ExercicesChapitre 5 — Dérivation et étude de fonctions

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Cours complet, avec les exercices

Sommaire

I — Fonctions affines et droites
II — Nombre dérivé
III — Tangente à une courbe
IV — Équation de la tangente
V — Approximation affine
VI — Fonction dérivée d'une fonction polynôme
VII — Autres fonctions dérivées
VIII — Dérivée d'un produit, d'un carré
IX — Dérivée de l'inverse, d'un quotient
X — Fonctions composées
XI — Dérivée et sens de variation
XII — Problèmes concrets : maximum et minimum
XIII — Résoudre une équation $f (x) = k$

I Fonctions affines et droites

Exercice 1 — Coefficient directeur

Pour chaque couple de points, calculer le coefficient directeur de la droite $(A B)$ .

a)
$A (1; 2)$ et $B (3; 8)$
b)
$A (- 1; 4)$ et $B (2; - 2)$
c)
$A (0; - 3)$ et $B (4; - 1)$
d)
$A (- 3; 5)$ et $B (1; 5)$

Corrigé

a)
$m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$
b)
$m = \frac{- 2 - 4}{2 - ( - 1 )} = - 2$ ( $\frac{- 6}{3}$ )
c)
$m = \frac{- 1 - ( - 3 )}{4 - 0} = \frac{1}{2}$ ( $\frac{2}{4}$ )
d)
$m = \frac{5 - 5}{1 - ( - 3 )} = 0$ : la droite est horizontale.

Exercice 2 — Équation d'une droite

Pour chaque couple de points, déterminer l'équation réduite de la droite $(A B)$ .

a)
$A (1; 1)$ et $B (2; 4)$
b)
$A (- 1; 5)$ et $B (1; 1)$
c)
$A (- 2; - 3)$ et $B (2; 5)$
d)
$A (2; 0)$ et $B (6; 2)$

Corrigé

a) $m = \frac{4 - 1}{2 - 1} = 3$ . La droite passe par $A (1; 1)$ :

3 \times 1 + p

= 1

p

= - 2

$y = 3 x - 2$

b) $m = \frac{1 - 5}{1 - ( - 1 )} = - 2$ ; avec $A$ : $- 2 \times (- 1) + p = 5$ , donc $p = 3$ : $y = - 2 x + 3$

c) $m = \frac{5 - ( - 3 )}{2 - ( - 2 )} = 2$ ; avec $A$ : $2 \times (- 2) + p = - 3$ , donc $p = 1$ : $y = 2 x + 1$

d) $m = \frac{2 - 0}{6 - 2} = \frac{1}{2}$ ; avec $A$ : $\frac{1}{2} \times 2 + p = 0$ , donc $p = - 1$ : $y = \frac{1}{2} x - 1$

On trouve $m$ d'abord, puis $p$ avec un des deux points.

Exercice 3 — Une fonction affine par deux images

1)
$f$ est affine, avec $f (2) = 7$ et $f (- 1) = - 2$ . Déterminer $f (x)$ , puis calculer $f (10)$ .
2)
$g$ est affine, avec $g (- 3) = 8$ et $g (1) = 0$ . Déterminer $g (x)$ , puis calculer $g (5)$ .

Corrigé

1°) $f (x) = m x + p$ passe par $(2; 7)$ et $(- 1; - 2)$ : $m = \frac{7 - ( - 2 )}{2 - ( - 1 )} = 3$ .

3 \times 2 + p

= 7

p

= 1

$f (x) = 3 x + 1$ et $f (10) = 30 + 1 = 31$ .

2°) $m = \frac{0 - 8}{1 - ( - 3 )} = - 2$ ; $- 2 \times 1 + p = 0$ , donc $p = 2$ : $g (x) = - 2 x + 2$ et $g (5) = - 10 + 2 = - 8$ .

Exercice 4 — Lire des équations

Lire l'équation réduite de chacune des droites $(d_{1})$ , $(d_{2})$ et $(d_{3})$ .

Corrigé

On lit $p$ sur l'axe des ordonnées, puis on avance de $1$ et on regarde de combien on monte.

a)
$(d_{1})$ : $p = - 1$ , on monte de $2$ : $y = 2 x - 1$
b)
$(d_{2})$ : $p = 3$ , on descend de $1$ : $y = - x + 3$
c)
$(d_{3})$ : $p = - 2$ , en avançant de $2$ on monte de $1$ : $y = \frac{1}{2} x - 2$

II Nombre dérivé

Exercice 5 — Nombre dérivé en $1$

Soit $f (x) = x^{2} + 2 x - 1$ .

a)
Calculer $f (1)$ , puis $f (1 + h)$ .
b)
Simplifier le taux de variation $T (h) = \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h}$ .
c)
En déduire $f^{'} (1)$ .

Corrigé

a) $f (1) = 1 + 2 - 1 = 2$

f (1 + h)

= (1 + h)^{2} + 2 (1 + h) - 1

f (1 + h)

= 1 + 2 h + h^{2} + 2 + 2 h - 1

f (1 + h)

= h^{2} + 4 h + 2

T (h)

= \frac{h ^{2} + 4 h + 2 - 2}{h}

T (h)

= \frac{h ( h + 4 )}{h}

T (h)

= h + 4

c) Quand $h$ se rapproche de $0$ , $h + 4$ se rapproche de $4$ : $f^{'} (1) = 4$ .

Exercice 6 — Nombre dérivé en $2$

Soit $g (x) = 2 x^{2} - 3 x$ . Calculer $g (2)$ et $g (2 + h)$ , simplifier le taux de variation $T (h) = \frac{g ( 2 + h ) - g ( 2 )}{h}$ , puis en déduire $g^{'} (2)$ .

Corrigé

$g (2) = 8 - 6 = 2$ .

g (2 + h)

= 2 (2 + h)^{2} - 3 (2 + h)

g (2 + h)

= 8 + 8 h + 2 h^{2} - 6 - 3 h

g (2 + h)

= 2 h^{2} + 5 h + 2

T (h)

= \frac{2 h ^{2} + 5 h}{h}

T (h)

= 2 h + 5

$g^{'} (2) = 5$

$2 (2 + h)^{2} = 2 (4 + 4 h + h^{2})$ : on développe le carré avant de multiplier par $2$ .

Exercice 7 — Avec un coefficient négatif

Soit $k (x) = - x^{2} + 5 x$ . Calculer $k (1)$ et $k (1 + h)$ , simplifier le taux de variation $T (h) = \frac{k ( 1 + h ) - k ( 1 )}{h}$ , puis en déduire $k^{'} (1)$ .

