ExercicesChapitre 5 — Suites numériques

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Cours Exercices Corrigé des exercices Enseignants : chapitre complet

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Cours complet, avec les exercices

Sommaire

I — Définition d'une suite
II — Suites définies explicitement
III — Suites définies par récurrence
IV — Calculatrice
V — Programmer en Python
VI — Représentation graphique
VII — Sens de variation : signe de $u_{n + 1} - u_{n}$
VIII — Sens de variation : quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$
IX — Sens de variation : fonction associée
X — Notion de limite
XI — Problèmes : déterminer un seuil

I Définition d'une suite

Exercice 1 — Repérer les termes et les rangs

Une suite $(u_{n})$ , de premier terme $u_{0}$ , commence par : $5$ ; $9$ ; $13$ ; $17$ ; $21$ ; $25$ .

1.
Donner $u_{0}$ et $u_{3}$ .
2.
Quel est le rang du terme $21$ ?
3.
Quel est le 4^e terme de la suite ?
4.
Donner le terme qui suit $u_{3}$ , puis celui qui le précède.

Corrigé

On numérote à partir de $0$ : $u_{0} = 5$ ; $u_{1} = 9$ ; $u_{2} = 13$ ; $u_{3} = 17$ ; $u_{4} = 21$ ; $u_{5} = 25$ .

1.
$u_{0} = 5$ et $u_{3} = 17$ .
2.
$21 = u_{4}$ : le terme $21$ est de $rang 4$ .
3.
Le 4^e terme est $u_{3} = 17$ (on compte $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ ).
4.
Le terme suivant est $u_{4} = 21$ ; le précédent est $u_{2} = 13$ .

Exercice 2 — Une suite qui commence à $u_{1}$

Une suite $(v_{n})$ , de premier terme $v_{1}$ , commence par : $1$ ; $4$ ; $9$ ; $16$ ; $25$ .

1.
Donner $v_{1}$ et $v_{4}$ .
2.
Quel est le 5^e terme de la suite ? Quel est son rang ?
3.
Conjecturer une expression de $v_{n}$ en fonction de $n$ .

Corrigé

1.
$v_{1} = 1$ et $v_{4} = 16$ .
2.
Le premier terme est $v_{1}$ : le 5^e terme est $v_{5} = 25$ , de rang $5$ .
3.
Ce sont les carrés des rangs : on conjecture $v_{n} = n^{2}$ .

Exercice 3 — Premier rang

Pour chaque suite, donner le premier rang $n_{0}$ à partir duquel elle est définie.

a)
$u_{n} = \frac{5}{n}$
b)
$v_{n} = n - 3$
c)
$w_{n} = \frac{4}{n - 5}$
d)
$t_{n} = n + \frac{1}{n}$

Corrigé

a)
Il faut $n \neq = 0$ : $n_{0} = 1$ .
b)
Il faut $n - 3 ⩾ 0$ , soit $n ⩾ 3$ : $n_{0} = 3$ .
c)
Il faut $n - 5 > 0$ (racine et division), soit $n > 5$ : $n_{0} = 6$ .
d)
Il faut $n ⩾ 0$ (racine) et $n \neq = 0$ (division) : $n_{0} = 1$ .

Exercice 4 — Les décimales de $\frac{1}{7}$

On a $\frac{1}{7} = 0, 142857142857 \dots$ On note $u_{n}$ le $n$ -ième chiffre après la virgule ; ainsi $u_{1} = 1$ et $u_{2} = 4$ .

1.
Donner $u_{3}$ à $u_{8}$ . Quel est le premier rang de cette suite ?
2.
Calculer $u_{20}$ , puis $u_{100}$ , sans écrire toutes les décimales.

Corrigé

1.
$u_{3} = 2$ ; $u_{4} = 8$ ; $u_{5} = 5$ ; $u_{6} = 7$ ; $u_{7} = 1$ ; $u_{8} = 4$ . Le premier rang est $1$ ( $u_{1}$ est la première décimale).
2.
Les chiffres $1$ ; $4$ ; $2$ ; $8$ ; $5$ ; $7$ se répètent tous les $6$ rangs. $20 = 3 \times 6 + 2$ , donc $u_{20} = u_{2} = 4$ ; $100 = 16 \times 6 + 4$ , donc $u_{100} = u_{4} = 8$ .

→ Le reste de la division par $6$ donne la position dans le motif.

II Suites définies explicitement

Exercice 5 — Calculer des termes

Pour chaque suite, calculer le terme de rang $0$ , de rang $1$ et de rang $5$ .

a)
$u_{n} = 4 n - 3$
b)
$v_{n} = n^{2} - 2 n + 3$
c)
$w_{n} = \frac{3 n + 2}{n + 1}$
d)
$t_{n} = 2^{n} - 1$

Corrigé

a)
$u_{0} = - 3$ ; $u_{1} = 1$ ; $u_{5} = 4 \times 5 - 3 = 17$ .
b)
$v_{0} = 3$ ; $v_{1} = 2$ ; $v_{5} = 25 - 10 + 3 = 18$ .
c)
$w_{0} = \frac{2}{1} = 2$ ; $w_{1} = \frac{5}{2}$ ; $w_{5} = \frac{17}{6}$ .
d)
$t_{0} = 2^{0} - 1 = 0$ ; $t_{1} = 1$ ; $t_{5} = 32 - 1 = 31$ .

Exercice 6 — Retrouver un rang

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $u_{n} = 3 n + 7$ .

1.
Calculer $u_{10}$ .
2.
Pour quel rang $n$ a-t-on $u_{n} = 52$ ?
3.
Le nombre $101$ est-il un terme de la suite ? Justifier.

Corrigé

1.
$u_{10} = 3 \times 10 + 7 = 37$ .
2.
$3 n + 7$
$= 52$
on résout
$3 n$
$= 45$
$n$
$= 15$

$u_{15} = 52$ .
3.
$3 n + 7 = 101$ donne $3 n = 94$ , soit $n = \frac{94}{3}$ , qui n'est pas entier : $101 n’est pas un terme$ .

