Chapitre 3 — Vecteurs · coursI Caractéristiques d'un vecteur

Sommaire du chapitre

I — Caractéristiques d'un vecteur
- Méthode 1 — Reconnaître des vecteurs égaux ou opposés
II — Translation
- Méthode 2 — Construire l'image d'un point, d'une figure
III — Parallélogramme et égalité de vecteurs
- Méthode 3 — Placer un point défini par une égalité de vecteurs
IV — Somme de deux vecteurs
- Méthode 4 — Construire une somme ou une différence
V — Milieu d'un segment
- Méthode 5 — Démontrer qu'un point est un milieu
VI — Multiplier un vecteur par un réel
- Méthode 6 — Construire $k u$
VII — Relation de Chasles
- Méthode 7 — Simplifier une somme de vecteurs

Définition 1 — Vecteur

Deux points $A$ et $B$ définissent le vecteur $A B$ : il va de son origine $A$ à son extrémité $B$ . On le représente par une flèche de $A$ vers $B$ . Il a trois caractéristiques :

une direction, celle de la droite $(A B)$ ;
un sens, de $A$ vers $B$ ;
une longueur, appelée norme et notée $A B = A B$ .

On nomme aussi un vecteur par une seule lettre : $u$ , $v$ …

Définition 2 — Vecteurs égaux, nul, opposés

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme. Un vecteur peut donc être copié et déplacé : on dit qu'il a une infinité de représentants.
Le vecteur $AA$ est le vecteur nul, noté $0$ .
Deux vecteurs sont opposés s'ils ont même direction, même norme et des sens contraires : $B A = - A B$ .

Méthode 1 — Reconnaître des vecteurs égaux ou opposés

Sur un quadrillage, on lit le déplacement de chaque flèche : tant de carreaux horizontalement, tant de carreaux verticalement.

Exemples corrigés

1°)
Tracer les vecteurs $A B$ , $C D$ , $EF$ et $G H$ .
2°)
Pour chaque vecteur $C D$ , $EF$ et $G H$ , dire s'il est égal à $A B$ , opposé à $A B$ , ou ni l'un ni l'autre.

Correction

1°)

Pour

A B

, on trace une flèche qui part de

A

et dont la pointe est en

B

l'origine est la première lettre

De même,

C D

va de

C

D

EF

E

F

G H

G

H

la pointe est sur la seconde lettre

2°)

A B

4

carreaux à droite et

1

vers le haut.

le vecteur de référence

C D

4

à droite,

1

vers le haut, donc

C D = A B

même déplacement

EF

4

à gauche,

1

vers le bas, donc

EF = - A B

déplacement contraire

G H

3

à droite,

1

vers le haut : ni égal, ni opposé.

autre déplacement

À vous de jouer

1°)
Tracer les vecteurs $MN$ , $PQ$ , $RS$ et $T U$ .
2°)
Pour chaque vecteur $PQ$ , $RS$ et $T U$ , dire s'il est égal à $MN$ , opposé à $MN$ , ou ni l'un ni l'autre.
3°)
Comparer $SR$ et $MN$ .
4°)
Tracer le représentant de $MN$ d'origine $T$ .

Correction

1°) et 4°)

Chaque flèche part de la première lettre ; sa pointe est sur la seconde.

origine, puis extrémité

Depuis

T

3

carreaux à droite et

2

vers le haut.

même direction, même sens, même longueur que

MN

2°)

MN

3

carreaux à droite et

2

vers le haut.

le vecteur de référence

PQ

3

à droite,

2

vers le haut, donc

PQ = MN

même déplacement

RS

3

à gauche,

2

vers le bas, donc

RS = - MN

déplacement contraire

T U

3

à droite,

1

vers le haut : ni égal, ni opposé.

autre déplacement

3°)

SR

: de

S

R

3

carreaux à droite et

2

vers le haut, comme

MN

SR = MN

échanger les lettres de

RS

change le sens

À faire : exercices 1 à 5

Exercice 1 — Égaux ou non

La figure ci-dessous est tracée sur un quadrillage.

Tracer chaque vecteur sur la figure, puis compléter par $=$ ou $\neq =$ :

a)
$K L \dots NP$ b) $K N \dots L P$
c)
$K P \dots L Q$ d) $N L \dots K N$
e)
$K M \dots NQ$ f) $PQ \dots PN$

Corrigé

K L = NP

K N = L P

K P = L Q

N L \neq = K N

K M = NQ

PQ \neq = PN

f) Même direction, même norme, mais sens contraires : $PN = - PQ$ .

Exercice 2 — Lire sur la figure

On utilise la figure de l'exercice 1.

1.
Citer un vecteur égal à $K N$ , puis un vecteur égal à $L M$ .
2.
Citer un vecteur opposé à $K N$ , puis un vecteur opposé à $K L$ .
3.
Citer deux vecteurs :
- de même direction et de même sens, mais pas égaux ;
- de même norme, mais pas égaux ;
- de même direction et de sens contraires, mais pas opposés.

Corrigé

1) $K N = L P = MQ$ ; $L M = K L = NP = PQ$ .

2) Opposés à $K N$ : $N K$ , $P L$ , $QM$ ; à $K L$ : $L K$ , $PN$ , $QP$ …

3) Par exemple : $K L$ et $K M$ ; $K L$ et $PN$ ; $K M$ et $L K$ .

Exercice 3 — Construire un représentant

Tracer un vecteur $u$ de norme $3$ cm. Construire ensuite un représentant du vecteur $v$ dans chaque cas :

1.
$v$ a la même direction et le même sens que $u$ , et pour norme $6$ cm ;
2.
$v$ a la même direction et la même norme que $u$ , et le sens contraire ;
3.
$v$ a la même direction que $u$ , le sens contraire, et pour norme $1, 5$ cm ;
4.
$v$ a la même norme que $u$ et une autre direction.

Corrigé

1) et 3) : on mesure la longueur demandée sur la même direction. 4) Toute flèche de $3$ cm dans une autre direction convient.

Exercice 4 — Vrai ou faux

$EFG H$ et $H G K L$ sont deux parallélogrammes. Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

1.
L'image de $H$ par la translation de vecteur $GF$ est le point $E$ .
2.
Les vecteurs $K G$ et $H L$ ont la même direction.
3.
$K G = H L$ .
4.
$EF = L K$ .

Corrigé

1) $Vrai$ : $EFG H$ est un parallélogramme, donc $GF = H E$ , et la translation de vecteur $H E$ envoie $H$ sur $E$ .

2) $Vrai$ : $H G K L$ est un parallélogramme, donc $(G K) ∥ (H L)$ .

3) $Faux$ : $G K = H L$ , donc $K G = - H L$ : les vecteurs sont opposés.

4) $Vrai$ : $EF = H G$ et $H G = L K$ .

Exercice 5 — Dans un parallélogramme

$RST U$ est un parallélogramme de centre $O$ . Faire une figure.

1.
Donner un vecteur égal à :

a) $RS$ b) $T U$ c) $R U$
2.
Compléter par le point qui convient :

a) $RO = O \dots$ b) $U O = O \dots$ c) $SO = O \dots$

Corrigé

1) $RS = U T$ ; $T U = SR$ ; $R U = ST$ .

2) $RO = OT$ ; $U O = OS$ ; $SO = O U$ .

Les diagonales $[RT]$ et $[S U]$ se coupent en leur milieu $O$ .