Chapitre 3 — Vecteurs · coursVII Relation de Chasles

Sommaire du chapitre

I — Caractéristiques d'un vecteur
- Méthode 1 — Reconnaître des vecteurs égaux ou opposés
II — Translation
- Méthode 2 — Construire l'image d'un point, d'une figure
III — Parallélogramme et égalité de vecteurs
- Méthode 3 — Placer un point défini par une égalité de vecteurs
IV — Somme de deux vecteurs
- Méthode 4 — Construire une somme ou une différence
V — Milieu d'un segment
- Méthode 5 — Démontrer qu'un point est un milieu
VI — Multiplier un vecteur par un réel
- Méthode 6 — Construire $k u$
VII — Relation de Chasles
- Méthode 7 — Simplifier une somme de vecteurs

Théorème 3 — Relation de Chasles

Pour tous points $A$ , $B$ et $C$ : $A B + BC = A C$ .

Aller de $A$ à $B$ , puis de $B$ à $C$ , c'est aller de $A$ à $C$ .
$A B + B A = AA = 0$ , donc $- A B = B A$ .
On peut passer par n'importe quel point de son choix : $A C = A M + MC$ .

Méthode 7 — Simplifier une somme de vecteurs

On remplace chaque $- X Y$ par $Y X$ , puis on range les vecteurs pour que l'extrémité de chacun soit l'origine du suivant.

Exemples corrigés

Simplifier :

a)
$K L + J K$
b)
$A B + D A + C D$
c)
$PQ - RQ + RP$

Correction

K L + J K

= J K + K L

on range :

J \to K \to L

K L + J K

= J L

Chasles

A B + D A + C D

= C D + D A + A B

on range :

C \to D \to A \to B

A B + D A + C D

= CB

PQ - RQ + RP

= PQ + QR + RP

- RQ = QR

PQ - RQ + RP

= PP = 0

on revient au point de départ

À vous de jouer

Simplifier :

U V + VW

G H + FG

MN + NP + PM

A C + B A + CB

EF - GF

Correction

U V + VW

= U W

déjà rangés :

U \to V \to W

G H + FG

= FG + G H

on range :

F \to G \to H

G H + FG

= F H

MN + NP + PM

= MM = 0

on revient au point de départ

A C + B A + CB

= B A + A C + CB

on range :

B \to A \to C \to B

A C + B A + CB

= BB = 0

EF - GF

= EF + FG

- GF = FG

EF - GF

= EG

À faire : exercices 27 à 33

Exercice 27 — Un seul vecteur, si c'est possible

Écrire avec un seul vecteur lorsque c'est possible ; sinon, expliquer pourquoi.

a)
$BE + EG$ b) $D A + D C$
c)
$T U + K T$ d) $F H + H S$
e)
$PQ + QP$ f) $A B + CE$

Corrigé

BG

b) impossible

K T + T U = K U

FS

0

f) impossible

b) Même origine $D$ : Chasles ne s'applique pas. f) $B$ et $C$ sont différents.

Exercice 28 — Simplifier

$A BC$ est un triangle et $M$ un point. Simplifier à l'aide de la relation de Chasles :

u = BC + C A + A B

v = C A - CB + A C

w = MC - M A + CB

Aide : $- CB = BC$ .

Corrigé

u

= BC + C A + A B = BB

u

= 0

v

= C A + BC + A C

v

= BC + C A + A C = BC

w

= MC + A M + CB

w

= A M + MC + CB = A B

$C A + A C = CC = 0$ .

Exercice 29 — Compléter

Compléter par les points qui conviennent.

1.
$BC = B A + A \dots$
2.
$CB + \dots A = C A$
3.
$A \dots + C A = CB$
4.
$BC + D A + C D = \dots$

Corrigé

1) $A C$ 2) $B A$ 3) $A B$ 4) $BC + C D + D A = B A$

Exercice 30 — Peut-on réduire ?

Dire si chaque somme se réduit avec la relation de Chasles, et la réduire si c'est le cas.

a)
$MN + NP$ b) $MN + MP$
c)
$RO + OS$ d) $RO + SR$
e)
$G H + H G$ f) $K B + A K$

Corrigé

MP

b) non (même origine)

RS

SR + RO = SO

0

A K + K B = A B

Exercice 31 — Une égalité à démontrer

Démontrer que, pour tous points $O$ , $A$ , $B$ et $C$ :

OB - O A + BC = A C .

Corrigé

OB - O A + BC

= A O + OB + BC

OB - O A + BC

= A C

$- O A = A O$ , puis on range : $A \to O \to B \to C$ .

Exercice 32 — Exprimer avec deux vecteurs

$A BC$ est un triangle.

1.
Exprimer $u$ en fonction de $A B$ et $A C$ :

a) $u = CB$ b) $u = 3 CB + B A$
2.
Exprimer $v$ en fonction de $C A$ et $BC$ :

a) $v = B A + C A$

b) $v = A B + 2 BC + A C$

Corrigé

1) a)

u

= C A + A B

u

= A B - A C

u

= 3 (A B - A C) - A B

u

= 2 A B - 3 A C

2) a)

v

= BC + C A + C A

v

= BC + 2 C A

b) $A B = A C + CB = - C A - BC$ et $A C = - C A$ :

v

= - C A - BC + 2 BC - C A

v

= BC - 2 C A

Exercice 33 — Différences sur un quadrillage

Construire, à partir du point $A$ , un représentant de chaque vecteur demandé. On peut prolonger le quadrillage sur la feuille.

a)
$A C - A B$ b) $A D - B D$
c)
$A B - A D$ d) $A C - B D$

Corrigé

a) $BC$ ; b) $A D + D B = A B$ : on arrive en $B$ ; c) $D B$ ; d) $A C + D B$ : $8$ à droite et $1$ vers le bas.