Chapitre 3 — Vecteurs · coursII Translation

Sommaire du chapitre

I — Caractéristiques d'un vecteur
- Méthode 1 — Reconnaître des vecteurs égaux ou opposés
II — Translation
- Méthode 2 — Construire l'image d'un point, d'une figure
III — Parallélogramme et égalité de vecteurs
- Méthode 3 — Placer un point défini par une égalité de vecteurs
IV — Somme de deux vecteurs
- Méthode 4 — Construire une somme ou une différence
V — Milieu d'un segment
- Méthode 5 — Démontrer qu'un point est un milieu
VI — Multiplier un vecteur par un réel
- Méthode 6 — Construire $k u$
VII — Relation de Chasles
- Méthode 7 — Simplifier une somme de vecteurs

Définition 3 — Translation de vecteur $u$

La translation de vecteur $u$ , notée $t_{u}$ , fait glisser chaque point $M$ jusqu'au point $M^{'}$ tel que $M M^{'} = u$ . Le point $M^{'}$ est l'image de $M$ par $t_{u}$ .

Propriété 1

Une translation conserve les longueurs, les angles et les aires : une figure et son image sont superposables. Une droite a pour image une droite parallèle.

Méthode 2 — Construire l'image d'un point, d'une figure

On reporte le déplacement de $u$ à partir du point à transformer ; pour une figure, on transforme chaque sommet, puis on relie les images dans le même ordre.

Exemples corrigés

Construire l'image $A^{'} B^{'} C^{'}$ du triangle $A BC$ par la translation de vecteur $u$ .

Correction

Résolution

u

5

carreaux à droite et

1

vers le bas.

on lit le déplacement

On le reporte depuis

A

, depuis

B

et depuis

C

A A^{'}

B B^{'}

C C^{'}

sont égaux à

u

chaque sommet glisse de la même façon

À vous de jouer

Construire l'image $D^{'} E^{'} F^{'}$ du triangle $D EF$ par la translation de vecteur $v$ .

Correction

Résolution

v

4

carreaux à droite et

2

vers le haut.

on lit le déplacement

On le reporte depuis

D

, depuis

E

et depuis

F

D D^{'}

E E^{'}

F F^{'}

sont égaux à

v

chaque sommet glisse de la même façon

À faire : exercices 6 à 10

Exercice 6 — Représentants d'origine donnée

Tracer un triangle $D EF$ et un point $P$ . Tracer le représentant d'origine $P$ de chacun des vecteurs $D E$ , $EF$ et $F D$ .

Corrigé

Chaque flèche part de $P$ , avec la direction, le sens et la longueur du côté.

Exercice 7 — Quatre points à placer

$A BC$ est un triangle. Placer les points $M$ , $N$ , $P$ et $Q$ tels que

A C = BM = NB,

PC = A B,

A Q = CB .

Corrigé

$Q$ est confondu avec $N$ : $A Q = CB$ et $NB = A C$ donnent le même point. $A BMC$ , $A NBC$ et $A PCB$ sont des parallélogrammes.

Exercice 8 — Origine ou extrémité

On donne un vecteur non nul $u$ et trois points $E$ , $F$ , $G$ . Tracer le représentant de $u$ d'origine $E$ , puis celui d'extrémité $F$ , puis celui d'extrémité $G$ .

Corrigé

Pour un représentant d'extrémité $F$ , on part de $F$ en reculant du déplacement de $u$ , puis on trace la flèche vers $F$ .

Exercice 9 — Image d'un triangle

Tracer un triangle $A BC$ tel que $A B = 5$ cm, $BC = 4$ cm et $A C = 3$ cm. Construire les images $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ de ses sommets par la translation de vecteur $BC$ . Que dire des triangles $A BC$ et $A^{'} B^{'} C^{'}$ ?

Corrigé

On reporte le vecteur $BC$ depuis $A$ , $B$ et $C$ ; l'image de $B$ est $C$ . Les triangles $A BC$ et $A^{'} B^{'} C^{'}$ sont $superposables$ : une translation conserve les longueurs ( $A^{'} B^{'} = 5$ cm, $B^{'} C^{'} = 4$ cm, $A^{'} C^{'} = 3$ cm).

Exercice 10 — Neuf points

Neuf points sont placés sur un quadrillage.

1.
Citer tous les vecteurs formés par deux de ces points et égaux à $A B$ .
2.
Citer tous ceux qui sont égaux à $A E$ .
3.
Citer deux vecteurs opposés à $A B$ .

Corrigé

1) Égaux à $A B$ : $BC; D E; EF; G H; H I$

2) Égaux à $A E$ : $BF; DH; E I$

3) Par exemple $B A$ et $CB$ .

Chapitre 3 — Vecteurs · coursII Translation

Définition 3 — Translation de vecteur u

Propriété 1

Méthode 2 — Construire l'image d'un point, d'une figure

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 6 — Représentants d'origine donnée

Exercice 7 — Quatre points à placer

Exercice 8 — Origine ou extrémité

Exercice 9 — Image d'un triangle

Exercice 10 — Neuf points

Définition 3 — Translation de vecteur $u$