Chapitre 3 — Vecteurs · coursV Milieu d'un segment

Sommaire du chapitre

I — Caractéristiques d'un vecteur
- Méthode 1 — Reconnaître des vecteurs égaux ou opposés
II — Translation
- Méthode 2 — Construire l'image d'un point, d'une figure
III — Parallélogramme et égalité de vecteurs
- Méthode 3 — Placer un point défini par une égalité de vecteurs
IV — Somme de deux vecteurs
- Méthode 4 — Construire une somme ou une différence
V — Milieu d'un segment
- Méthode 5 — Démontrer qu'un point est un milieu
VI — Multiplier un vecteur par un réel
- Méthode 6 — Construire $k u$
VII — Relation de Chasles
- Méthode 7 — Simplifier une somme de vecteurs

Théorème 2 — Milieu

$I$ est le milieu de $[A B]$ équivaut à $A I = I B$ .

Pour démontrer que $M$ est le milieu de $[X Y]$ , il suffit donc d'obtenir $XM = M Y$ .

On l'écrit aussi $I A = - I B$ , ou $I A + I B = 0$ . Rappel : les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.

Méthode 5 — Démontrer qu'un point est un milieu

On traduit chaque parallélogramme de l'énoncé par une égalité de vecteurs, puis on les enchaîne jusqu'à obtenir $XM = M Y$ .

Exemples corrigés

$A BC D$ et $BCF D$ sont deux parallélogrammes. Démontrer que $D$ est le milieu de $[A F]$ .

Correction

Résolution

A BC D

est un parallélogramme, donc

A D = BC

côtés opposés

BCF D

est un parallélogramme, donc

BC = D F

côtés opposés

Ainsi

A D = D F

D

est le milieu de

[A F]

théorème 2

À vous de jouer

$A BC D$ et $A BEC$ sont deux parallélogrammes. Démontrer que $C$ est le milieu de $[D E]$ .

Correction

Résolution

A BC D

est un parallélogramme, donc

D C = A B

côtés opposés

A BEC

est un parallélogramme, donc

A B = CE

côtés opposés

Ainsi

D C = CE

C

est le milieu de

[D E]

théorème 2

À faire : exercices 21 à 23

Exercice 21 — Une différence, un parallélogramme

$A BC$ est un triangle.

1.
Construire le point $D$ tel que $A D = A C - A B$ . Quelle est la nature du quadrilatère $A D CB$ ? Que dire des segments $[A C]$ et $[D B]$ ?
2.
Placer le point $E$ tel que $CE = B A + CB$ . Que constate-t-on ?

Corrigé

1) $A C - A B = B A + A C$ , soit $BC$ . Donc $A D = BC$ : $A D CB$ est un parallélogramme, et ses diagonales $[A C]$ et $[D B]$ ont le même milieu.

2) $CE = CB + B A = C A$ : $E = A$ .

Exercice 22 — Trois points à construire

$A BC$ est un triangle. Construire le point $M$ tel que :

1.
$A M = A C - A B$ ;
2.
$CM = CB - B A$ ;
3.
$BM = A C + B A - CB$ .

Corrigé

1) $A M = BC$ ( $A BCM$ est un parallélogramme).

2) $CM = CB + A B$ : bout à bout depuis $C$ .

3) $A C + B A - CB = B A + A C + BC$ , soit $BC + BC$ , donc $BM = 2 BC$ .

Les indices $1$ , $2$ , $3$ distinguent les points des trois questions.

Exercice 23 — Symétrie centrale

$E$ , $F$ et $G$ sont trois points. $E^{'}$ est le symétrique de $E$ par rapport à $G$ , et $F^{'}$ celui de $F$ par rapport à $G$ .

1.
Démontrer que $FE F^{'} E^{'}$ est un parallélogramme.
2.
1. (a)
  Justifier que $E^{'} F^{'} = FE$ .
2. (b)
  Que peut-on en déduire pour les longueurs $E^{'} F^{'}$ et $EF$ ?
3. (c)
  Quelle propriété de la symétrie centrale vient-on de démontrer ?

Corrigé

1) $G$ est le milieu de $[E E^{'}]$ et de $[F F^{'}]$ : les diagonales $[F F^{'}]$ et $[E E^{'}]$ de $FE F^{'} E^{'}$ ont le même milieu, donc $FE F^{'} E^{'} est un parall \overset{e}{ˊ} logramme$ .

2) a) Dans ce parallélogramme, $FE = E^{'} F^{'}$ .

b) Deux vecteurs égaux ont la même norme : $E^{'} F^{'} = EF$ .

c) La symétrie centrale $conserve les longueurs$ .