Exercice 7 — Exprimer $u_{n + 1}$ et $u_{n - 1}$

Pour chaque suite, exprimer le terme de rang $n + 1$ et celui de rang $n - 1$ en fonction de $n$ (pour $n ⩾ 1$ ).

a)
$u_{n} = 5 n - 2$
b)
$v_{n} = n^{2} - 4 n$
c)
$w_{n} = \frac{n + 3}{2 n + 1}$

Corrigé

a)
$u_{n + 1} = 5 (n + 1) - 2 = 5 n + 3$ ; $u_{n - 1} = 5 (n - 1) - 2 = 5 n - 7$ .
b)
$v_{n + 1}$
$= (n + 1)^{2} - 4 (n + 1)$
on remplace $n$ par $(n + 1)$
$v_{n + 1}$
$= n^{2} + 2 n + 1 - 4 n - 4$
$v_{n + 1}$
$= n^{2} - 2 n - 3$
$v_{n - 1}$
$= (n - 1)^{2} - 4 (n - 1)$
$v_{n - 1}$
$= n^{2} - 2 n + 1 - 4 n + 4$
$v_{n - 1}$
$= n^{2} - 6 n + 5$

$v_{n + 1} = n^{2} - 2 n - 3$ et $v_{n - 1} = n^{2} - 6 n + 5$ .
c)
$w_{n + 1} = \frac{( n + 1 ) + 3}{2 ( n + 1 ) + 1} = \frac{n + 4}{2 n + 3}$ ; $w_{n - 1} = \frac{( n - 1 ) + 3}{2 ( n - 1 ) + 1} = \frac{n + 2}{2 n - 1}$ .

Exercice 8 — Ne pas confondre

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $u_{n} = n^{2} + 2 n$ . Exprimer en fonction de $n$ : a) $u_{n + 1}$ b) $u_{n} + 1$ c) $u_{2 n}$ d) $2 u_{n}$ .

Corrigé

a)
$u_{n + 1}$
$= (n + 1)^{2} + 2 (n + 1)$
$u_{n + 1}$
$= n^{2} + 2 n + 1 + 2 n + 2 = n^{2} + 4 n + 3$
b)
$u_{n} + 1 = n^{2} + 2 n + 1$ .
c)
$u_{2 n} = (2 n)^{2} + 2 \times 2 n = 4 n^{2} + 4 n$ .
d)
$2 u_{n} = 2 n^{2} + 4 n$ .

→ Quatre expressions différentes : on remplace $n$ (a, c) ou l'on opère sur le terme (b, d).

III Suites définies par récurrence

Exercice 9 — Calculer de proche en proche

Pour chaque suite, calculer les trois termes qui suivent le premier.

a)
$u_{0} = 3$ et, pour tout $n$ , $u_{n + 1} = 2 u_{n} - 1$ .
b)
$v_{0} = 2$ et, pour tout $n$ , $v_{n + 1} = v_{n} + 3 n - 1$ .
c)
$w_{1} = 16$ et, pour tout $n ⩾ 1$ , $w_{n + 1} = \frac{w _{n}}{2} + 4$ .

Corrigé

a)
$u_{1} = 2 \times 3 - 1 = 5$ ; $u_{2} = 2 \times 5 - 1 = 9$ ; $u_{3} = 2 \times 9 - 1 = 17$ .
b)
$v_{1} = v_{0} + 3 \times 0 - 1 = 1$ ; $v_{2} = v_{1} + 3 \times 1 - 1 = 3$ ; $v_{3} = v_{2} + 3 \times 2 - 1 = 8$ .
c)
$w_{2} = \frac{16}{2} + 4 = 12$ ; $w_{3} = \frac{12}{2} + 4 = 10$ ; $w_{4} = \frac{10}{2} + 4 = 9$ .

→ En b), le $n$ de la relation est le rang du terme précédent.

Exercice 10 — Avec un carré, avec une fraction

Pour chaque suite, calculer les trois termes qui suivent le premier.

a)
$a_{0} = 1$ et, pour tout $n$ , $a_{n + 1} = a_{n}^{2} + 1$ .
b)
$b_{0} = 1$ et, pour tout $n$ , $b_{n + 1} = \frac{1}{1 + b _{n}}$ .

Corrigé

a)
$a_{1} = 1^{2} + 1 = 2$ ; $a_{2} = 2^{2} + 1 = 5$ ; $a_{3} = 5^{2} + 1 = 26$ .
b)
$b_{1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$ ; $b_{2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$ ; $b_{3} = \frac{1}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{3}{5}$ .

Exercice 11 — Traduire une situation

Pour chaque situation, donner le premier terme $u_{0}$ et la relation de récurrence.

a)
Un salaire de $1800$ € augmente de $2 %$ par an ; $u_{n}$ est le salaire au bout de $n$ années.
b)
Une ville compte $12000$ habitants ; chaque année, $5 %$ des habitants partent et $900$ personnes arrivent.
c)
Un réservoir contient $500$ L d'eau et en perd $40$ L par jour.

Corrigé

a)
$u_{0} = 1800$ et $u_{n + 1} = 1, 02 u_{n}$ ( $+ 2 %$ : on multiplie par $1, 02$ ).
b)
$u_{0} = 12000$ et $u_{n + 1} = 0, 95 u_{n} + 900$ (il reste $95 %$ , puis on ajoute les arrivants).
c)
$u_{0} = 500$ et $u_{n + 1} = u_{n} - 40$ .

Exercice 12 — Une forêt

Une forêt compte $5000$ arbres en 2026. Chaque année, on abat $8 %$ des arbres et on en plante $300$ . On note $u_{n}$ le nombre d'arbres en $2026 + n$ .

1.
Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
2.
Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = 0, 92 u_{n} + 300$ .

Corrigé

1.
$u_{1} = 5000 - 0, 08 \times 5000 + 300 = 5000 - 400 + 300 = 4900$ ; $u_{2} = 0, 92 \times 4900 + 300 = 4508 + 300 = 4808$ .
2.
Abattre $8 %$ , c'est multiplier par $1 - 0, 08 = 0, 92$ ; on ajoute ensuite les $300$ arbres plantés : $u_{n + 1} = 0, 92 u_{n} + 300$ .

IV Calculatrice

Exercice 13 — Afficher des termes

Pour tout entier $n$ , on pose $u_{n} = n^{2} - 10 n + 30$ ; la suite $(v_{n})$ est définie par $v_{0} = 3$ et $v_{n + 1} = 2 v_{n} - 2$ .

1.
Afficher les termes $u_{0}$ à $u_{10}$ et les recopier.
2.
Représenter $(u_{n})$ à la calculatrice avec une fenêtre adaptée.
3.
Donner $v_{10}$ et $v_{20}$ .