Corrigé

$k (1) = - 1 + 5 = 4$ .

k (1 + h)

= - (1 + h)^{2} + 5 (1 + h)

k (1 + h)

= - 1 - 2 h - h^{2} + 5 + 5 h

k (1 + h)

= - h^{2} + 3 h + 4

T (h)

= \frac{- h ^{2} + 3 h}{h}

T (h)

= - h + 3

$k^{'} (1) = 3$

$- (1 + h)^{2}$ : le signe $-$ porte sur les trois termes du développement.

Exercice 8 — À la calculatrice

Soit $f (x) = x^{2}$ et $a = 4$ .

a)
Compléter le tableau, où $T (h) = \frac{f ( 4 + h ) - f ( 4 )}{h}$ .

$h$ $1$ $0, 1$ $0, 01$
$T (h)$
b)
Quelle valeur de $f^{'} (4)$ ce tableau suggère-t-il ?

Corrigé

$h$	$1$	$0, 1$	$0, 01$
$T (h)$	$9$	$8, 1$	$8, 01$

Par exemple $T (0, 1) = \frac{16 , 81 - 16}{0 , 1} = 8, 1$ . Le tableau suggère $f^{'} (4) = 8$ .

III Tangente à une courbe

Exercice 9 — Lire des nombres dérivés

On a tracé $C_{f}$ et ses tangentes aux points $A$ , $B$ , $C$ et $E$ .

Lire $f^{'} (- 3)$ , $f^{'} (- 1)$ , $f^{'} (1)$ et $f^{'} (4)$ .

Corrigé

On part du point, on avance de $1$ et on lit de combien la tangente monte.

f^{'} (- 3) = - 2

f^{'} (- 1) = 0

(horizontale)

f^{'} (1) = 2

f^{'} (4) = - 2

Exercice 10 — Tracer des tangentes

Dans un repère, placer chaque point de $C_{f}$ , puis tracer la tangente à $C_{f}$ en ce point.

a)
$A (0; 1)$ et $f^{'} (0) = 2$
b)
$B (1; 3)$ et $f^{'} (1) = - 1$
c)
$C (- 2; - 1)$ et $f^{'} (- 2) = \frac{1}{2}$
d)
$D (3; - 2)$ et $f^{'} (3) = 0$

Corrigé

$A$ : on avance de $1$ , on monte de $2$ .

$B$ : on avance de $1$ , on descend de $1$ .

$C$ : on avance de $2$ , on monte de $1$ .

$D$ : tangente horizontale.

Exercice 11 — Retrouver l'allure d'une courbe

Dans un repère, tracer une courbe qui passe par $A (- 3; - 2)$ , $B (- 1; 2)$ , $C (1; 0)$ et $D (3; - 2)$ , avec $f^{'} (- 3) = 3$ , $f^{'} (- 1) = 0$ , $f^{'} (1) = - 2$ et $f^{'} (3) = 0$ . Commencer par tracer les quatre tangentes.

Corrigé

On trace d'abord un petit morceau de chaque tangente, puis la courbe, qui les « touche » en $A$ , $B$ , $C$ et $D$ : un maximum en $B$ , un minimum en $D$ .

IV Équation de la tangente

Exercice 12 — Avec un nombre dérivé admis

Soit $f (x) = x^{2} - 3 x + 2$ . On admet que $f^{'} (4) = 5$ et $f^{'} (1) = - 1$ .

a)
Calculer $f (4)$ , puis déterminer l'équation réduite de la tangente à $C_{f}$ au point d'abscisse $4$ .
b)
Même question au point d'abscisse $1$ .

Corrigé

a) $f (4) = 16 - 12 + 2 = 6$ .

y

= f^{'} (4) (x - 4) + f (4)

y

= 5 (x - 4) + 6

y

= 5 x - 20 + 6

y

= 5 x - 14

b) $f (1) = 1 - 3 + 2 = 0$ .

y

= - 1 (x - 1) + 0

y

= - x + 1

Exercice 13 — Quatre tangentes

Pour chaque cas, déterminer l'équation réduite de la tangente à $C_{f}$ au point d'abscisse $a$ .

a)
$a = 2$ ; $f (2) = 3$ et $f^{'} (2) = 1$
b)
$a = - 1$ ; $f (- 1) = 4$ et $f^{'} (- 1) = - 2$
c)
$a = 3$ ; $f (3) = - 1$ et $f^{'} (3) = 0$
d)
$a = 0$ ; $f (0) = 5$ et $f^{'} (0) = - 3$

Corrigé

On remplace dans $y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$ .

a)
$y = 1 (x - 2) + 3$ , soit $y = x + 1$
b)
$y = - 2 (x + 1) + 4$ , soit $y = - 2 x + 2$
c)
$y = 0 (x - 3) - 1$ , soit $y = - 1$ (horizontale)
d)
$y = - 3 (x - 0) + 5$ , soit $y = - 3 x + 5$

b) $x - a = x - (- 1) = x + 1$ : attention au signe.

Exercice 14 — Du taux de variation à la tangente

Soit $f (x) = - x^{2} + 3 x + 1$ .

a)
Calculer $f (2)$ , puis $f (2 + h)$ .
b)
Simplifier le taux de variation $T (h) = \frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h}$ et en déduire $f^{'} (2)$ .
c)
Déterminer l'équation réduite de la tangente à $C_{f}$ au point d'abscisse $2$ .

Corrigé

a) $f (2) = - 4 + 6 + 1 = 3$

f (2 + h)

= - (2 + h)^{2} + 3 (2 + h) + 1

f (2 + h)

= - 4 - 4 h - h^{2} + 6 + 3 h + 1

f (2 + h)

= - h^{2} - h + 3

T (h)

= \frac{- h ^{2} - h + 3 - 3}{h}

T (h)

= \frac{h ( - h - 1 )}{h}

T (h)

= - h - 1

Quand $h$ se rapproche de $0$ : $f^{'} (2) = - 1$ .

y

= - 1 (x - 2) + 3

y

= - x + 5

V Approximation affine

Exercice 15 — Le carré de $3, 02$

Soit $f (x) = x^{2}$ . Sa tangente au point d'abscisse $3$ a pour équation $y = 6 x - 9$ .

a)
Avec la tangente, donner une valeur approchée de $f (3, 02)$ , puis calculer $f (3, 02)$ et comparer.
b)
Même question pour $f (2, 99)$ .

Corrigé

a) $3, 02$ est proche de $3$ : on remplace $x$ par $3, 02$ dans $6 x - 9$ .

f (3, 02)

≃ 6 \times 3, 02 - 9

f (3, 02)

≃ 9, 12

Valeur exacte : $3, 0 2^{2} = 9, 1204$ ; écart de $0, 0004$ .

b) $f (2, 99) ≃ 6 \times 2, 99 - 9 = 8, 94$ ; exacte : $8, 9401$ .

