplié par $4$ ), avec $v^{'} (x) = 2 x$ : $h^{'} (x) = 4 \times (- \frac{2 x}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}) = - \frac{8 x}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}$
d)
Quotient, avec $u^{'} (x) = 1$ et $v^{'} (x) = 2$ .

$k^{'} (x)$
$= \frac{1 \times ( 2 x + 1 ) - ( x - 4 ) \times 2}{( 2 x + 1 ) ^{2}}$
$k^{'} (x)$
$= \frac{2 x + 1 - 2 x + 8}{( 2 x + 1 ) ^{2}}$
$k^{'} (x)$
$= \frac{9}{( 2 x + 1 ) ^{2}}$
e)
Produit, avec $u (x) = x^{2}$ et $v (x) = x$ .

$m^{'} (x)$
$= 2 x x + x^{2} \times \frac{1}{2 x}$
$m^{'} (x)$
$= 2 x x + \frac{x x}{2}$
$\frac{x ^{2}}{x} = x x$
$m^{'} (x)$
$= \frac{5}{2} x x$
f)
Somme : $p^{'} (x) = \frac{1}{2 x} + cos x$

Exercice 34 — Tangentes à une hyperbole

On considère $f (x) = \frac{2 x - 4}{x + 1}$ , pour $x \neq = - 1$ .

1.
Montrer que $f^{'} (x) = \frac{6}{( x + 1 ) ^{2}}$ .
2.
$C_{f}$ coupe l'axe des abscisses en $A$ . Calculer les coordonnées de $A$ , puis une équation de la tangente à $C_{f}$ en $A$ .
3.
Même question avec le point $B$ où $C_{f}$ coupe l'axe des ordonnées.

Corrigé

1.
$u (x) = 2 x - 4$ , $u^{'} (x) = 2$ ; $v (x) = x + 1$ , $v^{'} (x) = 1$ .

$f^{'} (x)$
$= \frac{2 ( x + 1 ) - ( 2 x - 4 ) \times 1}{( x + 1 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{2 x + 2 - 2 x + 4}{( x + 1 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{6}{( x + 1 ) ^{2}}$
2.
$f (x) = 0$ quand $2 x - 4 = 0$ , soit $x = 2$ : $A (2; 0)$ . $f^{'} (2) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ .

$y$
$= \frac{2}{3} (x - 2) + 0$
$y$
$= \frac{2}{3} x - \frac{4}{3}$
3.
$f (0) = - 4$ : $B (0; - 4)$ . $f^{'} (0) = 6$ , donc la tangente en $B$ a pour équation $y = 6 x - 4$ .

Exercice 35 — Deux fonctions, une même dérivée

On considère $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ et $g (x) = \frac{3}{x - 1}$ , pour $x \neq = 1$ .

1.
Calculer $f^{'} (x)$ et $g^{'} (x)$ . Que remarque-t-on ?
2.
Calculer $f (x) - g (x)$ . Expliquer la remarque de la question 1.

Corrigé

1.
$f^{'} (x)$
$= \frac{2 ( x - 1 ) - ( 2 x + 1 ) \times 1}{( x - 1 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{- 3}{( x - 1 ) ^{2}}$
$g^{'} (x)$
$= 3 \times (- \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}})$
$g^{'} (x)$
$= \frac{- 3}{( x - 1 ) ^{2}}$

$f$ et $g$ ont la même dérivée.
2.
$f (x) - g (x)$
$= \frac{2 x + 1 - 3}{x - 1}$
$f (x) - g (x)$
$= \frac{2 ( x - 1 )}{x - 1}$
$f (x) - g (x)$
$= 2$

$f = g + 2$ : ajouter une constante ne change pas la dérivée (la dérivée de $2$ est $0$ ). Les deux courbes se déduisent l'une de l'autre par une translation verticale : elles ont les mêmes pentes.

IX Dérivée des fonctions composées

Exercice 36 — Dériver une puissance, une racine

Calculer la dérivée de chaque fonction, là où elle est définie.

a)
$f (x) = (3 x + 1)^{2}$
b)
$g (x) = (1 - 2 x)^{2}$
c)
$h (x) = (x^{2} + 3)^{3}$
d)
$k (x) = (4 x - 1)^{5}$
e)
$m (x) = 2 x + 6$
f)
$p (x) = x^{2} + 4$

Corrigé

On applique $(u^{2})^{'} = 2 u^{'} u$ , $(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}$ et $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ .

a)
$u (x) = 3 x + 1$ , $u^{'} (x) = 3$ .

