Chapitre 3 — Vecteurs · coursVI Multiplier un vecteur par un réel

Sommaire du chapitre

I — Caractéristiques d'un vecteur
- Méthode 1 — Reconnaître des vecteurs égaux ou opposés
II — Translation
- Méthode 2 — Construire l'image d'un point, d'une figure
III — Parallélogramme et égalité de vecteurs
- Méthode 3 — Placer un point défini par une égalité de vecteurs
IV — Somme de deux vecteurs
- Méthode 4 — Construire une somme ou une différence
V — Milieu d'un segment
- Méthode 5 — Démontrer qu'un point est un milieu
VI — Multiplier un vecteur par un réel
- Méthode 6 — Construire $k u$
VII — Relation de Chasles
- Méthode 7 — Simplifier une somme de vecteurs

Définition 5 — Produit par un réel

Pour un vecteur $u$ non nul et un réel $k$ non nul, le vecteur $k u$ :

a la même direction que $u$ ;
a le même sens si $k > 0$ , le sens contraire si $k < 0$ ;
est $k$ fois plus long si $k > 0$ (et $- k$ fois plus long si $k < 0$ ).

Si $k = 0$ ou $u = 0$ , alors $k u = 0$ . Par exemple, $u + u + u = 3 u$ et $(- 1) u = - u$ .

Méthode 6 — Construire $k u$

On multiplie par $k$ les deux nombres de carreaux du déplacement de $u$ ; si $k < 0$ , on change le sens.

Exemples corrigés

$u$ : $2$ carreaux à droite et $2$ vers le haut. Tracer $2 u$ et $- 1, 5 u$ .

Correction

2 u

4

carreaux à droite et

4

vers le haut.

même sens, deux fois plus long

- 1, 5 u

3

carreaux à gauche et

3

vers le bas.

sens contraire, une fois et demie plus long

À vous de jouer

$v$ : $2$ carreaux à droite et $2$ vers le bas. Tracer $3 v$ et $- 1, 5 v$ .

Correction

3 v

6

carreaux à droite et

6

vers le bas.

même sens, trois fois plus long

- 1, 5 v

3

carreaux à gauche et

3

vers le haut.

sens contraire, une fois et demie plus long

À faire : exercices 24 à 26

Exercice 24 — Multiples d'un vecteur

Reproduire la figure, puis représenter, à partir du point $O$ , les vecteurs $2 a$ , $3 a$ , $- a$ et $- 2 a$ .

Corrigé

$a$ fait $1$ à droite et $1$ vers le bas ; $- 2 a$ fait $2$ à gauche et $2$ vers le haut.

Exercice 25 — Avec des coefficients

$A BC$ est un triangle. Construire les points $M$ , $N$ et $P$ tels que

A M = 3 A C,

CN = \frac{1}{2} CB,

BP = - \frac{1}{2} B A .

Corrigé

$M$ est sur la demi-droite $[A C)$ avec $A M = 3 A C$ ; $N$ est le milieu de $[CB]$ ; $P$ est sur la droite $(A B)$ , au-delà de $B$ , avec $BP = \frac{1}{2} A B$ .

Exercice 26 — Sur un quadrillage

Quatre points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ sont placés sur un quadrillage.

Reproduire la figure, puis tracer :

1.
le représentant d'origine $A$ de $2 BC$ ;
2.
le représentant d'origine $B$ de $0, 5 A C$ ;
3.
le représentant d'origine $D$ de $- \frac{1}{3} B D$ ;
4.
le représentant d'origine $C$ de $\frac{1}{3} B D$ ;
5.
le représentant d'origine $D$ de $A B - BC$ .

Chaque extrémité tombe sur un nœ ud du quadrillage.

Corrigé

$BC$ : $2$ à droite, $2$ vers le haut ; $A C$ : $6$ à droite, $2$ vers le haut ; $B D$ : $3$ à gauche, $3$ vers le haut ; $A B - BC$ : $2$ à droite, $2$ vers le bas.

Chapitre 3 — Vecteurs · coursVI Multiplier un vecteur par un réel

Définition 5 — Produit par un réel

Méthode 6 — Construire ku

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 24 — Multiples d'un vecteur

Exercice 25 — Avec des coefficients

Exercice 26 — Sur un quadrillage

Méthode 6 — Construire $k u$