Exercice 16 — Une fonction inverse

Soit $f (x) = \frac{1}{x - 1}$ pour $x \neq = 1$ . On admet que $f^{'} (2) = - 1$ .

a)
Calculer $f (2)$ , puis déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $2$ .
b)
Avec la tangente, donner une valeur approchée de $f (2, 1)$ .
c)
Calculer $f (2, 1)$ à la calculatrice et comparer.

Corrigé

a) $f (2) = \frac{1}{2 - 1} = 1$ .

y

= - 1 (x - 2) + 1

y

= - x + 3

b) $f (2, 1) ≃ - 2, 1 + 3 = 0, 9$

c) $f (2, 1) = \frac{1}{1 , 1} ≃ 0, 909$ : écart d'environ $0, 009$ .

Exercice 17 — Une plaque qui se dilate

Une plaque carrée de côté $c$ (en cm) a pour aire $A (c) = c^{2}$ . On admet que $A^{'} (10) = 20$ . Chauffée, la plaque passe de $10$ cm à $10, 1$ cm de côté.

a)
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $A$ au point d'abscisse $10$ .
b)
En déduire une valeur approchée de l'aire de la plaque chauffée.
c)
Calculer l'aire exacte et comparer.

Corrigé

a) $A (10) = 100$ .

y

= 20 (x - 10) + 100

y

= 20 x - 100

b) $A (10, 1) ≃ 20 \times 10, 1 - 100 = 102 cm^{2}$

c) $10, 1^{2} = 102, 01$ cm $^{2}$ : l'approximation ne se trompe que de $0, 01$ cm $^{2}$ .

VI Fonction dérivée d'une fonction polynôme

Exercice 18 — Dériver

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = 7 x - 5$
b)
$g (x) = 1 - 4 x$
c)
$h (x) = x^{2} + 6 x - 2$
d)
$k (x) = 3 x^{2} - x + 8$
e)
$m (x) = - 5 x^{2} + 10 x$
f)
$p (x) = x^{3} + 4 x^{2} - x$
g)
$q (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} + 1$
h)
$r (x) = - x^{5} + 2 x^{3}$

Corrigé

f^{'} (x) = 7

m^{'} (x) = - 10 x + 10

g^{'} (x) = - 4

p^{'} (x) = 3 x^{2} + 8 x - 1

h^{'} (x) = 2 x + 6

q^{'} (x) = 8 x^{3} - 6 x

k^{'} (x) = 6 x - 1

r^{'} (x) = - 5 x^{4} + 6 x^{2}

Un nombre seul (le $- 5$ de $7 x - 5$ ) a pour dérivée $0$ .

Exercice 19 — Degré 3 et plus

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 5 x - 1$
b)
$g (x) = x^{6} - x^{4}$
c)
$h (x) = - 2 x^{5} + x^{3} - 7 x$
d)
$k (x) = 5 - 3 x^{4}$
e)
$m (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x$

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = 4 \times 3 x^{2} - 6 \times 2 x + 5 = 12 x^{2} - 12 x + 5$
b)
$g^{'} (x) = 6 x^{5} - 4 x^{3}$
c)
$h^{'} (x) = - 10 x^{4} + 3 x^{2} - 7$
d)
$k^{'} (x) = - 12 x^{3}$
e)
$m^{'} (x) = \frac{1}{3} \times 3 x^{2} - 2 = x^{2} - 2$

Exercice 20 — Entraînement

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = 6 x - 2$
b)
$g (x) = - x^{2} + 4 x - 3$
c)
$h (x) = 5 x^{3} - 2 x^{2}$
d)
$k (x) = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x$
e)
$m (x) = - 3 x^{4} + 6 x$
f)
$p (x) = 2 x^{5} - 5 x^{2} + 3$
g)
$q (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x$
h)
$r (x) = \frac{1}{4} x^{4} - x$

Corrigé

f^{'} (x) = 6

m^{'} (x) = - 12 x^{3} + 6

g^{'} (x) = - 2 x + 4

p^{'} (x) = 10 x^{4} - 10 x

h^{'} (x) = 15 x^{2} - 4 x

q^{'} (x) = x + 3

k^{'} (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 1

r^{'} (x) = x^{3} - 1

g) $\frac{1}{2} \times 2 x = x$ ; h) $\frac{1}{4} \times 4 x^{3} = x^{3}$ .

Exercice 21 — Développer d'abord

Développer chaque expression, puis calculer sa dérivée.

a)
$A (x) = (x - 1) (x + 4)$
b)
$B (x) = (2 x + 1) (x - 3)$
c)
$C (x) = (x + 2)^{2}$
d)
$D (x) = x (x^{2} - 5)$

Corrigé

a)
$A (x) = x^{2} + 3 x - 4$ , donc $A^{'} (x) = 2 x + 3$
b)
$B (x) = 2 x^{2} - 5 x - 3$ , donc $B^{'} (x) = 4 x - 5$
c)
$C (x) = x^{2} + 4 x + 4$ , donc $C^{'} (x) = 2 x + 4$
d)
$D (x) = x^{3} - 5 x$ , donc $D^{'} (x) = 3 x^{2} - 5$

Exercice 22 — Dérivée et tangentes

Soit $f (x) = x^{3} - 2 x + 1$ .

a)
Calculer $f^{'} (x)$ .
b)
Calculer $f (1)$ et $f^{'} (1)$ , puis déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $1$ .
c)
Même question au point d'abscisse $0$ .

Corrigé

a) $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$

b) $f (1) = 1 - 2 + 1 = 0$ et $f^{'} (1) = 3 - 2 = 1$ .

y

= 1 (x - 1) + 0

y

= x - 1

c) $f (0) = 1$ et $f^{'} (0) = - 2$ : $y = - 2 (x - 0) + 1$ , soit $y = - 2 x + 1$ .

VII Autres fonctions dérivées

Exercice 23 — Inverse, cosinus, sinus

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = \frac{4}{x}$
b)
$g (x) = - \frac{7}{x}$
c)
$h (x) = cos x + 3 x$
d)
$k (x) = 5 sin x$
e)
$m (x) = 2 cos x - 3 sin x$
f)
$p (x) = x^{4} - \frac{1}{x}$
g)
$q (x) = \frac{6}{x} + 2 x^{2}$
h)
$r (x) = - sin x + x^{3}$

Corrigé

f^{'} (x) = - \frac{4}{x ^{2}}

g^{'} (x) = \frac{7}{x ^{2}}

h^{'} (x) = - sin x + 3

k^{'} (x) = 5 cos x

m^{'} (x) = - 2 sin x - 3 cos x

p^{'} (x) = 4 x^{3} + \frac{1}{x ^{2}}

q^{'} (x) = - \frac{6}{x ^{2}} + 4 x

r^{'} (x) = - cos x + 3 x^{2}

Seule la dérivée de $cos x$ porte un signe $-$ : $(cos x)^{'} = - sin x$ .

