Chapitre 1 — Calcul littéral · coursI Réduire, développer, identités remarquables

Sommaire du chapitre

I — Réduire, développer, identités remarquables
- Méthode 1 — Réduire une somme ou un produit
- Méthode 2 — Développer et réduire
II — Substituer une valeur
- Méthode 3 — Calculer une image
III — Factoriser une expression
- Méthode 4 — Factoriser
IV — Équations
- Méthode 5 — Résoudre une équation
- Méthode 6 — Mettre un problème en équation
V — Fractions rationnelles
- Méthode 7 — Trouver les valeurs interdites, simplifier
- Méthode 8 — Écrire sous la forme d'un seul quotient
VI — Équations quotient
- Méthode 9 — Résoudre une équation quotient
VII — Inéquations et tableaux de signes
- Méthode 10 — Résoudre une inéquation
VIII — Composition de polynômes
- Méthode 11 — Calculer une composée

Définition 1 — Réduire

Des termes semblables ont la même partie littérale : $3 x^{2}$ et $- 5 x^{2}$ sont semblables, $3 x^{2}$ et $3 x$ ne le sont pas.

Réduire une somme, c'est regrouper les termes semblables en additionnant leurs coefficients. Réduire un produit, c'est multiplier les nombres entre eux et les lettres entre elles.

On peut toujours réduire un produit : $3 x \times 2 x = 6 x^{2}$ . On ne peut pas toujours réduire une somme : $3 x^{2} + 2 x$ n'a pas de termes semblables, elle reste ainsi.

Méthode 1 — Réduire une somme ou un produit

Exemples corrigés

Réduire et ordonner les expressions suivantes.

a)
$A = 5 x^{2} - 3 x + 7 - 2 x^{2} + 8 x - 4$
b)
$B = 2 x \times (- 4 x^{2}) \times 3$

Correction

A

= 5 x^{2} - 3 x + 7 - 2 x^{2} + 8 x - 4

on recopie : attention aux erreurs de recopie

A

= 5 x^{2} - 2 x^{2} - 3 x + 8 x + 7 - 4

on rapproche les termes semblables

A

= 3 x^{2} + 5 x + 3

on ordonne suivant les puissances décroissantes de

x

B

= 2 x \times (- 4 x^{2}) \times 3

on recopie

B

= 2 \times (- 4) \times 3 \times x \times x^{2}

les nombres d'un côté, les lettres de l'autre

B

= - 24 x^{3}

x \times x^{2} = x^{3}

À vous de jouer

Réduire :

C = 6 x - 4 + x^{2} - 9 x + 10

D = 2 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} + x

E = - 3 x \times 5 x

F = 7 x \times (- 2 x^{2})

Correction

Sommes

C

= 6 x - 4 + x^{2} - 9 x + 10

on recopie

C

= x^{2} + 6 x - 9 x - 4 + 10

on rapproche les termes semblables

C

= x^{2} - 3 x + 6

on réduit et on ordonne

D

= 2 x^{2} + 5 x - 3 x^{2} + x

on recopie

D

= 2 x^{2} - 3 x^{2} + 5 x + x

on rapproche les termes semblables

D

= - x^{2} + 6 x

x

compte pour

1 x

Produits

E

= - 3 x \times 5 x

on recopie

E

= - 3 \times 5 \times x \times x

les nombres d'un côté, les lettres de l'autre

E

= - 15 x^{2}

F

= 7 x \times (- 2 x^{2})

on recopie

F

= 7 \times (- 2) \times x \times x^{2}

les nombres d'un côté, les lettres de l'autre

F

= - 14 x^{3}

x \times x^{2} = x^{3}

Définition 2 — Développer, factoriser

Développer, c'est transformer un produit en une somme.

Factoriser, c'est transformer une somme en un produit.