Corrigé

1.
Explicite, Tableau de $0$ à $10$ :

$n$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$
$u_{n}$ $30$ $21$ $14$ $9$ $6$ $5$ $6$ $9$ $14$ $21$ $30$
2.
Par exemple $X$ de $0$ à $11$ et $Y$ de $0$ à $32$ .
3.
Récurrente d'ordre 1 : $v_{10} = 1026$ et $v_{20} = 1048578$ .

Exercice 14 — Conjecturer une expression

La suite $(w_{n})$ est définie par $w_{0} = 1$ et $w_{n + 1} = w_{n} + 2 n + 1$ .

1.
À la calculatrice, afficher $w_{0}$ à $w_{6}$ , puis donner $w_{10}$ et $w_{50}$ .
2.
Conjecturer une expression de $w_{n}$ en fonction de $n$ .

Corrigé

1.
$w_{0}$ à $w_{6}$ : $1$ ; $2$ ; $5$ ; $10$ ; $17$ ; $26$ ; $37$ . Puis $w_{10} = 101$ et $w_{50} = 2501$ .
2.
Chaque terme est un carré plus $1$ : $w_{n} = n^{2} + 1$ .

Exercice 15 — Représenter et conjecturer

Pour tout entier $n$ , on pose $t_{n} = \frac{20}{n + 1}$ .

1.
Afficher les termes $t_{0}$ à $t_{9}$ (arrondis à $0, 01$ ).
2.
Représenter la suite à la calculatrice et conjecturer son sens de variation.

Corrigé

1.
$20$ ; $10$ ; $6, 67$ ; $5$ ; $4$ ; $3, 33$ ; $2, 86$ ; $2, 5$ ; $2, 22$ ; $2$ .
2.
Les points descendent : la suite semble $d \overset{e}{ˊ} croissante$ .

Exercice 16 — Le carré ou la puissance ?

Pour tout entier $n$ , on pose $u_{n} = n^{2}$ et $v_{n} = 2^{n}$ .

1.
Afficher côte à côte les termes $u_{0}$ à $u_{10}$ et $v_{0}$ à $v_{10}$ .
2.
Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $u_{n} > v_{n}$ ? $u_{n} = v_{n}$ ?
3.
Que peut-on conjecturer pour $n ⩾ 5$ ?

Corrigé

1.
$n$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$
$n^{2}$ $0$ $1$ $4$ $9$ $16$ $25$ $36$ $49$ $64$ $81$ $100$
$2^{n}$ $1$ $2$ $4$ $8$ $16$ $32$ $64$ $128$ $256$ $512$ $1024$
2.
$u_{n} > v_{n}$ seulement pour $n = 3$ ; $u_{n} = v_{n}$ pour $n = 2$ et $n = 4$ .
3.
On conjecture que, pour $n ⩾ 5$ , $2^{n} > n^{2}$ : l'écart grandit vite.

V Programmer en Python

Exercice 17 — Écrire la fonction

La suite $(v_{n})$ est définie par $v_{0} = 4$ et $v_{n + 1} = 3 v_{n} - 5$ .

1.
Écrire une fonction terme_v(n) qui renvoie $v_{n}$ .
2.
Que renvoie terme_v(10) ?

Corrigé

def terme_v(n):
    v = 4
    for i in range(n):
        v = 3*v - 5
    return v

terme_v(10) renvoie $88576$ .

Exercice 18 — Lire un programme

On considère la fonction ci-dessous.

def mystere(n):
    u = 5
    for i in range(n):
        u = u/2 + 3
    return u

1.
Quelle suite cette fonction calcule-t-elle ? Donner son premier terme et sa relation de récurrence.
2.
Calculer à la main ce que renvoient mystere(1), mystere(2) et mystere(3).

Corrigé

1.
La suite définie par $u_{0} = 5$ et $u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{2} + 3$ : la fonction renvoie $u_{n}$ .
2.
$mystere(1) = \frac{5}{2} + 3 = 5, 5$ ; $mystere(2) = \frac{5 , 5}{2} + 3 = 5, 75$ ; $mystere(3) = \frac{5 , 75}{2} + 3 = 5, 875$ .

Exercice 19 — Une relation qui dépend de $n$

La suite $(w_{n})$ est définie par $w_{0} = 0$ et $w_{n + 1} = w_{n} + 2 n + 3$ .

def terme_w(n):
    w = 0
    for i in range(n):
        w = ..........
    return w

1.
Calculer $w_{1}$ , $w_{2}$ et $w_{3}$ .
2.
Compléter la fonction (dans la boucle, i joue le rôle de $n$ ).
3.
Que renvoie terme_w(10) ?

Corrigé

1.
$w_{1} = 0 + 0 + 3 = 3$ ; $w_{2} = 3 + 2 + 3 = 8$ ; $w_{3} = 8 + 4 + 3 = 15$ .
2.
Ligne à compléter : w = w + 2*i + 3.
3.
terme_w(10) renvoie $120$ .

→ À la première boucle, i vaut $0$ : on calcule bien $w_{1}$ à partir de $w_{0}$ .

Exercice 20 — La suite de Fibonacci

La suite $(f_{n})$ est définie par $f_{0} = 1$ , $f_{1} = 1$ et, pour tout $n$ , $f_{n + 2} = f_{n + 1} + f_{n}$ : chaque terme est la somme des deux précédents.

def fibo(n):
    a = 1
    b = 1
    for i in range(n-1):
        a, b = b, ..........
    return b

1.
Calculer $f_{2}$ à $f_{6}$ .
2.
Compléter la fonction (a et b contiennent deux termes qui se suivent) pour qu'elle renvoie $f_{n}$ , pour $n ⩾ 1$ .
3.
Que renvoie fibo(20) ?

Corrigé

1.
$f_{2} = 2$ ; $f_{3} = 3$ ; $f_{4} = 5$ ; $f_{5} = 8$ ; $f_{6} = 13$ .
2.
Ligne à compléter : a, b = b, a + b (le nouveau terme est la somme des deux précédents).
3.
fibo(20) renvoie $10946$ .

VI Représentation graphique

Exercice 21 — Représenter une suite récurrente

La suite $(u_{n})$ est définie par $u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 2$ .

1.
Dresser le tableau des termes $u_{0}$ à $u_{5}$ .
2.
Représenter ces termes dans un repère.
3.
Conjecturer le sens de variation de la suite.