Exercice 24 — Entraînement

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = \frac{3}{x} + x$
b)
$g (x) = 4 cos x + x^{2}$
c)
$h (x) = - 2 sin x + 5$
d)
$k (x) = x^{3} - \frac{5}{x}$
e)
$m (x) = sin x - cos x$
f)
$p (x) = \frac{1}{x} - 3 cos x$

Corrigé

f^{'} (x) = - \frac{3}{x ^{2}} + 1

g^{'} (x) = - 4 sin x + 2 x

h^{'} (x) = - 2 cos x

k^{'} (x) = 3 x^{2} + \frac{5}{x ^{2}}

m^{'} (x) = cos x + sin x

p^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}} + 3 sin x

e) $- cos x$ a pour dérivée $- (- sin x) = sin x$ .

Exercice 25 — Tangentes à la courbe de $\frac{2}{x}$

Soit $f (x) = \frac{2}{x}$ pour $x \neq = 0$ .

a)
Calculer $f^{'} (x)$ .
b)
Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $1$ .
c)
Même question au point d'abscisse $2$ .

Corrigé

a) $f^{'} (x) = 2 \times (- \frac{1}{x ^{2}}) = - \frac{2}{x ^{2}}$

b) $f (1) = 2$ et $f^{'} (1) = - 2$ .

y

= - 2 (x - 1) + 2

y

= - 2 x + 4

c) $f (2) = 1$ et $f^{'} (2) = - \frac{2}{4} = - \frac{1}{2}$ .

y

= - \frac{1}{2} (x - 2) + 1

y

= - \frac{1}{2} x + 2

Exercice 26 — Sinus et cosinus près de $0$

a)
Soit $f (x) = sin x$ . Calculer $f^{'} (0)$ , puis déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $0$ .
b)
En déduire une valeur approchée de $sin (0, 1)$ ; comparer avec la calculatrice (en radians).
c)
Soit $g (x) = cos x$ . Calculer $g^{'} (0)$ . Que peut-on dire de la tangente au point d'abscisse $0$ ?

Corrigé

a) $f^{'} (x) = cos x$ , donc $f^{'} (0) = cos 0 = 1$ ; $f (0) = sin 0 = 0$ .

y

= 1 (x - 0) + 0

y

= x

b) $sin (0, 1) ≃ 0, 1$ ; la calculatrice donne $0, 0998 \dots$

c) $g^{'} (x) = - sin x$ , donc $g^{'} (0) = 0$ : la tangente est $horizontale$ , d'équation $y = 1$ (car $g (0) = 1$ ).

VIII Dérivée d'un produit, d'un carré

Exercice 27 — Des carrés

Calculer la dérivée de chaque fonction, avec la formule de $u^{2}$ .

a)
$f (x) = (4 x + 1)^{2}$
b)
$g (x) = (2 - 5 x)^{2}$
c)
$h (x) = (x^{2} + 3)^{2}$
d)
$k (x) = (x^{3} - 1)^{2}$

Corrigé

On écrit $u$ et $u^{'}$ , puis $2 \times u^{'} \times u$ .

a)
$u = 4 x + 1$ , $u^{'} = 4$ : $f^{'} (x) = 2 \times 4 \times (4 x + 1) = 32 x + 8$
b)
$u = 2 - 5 x$ , $u^{'} = - 5$ : $g^{'} (x) = 2 \times (- 5) (2 - 5 x) = 50 x - 20$
c)
$u = x^{2} + 3$ , $u^{'} = 2 x$ : $h^{'} (x) = 2 \times 2 x (x^{2} + 3) = 4 x^{3} + 12 x$
d)
$u = x^{3} - 1$ , $u^{'} = 3 x^{2}$ : $k^{'} (x) = 2 \times 3 x^{2} (x^{3} - 1) = 6 x^{5} - 6 x^{2}$

Exercice 28 — Des produits

Calculer la dérivée de chaque fonction, avec la formule de $u \times v$ .

a)
$f (x) = (x + 2) (3 x - 1)$
b)
$g (x) = (2 x - 3) (x^{2} + 1)$
c)
$h (x) = x^{2} (4 x + 5)$
d)
$k (x) = (x^{2} - x) (x^{2} + 2)$
e)
$m (x) = x sin x$

Corrigé

a) $u = x + 2$ , $u^{'} = 1$ ; $v = 3 x - 1$ , $v^{'} = 3$ .

f^{'} (x)

= 1 \times (3 x - 1) + (x + 2) \times 3

f^{'} (x)

= 3 x - 1 + 3 x + 6

f^{'} (x)

= 6 x + 5

b) $u^{'} = 2$ ; $v^{'} = 2 x$ .

g^{'} (x)

= 2 (x^{2} + 1) + (2 x - 3) \times 2 x

g^{'} (x)

= 2 x^{2} + 2 + 4 x^{2} - 6 x

g^{'} (x)

= 6 x^{2} - 6 x + 2

c) $u = x^{2}$ , $u^{'} = 2 x$ ; $v = 4 x + 5$ , $v^{'} = 4$ : $h^{'} (x) = 2 x (4 x + 5) + 4 x^{2} = 12 x^{2} + 10 x$

d) $u^{'} = 2 x - 1$ ; $v^{'} = 2 x$ .

k^{'} (x)

= (2 x - 1) (x^{2} + 2) + (x^{2} - x) \times 2 x

k^{'} (x)

= 2 x^{3} + 4 x - x^{2} - 2 + 2 x^{3} - 2 x^{2}

k^{'} (x)

= 4 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 2

e) $u = x$ , $u^{'} = 1$ ; $v = sin x$ , $v^{'} = cos x$ : $m^{'} (x) = sin x + x cos x$

Exercice 29 — Entraînement

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = (3 x + 1) (x - 2)$
b)
$g (x) = (x + 5)^{2}$
c)
$h (x) = (x^{2} - 4) (2 x + 3)$
d)
$k (x) = (3 - x^{2})^{2}$
e)
$m (x) = x^{2} cos x$
f)
$p (x) = (2 x - 1) (x^{3} + x)$

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = 3 (x - 2) + (3 x + 1) \times 1 = 6 x - 5$
b)
$g^{'} (x) = 2 \times 1 \times (x + 5) = 2 x + 10$
c)
$h^{'} (x) = 2 x (2 x + 3) + (x^{2} - 4) \times 2 = 6 x^{2} + 6 x - 8$
d)
$k^{'} (x) = 2 \times (- 2 x) (3 - x^{2}) = 4 x^{3} - 12 x$
e)
$m^{'} (x) = 2 x cos x - x^{2} sin x$
f)
$p^{'} (x) = 2 (x^{3} + x) + (2 x - 1) (3 x^{2} + 1) = 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 1$

Exercice 30 — Deux façons de faire

Soit $f (x) = (x + 3) (2 x - 1)$ .

a)
Calculer $f^{'} (x)$ avec la formule du produit.
b)
Développer $f (x)$ , puis le dériver.
c)
Comparer les deux résultats.