Propriété 1 — Distributivité et identités remarquables

Pour tous réels $a$ , $b$ , $c$ , $d$ et $k$ :

$k (a + b) (a + b) (c + d) = ka + kb = a c + a d + b c + b d (a + b)^{2} (a - b)^{2} (a + b) (a - b) = a^{2} + 2 ab + b^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} = a^{2} - b^{2}$ $k (a + b) (a + b) (c + d) (a + b)^{2} (a - b)^{2} (a + b) (a - b) = ka + kb = a c + a d + b c + b d = a^{2} + 2 ab + b^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} = a^{2} - b^{2}$

Méthode 2 — Développer et réduire

Exemples corrigés

Développer et réduire les expressions suivantes.

a)
$A = (2 x + 5) (x - 3)$
b)
$B = (3 x - 2)^{2}$
c)
$C = (x + 4)^{2} - (x + 1) (x - 1)$

Correction

A

= (2 x + 5) (x - 3)

on recopie ; pas d'identité remarquable

A

= 2 x^{2} - 6 x + 5 x - 15

on distribue : chaque terme par chaque terme

A

= 2 x^{2} - x - 15

on réduit

B

= (3 x - 2)^{2}

identité remarquable

(a - b)^{2}

, avec

a = 3 x

b = 2

B

= (3 x)^{2} - 2 \times 3 x \times 2 + 2^{2}

a^{2} - 2 ab + b^{2}

B

= 9 x^{2} - 12 x + 4

C

= (x + 4)^{2} - (x + 1) (x - 1)

deux identités remarquables

C

= x^{2} + 8 x + 16 - (x^{2} - 1)

on garde la parenthèse derrière le «

-

C

= x^{2} + 8 x + 16 - x^{2} + 1

le «

-

» change le signe des deux termes

C

= 8 x + 17

on réduit

À vous de jouer

Développer et réduire :

D = (x - 6) (4 x + 1)

E = (5 x + 2)^{2}

F = (2 x - 7) (2 x + 7)

G = 3 x (x - 2) - (x - 5)^{2}

Correction

$D$

D

= (x - 6) (4 x + 1)

on recopie ; pas d'identité remarquable

D

= 4 x^{2} + x - 24 x - 6

chaque terme par chaque terme

D

= 4 x^{2} - 23 x - 6

on réduit

$E$

E

= (5 x + 2)^{2}

identité remarquable

(a + b)^{2}

, avec

a = 5 x

b = 2

E

= (5 x)^{2} + 2 \times 5 x \times 2 + 2^{2}

a^{2} + 2 ab + b^{2}

E

= 25 x^{2} + 20 x + 4

$F$

F

= (2 x - 7) (2 x + 7)

identité remarquable

(a - b) (a + b)

, avec

a = 2 x

b = 7

F

= (2 x)^{2} - 7^{2}

a^{2} - b^{2}

F

= 4 x^{2} - 49

$G$

G

= 3 x (x - 2) - (x - 5)^{2}

un produit, puis une identité remarquable

G

= 3 x^{2} - 6 x - (x^{2} - 10 x + 25)

on garde la parenthèse derrière le «

-

G

= 3 x^{2} - 6 x - x^{2} + 10 x - 25

le «

-

» change le signe des trois termes

G

= 2 x^{2} + 4 x - 25

on réduit

À faire : exercices 1 à 3

Exercice 1 — Réduire et distribuer

Réduire, ou développer puis réduire :

A $=$
$3 x + 8 + 6 x$
B $=$
$4 x^{2} - 9 x^{2} + 2 x^{2}$
C $=$
$6 (3 x - 2)$
D $=$
$2 x (5 x - 4)$
E $=$
$9 (x - 1) - 4 x$
F $=$
$- 5 x + 3 (2 x + 7)$
G $=$
$- (4 - 3 x)$
H $=$
$- 2 x (1 - 4 x)$

Corrigé

A $=$
$3 x + 8 + 6 x = 9 x + 8$
B $=$
$4 x^{2} - 9 x^{2} + 2 x^{2} = - 3 x^{2}$
C $=$
$6 (3 x - 2) = 18 x - 12$
D $=$
$2 x (5 x - 4) = 10 x^{2} - 8 x$
E $=$
$9 x - 9 - 4 x = 5 x - 9$
F $=$
$- 5 x + 6 x + 21 = x + 21$
G $=$
$- (4 - 3 x) = 3 x - 4$
H $=$
$- 2 x (1 - 4 x) = 8 x^{2} - 2 x$

→ En G et H, le « $-$ » devant la parenthèse change le signe de chacun de ses termes.