Corrigé

1.
$u_{0} = 2$ ; $u_{1} = 3$ ; $u_{2} = 3, 5$ ; $u_{3} = 3, 75$ ; $u_{4} = 3, 875$ ; $u_{5} = 3, 9375$ .
2.
Voir le graphique.
3.
Les points montent : la suite semble $croissante$ (et se rapprocher de $4$ ).

Exercice 22 — Représenter une suite explicite

Pour tout entier $n$ , on pose $v_{n} = \frac{( n - 3 ) ^{2}}{2}$ .

1.
Dresser le tableau des termes $v_{0}$ à $v_{6}$ .
2.
Représenter ces termes dans un repère.
3.
Décrire les variations de la suite d'après le graphique.

Corrigé

1.
$4, 5$ ; $2$ ; $0, 5$ ; $0$ ; $0, 5$ ; $2$ ; $4, 5$ .
2.
Voir le graphique.
3.
La suite $d \overset{e}{ˊ} cro \overset{ı}{ˆ} t jusqu’au rang 3$ , puis $cro \overset{ı}{ˆ} t$ .

Exercice 23 — Lire un nuage de points

On a représenté les premiers termes d'une suite $(u_{n})$ .

1.
Lire $u_{0}$ , $u_{2}$ et $u_{5}$ .
2.
Pour quels rangs a-t-on $u_{n} = 4$ ?
3.
Décrire les variations de la suite sur ces premiers termes.

Corrigé

1.
$u_{0} = 1$ ; $u_{2} = 4$ ; $u_{5} = 1$ .
2.
$u_{n} = 4$ pour $n = 2$ et $n = 3$ .
3.
La suite croît de $u_{0}$ à $u_{2}$ , reste égale à $4$ de $u_{2}$ à $u_{3}$ , puis décroît jusqu'à $u_{6} = 0$ .

Exercice 24 — Des points sur deux droites

Pour tout entier $n$ , on pose $u_{n} = (- 1)^{n} \times n$ .

1.
Calculer $u_{0}$ à $u_{6}$ , puis représenter ces termes.
2.
La suite est-elle croissante ? décroissante ?
3.
Sur quelle droite se trouvent les points de rang pair ? ceux de rang impair ?

Corrigé

1.
$0$ ; $- 1$ ; $2$ ; $- 3$ ; $4$ ; $- 5$ ; $6$ .
2.
Ni l'un ni l'autre : $u_{1} < u_{0}$ mais $u_{2} > u_{1}$ .
3.
Rangs pairs : $u_{n} = n$ , points sur $y = x$ ; rangs impairs : $u_{n} = - n$ , points sur $y = - x$ .

VII Sens de variation : signe de $u_{n + 1} - u_{n}$

Exercice 25 — Étudier le signe de la différence

Étudier le sens de variation de chaque suite.

a)
$u_{n} = 3 n^{2} + n$ pour tout entier naturel $n$ .
b)
$v_{0} = 1$ et, pour tout $n$ , $v_{n + 1} = v_{n} + n^{2} + 2$ .
c)
$w_{n} = n^{2} - 10 n$ pour tout entier naturel $n$ .

Corrigé

a)
$u_{n + 1} - u_{n}$
$= 3 (n + 1)^{2} + (n + 1) - (3 n^{2} + n)$
$u_{n + 1} - u_{n}$
$= 3 n^{2} + 6 n + 3 + n + 1 - 3 n^{2} - n$
$u_{n + 1} - u_{n}$
$= 6 n + 4$

$6 n + 4 > 0$ : $(u_{n})$ est $strictement croissante$ .
b)
$v_{n + 1} - v_{n} = n^{2} + 2 > 0$ : $(v_{n})$ est $strictement croissante$ .
c)
$w_{n + 1} - w_{n}$
$= (n + 1)^{2} - 10 (n + 1) - (n^{2} - 10 n)$
$w_{n + 1} - w_{n}$
$= n^{2} + 2 n + 1 - 10 n - 10 - n^{2} + 10 n$
$w_{n + 1} - w_{n}$
$= 2 n - 9$

$2 n - 9 ⩾ 0$ pour $n ⩾ 4, 5$ : $(w_{n})$ est $strictement croissante \overset{a}{ˋ} partir du rang 5$ .

Exercice 26 — Suites décroissantes

Montrer que chaque suite est décroissante.

a)
$u_{n} = 7 - 2 n^{2}$ pour tout entier naturel $n$ .
b)
$v_{0} = 5$ et, pour tout $n$ , $v_{n + 1} = v_{n} - (n - 3)^{2}$ .
c)
$w_{n} = \frac{1}{n + 1}$ pour tout entier naturel $n$ .

Corrigé

a)
$u_{n + 1} - u_{n} = 7 - 2 (n + 1)^{2} - 7 + 2 n^{2} = - 4 n - 2 < 0$ : $strictement d \overset{e}{ˊ} croissante$ .
b)
$v_{n + 1} - v_{n} = - (n - 3)^{2} ⩽ 0$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$ (avec $v_{4} = v_{3}$ , elle n'est pas strictement décroissante).
c)
$w_{n + 1} - w_{n}$
$= \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 1}$
$w_{n + 1} - w_{n}$
$= \frac{1 \times ( n + 1 )}{( n + 2 ) \times ( n + 1 )} - \frac{1 \times ( n + 2 )}{( n + 1 ) \times ( n + 2 )}$
même dénominateur
$w_{n + 1} - w_{n}$
$= \frac{- 1}{( n + 1 ) ( n + 2 )}$

Un numérateur négatif et un dénominateur positif : $strictement d \overset{e}{ˊ} croissante$ .

Exercice 27 — Conjecturer, puis démontrer

La suite $(u_{n})$ est définie par $u_{0} = 20$ et $u_{n + 1} = u_{n} + 2 n - 7$ .

1.
Calculer $u_{1}$ à $u_{5}$ et conjecturer les variations de la suite.
2.
Exprimer $u_{n + 1} - u_{n}$ et étudier son signe.
3.
À partir de quel rang la suite est-elle croissante ?

Corrigé

1.
$u_{1} = 13$ ; $u_{2} = 8$ ; $u_{3} = 5$ ; $u_{4} = 4$ ; $u_{5} = 5$ : la suite semble décroître, puis croître à partir du rang $4$ .
2.
$u_{n + 1} - u_{n} = 2 n - 7$ , positif pour $n ⩾ 3, 5$ .
3.
La suite est $croissante \overset{a}{ˋ} partir du rang 4$ .