Corrigé

a) $u = x + 3$ , $u^{'} = 1$ ; $v = 2 x - 1$ , $v^{'} = 2$ .

f^{'} (x)

= 1 \times (2 x - 1) + (x + 3) \times 2

f^{'} (x)

= 4 x + 5

b) $f (x) = 2 x^{2} - x + 6 x - 3 = 2 x^{2} + 5 x - 3$ , donc $f^{'} (x) = 4 x + 5$ .

c) Les deux résultats sont égaux : développer permet de vérifier.

La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées : $1 \times 2 = 2$ serait faux.

IX Dérivée de l'inverse, d'un quotient

Exercice 31 — Des inverses

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = \frac{1}{3 x + 2}$
b)
$g (x) = \frac{1}{1 - 4 x}$
c)
$h (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1}$
d)
$k (x) = \frac{5}{2 x - 1}$

Corrigé

On écrit $v$ et $v^{'}$ , puis $- \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$ .

a)
$v^{'} = 3$ : $f^{'} (x) = - \frac{3}{( 3 x + 2 ) ^{2}}$
b)
$v^{'} = - 4$ : $g^{'} (x) = - \frac{- 4}{( 1 - 4 x ) ^{2}} = \frac{4}{( 1 - 4 x ) ^{2}}$
c)
$v^{'} = 2 x$ : $h^{'} (x) = - \frac{2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$
d)
$k (x) = 5 \times \frac{1}{2 x - 1}$ , $v^{'} = 2$ : $k^{'} (x) = - \frac{10}{( 2 x - 1 ) ^{2}}$

Exercice 32 — Des quotients

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = \frac{x + 4}{x - 1}$
b)
$g (x) = \frac{2 x - 1}{x + 2}$
c)
$h (x) = \frac{3 x}{x + 1}$
d)
$k (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x - 2}$

Corrigé

a) $u = x + 4$ , $u^{'} = 1$ ; $v = x - 1$ , $v^{'} = 1$ .

f^{'} (x)

= \frac{1 \times ( x - 1 ) - ( x + 4 ) \times 1}{( x - 1 ) ^{2}}

f^{'} (x)

= \frac{x - 1 - x - 4}{( x - 1 ) ^{2}}

f^{'} (x)

= \frac{- 5}{( x - 1 ) ^{2}}

b) $g^{'} (x) = \frac{2 ( x + 2 ) - ( 2 x - 1 )}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{5}{( x + 2 ) ^{2}}$

c) $h^{'} (x) = \frac{3 ( x + 1 ) - 3 x}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}}$

d) $u^{'} = 2 x$ ; $v^{'} = 1$ .

k^{'} (x)

= \frac{2 x ( x - 2 ) - ( x ^{2} + 1 )}{( x - 2 ) ^{2}}

k^{'} (x)

= \frac{2 x ^{2} - 4 x - x ^{2} - 1}{( x - 2 ) ^{2}}

k^{'} (x)

= \frac{x ^{2} - 4 x - 1}{( x - 2 ) ^{2}}

Des parenthèses autour de $u (x)$ : le $-$ porte sur tout le terme.

Exercice 33 — Entraînement

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = \frac{1}{x + 5}$
b)
$g (x) = \frac{3}{4 x - 1}$
c)
$h (x) = \frac{x - 3}{x + 2}$
d)
$k (x) = \frac{4 x + 1}{2 x - 3}$
e)
$m (x) = \frac{2}{x ^{2} + 4}$
f)
$p (x) = \frac{x ^{2}}{x + 1}$

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = - \frac{1}{( x + 5 ) ^{2}}$
b)
$g^{'} (x) = 3 \times (- \frac{4}{( 4 x - 1 ) ^{2}}) = - \frac{12}{( 4 x - 1 ) ^{2}}$
c)
$h^{'} (x) = \frac{( x + 2 ) - ( x - 3 )}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{5}{( x + 2 ) ^{2}}$
d)
$k^{'} (x) = \frac{8 x - 12 - 8 x - 2}{( 2 x - 3 ) ^{2}} = \frac{- 14}{( 2 x - 3 ) ^{2}}$ (numérateur : $4 (2 x - 3) - (4 x + 1) \times 2$ )
e)
$m^{'} (x) = 2 \times (- \frac{2 x}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}}) = - \frac{4 x}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}}$
f)
$p^{'} (x) = \frac{2 x ( x + 1 ) - x ^{2}}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 2 x}{( x + 1 ) ^{2}}$

Exercice 34 — Quotient et tangente

Soit $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ pour $x \neq = 1$ .

a)
Calculer $f^{'} (x)$ .
b)
Calculer $f (2)$ et $f^{'} (2)$ , puis déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $2$ .

Corrigé

a) $u = 2 x + 1$ , $u^{'} = 2$ ; $v = x - 1$ , $v^{'} = 1$ .

f^{'} (x)

= \frac{2 ( x - 1 ) - ( 2 x + 1 ) \times 1}{( x - 1 ) ^{2}}

f^{'} (x)

= \frac{2 x - 2 - 2 x - 1}{( x - 1 ) ^{2}}

f^{'} (x)

= \frac{- 3}{( x - 1 ) ^{2}}

b) $f (2) = \frac{5}{1} = 5$ et $f^{'} (2) = \frac{- 3}{1} = - 3$ .

y

= - 3 (x - 2) + 5

y

= - 3 x + 11

X Fonctions composées

Exercice 35 — Des puissances

Calculer la dérivée de chaque fonction, avec la formule de $u^{n}$ .

a)
$f (x) = (3 x - 2)^{4}$
b)
$g (x) = (x^{2} + 1)^{3}$
c)
$h (x) = (1 - 2 x)^{5}$
d)
$k (x) = (x^{3} + x)^{2}$

Corrigé

On écrit $u$ , $u^{'}$ et $n$ , puis $n \times u^{'} \times u^{n - 1}$ .

