Chapitre 3 — Vecteurs · coursIII Parallélogramme et égalité de vecteurs

Sommaire du chapitre

I — Caractéristiques d'un vecteur
- Méthode 1 — Reconnaître des vecteurs égaux ou opposés
II — Translation
- Méthode 2 — Construire l'image d'un point, d'une figure
III — Parallélogramme et égalité de vecteurs
- Méthode 3 — Placer un point défini par une égalité de vecteurs
IV — Somme de deux vecteurs
- Méthode 4 — Construire une somme ou une différence
V — Milieu d'un segment
- Méthode 5 — Démontrer qu'un point est un milieu
VI — Multiplier un vecteur par un réel
- Méthode 6 — Construire $k u$
VII — Relation de Chasles
- Méthode 7 — Simplifier une somme de vecteurs

Théorème 1 — Parallélogramme

Pour quatre points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ : $A B = C D$ équivaut à $A B D C$ est un parallélogramme (éventuellement aplati, si les points sont alignés).

Méthode 3 — Placer un point défini par une égalité de vecteurs

On lit le déplacement du vecteur connu, puis on le reporte depuis l'origine imposée par l'égalité.

Exemples corrigés

Placer le point $F$ tel que $CF = A B$ , puis nommer le parallélogramme obtenu.

Correction

Résolution

A B

3

carreaux à droite et

2

vers le haut.

on lit le déplacement

Depuis

C

, on avance de

3

à droite et

2

vers le haut : c'est

F

on le reporte depuis

C

A B = CF

, donc

A BFC

est un parallélogramme.

théorème 1

À vous de jouer

$A BC D$ est un parallélogramme. Construire les points $E$ , $F$ , $G$ et $H$ tels que

BE = A B

CF = BC

D G = C D

H A = A B

Correction

Résolution

E

: on reporte

A B

depuis

B

;

A B = BE

, donc

B

est le milieu de

[A E]

théorème 2

F

: on reporte

BC

depuis

C

;

C

est le milieu de

[BF]

même raisonnement

G

: on reporte

C D

depuis

D

;

D

est le milieu de

[CG]

H

H A = A B

, donc on part de

A

et on recule de

A B

;

A

est le milieu de

[H B]

l'égalité impose l'extrémité

A

, pas l'origine

À faire : exercices 11 à 14

Exercice 11 — Deux parallélogrammes

$EFG H$ et $EF I J$ sont deux parallélogrammes. Faire une figure.

1.
Donner, en justifiant, deux vecteurs égaux à $EF$ .
2.
Démontrer que $H G I J$ est un parallélogramme.

Corrigé

1) $EFG H$ est un parallélogramme, donc $EF = H G$ ; $EF I J$ en est un, donc $EF = J I$ .

2) Ainsi $H G = J I$ ; d'après le théorème 1, $H G I J$ est un parallélogramme.

$A B = C D$ donne $A B D C$ : ici $H G = J I$ donne $H G I J$ .

Exercice 12 — Autour d'un triangle

Tracer un triangle $D EF$ .

1.
Construire les points $M$ et $N$ tels que $FM = D E$ et $NF = D E$ .
2.
Construire le point $K$ , image de $D$ par la translation de vecteur $FE$ .
3.
Quel point de la figure a pour image $E$ par la translation de vecteur $F D$ ?
4.
Écrire trois autres égalités de vecteurs lues sur la figure.

Corrigé

3) C'est $M$ : $ME = F D$ car $F D EM$ est un parallélogramme.

4) Par exemple $NF = FM$ ; $DK = FE$ ; $D F = EM$ .

Exercice 13 — Un milieu à démontrer

$RST U$ est un parallélogramme.

1.
Faire une figure.
2.
Construire le point $V$ tel que $RS U V$ soit un parallélogramme.
3.
Démontrer que $U$ est le milieu de $[T V]$ .

Corrigé

$RST U$ est un parallélogramme, donc $RS = U T$ . $RS U V$ en est un, donc $RS = V U$ . Ainsi $V U = U T$ : $U est le milieu de [T V]$ .

Exercice 14 — Vrai ou faux

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

1.
Si $F$ est l'image de $C$ par la translation de vecteur $D E$ , alors $FC = D E$ .
2.
Si $K L = NM$ , alors $K L MN$ est un parallélogramme.
3.
Si $A BC D$ est un parallélogramme, la translation de vecteur $A D$ transforme $B$ en $C$ .

Corrigé

1) $Faux$ : c'est $CF = D E$ (le vecteur va de $C$ vers son image).

2) $Vrai$ : $K L = NM$ donne le parallélogramme $K L MN$ (théorème 1).

3) $Vrai$ : $A D = BC$ , donc la translation envoie $B$ sur $C$ .