$f^{'} (x)$
$= 2 \times 3 \times (3 x + 1)$
$f^{'} (x)$
$= 18 x + 6$
b)
$u (x) = 1 - 2 x$ , $u^{'} (x) = - 2$ .

$g^{'} (x)$
$= 2 \times (- 2) \times (1 - 2 x)$
$g^{'} (x)$
$= 8 x - 4$
c)
$u (x) = x^{2} + 3$ , $u^{'} (x) = 2 x$ : $h^{'} (x) = 3 \times 2 x \times (x^{2} + 3)^{2}$ , soit $h^{'} (x) = 6 x (x^{2} + 3)^{2}$ .
d)
$u (x) = 4 x - 1$ , $u^{'} (x) = 4$ : $k^{'} (x) = 5 \times 4 \times (4 x - 1)^{4}$ , soit $k^{'} (x) = 20 (4 x - 1)^{4}$ .
e)
$u (x) = 2 x + 6$ , $u^{'} (x) = 2$ , avec $u (x) > 0$ pour $x > - 3$ .

$m^{'} (x)$
$= \frac{2}{2 2 x + 6}$
$m^{'} (x)$
$= \frac{1}{2 x + 6}$
on simplifie par $2$
f)
$u (x) = x^{2} + 4$ , $u^{'} (x) = 2 x$ , avec $u (x) > 0$ sur $R$ .

$p^{'} (x)$
$= \frac{2 x}{2 x ^{2} + 4}$
$p^{'} (x)$
$= \frac{x}{x ^{2} + 4}$

→ Erreur fréquente : oublier le facteur $u^{'}$ ( $2 (3 x + 1)$ au lieu de $6 (3 x + 1)$ ).

Exercice 37 — Cosinus, sinus et formule générale

1.
Calculer la dérivée de chaque fonction.
1. a)
  $f (x) = sin (3 x)$
2. b)
  $g (x) = cos (5 x + 1)$
3. c)
  $h (x) = sin (x^{2})$
4. d)
  $k (x) = cos (1 - x)$
2.
On admet qu'une fonction $g$ a pour dérivée $g^{'} (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ . Avec la formule $f^{'} (x) = u^{'} (x) \times g^{'} (u (x))$ , calculer la dérivée de $f (x) = g (2 x)$ .

Corrigé

1.
On applique $(cos u)^{'} = - u^{'} sin u$ et $(sin u)^{'} = u^{'} cos u$ .
1. a)
  $u (x) = 3 x$ , $u^{'} (x) = 3$ : $f^{'} (x) = 3 cos (3 x)$ .
2. b)
  $u (x) = 5 x + 1$ , $u^{'} (x) = 5$ : $g^{'} (x) = - 5 sin (5 x + 1)$ .
3. c)
  $u (x) = x^{2}$ , $u^{'} (x) = 2 x$ : $h^{'} (x) = 2 x cos (x^{2})$ .
4. d)
  $u (x) = 1 - x$ , $u^{'} (x) = - 1$ : $k^{'} (x) = - (- 1) sin (1 - x)$ , soit $k^{'} (x) = sin (1 - x)$ .
2.
$u (x) = 2 x$ , $u^{'} (x) = 2$ , et $g^{'} (u (x)) = \frac{1}{1 + ( 2 x ) ^{2}}$ .

$f^{'} (x)$
$= 2 \times \frac{1}{1 + ( 2 x ) ^{2}}$
$u^{'} (x) \times g^{'} (u (x))$
$f^{'} (x)$
$= \frac{2}{1 + 4 x ^{2}}$

Exercice 38 — Composée et tangente

On considère $f (x) = x^{2} + 9$ , définie sur $R$ .

1.
Calculer $f^{'} (x)$ .
2.
Calculer $f (4)$ et $f^{'} (4)$ .
3.
Donner une équation de la tangente à $C_{f}$ au point d'abscisse $4$ .
4.
En déduire une valeur approchée de $f (4, 1)$ , puis la comparer avec la calculatrice.

Corrigé

1.
$u (x) = x^{2} + 9$ , $u^{'} (x) = 2 x$ , avec $u (x) > 0$ sur $R$ .

$f^{'} (x)$
$= \frac{2 x}{2 x ^{2} + 9}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{x}{x ^{2} + 9}$
2.
$f (4) = 25 = 5$ et $f^{'} (4) = \frac{4}{5} = 0, 8$ .
3.
$y = f^{'} (4) (x - 4) + f (4)$ :

$y$
$= 0, 8 (x - 4) + 5$
$y$
$= 0, 8 x + 1, 8$
4.
Avec $a = 4$ et $h = 0, 1$ : $f (4, 1) ≃ 5 + 0, 8 \times 0, 1 = 5, 08$ . La calculatrice donne $25, 81 = 5, 0803 \dots$ : juste au centième.