a)
$u^{'} = 3$ , $n = 4$ : $f^{'} (x) = 12 (3 x - 2)^{3}$
b)
$u^{'} = 2 x$ , $n = 3$ : $g^{'} (x) = 6 x (x^{2} + 1)^{2}$
c)
$u^{'} = - 2$ , $n = 5$ : $h^{'} (x) = - 10 (1 - 2 x)^{4}$
d)
$u^{'} = 3 x^{2} + 1$ , $n = 2$ : $k^{'} (x) = 2 (3 x^{2} + 1) (x^{3} + x)$

Exercice 36 — Cosinus et sinus composés

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = cos (4 x)$
b)
$g (x) = sin (2 x + 3)$
c)
$h (x) = 3 cos (5 x - 1)$
d)
$k (t) = 2 sin (100 t)$

Corrigé

a)
$u = 4 x$ , $u^{'} = 4$ : $f^{'} (x) = - 4 sin (4 x)$
b)
$u^{'} = 2$ : $g^{'} (x) = 2 cos (2 x + 3)$
c)
$u^{'} = 5$ : $h^{'} (x) = 3 \times (- 5) sin (5 x - 1) = - 15 sin (5 x - 1)$
d)
$u^{'} = 100$ : $k^{'} (t) = 2 \times 100 cos (100 t) = 200 cos (100 t)$

Exercice 37 — Entraînement

Calculer la dérivée de chaque fonction.

a)
$f (x) = (5 x + 2)^{3}$
b)
$g (x) = (x^{2} - 3 x)^{4}$
c)
$h (x) = cos (3 x - 2)$
d)
$k (x) = 4 sin (x^{2})$
e)
$m (t) = 5 cos (100 t + 1)$
f)
$p (x) = (2 - x)^{6}$

Corrigé

a)
$f^{'} (x) = 3 \times 5 (5 x + 2)^{2} = 15 (5 x + 2)^{2}$
b)
$g^{'} (x) = 4 (2 x - 3) (x^{2} - 3 x)^{3}$
c)
$h^{'} (x) = - 3 sin (3 x - 2)$
d)
$u = x^{2}$ , $u^{'} = 2 x$ : $k^{'} (x) = 4 \times 2 x cos (x^{2}) = 8 x cos (x^{2})$
e)
$m^{'} (t) = 5 \times (- 100) sin (100 t + 1) = - 500 sin (100 t + 1)$
f)
$u^{'} = - 1$ : $p^{'} (x) = - 6 (2 - x)^{5}$

Exercice 38 — Un piston

La position d'un piston, en cm, au bout de $t$ secondes, est $p (t) = 6 cos (2 t)$ . Sa vitesse, en cm/s, est la dérivée $p^{'} (t)$ .

a)
Calculer $p^{'} (t)$ .
b)
Quelle est la vitesse du piston à l'instant $t = 0$ ?
c)
Sachant que $sin (2 t)$ est toujours compris entre $- 1$ et $1$ , quelle est la plus grande vitesse possible du piston (en valeur absolue) ?

Corrigé

a) $u = 2 t$ , $u^{'} = 2$ : $p^{'} (t) = 6 \times (- 2) sin (2 t) = - 12 sin (2 t)$

b) $p^{'} (0) = - 12 sin 0 = 0 cm/s$ : au départ, le piston est immobile.

c) $sin (2 t)$ est entre $- 1$ et $1$ , donc $p^{'} (t)$ est entre $- 12$ et $12$ : au plus $12 cm/s$ .

Exercice 39 — Dérivées en vrac

Pour chaque fonction, choisir la bonne formule, puis calculer la dérivée.

a)
$f (x) = 3 x^{4} - \frac{2}{x}$
b)
$g (x) = (x^{2} + 1) (x - 3)$
c)
$h (x) = (2 x + 5)^{3}$
d)
$k (x) = \frac{4}{x ^{2} + 3}$
e)
$m (x) = \frac{x - 1}{x ^{2} + 1}$
f)
$p (x) = x cos x$

Corrigé

a)
Somme : $f^{'} (x) = 12 x^{3} + \frac{2}{x ^{2}}$
b)
Produit : $g^{'} (x) = 2 x (x - 3) + (x^{2} + 1) = 3 x^{2} - 6 x + 1$
c)
Puissance : $h^{'} (x) = 3 \times 2 (2 x + 5)^{2} = 6 (2 x + 5)^{2}$
d)
Inverse : $k^{'} (x) = 4 \times (- \frac{2 x}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}) = - \frac{8 x}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}$
e)
Quotient : $m^{'} (x) = \frac{( x ^{2} + 1 ) - ( x - 1 ) \times 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{- x ^{2} + 2 x + 1}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$
f)
Produit : $p^{'} (x) = cos x - x sin x$

XI Dérivée et sens de variation

Exercice 40 — Du signe de $f^{'}$ aux variations

Voici le signe de $f^{'} (x)$ sur $[- 4; 5]$ . On sait que $f (- 4) = 2$ , $f (- 1) = - 3$ , $f (3) = 4$ et $f (5) = 1$ .

Dresser le tableau de variations de $f$ .

Corrigé

$f^{'} (x) < 0$ : $f$ décroît ; $f^{'} (x) > 0$ : $f$ croît.

Exercice 41 — Un trinôme

Soit $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ sur $[0; 6]$ .

a)
Calculer $f^{'} (x)$ et étudier son signe.
b)
Dresser le tableau de variations de $f$ .

Corrigé

a) $f^{'} (x) = 2 x - 6$ ; $2 x - 6 = 0$ pour $x = 3$ . Affine de coefficient $2 > 0$ : négatif avant $3$ , positif après.

b) $f (0) = 5$ ; $f (3) = 9 - 18 + 5 = - 4$ ; $f (6) = 36 - 36 + 5 = 5$ .

Exercice 42 — Un polynôme de degré 3

Soit $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ sur $[- 1; 3]$ .

a)
Calculer $f^{'} (x)$ .
b)
Étudier le signe de $f^{'} (x)$ .
c)
Dresser le tableau de variations de $f$ .

Corrigé

a) $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x$

b) $a = 3$ , $b = - 6$ , $c = 0$ .

Δ

= (- 6)^{2} - 4 \times 3 \times 0

Δ

= 36

x_{1}

= \frac{6 - 6}{6} = 0

x_{2}

= \frac{6 + 6}{6} = 2

Du signe de $a = 3 > 0$ à l'extérieur des racines.

c) $f (- 1) = - 1 - 3 + 1 = - 3$ ; $f (0) = 1$ ; $f (2) = 8 - 12 + 1 = - 3$ ; $f (3) = 27 - 27 + 1 = 1$ .

Plus rapide : $3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ , racines $0$ et $2$ .