Exercice 28 — Un carré toujours positif

La suite $(v_{n})$ est définie par $v_{0} = 0$ et $v_{n + 1} = v_{n} + (v_{n} - 1)^{2}$ .

1.
Sans calculer de terme, montrer que $(v_{n})$ est croissante.
2.
Calculer $v_{1}$ , $v_{2}$ et $v_{3}$ . La suite est-elle strictement croissante ?

Corrigé

1.
$v_{n + 1} - v_{n} = (v_{n} - 1)^{2} ⩾ 0$ (un carré) : $(v_{n}) est croissante$ .
2.
$v_{1} = 0 + 1 = 1$ ; $v_{2} = 1 + 0 = 1$ ; $v_{3} = 1$ . La suite est constante à partir du rang $1$ : $elle n’est pas strictement croissante$ .

VIII Sens de variation : quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$

Exercice 29 — Comparer le quotient à 1

Étudier le sens de variation de chaque suite.

a)
$u_{n} = 2 \times 5^{n}$
b)
$v_{n} = 9 \times 0, 8^{n}$
c)
$w_{n} = \frac{4 ^{n}}{n}$ , $n ⩾ 1$

Corrigé

Tous les termes sont strictement positifs.

a)
$\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{2 \times 5 ^{n + 1}}{2 \times 5 ^{n}} = 5 > 1$ : $strictement croissante$ .
b)
$\frac{v _{n + 1}}{v _{n}} = 0, 8 < 1$ : $strictement d \overset{e}{ˊ} croissante$ .
c)
$\frac{w _{n + 1}}{w _{n}}$
$= \frac{4 ^{n + 1}}{n + 1} \times \frac{n}{4 ^{n}}$
multiplier par l'inverse
$\frac{w _{n + 1}}{w _{n}}$
$= \frac{4 n}{n + 1}$
$\frac{w _{n + 1}}{w _{n}} - 1$
$= \frac{4 n - n - 1}{n + 1} = \frac{3 n - 1}{n + 1}$

Pour $n ⩾ 1$ on a $3 n - 1 > 0$ : $strictement croissante$ .

Exercice 30 — D'autres quotients

Étudier le sens de variation de chaque suite.

a)
$u_{n} = \frac{3 ^{n}}{2 ^{n}}$
b)
$v_{n} = \frac{n}{2 ^{n}}$ , $n ⩾ 1$
c)
$w_{n} = \frac{5 ^{n}}{n + 1}$

Corrigé

a)
$\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{3}{2} = 1, 5 > 1$ : $strictement croissante$ .
b)
$\frac{v _{n + 1}}{v _{n}} = \frac{n + 1}{2 ^{n + 1}} \times \frac{2 ^{n}}{n} = \frac{n + 1}{2 n}$ et $\frac{n + 1}{2 n} - 1 = \frac{1 - n}{2 n} ⩽ 0$ : $d \overset{e}{ˊ} croissante$ ( $v_{1} = v_{2} = \frac{1}{2}$ ).
c)
$\frac{w _{n + 1}}{w _{n}} = \frac{5 ( n + 1 )}{n + 2}$ et $\frac{5 ( n + 1 )}{n + 2} - 1 = \frac{4 n + 3}{n + 2} > 0$ : $strictement croissante$ .

Exercice 31 — Choisir la méthode

Pour chaque suite, choisir entre la différence et le quotient, puis étudier son sens de variation.

a)
$u_{n} = 6 \times 0, 5^{n}$
b)
$v_{n} = n^{2} + 5 n$
c)
$w_{n} = n \times 2^{n}$ , $n ⩾ 1$

Corrigé

a)
Quotient : $0, 5 < 1$ et termes positifs : $strictement d \overset{e}{ˊ} croissante$ .
b)
Différence : $v_{n + 1} - v_{n} = 2 n + 6 > 0$ : $strictement croissante$ .
c)
Quotient : $\frac{( n + 1 ) \times 2 ^{n + 1}}{n \times 2 ^{n}} = \frac{2 ( n + 1 )}{n} > 1$ : $strictement croissante$ .

Exercice 32 — Croissante à partir d'un rang

Pour tout entier $n ⩾ 1$ , on pose $u_{n} = \frac{2 ^{n}}{n ^{2}}$ .

1.
Calculer $u_{1}$ à $u_{5}$ .
2.
Montrer que $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} ⩾ 1$ revient à $n^{2} - 2 n - 1 ⩾ 0$ .
3.
En déduire à partir de quel rang la suite est croissante.

Corrigé

1.
$u_{1} = 2$ ; $u_{2} = 1$ ; $u_{3} = \frac{8}{9} ≃ 0, 89$ ; $u_{4} = 1$ ; $u_{5} = 1, 28$ .
2.
$\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{2 ^{n + 1}}{( n + 1 ) ^{2}} \times \frac{n ^{2}}{2 ^{n}} = \frac{2 n ^{2}}{( n + 1 ) ^{2}}$ . Ce quotient est $⩾ 1$ si $2 n^{2} ⩾ (n + 1)^{2}$ , soit $2 n^{2} ⩾ n^{2} + 2 n + 1$ , soit $n^{2} - 2 n - 1 ⩾ 0$ .
3.
$Δ = 8$ ; racines $1 - 2$ et $1 + 2 ≃ 2, 41$ . Pour $n$ entier $⩾ 1$ , $n^{2} - 2 n - 1 ⩾ 0$ dès $n ⩾ 3$ : $croissante \overset{a}{ˋ} partir du rang 3$ .

IX Sens de variation : fonction associée

Exercice 33 — Étudier la fonction associée

Étudier le sens de variation de chaque suite, définie pour tout entier naturel $n$ .

a)
$u_{n} = n^{3} + 6 n^{2} + 1$
b)
$v_{n} = \frac{2 n + 3}{n + 1}$
c)
$w_{n} = n^{3} - 3 n^{2}$

Corrigé

a)
$f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 1$ ; $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 12 x = 3 x (x + 4) ⩾ 0$ sur $[0; + \infty [$ : $(u_{n}) strictement croissante$ .
b)
$f (x) = \frac{2 x + 3}{x + 1}$ ; $f^{'} (x) = \frac{2 ( x + 1 ) - ( 2 x + 3 )}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{- 1}{( x + 1 ) ^{2}} < 0$ : $(v_{n}) strictement d \overset{e}{ˊ} croissante$ .
c)
$f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ ; $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ ; $f (2) = - 4$ .

