Chapitre 1 — Calcul littéral · coursII Substituer une valeur

Sommaire du chapitre

I — Réduire, développer, identités remarquables
- Méthode 1 — Réduire une somme ou un produit
- Méthode 2 — Développer et réduire
II — Substituer une valeur
- Méthode 3 — Calculer une image
III — Factoriser une expression
- Méthode 4 — Factoriser
IV — Équations
- Méthode 5 — Résoudre une équation
- Méthode 6 — Mettre un problème en équation
V — Fractions rationnelles
- Méthode 7 — Trouver les valeurs interdites, simplifier
- Méthode 8 — Écrire sous la forme d'un seul quotient
VI — Équations quotient
- Méthode 9 — Résoudre une équation quotient
VII — Inéquations et tableaux de signes
- Méthode 10 — Résoudre une inéquation
VIII — Composition de polynômes
- Méthode 11 — Calculer une composée

Définition 3 — Valeur d'une expression, valeur interdite

Calculer la valeur d'une expression pour $x = a$ , c'est remplacer chaque $x$ par $a$ , puis effectuer les calculs.

On ne peut pas diviser par $0$ : une valeur qui annule un dénominateur est une valeur interdite. L'expression n'a pas de valeur pour ce nombre.

Méthode 3 — Calculer une image

Exemples corrigés

a)
$P (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$ : calculer $P (- 2)$ .
b)
$f (x) = \frac{x + 5}{x - 1}$ : donner la valeur interdite, puis calculer $f (3)$ et $f (\frac{1}{3})$ .
c)
Avec la même fonction $f$ , calculer $f (3)$ sans racine au dénominateur.

Correction

P (- 2)

= 2 \times (- 2)^{2} - 3 \times (- 2) + 1

on remplace

x

par

- 2

, entre parenthèses

P (- 2)

= 8 + 6 + 1

P (- 2)

= 15

x - 1 = 0

pour

x = 1

: la valeur interdite est

1

un dénominateur ne peut pas être nul : on ne peut pas diviser par

0

f (3)

= \frac{3 + 5}{3 - 1}

numérateur et dénominateur calculés à part

f (3)

= 4

f (\frac{1}{3})

= \frac{\frac{1}{3} + 5}{\frac{1}{3} - 1}

5 = \frac{15}{3}

1 = \frac{3}{3}

f (\frac{1}{3})

= \frac{16}{3} \times (- \frac{3}{2})

on divise par

- \frac{2}{3}

: on multiplie par

- \frac{3}{2}

f (\frac{1}{3})

= - 8

f (3)

= \frac{3 + 5}{3 - 1}

il reste une racine au dénominateur

f (3)

= \frac{( 3 + 5 ) ( 3 + 1 )}{( 3 - 1 ) ( 3 + 1 )}

on multiplie en haut et en bas par la quantité conjuguée

3 + 1

(3 - 1) (3 + 1)

= 3 - 1

calcul intermédiaire :

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

(3 + 5) (3 + 1)

= 3 + 3 + 53 + 5

calcul intermédiaire

f (3)

= \frac{8 + 6 3}{2}

f (3)

= 4 + 33

À vous de jouer

1°)
Avec $Q (x) = x^{2} - 4 x + 3$ , calculer $Q (- 1)$ et $Q (2)$ .
2°)
Avec $g (x) = \frac{x + 4}{x - 2}$ , donner la valeur interdite, puis calculer $g (4)$ et $g (\frac{1}{2})$ .
3°)
Calculer $g (5)$ , sans racine au dénominateur.

Correction

1°)

Q (- 1)

= (- 1)^{2} - 4 \times (- 1) + 3

on remplace

x

par

- 1

, entre parenthèses

Q (- 1)

= 1 + 4 + 3

Q (- 1)

= 8

Q (2)

= (2)^{2} - 42 + 3

(2)^{2} = 2

Q (2)

= 2 - 42 + 3

Q (2)

= 5 - 42

on regroupe les nombres sans racine

2°)

x - 2 = 0

pour

x = 2

: la valeur interdite est

2

un dénominateur ne peut pas être nul

g (4)

= \frac{4 + 4}{4 - 2}

numérateur et dénominateur calculés à part

g (4)

= 4

g (\frac{1}{2})

= \frac{\frac{1}{2} + 4}{\frac{1}{2} - 2}

4 = \frac{8}{2}

2 = \frac{4}{2}

g (\frac{1}{2})

= \frac{9}{2} \times (- \frac{2}{3})

on divise par

- \frac{3}{2}

: on multiplie par

- \frac{2}{3}

g (\frac{1}{2})

= - 3

3°)

g (5)

= \frac{5 + 4}{5 - 2}

il reste une racine au dénominateur

g (5)