X Étude des variations d'une fonction

Exercice 39 — Du signe de $f^{'}$ aux variations de $f$

Une fonction $f$ est dérivable sur $[- 4; 5]$ ; voici le signe de $f^{'} (x)$ .

On sait que $f (- 4) = 2$ , $f (- 1) = - 3$ , $f (3) = 4$ et $f (5) = 1$ .

1.
Dresser le tableau de variations de $f$ .
2.
Comparer $f (0)$ et $f (2)$ .

Corrigé

1.
$f^{'}$ négative : $f$ décroissante ; $f^{'}$ positive : $f$ croissante.
2.
$f$ est croissante sur $[- 1; 3]$ et $0 < 2$ , donc $f (0) ⩽ f (2)$ (et même $f (0) < f (2)$ , car $f^{'} (x) > 0$ entre $- 1$ et $3$ ).

Exercice 40 — Variations de polynômes

Dresser le tableau de variations de chaque fonction sur $R$ .

a)
$f (x) = x^{2} - 4 x + 7$
b)
$g (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 5$
c)
$h (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 1$
d)
$k (x) = x^{3} + 3 x - 2$

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = 2 x - 4$ s'annule en $2$ ; $f (2) = 4 - 8 + 7 = 3$ .
b)
$g^{'} (x) = - 6 x + 12$ s'annule en $2$ ; $g (2) = - 12 + 24 - 5 = 7$ .
c)
$h^{'} (x)$
$= 6 x^{2} - 6 x - 12$
$Δ$
$= (- 6)^{2} - 4 \times 6 \times (- 12) = 324$
$324 = 18$
$x_{1}$
$= \frac{6 - 18}{12} = - 1$
$x_{2}$
$= \frac{6 + 18}{12} = 2$
$h (- 1)$
$= - 2 - 3 + 12 + 1 = 8$
$h (2)$
$= 16 - 12 - 24 + 1 = - 19$

$h^{'} (x)$ est du signe de $a = 6$ , sauf entre les racines.
d)
$k^{'} (x) = 3 x^{2} + 3$ : un carré est positif, donc $k^{'} (x) ⩾ 3 > 0$ . $k$ est strictement croissante sur $R$ .

Exercice 41 — Variations d'un quotient

On considère $f (x) = \frac{x ^{2} + 3}{x + 1}$ sur $] - 1; + \infty [$ .

1.
Montrer que $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{( x + 1 ) ^{2}}$ .
2.
Étudier le signe de $f^{'} (x)$ sur $] - 1; + \infty [$ .
3.
Dresser le tableau de variations de $f$ .

Corrigé

1.
$u (x) = x^{2} + 3$ , $u^{'} (x) = 2 x$ ; $v (x) = x + 1$ , $v^{'} (x) = 1$ .

$f^{'} (x)$
$= \frac{2 x ( x + 1 ) - ( x ^{2} + 3 ) \times 1}{( x + 1 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{2 x ^{2} + 2 x - x ^{2} - 3}{( x + 1 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{( x + 1 ) ^{2}}$
2.
$(x + 1)^{2} > 0$ : $f^{'} (x)$ a le signe de $x^{2} + 2 x - 3$ , de racines $- 3$ et $1$ ( $Δ = 16$ ). Sur $] - 1; + \infty [$ , seule la racine $1$ compte : $f^{'} (x) < 0$ sur $] - 1; 1 [$ et $f^{'} (x) > 0$ sur $] 1; + \infty [$ .
3.
$f (1) = \frac{4}{2} = 2$ .

Exercice 42 — Lire le signe de la dérivée

On a tracé la courbe $C_{g}$ d'une fonction $g$ dérivable sur $[- 4; 4]$ . Ses tangentes sont horizontales aux points d'abscisses $- 2$ , $1$ et $3$ .

1.
Dresser le tableau de signes de $g^{'} (x)$ sur $[- 4; 4]$ .
2.
Dresser le tableau de variations de $g$ .

Corrigé

1.
La courbe descend, monte, descend puis monte ; $g^{'}$ s'annule aux tangentes horizontales.
2.

XI Extremums d'une fonction

Exercice 43 — Lire les extremums

Voici le tableau de variations d'une fonction $f$ dérivable sur $[- 2; 6]$ .