$(w_{n}) croissante \overset{a}{ˋ} partir du rang 2$ .

Exercice 34 — D'autres fonctions

Étudier le sens de variation de chaque suite, définie pour tout entier naturel $n$ .

a)
$u_{n} = n^{2} - 8 n + 3$
b)
$v_{n} = 5 - \frac{4}{n + 2}$
c)
$w_{n} = \frac{n}{n ^{2} + 1}$

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = 2 x - 8$ : $f$ décroît sur $[0; 4]$ , croît sur $[4; + \infty [$ : $(u_{n}) croissante \overset{a}{ˋ} partir du rang 4$ .
b)
$f (x) = 5 - \frac{4}{x + 2}$ ; $f^{'} (x) = \frac{4}{( x + 2 ) ^{2}} > 0$ : $(v_{n}) strictement croissante$ .
c)
$f^{'} (x) = \frac{( x ^{2} + 1 ) - x \times 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ , négatif pour $x ⩾ 1$ : $(w_{n}) d \overset{e}{ˊ} croissante \overset{a}{ˋ} partir du rang 1$ .

Exercice 35 — Une erreur fréquente

La suite $(u_{n})$ est définie par $u_{0} = 10$ et $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , avec $f (x) = 0, 5 x + 2$ . Un élève affirme : « $f$ est croissante, donc $(u_{n})$ est croissante. »

1.
Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .
2.
Que penser de l'affirmation de l'élève ?

Corrigé

1.
$u_{1} = 0, 5 \times 10 + 2 = 7$ ; $u_{2} = 5, 5$ ; $u_{3} = 4, 75$ .
2.
La suite décroît : $l’affirmation est fausse$ . La propriété ne vaut que pour une suite explicite $u_{n} = f (n)$ .

Exercice 36 — Suite croissante, fonction non croissante

Pour tout entier $n$ , on pose $u_{n} = (n - 0, 4)^{2}$ , et $f (x) = (x - 0, 4)^{2}$ sur $[0; + \infty [$ .

1.
Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0; + \infty [$ .
2.
Calculer $u_{n + 1} - u_{n}$ et en déduire le sens de variation de $(u_{n})$ .
3.
Une suite croissante a-t-elle forcément une fonction associée croissante ?

Corrigé

1.
$f^{'} (x) = 2 (x - 0, 4)$ : $f$ décroît sur $[0; 0, 4]$ et croît sur $[0, 4; + \infty [$ .
2.
$u_{n + 1} - u_{n}$
$= (n + 0, 6)^{2} - (n - 0, 4)^{2}$
$u_{n + 1} - u_{n}$
$= (n + 0, 6 - n + 0, 4) (n + 0, 6 + n - 0, 4)$
$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$
$u_{n + 1} - u_{n}$
$= 2 n + 0, 2$

$2 n + 0, 2 > 0$ : $(u_{n}) strictement croissante$ .
3.
$Non$ : ici la suite croît alors que $f$ n'est pas croissante sur $[0; + \infty [$ . La propriété du cours ne se renverse pas.

X Notion de limite

Exercice 37 — Conjecturer une limite

Pour chaque suite, calculer les termes indiqués, puis conjecturer sa limite.

a)
$u_{n} = 2 + \frac{5}{n + 1}$ : $u_{9}$ , $u_{99}$ et $u_{999}$ .
b)
$v_{n} = 3 n^{2} + 1$ : $v_{10}$ , $v_{100}$ et $v_{1000}$ .
c)
$w_{n} = 4 \times (- 1)^{n}$ : $w_{0}$ à $w_{3}$ .

Corrigé

a)
$u_{9} = 2, 5$ ; $u_{99} = 2, 05$ ; $u_{999} = 2, 005$ : limite $2$ .
b)
$v_{10} = 301$ ; $v_{100} = 30001$ ; $v_{1000} = 3000001$ : limite $+ \infty$ .
c)
$4$ ; $- 4$ ; $4$ ; $- 4$ : $pas de limite$ .

Exercice 38 — Limite finie ou infinie

Pour chaque suite, calculer le terme de rang $10$ , de rang $100$ et de rang $1000$ , puis conjecturer sa limite.

a)
$a_{n} = 5 - n^{2}$
b)
$b_{n} = \frac{1}{n ^{2}}$
c)
$c_{n} = \frac{2 n + 1}{n}$

Corrigé

a)
$- 95$ ; $- 9995$ ; $- 999995$ : limite $- \infty$ .
b)
$0, 01$ ; $0, 0001$ ; $0, 000001$ : limite $0$ .
c)
$2, 1$ ; $2, 01$ ; $2, 001$ : limite $2$ .

Exercice 39 — Avec la calculatrice

La suite $(u_{n})$ est définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 3$ .

1.
À la calculatrice, donner $u_{10}$ , $u_{20}$ et $u_{30}$ (arrondis à $1 0^{- 6}$ ).
2.
Conjecturer la limite de la suite.

Corrigé

1.
$u_{10} ≃ 5, 995117$ ; $u_{20} ≃ 5, 999995$ ; $u_{30} ≃ 6, 000000$ .
2.
On conjecture $n \to + \infty lim u_{n} = 6$ .

Exercice 40 — Alterner et converger

Pour tout entier $n ⩾ 1$ , on pose $u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ .

1.
Calculer $u_{10}$ , $u_{11}$ , $u_{100}$ et $u_{101}$ .
2.
La suite change-t-elle de signe ? Semble-t-elle avoir une limite ?

Corrigé

1.
$u_{10} = 0, 1$ ; $u_{11} ≃ - 0, 091$ ; $u_{100} = 0, 01$ ; $u_{101} ≃ - 0, 0099$ .
2.
Le signe change à chaque rang, mais les termes se rapprochent de $0$ : on conjecture $n \to + \infty lim u_{n} = 0$ .

→ Une suite qui alterne peut avoir une limite : il suffit que les écarts à $0$ deviennent aussi petits que l'on veut.

