Chapitre 3 — Vecteurs · coursIV Somme de deux vecteurs

Sommaire du chapitre

I — Caractéristiques d'un vecteur
- Méthode 1 — Reconnaître des vecteurs égaux ou opposés
II — Translation
- Méthode 2 — Construire l'image d'un point, d'une figure
III — Parallélogramme et égalité de vecteurs
- Méthode 3 — Placer un point défini par une égalité de vecteurs
IV — Somme de deux vecteurs
- Méthode 4 — Construire une somme ou une différence
V — Milieu d'un segment
- Méthode 5 — Démontrer qu'un point est un milieu
VI — Multiplier un vecteur par un réel
- Méthode 6 — Construire $k u$
VII — Relation de Chasles
- Méthode 7 — Simplifier une somme de vecteurs

Définition 4 — Somme

Enchaîner la translation de vecteur $u$ puis celle de vecteur $v$ revient à faire une seule translation, de vecteur $u + v$ . On trace les deux vecteurs bout à bout (l'origine du second sur l'extrémité du premier) : la somme va du départ à l'arrivée.

La différence est la somme avec l'opposé : $u - v = u + (- v)$ .

Méthode 4 — Construire une somme ou une différence

On met les vecteurs l'un à la suite de l'autre : l'origine du second sur l'extrémité du premier.

Exemples corrigés

a)
Construire $u + v$ , puis $u - v$ .
b)
Construire le point $D$ tel que $A D = A B + A C$ . Quelle est la nature de $A B D C$ ?

Correction

On lit les déplacements :

u

3

carreaux à droite et

1

vers le haut ;

v

1

à droite et

2

vers le bas.

on compte les carreaux

On trace

u

, puis

v

à la suite :

u + v

fait

4

carreaux à droite et

1

vers le bas.

l'un à la suite de l'autre

On trace

u

, puis

- v

(

1

à gauche,

2

vers le haut) :

u - v

fait

2

carreaux à droite et

3

vers le haut.

on ajoute l'opposé

A C

1

carreau à droite et

3

vers le haut ; on le reporte à la suite de

A B

, depuis

B

: on arrive en

D

l'un à la suite de l'autre

B D = A C

, donc

A B D C

est un parallélogramme.

théorème 1

Quand deux vecteurs ont la même origine, leur somme suit la diagonale du parallélogramme.

à retenir

À vous de jouer

Reproduire le triangle $A BC$ ci-contre.

1°)
Construire le point $D$ tel que $B D = B A + BC$ . Quelle est la nature de $B A D C$ ?
2°)
Construire le point $E$ tel que $BE = B A - BC$ .

Correction

1°)

Depuis

B

, on trace

B A

(

5

à gauche,

1

vers le bas), puis à sa suite

BC

(

3

à gauche,

3

vers le haut) : on arrive en

D

les vecteurs l'un à la suite de l'autre

Le représentant de

BC

tracé depuis

A

est

A D

BC = A D

, donc

BC D A

, c'est-à-dire

B A D C

, est un parallélogramme.

théorème 1

2°)

B A - BC = B A + CB

: depuis

B

, on trace

B A

, puis à sa suite

CB

(

3

à droite,

3

vers le bas) : on arrive en

E

soustraire

BC

, c'est ajouter son opposé

CB

À faire : exercices 15 à 20

Exercice 15 — Trois points à construire

Tracer un triangle $A BC$ , puis construire les points $D$ , $E$ et $F$ tels que

B D = BC + C A, BE = B A + BC, CF = CB + A B .

Corrigé

$BC + C A = B A$ : $D = A$ .

On reporte $BC$ à la suite de $B A$ , depuis $A$ : $E$ ; $B A EC$ est un parallélogramme.

$CF = CB + A B$ : on met bout à bout.

Exercice 16 — Somme et différence sur un quadrillage

Reproduire chaque figure, puis placer le point $M$ tel que $A M = u + v$ et le point $N$ tel que $A N = u - v$ .

Corrigé

Gauche : $u + v$ fait $4$ à droite et $3$ vers le haut ; $u - v$ , $2$ à droite et $1$ vers le bas.

Exercice 17 — Origine imposée

On pose $w = u + v$ . Reproduire chaque figure et tracer le représentant de $w$ d'origine $T$ .

Corrigé

Gauche : $w$ fait $3$ à droite et $1$ vers le haut ; droite : $1$ à droite et $3$ vers le bas.

Exercice 18 — Quand c'est l'origine qui manque

Ici, le point à placer est l'origine du vecteur, et non son extrémité. Reproduire chaque figure, puis placer le point $N$ tel que :

1.
$N A = u + v$ (figure de gauche) ;
2.
$N A = u - v$ (figure de droite).

Corrigé

On construit le vecteur à partir de $A$ en reculant : $N$ est à l'autre bout. Gauche : $u + v$ fait $3$ à droite et $1$ vers le haut, donc $N$ est $3$ carreaux à gauche et $1$ plus bas que $A$ . Droite : $u - v$ fait $1$ à droite et $1$ vers le bas.

Exercice 19 — Avec des longueurs

$A BC$ est un triangle tel que $A B = 6$ cm, $A C = 5$ cm et $BC = 4$ cm. Faire une figure en vraie grandeur.

1.
Construire le point $D$ tel que $A D = A B + A C$ .
2.
Construire le point $E$ tel que $BE = BC - B A$ .
3.
Quelle est la nature du quadrilatère $A B D C$ ? Justifier.

Corrigé

1) On reporte $A C$ à la suite de $A B$ , depuis $B$ : on arrive en $D$ .

2) $BC - B A = A B + BC$ , soit $A C$ : on reporte $A C$ depuis $B$ .

3) Par construction, $B D = A C$ : $A B D C est un parall \overset{e}{ˊ} logramme$ (théorème 1) ; ses côtés mesurent $6$ cm et $5$ cm.

Exercice 20 — Trois vecteurs

Reproduire la figure, puis construire :

1.
les représentants d'origine $A$ de $u + v$ et de $u + w$ ;
2.
le représentant d'origine $B$ de $v + w$ .

Corrigé

$u + v$ : $3$ à droite ; $u + w$ : $3$ vers le haut ; $v + w$ : $1$ à droite et $1$ vers le haut.