Exercice 2 — Double distributivité et identités remarquables

Développer et réduire :

A $=$
$(2 x + 3) (4 x + 1)$
B $=$
$(3 x - 4) (- 2 x + 5)$
C $=$
$(5 x + 2)^{2}$
D $=$
$(4 - 3 x)^{2}$
E $=$
$(3 x + 5) (3 x - 5)$
F $=$
$(x - \frac{1}{3})^{2}$
G $=$
$3 (x + 2) (1 - x)$

Corrigé

A $=$
$8 x^{2} + 2 x + 12 x + 3 = 8 x^{2} + 14 x + 3$
B $=$
$- 6 x^{2} + 15 x + 8 x - 20 = - 6 x^{2} + 23 x - 20$
C $=$
$(5 x)^{2} + 2 \times 5 x \times 2 + 2^{2} = 25 x^{2} + 20 x + 4$
D $=$
$4^{2} - 2 \times 4 \times 3 x + (3 x)^{2} = 9 x^{2} - 24 x + 16$
E $=$
$(3 x)^{2} - 5^{2} = 9 x^{2} - 25$
F $=$
$x^{2} - 2 \times x \times \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = x^{2} - \frac{2}{3} x + \frac{1}{9}$

G $=$
$3 (x + 2) (1 - x)$

$G$
$= 3 (x - x^{2} + 2 - 2 x)$
on développe d'abord les deux parenthèses
$G$
$= 3 (- x^{2} - x + 2)$
$G$
$= - 3 x^{2} - 3 x + 6$

→ De C à F, l'identité remarquable donne le résultat sans tout distribuer.

Exercice 3 — Développer, réduire, ordonner

Développer, réduire, puis ordonner selon les puissances décroissantes de $x$ :

A $=$
$(4 x + 1) (2 x + 3) - (5 x - 2) (x + 4)$
B $=$
$(2 x - 5)^{2} - (3 x + 1) (x - 2)$
C $=$
$(x^{2} - x + 2) (3 x + 1) - (x + 1) (x - 1)^{2}$
D $=$
$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$
E $=$
$3 x (2 - x) - (x - 4) (2 x + 3)$

Corrigé

A $=$
$(4 x + 1) (2 x + 3) - (5 x - 2) (x + 4)$

$A$
$= (8 x^{2} + 14 x + 3) - (5 x^{2} + 18 x - 8)$
$A$
$= 8 x^{2} + 14 x + 3 - 5 x^{2} - 18 x + 8$
$A$
$= 3 x^{2} - 4 x + 11$
B $=$
$(2 x - 5)^{2} - (3 x + 1) (x - 2)$

$B$
$= (4 x^{2} - 20 x + 25) - (3 x^{2} - 5 x - 2)$
$B$
$= x^{2} - 15 x + 27$
C $=$
$(x^{2} - x + 2) (3 x + 1) - (x + 1) (x - 1)^{2}$

$(x^{2} - x + 2) (3 x + 1)$
$= 3 x^{3} + x^{2} - 3 x^{2} - x + 6 x + 2$
$(x^{2} - x + 2) (3 x + 1)$
$= 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + 2$
$(x + 1) (x - 1)^{2}$
$= (x^{2} - 1) (x - 1)$
$(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1$
$(x + 1) (x - 1)^{2}$
$= x^{3} - x^{2} - x + 1$
$C$
$= 2 x^{3} - x^{2} + 6 x + 1$
D $=$
$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$

$D$
$= x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 8$
$D$
$= x^{3} + 8$
E $=$
$3 x (2 - x) - (x - 4) (2 x + 3)$

$E$
$= (6 x - 3 x^{2}) - (2 x^{2} - 5 x - 12)$
$E$
$= - 5 x^{2} + 11 x + 12$

→ Le piège commun : le « $-$ » devant le second produit. On garde les parenthèses jusqu'au bout du développement.