1.
Donner le maximum et le minimum de $f$ sur $[- 2; 6]$ .
2.
Donner le signe de $f^{'} (x)$ selon les valeurs de $x$ .
3.
Que vaut $f^{'} (1)$ ? Et $f^{'} (4)$ ?

Corrigé

1.
Maximum $5$ , atteint en $1$ ; minimum $- 3$ , atteint en $4$ ( $f (- 2) = 1$ et $f (6) = 0$ ne les dépassent pas).
2.
$f^{'} (x) ⩾ 0$ sur $[- 2; 1]$ , $f^{'} (x) ⩽ 0$ sur $[1; 4]$ , $f^{'} (x) ⩾ 0$ sur $[4; 6]$ .
3.
En $1$ et en $4$ , $f$ a un extremum local : la tangente y est horizontale, donc $f^{'} (1) = 0$ et $f^{'} (4) = 0$ .

Exercice 44 — Extremums d'un polynôme

On considère $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ sur $[0; 5]$ .

1.
Dresser le tableau de variations de $f$ .
2.
Donner le maximum et le minimum de $f$ sur $[0; 5]$ .
3.
$f$ a-t-elle un extremum local en $1$ ? Lequel ?

Corrigé

1.
$f^{'} (x)$
$= 3 x^{2} - 12 x + 9$
$f^{'} (x)$
$= 3 (x^{2} - 4 x + 3)$
racines $1$ et $3$ ( $Δ = 4$ )
$f (1)$
$= 1 - 6 + 9 + 1 = 5$
$f (3)$
$= 27 - 54 + 27 + 1 = 1$
$f (5)$
$= 125 - 150 + 45 + 1 = 21$

Et $f (0) = 1$ .
2.
Maximum $21$ , atteint en $5$ ; minimum $1$ , atteint en $0$ et en $3$ .
3.
Oui : $f^{'}$ s'annule en $1$ en passant de $+$ à $-$ ; $f$ a un maximum local égal à $5$ en $1$ (ce n'est pas le maximum sur $[0; 5]$ ).

Exercice 45 — Vrai ou faux

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifier.

1.
Si $f^{'} (2) = 0$ , alors $f$ a un extremum en $2$ .
2.
La fonction $g (x) = x^{3} + x$ n'a aucun extremum sur $R$ .
3.
La fonction $h (x) = x + \frac{1}{x}$ a pour minimum $2$ sur $] 0; + \infty [$ .

Corrigé

1.
Faux. Contre-exemple : $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x$ ; $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 12 = 3 (x - 2)^{2}$ s'annule en $2$ mais reste positive : $f$ est croissante, sans extremum en $2$ . Il faut que $f^{'}$ change de signe.
2.
Vrai. $g^{'} (x) = 3 x^{2} + 1 > 0$ : $g$ est strictement croissante sur $R$ , sans extremum.
3.
Vrai.

$h^{'} (x)$
$= 1 - \frac{1}{x ^{2}}$
$h^{'} (x)$
$= \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}}$
$h^{'} (x)$
$= \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x ^{2}}$

Sur $] 0; + \infty [$ , $h^{'} (x)$ a le signe de $x - 1$ : $h$ décroît puis croît, et son minimum est $h (1) = 1 + 1 = 2$ .

XII Étude complète d'une fonction

Exercice 46 — Étude d'un polynôme

On considère $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} - 1$ sur $[- 1; 3]$ .

1.
Justifier que $f$ est définie et dérivable sur $[- 1; 3]$ .
2.
Calculer $f^{'} (x)$ et l'écrire sous forme factorisée.
3.
Étudier le signe de $f^{'} (x)$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ .
4.
Donner les extremums locaux de $f$ , puis son maximum et son minimum sur $[- 1; 3]$ .
5.
Donner une équation de la tangente $T$ à $C_{f}$ au point d'abscisse $1$ .
6.
Avec un tableau de valeurs (pas de $0, 5$ ), tracer $T$ et $C_{f}$ dans un repère orthonormé d'unité $1$ cm.

Corrigé

1.
$f$ est un polynôme : elle est définie et dérivable sur $R$ , donc sur $[- 1; 3]$ .
2.
$f^{'} (x)$
$= - 3 x^{2} + 6 x$
$f^{'} (x)$
$= - 3 x (x - 2)$
racines $0$ et $2$
3.
$f^{'} (x)$ est du signe de $a = - 3$ (négatif) à l'extérieur des racines, positif entre elles.