XI Problèmes : déterminer un seuil

Exercice 41 — Abonnés d'une newsletter

Une newsletter compte $3000$ abonnés en janvier. Chaque mois, $15 %$ des abonnés se désinscrivent et $800$ nouveaux s'inscrivent. On note $u_{n}$ le nombre d'abonnés au bout de $n$ mois.

1.
Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
2.
Justifier que $u_{n + 1} = 0, 85 u_{n} + 800$ .
3.
Écrire une fonction seuil() qui renvoie le premier mois où l'on dépasse $5000$ abonnés.
4.
À l'aide de la calculatrice, donner ce mois.

Corrigé

1.
$u_{1} = 0, 85 \times 3000 + 800 = 3350$ ; $u_{2} = 0, 85 \times 3350 + 800 = 3647, 5$ .
2.
$15 %$ partent : il reste $0, 85 u_{n}$ ; on ajoute $800$ .

def seuil():
    u = 3000
    n = 0
    while u <= 5000 :
        u = 0.85*u + 800
        n = n + 1
    return n

4.
$u_{11} ≃ 4942, 9$ et $u_{12} ≃ 5001, 4$ : $au bout de 12 mois$ .

Exercice 42 — Seuil d'une suite explicite

Pour tout entier $n$ , on pose $u_{n} = 2 n^{2} + 3 n$ .

Compléter la fonction pour qu'elle renvoie le plus petit $n$ tel que $u_{n} > 1000$ .

def seuil():
    n = 0
    u = 0
    while .......... :
        n = n + 1
        u = ..........
    return n

2.
Retrouver ce rang avec le tableau de la calculatrice.

Corrigé

1.
while u <= 1000 : puis u = 2*n**2 + 3*n (on calcule directement le terme de rang n).
2.
$u_{21} = 945$ et $u_{22} = 1034$ : $n = 22$ .

Exercice 43 — Élimination d'un médicament

Un patient reçoit $40$ mg d'un médicament. Chaque heure, son corps en élimine $20 %$ . On note $m_{n}$ la quantité, en mg, présente au bout de $n$ heures.

1.
Calculer $m_{1}$ et $m_{2}$ , puis exprimer $m_{n + 1}$ en fonction de $m_{n}$ .
2.
Écrire une fonction seuil() qui renvoie le nombre d'heures au bout duquel il reste moins de $5$ mg.
3.
Donner ce nombre d'heures.

Corrigé

1.
$m_{1} = 32$ ; $m_{2} = 25, 6$ ; $m_{n + 1} = 0, 8 m_{n}$ .

def seuil():
    m = 40
    n = 0
    while m >= 5 :
        m = 0.8*m
        n = n + 1
    return n

3.
$m_{9} ≃ 5, 37$ et $m_{10} ≃ 4, 29$ : $10 heures$ .

Exercice 44 — Qui dépasse l'autre ?

Un site compte $500$ abonnés payants et en gagne $40$ par mois ; un autre en compte $200$ et gagne $10 %$ d'abonnés par mois. On note $a_{n} = 500 + 40 n$ et $b_{n}$ leurs abonnés au bout de $n$ mois ( $b_{0} = 200$ et $b_{n + 1} = 1, 1 b_{n}$ ).

def depasse():
    b = 200
    n = 0
    while b <= 500 + 40*n :
        b = 1.1*b
        n = n + 1
    return n

1.
Expliquer ce que renvoie cette fonction.
2.
À l'aide de la calculatrice, donner le résultat et l'interpréter.

Corrigé

1.
Tant que $b_{n} ⩽ a_{n} = 500 + 40 n$ , on passe au mois suivant : la fonction renvoie le premier mois où le second site a plus d'abonnés que le premier.
2.
$b_{19} ≃ 1223 < a_{19} = 1260$ et $b_{20} ≃ 1345 > a_{20} = 1300$ : elle renvoie $20$ ; au bout de $20$ mois, le site à $+ 10 %$ dépasse l'autre.

Exercices type bac

Exercice 45 — Automatismes (QCM)

Pour chaque question, une seule réponse est exacte.

1.
$u_{n} = n^{2} - 1$ ; alors $u_{n + 1}$ vaut :

a) $n^{2}$ b) $n^{2} + 2 n$ c) $n^{2} + 1$ d) $n^{2} + 2 n + 2$
2.
$u_{0} = 2$ et $u_{n + 1} = 3 u_{n} - 1$ ; alors $u_{2}$ vaut :

a) $5$ b) $14$ c) $17$ d) $8$
3.
Baisser de $15 %$ revient à multiplier par :

a) $0, 15$ b) $1, 15$ c) $0, 85$ d) $- 15$
4.
Si $u_{n + 1} - u_{n} = - n^{2} - 1$ pour tout $n$ , la suite $(u_{n})$ est :

a) croissante b) décroissante c) constante d) on ne peut pas savoir
5.
La limite de $u_{n} = 3 + \frac{1}{n}$ semble être :

a) $0$ b) $3$ c) $4$ d) $+ \infty$

Corrigé

$1. b)$ : $(n + 1)^{2} - 1 = n^{2} + 2 n$ ; $2. b)$ : $u_{1} = 5$ puis $u_{2} = 14$ ; $3. c)$ ; $4. b)$ : la différence est négative ; $5. b)$ .

Exercice 46 — Une plateforme de covoiturage

Une plateforme locale de covoiturage compte $600$ conducteurs inscrits en janvier 2026. Chaque mois, $10 %$ des conducteurs se désinscrivent et $40$ nouveaux s'inscrivent. On note $u_{n}$ le nombre de conducteurs au bout de $n$ mois ; ainsi $u_{0} = 600$ .