Exercice 43 — Un coefficient négatif

Soit $g (x) = - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 5$ sur $[- 2; 3]$ .

a)
Calculer $g^{'} (x)$ .
b)
Étudier le signe de $g^{'} (x)$ .
c)
Dresser le tableau de variations de $g$ .

Corrigé

a) $g^{'} (x) = - 6 x^{2} + 6 x + 12$

Δ

= 6^{2} - 4 \times (- 6) \times 12

Δ

= 324

x_{1}

= \frac{- 6 + 18}{- 12} = - 1

x_{2}

= \frac{- 6 - 18}{- 12} = 2

Du signe de $a = - 6 < 0$ (négatif) à l'extérieur des racines, positif entre elles.

c) $g (- 2) = 16 + 12 - 24 - 5 = - 1$ ; $g (- 1) = 2 + 3 - 12 - 5 = - 12$ ; $g (2) = - 16 + 12 + 24 - 5 = 15$ ; $g (3) = - 54 + 27 + 36 - 5 = 4$ .

Exercice 44 — Un quotient

Soit $f (x) = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ sur $[0; 4]$ .

a)
Montrer que $f^{'} (x) = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$ .
b)
En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0; 4]$ , puis dresser son tableau de variations.

Corrigé

a) $u = 2 x + 1$ , $u^{'} = 2$ ; $v = x + 1$ , $v^{'} = 1$ .

f^{'} (x)

= \frac{2 ( x + 1 ) - ( 2 x + 1 ) \times 1}{( x + 1 ) ^{2}}

f^{'} (x)

= \frac{2 x + 2 - 2 x - 1}{( x + 1 ) ^{2}}

f^{'} (x)

= \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}

b) Un carré est positif : $f^{'} (x) > 0$ , donc $f$ est $croissante$ sur $[0; 4]$ . $f (0) = 1$ et $f (4) = \frac{9}{5}$ .

Exercice 45 — Étude complète et tracé

Soit $f (x) = x^{3} - 3 x$ sur $[- 2; 2]$ .

a)
Calculer $f^{'} (x)$ et étudier son signe.
b)
Dresser le tableau de variations de $f$ .
c)
Déterminer l'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $0$ .
d)
Compléter un tableau de valeurs de $f$ pour $x = - 2$ , $- 1$ , $0$ , $1$ et $2$ .
e)
Dans un repère, tracer $T$ , puis $C_{f}$ .

Corrigé

a) $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ ; $Δ = 0 - 4 \times 3 \times (- 3) = 36$ , racines $\frac{0 \pm 6}{6}$ : $- 1$ et $1$ . Positif à l'extérieur ( $a = 3 > 0$ ).

b) $f (- 2) = - 2$ ; $f (- 1) = 2$ ; $f (1) = - 2$ ; $f (2) = 2$ .

c) $f (0) = 0$ et $f^{'} (0) = - 3$ : $y = - 3 x$ .

d) Valeurs :

$f (- 2) = - 2$ ; $f (- 1) = 2$ ;

$f (0) = 0$ ; $f (1) = - 2$ ;

$f (2) = 2$ .

e) Tangentes horizontales en $- 1$ et en $1$ .

XII Problèmes concrets : maximum et minimum

Exercice 46 — Un coût minimal

Une usine fabrique $q$ dizaines de pièces par jour, avec $0 ⩽ q ⩽ 25$ . Le coût de fabrication, en euros, est $C (q) = q^{2} - 30 q + 300$ .

a)
Calculer $C^{'} (q)$ .
b)
Dresser le tableau de variations de $C$ sur $[0; 25]$ .
c)
Combien de pièces faut-il fabriquer pour que le coût soit minimal ? Que vaut-il ?

Corrigé

a) $C^{'} (q) = 2 q - 30$

b) $2 q - 30 = 0$ pour $q = 15$ ; coefficient $2 > 0$ : négatif puis positif. $C (0) = 300$ ; $C (15) = 225 - 450 + 300 = 75$ ; $C (25) = 625 - 750 + 300 = 175$ .

c) Coût minimal de $75 €$ pour $q = 15$ , soit $150$ pièces.

$q$ compte des dizaines : $15$ dizaines font $150$ pièces.

Exercice 47 — La boîte la plus grande

Dans un carton carré de $12$ cm de côté, on découpe aux quatre coins un carré de côté $x$ (en cm), puis on relève les bords pour former une boîte sans couvercle. Son volume est $V (x) = x (12 - 2 x)^{2}$ , pour $0 ⩽ x ⩽ 6$ .

a)
Montrer que $V (x) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 144 x$ .
b)
Calculer $V^{'} (x)$ .
c)
Étudier le signe de $V^{'} (x)$ sur $[0; 6]$ .
d)
Dresser le tableau de variations de $V$ .
e)
Pour quelle valeur de $x$ le volume est-il maximal ? Que vaut-il ?

Corrigé

a) $(12 - 2 x)^{2} = 144 - 48 x + 4 x^{2}$ , donc $V (x) = x (4 x^{2} - 48 x + 144) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 144 x$ .

b) $V^{'} (x) = 12 x^{2} - 96 x + 144$

Δ

= 9 6^{2} - 4 \times 12 \times 144

Δ

= 2304

x_{1}

= \frac{96 - 48}{24} = 2

x_{2}

= \frac{96 + 48}{24} = 6

$a = 12 > 0$ : positif sur $[0; 2]$ , négatif sur $[2; 6]$ .

d) $V (0) = 0$ ; $V (2) = 2 \times 8^{2} = 128$ ; $V (6) = 0$ .

e) Volume maximal de $128 cm^{3}$ pour $x = 2 cm$ .

Exercice 48 — Le tambour d'une machine à laver

Après l'essorage, le tambour d'une machine à laver tourne librement jusqu'à l'arrêt. Au bout de $t$ secondes, il a fait $N (t) = - 0, 5 t^{2} + 20 t$ tours, pour $0 ⩽ t ⩽ 40$ . Sa vitesse de rotation, en tours par seconde, est $N^{'} (t)$ .

a)
Calculer $N^{'} (t)$ .
b)
Au bout de combien de secondes le tambour s'arrête-t-il ?
c)
Combien de tours a-t-il faits jusqu'à l'arrêt ?

Corrigé

a) $N^{'} (t) = - 0, 5 \times 2 t + 20 = - t + 20$

b) Le tambour s'arrête quand sa vitesse est nulle : $- t + 20 = 0$ , soit $t = 20 s$ .

c) $N (20) = - 0, 5 \times 400 + 400 = 200$ tours.

Entre $0$ et $20$ s, $N^{'} (t) > 0$ : le nombre de tours augmente, le tambour tourne.