$f (- 1)$
$= 1 + 3 - 1 = 3$
$f (0)$
$= - 1$
$f (2)$
$= - 8 + 12 - 1 = 3$
$f (3)$
$= - 27 + 27 - 1 = - 1$
4.
Minimum local $- 1$ en $0$ et maximum local $3$ en $2$ ( $f^{'}$ s'annule en changeant de signe). Sur $[- 1; 3]$ : maximum $3$ (atteint en $- 1$ et en $2$ ), minimum $- 1$ (atteint en $0$ et en $3$ ).
5.
$f (1) = - 1 + 3 - 1 = 1$ et $f^{'} (1) = - 3 + 6 = 3$ .

$y$
$= 3 (x - 1) + 1$
$y$
$= 3 x - 2$
6.
$x$ $- 1$ $- 0, 5$ $0$ $0, 5$ $1$ $1, 5$ $2$ $2, 5$ $3$
$f (x)$ $3$ $- 0, 125$ $- 1$ $- 0, 375$ $1$ $2, 375$ $3$ $2, 125$ $- 1$

→ En $1$ , la courbe traverse sa tangente : ce n'est pas une erreur de tracé.

Exercice 47 — Étude d'un quotient défini sur $R$

On considère $f (x) = \frac{2 x + 1}{x ^{2} + 2}$ .

1.
Justifier que $f$ est définie sur $R$ .
2.
Montrer que $f^{'} (x) = \frac{- 2 ( x + 2 ) ( x - 1 )}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}}$ .
3.
Étudier le signe de $f^{'} (x)$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ .
4.
Donner les extremums locaux de $f$ .
5.
Donner une équation de la tangente $T$ à $C_{f}$ au point d'abscisse $0$ .
6.
Avec un tableau de valeurs (pas de $1$ ), tracer $T$ et $C_{f}$ sur $[- 4; 4]$ , dans un repère orthonormé d'unité $2$ cm.

Corrigé

1.
$x^{2} + 2 ⩾ 2 > 0$ : le dénominateur ne s'annule jamais, $f$ est définie sur $R$ .
2.
$u (x) = 2 x + 1$ , $u^{'} (x) = 2$ ; $v (x) = x^{2} + 2$ , $v^{'} (x) = 2 x$ .

$f^{'} (x)$
$= \frac{2 ( x ^{2} + 2 ) - ( 2 x + 1 ) \times 2 x}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{2 x ^{2} + 4 - 4 x ^{2} - 2 x}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{- 2 x ^{2} - 2 x + 4}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{- 2 ( x + 2 ) ( x - 1 )}{( x ^{2} + 2 ) ^{2}}$
$x^{2} + x - 2$ a pour racines $- 2$ et $1$
3.
Le dénominateur est positif : $f^{'} (x)$ a le signe de $- 2 x^{2} - 2 x + 4$ , négatif à l'extérieur des racines ( $a = - 2$ ), positif entre elles.

$f (- 2)$
$= \frac{- 3}{6} = - \frac{1}{2}$
$f (1)$
$= \frac{3}{3} = 1$
4.
Minimum local $- \frac{1}{2}$ en $- 2$ ; maximum local $1$ en $1$ .
5.
$f (0) = \frac{1}{2}$ et $f^{'} (0) = \frac{4}{4} = 1$ , donc $y = x + \frac{1}{2}$ .
6.
Valeurs arrondies au centième :

$x$ $- 4$ $- 3$ $- 2$ $- 1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$
$f (x)$ $- 0, 39$ $- 0, 45$ $- 0, 5$ $- 0, 33$ $0, 5$ $1$ $0, 83$ $0, 64$ $0, 5$

Exercice 48 — Étude d'un quotient avec une valeur interdite

On considère $f (x) = \frac{x ^{2} - 3}{x - 2}$ .

1.
Déterminer l'ensemble de définition de $f$ .
2.
Montrer que $f^{'} (x) = \frac{( x - 1 ) ( x - 3 )}{( x - 2 ) ^{2}}$ .
3.
Étudier le signe de $f^{'} (x)$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ .
4.
Donner les extremums locaux de $f$ . Que remarque-t-on ?
5.
Donner une équation de la tangente $T$ à $C_{f}$ au point d'abscisse $0$ .
6.
Avec un tableau de valeurs, tracer $T$ et $C_{f}$ sur $[- 3; 1, 5]$ et sur $[2, 5; 7]$ , dans un repère orthonormé d'unité $1$ cm.

Corrigé

1.
Le dénominateur s'annule en $2$ : $f$ est définie sur $R ∖ {2}$ .
2.
$u (x) = x^{2} - 3$ , $u^{'} (x) = 2 x$ ; $v (x) = x - 2$ , $v^{'} (x) = 1$ .