1.
Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ , puis justifier que $u_{n + 1} = 0, 9 u_{n} + 40$ .
2.
On admet que, pour tout entier $n$ , $u_{n} = 400 + 200 \times 0, 9^{n}$ . Vérifier cette formule pour $n = 0$ et $n = 1$ .
3.
Montrer que $u_{n + 1} - u_{n} = - 20 \times 0, 9^{n}$ . En déduire le sens de variation de $(u_{n})$ .
4.
Conjecturer la limite de $(u_{n})$ . Interpréter.
5.
Compléter la fonction pour qu'elle renvoie le premier mois où il y a moins de $450$ conducteurs, puis donner ce mois.
```
def seuil():
    u = 600
    n = 0
    while .......... :
        u = ..........
        n = n + 1
    return n
```

Corrigé

1.
$u_{1} = 0, 9 \times 600 + 40 = 580$ ; $u_{2} = 0, 9 \times 580 + 40 = 562$ . Il reste $90 %$ des conducteurs, puis $40$ s'ajoutent : $u_{n + 1} = 0, 9 u_{n} + 40$ .
2.
$n = 0$ : $400 + 200 = 600 = u_{0}$ ; $n = 1$ : $400 + 180 = 580 = u_{1}$ .
3.
$u_{n + 1} - u_{n}$
$= 200 \times 0, 9^{n + 1} - 200 \times 0, 9^{n}$
les $400$ s'éliminent
$u_{n + 1} - u_{n}$
$= 200 \times 0, 9^{n} (0, 9 - 1)$
facteur commun
$u_{n + 1} - u_{n}$
$= - 20 \times 0, 9^{n}$

$0, 9^{n} > 0$ , donc la différence est négative : $(u_{n}) est strictement d \overset{e}{ˊ} croissante$ .
4.
$0, 9^{n}$ se rapproche de $0$ : $n \to + \infty lim u_{n} = 400$ . Le nombre de conducteurs se stabiliserait vers $400$ .
5.
while u >= 450 : et u = 0.9*u + 40. $u_{13} ≃ 450, 8$ et $u_{14} ≃ 445, 8$ : la fonction renvoie $14$ , soit $mars 2027$ .

Exercice 47 — Coût moyen de fabrication

Un atelier fabrique $n$ lampes par jour ( $n ⩾ 1$ ). Le coût moyen de fabrication d'une lampe, en euros, est $c_{n} = n + \frac{400}{n}$ .

1.
Calculer $c_{1}$ , $c_{10}$ et $c_{20}$ .
2.
On pose $f (x) = x + \frac{400}{x}$ sur $[1; + \infty [$ . Calculer $f^{'} (x)$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ .
3.
En déduire le sens de variation de $(c_{n})$ et le nombre de lampes qui rend le coût moyen le plus faible.
4.
Pour $n ⩾ 20$ , à partir de quel nombre de lampes le coût moyen dépasse-t-il $50$ € ? On résoudra $n^{2} - 50 n + 400 > 0$ .

Corrigé

1.
$c_{1} = 401$ ; $c_{10} = 10 + 40 = 50$ ; $c_{20} = 20 + 20 = 40$ .
2.
$f^{'} (x)$
$= 1 - \frac{400}{x ^{2}}$
$(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$
$f^{'} (x)$
$= \frac{x ^{2} - 400}{x ^{2}} = \frac{( x - 20 ) ( x + 20 )}{x ^{2}}$
3.
$(c_{n})$ décroît jusqu'au rang $20$ , puis croît : le coût moyen est le plus faible pour $20 lampes$ ( $40$ €).
4.
Pour $n > 0$ , $c_{n} > 50$ revient à $n^{2} + 400 > 50 n$ , soit $n^{2} - 50 n + 400 > 0$ . $Δ = 900$ ; racines $10$ et $40$ ; le trinôme est positif à l'extérieur des racines. Pour $n ⩾ 20$ : $n ⩾ 41$ .

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$u_{n}$	$30$	$21$	$14$	$9$	$6$	$5$	$6$	$9$	$14$	$21$	$30$

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$n^{2}$	$0$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$	$49$	$64$	$81$	$100$
$2^{n}$	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$	$32$	$64$	$128$	$256$	$512$	$1024$

ExercicesChapitre 5 — Suites numériques

I Définition d'une suite

Exercice 1 — Repérer les termes et les rangs

Exercice 2 — Une suite qui commence à u1​

Exercice 3 — Premier rang

Exercice 4 — Les décimales de 71​

II Suites définies explicitement

Exercice 5 — Calculer des termes

Exercice 6 — Retrouver un rang

Exercice 7 — Exprimer un+1​ et un−1​

Exercice 8 — Ne pas confondre

III Suites définies par récurrence

Exercice 9 — Calculer de proche en proche

Exercice 10 — Avec un carré, avec une fraction

Exercice 11 — Traduire une situation

Exercice 12 — Une forêt

IV Calculatrice

Exercice 13 — Afficher des termes

Exercice 14 — Conjecturer une expression

Exercice 15 — Représenter et conjecturer

Exercice 16 — Le carré ou la puissance ?

V Programmer en Python

Exercice 17 — Écrire la fonction

Exercice 18 — Lire un programme

Exercice 19 — Une relation qui dépend de n

Exercice 20 — La suite de Fibonacci

VI Représentation graphique

Exercice 21 — Représenter une suite récurrente

Exercice 22 — Représenter une suite explicite

Exercice 23 — Lire un nuage de points

Exercice 24 — Des points sur deux droites

VII Sens de variation : signe de un+1​−un​

Exercice 25 — Étudier le signe de la différence

Exercice 26 — Suites décroissantes

Exercice 27 — Conjecturer, puis démontrer

Exercice 28 — Un carré toujours positif

VIII Sens de variation : quotient un​un+1​​

Exercice 29 — Comparer le quotient à 1

Exercice 30 — D'autres quotients

Exercice 31 — Choisir la méthode

Exercice 32 — Croissante à partir d'un rang

IX Sens de variation : fonction associée

Exercice 33 — Étudier la fonction associée

Exercice 34 — D'autres fonctions

Exercice 35 — Une erreur fréquente

Exercice 36 — Suite croissante, fonction non croissante

X Notion de limite

Exercice 37 — Conjecturer une limite

Exercice 38 — Limite finie ou infinie

Exercice 39 — Avec la calculatrice

Exercice 40 — Alterner et converger

XI Problèmes : déterminer un seuil

Exercice 41 — Abonnés d'une newsletter

Exercice 42 — Seuil d'une suite explicite

Exercice 43 — Élimination d'un médicament

Exercice 44 — Qui dépasse l'autre ?

Exercices type bac

Exercice 45 — Automatismes (QCM)

Exercice 46 — Une plateforme de covoiturage

Exercice 47 — Coût moyen de fabrication

Exercice 2 — Une suite qui commence à $u_{1}$

Exercice 4 — Les décimales de $\frac{1}{7}$

Exercice 7 — Exprimer $u_{n + 1}$ et $u_{n - 1}$

Exercice 19 — Une relation qui dépend de $n$

VII Sens de variation : signe de $u_{n + 1} - u_{n}$

VIII Sens de variation : quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$