XIII Résoudre une équation $f (x) = k$

Exercice 49 — Nombre de solutions

Voici le tableau de variations d'une fonction $f$ dérivable sur $[- 3; 4]$ .

Pour chaque équation, donner le nombre de solutions et un intervalle qui contient chacune d'elles.

a)
$f (x) = 0$
b)
$f (x) = 3$
c)
$f (x) = - 3$
d)
$f (x) = 6$

Corrigé

Sur chaque intervalle où $f$ varie dans un seul sens, on regarde si $k$ est entre les deux valeurs extrêmes.

a)
$f (x) = 0$ : $3$ solutions, dans $] - 3; 0 [$ , $] 0; 2 [$ et $] 2; 4 [$ .
b)
$f (x) = 3$ : $2$ solutions, dans $] - 3; 0 [$ et $] 0; 2 [$ (sur $[2; 4]$ , $f$ ne dépasse pas $1$ ).
c)
$f (x) = - 3$ : $2$ solutions, dans $] 0; 2 [$ et $] 2; 4 [$ (sur $[- 3; 0]$ , $f$ reste au-dessus de $- 2$ ).
d)
$f (x) = 6$ : $0$ solution ( $6$ est plus grand que le maximum $5$ ).

Exercice 50 — Une seule solution

Soit $f (x) = x^{3} + x - 3$ sur $[0; 2]$ .

a)
Montrer que $f$ est strictement croissante sur $[0; 2]$ .
b)
Montrer que l'équation $f (x) = 0$ a une seule solution $α$ dans $[0; 2]$ .
c)
Avec la calculatrice, encadrer $α$ entre deux nombres à un chiffre après la virgule.

Corrigé

a) $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1$ : un carré est positif, donc $f^{'} (x) > 0$ et $f$ est strictement croissante.

b) $f (0) = - 3$ et $f (2) = 8 + 2 - 3 = 7$ : $0$ est entre $- 3$ et $7$ , donc l'équation a une seule solution $α$ .

c) $f (1) = - 1$ et $f (2) = 7$ , donc $1 < α < 2$ ; $f (1, 2) = - 0, 072$ et $f (1, 3) = 0, 497$ , donc $1, 2 < α < 1, 3$ .

Exercice 51 — Trois solutions

Soit $g (x) = x^{3} - 12 x$ sur $[- 4; 4]$ .

a)
Calculer $g^{'} (x)$ et étudier son signe.
b)
Dresser le tableau de variations de $g$ .
c)
Combien de solutions l'équation $g (x) = 5$ a-t-elle dans $[- 4; 4]$ ?
d)
Encadrer la plus grande d'entre elles entre deux nombres à un chiffre après la virgule.

Corrigé

a) $g^{'} (x) = 3 x^{2} - 12$ ; $Δ = 0 - 4 \times 3 \times (- 12) = 144$ , racines $\frac{0 \pm 12}{6}$ : $- 2$ et $2$ . Positif à l'extérieur ( $a = 3 > 0$ ).

b) $g (- 4) = - 16$ ; $g (- 2) = 16$ ; $g (2) = - 16$ ; $g (4) = 16$ .

c) Sur chacun des trois intervalles, $g$ varie dans un seul sens entre $- 16$ et $16$ , et $5$ est entre les deux : $3$ solutions.

d) La plus grande est dans $] 2; 4 [$ : $g (3) = - 9$ et $g (4) = 16$ , donc $3 < α < 4$ ; $g (3, 6) = 3, 456$ et $g (3, 7) = 6, 253$ encadrent $5$ , donc $3, 6 < α < 3, 7$ .

ExercicesChapitre 5 — Dérivation et étude de fonctions

I Fonctions affines et droites

Exercice 1 — Coefficient directeur

Exercice 2 — Équation d'une droite

Exercice 3 — Une fonction affine par deux images

Exercice 4 — Lire des équations

II Nombre dérivé

Exercice 5 — Nombre dérivé en 1

Exercice 6 — Nombre dérivé en 2

Exercice 7 — Avec un coefficient négatif

Exercice 8 — À la calculatrice

III Tangente à une courbe

Exercice 9 — Lire des nombres dérivés

Exercice 10 — Tracer des tangentes

Exercice 11 — Retrouver l'allure d'une courbe

IV Équation de la tangente

Exercice 12 — Avec un nombre dérivé admis

Exercice 13 — Quatre tangentes

Exercice 14 — Du taux de variation à la tangente

V Approximation affine

Exercice 15 — Le carré de 3,02

Exercice 16 — Une fonction inverse

Exercice 17 — Une plaque qui se dilate

VI Fonction dérivée d'une fonction polynôme

Exercice 18 — Dériver

Exercice 19 — Degré 3 et plus

Exercice 20 — Entraînement

Exercice 21 — Développer d'abord

Exercice 22 — Dérivée et tangentes

VII Autres fonctions dérivées

Exercice 23 — Inverse, cosinus, sinus

Exercice 24 — Entraînement

Exercice 25 — Tangentes à la courbe de x2​

Exercice 26 — Sinus et cosinus près de 0

VIII Dérivée d'un produit, d'un carré

Exercice 27 — Des carrés

Exercice 28 — Des produits

Exercice 29 — Entraînement

Exercice 30 — Deux façons de faire

IX Dérivée de l'inverse, d'un quotient

Exercice 31 — Des inverses

Exercice 32 — Des quotients

Exercice 33 — Entraînement

Exercice 34 — Quotient et tangente

X Fonctions composées

Exercice 35 — Des puissances

Exercice 36 — Cosinus et sinus composés

Exercice 37 — Entraînement

Exercice 38 — Un piston

Exercice 39 — Dérivées en vrac

XI Dérivée et sens de variation

Exercice 40 — Du signe de f′ aux variations

Exercice 41 — Un trinôme

Exercice 42 — Un polynôme de degré 3

Exercice 43 — Un coefficient négatif

Exercice 44 — Un quotient

Exercice 45 — Étude complète et tracé

XII Problèmes concrets : maximum et minimum

Exercice 46 — Un coût minimal

Exercice 47 — La boîte la plus grande

Exercice 48 — Le tambour d'une machine à laver

XIII Résoudre une équation f(x)=k

Exercice 49 — Nombre de solutions

Exercice 50 — Une seule solution

Exercice 51 — Trois solutions

Exercice 5 — Nombre dérivé en $1$

Exercice 6 — Nombre dérivé en $2$

Exercice 15 — Le carré de $3, 02$

Exercice 25 — Tangentes à la courbe de $\frac{2}{x}$

Exercice 26 — Sinus et cosinus près de $0$

Exercice 40 — Du signe de $f^{'}$ aux variations

XIII Résoudre une équation $f (x) = k$