$f^{'} (x)$
$= \frac{2 x ( x - 2 ) - ( x ^{2} - 3 ) \times 1}{( x - 2 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{2 x ^{2} - 4 x - x ^{2} + 3}{( x - 2 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{x ^{2} - 4 x + 3}{( x - 2 ) ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{( x - 1 ) ( x - 3 )}{( x - 2 ) ^{2}}$
racines $1$ et $3$
3.
$(x - 2)^{2} > 0$ : $f^{'} (x)$ a le signe de $x^{2} - 4 x + 3$ , positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles. La double barre marque la valeur interdite $2$ .

$f (1)$
$= \frac{- 2}{- 1} = 2$
$f (3)$
$= \frac{6}{1} = 6$
4.
Maximum local $2$ en $1$ ; minimum local $6$ en $3$ . Le maximum local est plus petit que le minimum local : c'est possible, car la valeur interdite $2$ sépare les deux morceaux de la courbe.
5.
$f (0) = \frac{- 3}{- 2} = \frac{3}{2}$ et $f^{'} (0) = \frac{( - 1 ) ( - 3 )}{4} = \frac{3}{4}$ .

$y$
$= \frac{3}{4} (x - 0) + \frac{3}{2}$
$y$
$= \frac{3}{4} x + \frac{3}{2}$
6.
Valeurs arrondies au centième :

$x$ $- 3$ $- 2$ $- 1$ $0$ $1$ $1, 5$
$f (x)$ $- 1, 2$ $- 0, 25$ $0, 67$ $1, 5$ $2$ $1, 5$

$x$ $2, 5$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$
$f (x)$ $6, 5$ $6$ $6, 5$ $7, 33$ $8, 25$ $9, 2$

→ On ne relie jamais les deux morceaux de la courbe : $f$ n'existe pas en $2$ .

XIII Problèmes concrets

Exercice 49 — Le vol d'une montgolfière

Une montgolfière décolle d'un village de montagne à 10 h 50. Son altitude, en centaines de mètres, est $f (t) = \frac{8 t + 6}{t ^{2} + 1}$ , où $t \in [0; 5]$ est le temps en heures écoulé depuis le décollage.

1.
À quelle altitude se trouve le village ?
2.
Montrer que $f^{'} (t) = \frac{- 4 ( 2 t - 1 ) ( t + 2 )}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}$ .
3.
Étudier le signe de $f^{'} (t)$ sur $[0; 5]$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ .
4.
À quelle heure la montgolfière commence-t-elle à perdre de l'altitude ? Quelle est alors son altitude ?
5.
À quelle heure revient-elle à l'altitude du village ?

Corrigé

1.
$f (0) = \frac{6}{1} = 6$ : le village est à $600 m$ d'altitude.
2.
$u (t) = 8 t + 6$ , $u^{'} (t) = 8$ ; $v (t) = t^{2} + 1$ , $v^{'} (t) = 2 t$ .

$f^{'} (t)$
$= \frac{8 ( t ^{2} + 1 ) - ( 8 t + 6 ) \times 2 t}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}$
$f^{'} (t)$
$= \frac{8 t ^{2} + 8 - 16 t ^{2} - 12 t}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}$
$f^{'} (t)$
$= \frac{- 8 t ^{2} - 12 t + 8}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}$
$f^{'} (t)$
$= \frac{- 4 ( 2 t ^{2} + 3 t - 2 )}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}$
on factorise par $- 4$
$f^{'} (t)$
$= \frac{- 4 ( 2 t - 1 ) ( t + 2 )}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}$
$(2 t - 1) (t + 2) = 2 t^{2} + 3 t - 2$
3.
Sur $[0; 5]$ , $(t^{2} + 1)^{2} > 0$ et $t + 2 > 0$ : $f^{'} (t)$ a le signe de $- 4 (2 t - 1)$ , positif pour $t < 0, 5$ , négatif après.

$f (0, 5)$
$= \frac{4 + 6}{1 , 25} = 8$
$f (5)$
$= \frac{46}{26} = \frac{23}{13}$
environ $1, 8$
4.
$0, 5$ h $= 30$ min : la montgolfière commence à descendre à $11 h 20$ , à $800 m$ d'altitude.
5.
On résout $f (t) = 6$ avec $t > 0$ :

$8 t + 6$
$= 6 (t^{2} + 1)$
on multiplie par $t^{2} + 1 > 0$
$6 t^{2} - 8 t$
$= 0$
$2 t (3 t - 4)$
$= 0$

$t = \frac{4}{3}$ h, soit $1$ h $20$ min : elle revient à l'altitude du village à $12 h 10$ .

Exercice 50 — Des bactéries et un antibiotique

Un antibiotique est ajouté à un milieu de culture. Le nombre de bactéries, en milliers, est $N (t) = t^{3} - 12 t^{2} + 36 t + 10$ , où $t \in [0; 8]$ est le temps en heures. La vitesse de croissance de la population, en milliers de bactéries par heure, est $N^{'} (t)$ .

1.
Calculer $N (0)$ et interpréter le résultat.
2.
Montrer que $N^{'} (t) = 3 (t - 2) (t - 6)$ .
3.
Dresser le tableau de variations de $N$ sur $[0; 8]$ .
4.
Calculer $N^{'} (0)$ et $N^{'} (4)$ , puis interpréter ces deux nombres.
5.
Montrer que $N (t) - 10 = t (t - 6)^{2}$ . Le nombre de bactéries peut-il descendre sous sa valeur de départ ?

Corrigé

1.
$N (0) = 10$ : il y a $10000$ bactéries au départ.
2.
$N^{'} (t)$
$= 3 t^{2} - 24 t + 36$
$3 (t - 2) (t - 6)$
$= 3 (t^{2} - 8 t + 12)$
$3 (t - 2) (t - 6)$
$= 3 t^{2} - 24 t + 36$
on retrouve $N^{'} (t)$
3.
$N^{'} (t)$ est du signe de $3$ à l'extérieur des racines $2$ et $6$ , négatif entre elles.

$N (2)$
$= 8 - 48 + 72 + 10 = 42$
$N (6)$
$= 216 - 432 + 216 + 10 = 10$
$N (8)$
$= 512 - 768 + 288 + 10 = 42$
4.
$N^{'} (0) = 36$ : au départ, la population augmente de $36000$ bactéries par heure. $N^{'} (4) = 3 \times 2 \times (- 2) = - 12$ : à $t = 4$ , elle diminue de $12000$ bactéries par heure.
5.
$t (t - 6)^{2}$
$= t (t^{2} - 12 t + 36)$
$t (t - 6)^{2}$
$= t^{3} - 12 t^{2} + 36 t$
c'est $N (t) - 10$

Sur $[0; 8]$ , $t ⩾ 0$ et $(t - 6)^{2} ⩾ 0$ , donc $N (t) - 10 ⩾ 0$ : non, le nombre de bactéries ne descend jamais sous $10000$ (il y revient à $t = 6$ ).

Exercice 51 — Le coût moyen d'un artisan

Un artisan fabrique entre $5$ et $50$ lampes par mois. Le coût moyen d'une lampe, en euros, est $M (x) = x + \frac{400}{x}$ , où $x \in [5; 50]$ est le nombre de lampes.

1.
Calculer $M (10)$ et interpréter le résultat.
2.
Montrer que $M^{'} (x) = \frac{( x - 20 ) ( x + 20 )}{x ^{2}}$ .
3.
Dresser le tableau de variations de $M$ . Combien de lampes faut-il fabriquer pour que le coût moyen soit le plus bas ? Quel est-il ?
4.
Vrai ou faux ? Justifier. « Le coût moyen est d'au plus $50$ € dès que l'artisan fabrique entre $10$ et $40$ lampes. »
5.
Vrai ou faux ? Justifier. « La tangente à la courbe de $M$ au point d'abscisse $10$ est parallèle à la droite d'équation $y = - 2 x + 1$ . »

Corrigé

1.
$M (10) = 10 + 40 = 50$ : pour $10$ lampes, une lampe coûte en moyenne $50 €$ .
2.
$M^{'} (x)$
$= 1 - \frac{400}{x ^{2}}$
$M^{'} (x)$
$= \frac{x ^{2} - 400}{x ^{2}}$
même dénominateur
$M^{'} (x)$
$= \frac{( x - 20 ) ( x + 20 )}{x ^{2}}$
$x^{2} - 400 = (x - 20) (x + 20)$
3.
Sur $[5; 50]$ , $x^{2} > 0$ et $x + 20 > 0$ : $M^{'} (x)$ a le signe de $x - 20$ .

$M (5)$
$= 5 + 80 = 85$
$M (20)$
$= 20 + 20 = 40$
$M (50)$
$= 50 + 8 = 58$

Il faut fabriquer $20$ lampes ; le coût moyen est alors de $40 €$ .
4.
On résout $M (x) ⩽ 50$ :

$x + \frac{400}{x}$
$⩽ 50$
$x^{2} + 400$
$⩽ 50 x$
on multiplie par $x > 0$
$x^{2} - 50 x + 400$
$⩽ 0$

$Δ$
$= 2500 - 1600 = 900$
$x_{1}$
$= \frac{50 - 30}{2} = 10$
$x_{2}$
$= \frac{50 + 30}{2} = 40$

Le trinôme est négatif entre ses racines : $M (x) ⩽ 50$ pour $10 ⩽ x ⩽ 40$ . L'affirmation est vraie.
5.
$M^{'} (10) = \frac{( - 10 ) \times 30}{100} = - 3$ : la tangente a pour coefficient directeur $- 3$ , et la droite $- 2$ . L'affirmation est fausse.

$x$	$- 1$	$- 0, 5$	$0$	$0, 5$	$1$	$1, 5$	$2$	$2, 5$	$3$
$f (x)$	$3$	$- 0, 125$	$- 1$	$- 0, 375$	$1$	$2, 375$	$3$	$2, 125$	$- 1$

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f (x)$	$- 0, 39$	$- 0, 45$	$- 0, 5$	$- 0, 33$	$0, 5$	$1$	$0, 83$	$0, 64$	$0, 5$

$x$	$2, 5$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$f (x)$	$6, 5$	$6$	$6, 5$	$7, 33$	$8, 25$	$9, 2$

ExercicesChapitre 4 — Dérivation

I Limite en zéro d'une fonction

Exercice 1 — Conjecturer avec un tableau de valeurs

Exercice 2 — Calculer des limites en zéro

Exercice 3 — Avec une identité remarquable

Exercice 4 — Limites quand h tend vers 0

II Nombre dérivé

Exercice 5 — Nombre dérivé par la définition

Exercice 6 — Le taux de variation est donné

Exercice 7 — Avec des fractions

Exercice 8 — Pour un nombre a quelconque

III Tangente à une courbe

Exercice 9 — Lecture graphique

Exercice 10 — Équation de la tangente

Exercice 11 — Nombre dérivé, puis tangente

Exercice 12 — Tangente passant par un point

IV Approximation linéaire

Exercice 13 — Valeurs approchées sans calculatrice

Exercice 14 — Augmentations et baisses successives

Exercice 15 — Courbe et tangente

V Dérivées des fonctions polynômes

Exercice 16 — Dériver un polynôme

Exercice 17 — Avec des fractions

Exercice 18 — Développer d'abord

Exercice 19 — Entraînement : polynômes

Exercice 20 — Fonction dérivée et nombres dérivés

VI Dérivées des autres fonctions de référence

Exercice 21 — Nombres dérivés des fonctions de référence

Exercice 22 — Dériver avec les fonctions de référence

Exercice 23 — Entraînement : fonctions de référence

Exercice 24 — Tangentes aux courbes de référence

VII Dérivée d'une somme et d'un produit

Exercice 25 — Dériver une somme

Exercice 26 — Dériver un produit

Exercice 27 — Entraînement : sommes et produits

Exercice 28 — Deux façons de dériver

Exercice 29 — Produit et tangente

VIII Dérivée d'un inverse et d'un quotient

Exercice 30 — Dériver un inverse

Exercice 31 — Dériver un quotient

Exercice 32 — Entraînement : inverses et quotients

Exercice 33 — Choisir la bonne formule

Exercice 34 — Tangentes à une hyperbole

Exercice 35 — Deux fonctions, une même dérivée

IX Dérivée des fonctions composées

Exercice 36 — Dériver une puissance, une racine

Exercice 37 — Cosinus, sinus et formule générale

Exercice 38 — Composée et tangente

X Étude des variations d'une fonction

Exercice 39 — Du signe de f′ aux variations de f

Exercice 40 — Variations de polynômes

Exercice 41 — Variations d'un quotient

Exercice 42 — Lire le signe de la dérivée

XI Extremums d'une fonction

Exercice 43 — Lire les extremums

Exercice 44 — Extremums d'un polynôme

Exercice 45 — Vrai ou faux

XII Étude complète d'une fonction

Exercice 46 — Étude d'un polynôme

Exercice 47 — Étude d'un quotient défini sur R

Exercice 48 — Étude d'un quotient avec une valeur interdite

XIII Problèmes concrets

Exercice 49 — Le vol d'une montgolfière

Exercice 50 — Des bactéries et un antibiotique

Exercice 51 — Le coût moyen d'un artisan

Exercice 4 — Limites quand $h$ tend vers $0$

Exercice 8 — Pour un nombre $a$ quelconque

Exercice 39 — Du signe de $f^{'}$ aux variations de $f$

Exercice 47 — Étude d'un quotient défini sur $R$