= \frac{( 5 + 4 ) ( 5 + 2 )}{( 5 - 2 ) ( 5 + 2 )}

on multiplie en haut et en bas par la quantité conjuguée

5 + 2

(5 - 2) (5 + 2)

= 5 - 4

calcul intermédiaire :

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

(5 + 4) (5 + 2)

= 5 + 25 + 45 + 8

calcul intermédiaire

g (5)

= \frac{13 + 6 5}{1}

le dénominateur vaut

1

g (5)

= 13 + 65

À faire : exercices 4 à 6

Exercice 4 — Calculer une image

1)
Soit $P (x) = 3 x^{2} - 4 x - 2$ . Calculer :
1. a)
  $P (1)$ et $P (- 1)$
2. b)
  $P (\frac{1}{2})$ et $P (- \frac{2}{3})$
2)
Soient $A = (x + 2) (x - 5)$ et $B = x^{2} + 3 x - 10$ .
1. a)
  Calculer $A$ et $B$ pour $x = 0$ .
2. b)
  Calculer $A$ et $B$ pour $x = 1$ .
3. c)
  Peut-on affirmer que $A = B$ pour tout réel $x$ ?

Corrigé

1°)
Avec $P (x) = 3 x^{2} - 4 x - 2$ :
1. a)
  $P (1) = 3 - 4 - 2 = - 3$ et $P (- 1) = 3 + 4 - 2 = 5$
2. b)
  $P (\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} - 2 - 2 = - \frac{13}{4}$ et $P (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{8}{3} - 2 = 2$
2°)
1. a)
  Pour $x = 0$ : $A = 2 \times (- 5)$ , soit $A = - 10$ , et $B = - 10$ .
2. b)
  Pour $x = 1$ : $A = 3 \times (- 4)$ , soit $A = - 12$ , et $B = 1 + 3 - 10$ , soit $B = - 6$ .
3. c)
  Non : pour $x = 1$ , $A$ et $B$ ont deux valeurs différentes, donc ils ne sont pas égaux pour tout réel $x$ . Une seule valeur commune ne prouve rien.

→ En développant, $A = x^{2} - 3 x - 10$ , qui diffère de $B$ par le terme en $x$ .

Exercice 5 — Substituer une racine carrée

Pour chaque polynôme $P$ , calculer la valeur exacte de $P (a)$ , sous la forme la plus simple :

a)
$P (x) = x^{2} - 5$ et $a = 5$
b)
$P (x) = 2 x^{2} + 3 x - 1$ et $a = 2$
c)
$P (x) = (3 x + 1) (x - 2)$ et $a = 3$
d)
$P (x) = (2 x - 1)^{2} + 4 x$ et $a = 5$
e)
$P (x) = x^{2} - 2 x + 3$ et $a = 1 + 2$

Corrigé

a)
$P (5) = 5 - 5 = 0$
b)
$P (2) = 2 \times 2 + 32 - 1 = 3 + 32$
c)
$P (3)$
$= (33 + 1) (3 - 2)$
$P (3)$
$= 9 - 63 + 3 - 2$
$33 \times 3 = 3 \times 3$
$P (3)$
$= 7 - 53$
d)
$P (5)$
$= (25 - 1)^{2} + 45$
$P (5)$
$= 20 - 45 + 1 + 45$
$(25)^{2} = 4 \times 5$
$P (5)$
$= 21$
e)
$P (1 + 2)$
$= (1 + 2)^{2} - 2 (1 + 2) + 3$
$P (1 + 2)$
$= 3 + 22 - 2 - 22 + 3$
$(1 + 2)^{2} = 1 + 22 + 2$
$P (1 + 2)$
$= 4$

→ Le réflexe : $(a)^{2} = a$ . Les produits avec des racines se développent comme les autres.

Exercice 6 — Racines carrées dans un quotient

1)
Soit $f (x) = \frac{x + 1}{x - 3}$ .
1. a)
  Donner la valeur interdite de $f$ .
2. b)
  Calculer $f (5)$ et $f (\frac{1}{2})$ .
3. c)
  Calculer $f (5)$ , sans racine carrée au dénominateur.
2)
Soit $g (x) = \frac{x - 2}{x + 1}$ . Calculer $g (3)$ , sans racine carrée au dénominateur.
3)
Soit $h (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ . Calculer $h (2 + 3)$ . Le dénominateur est ici une racine seule : on multiplie le numérateur et le dénominateur par cette racine.

Corrigé

1°)
$f (x) = \frac{x + 1}{x - 3}$ .
1. a)
  $x - 3 = 0$ pour $x = 3$ : la valeur interdite est 3.
2. b)
  $f (5) = \frac{6}{2} = 3$ et $f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{3}{2}}{- \frac{5}{2}} = - \frac{3}{5}$
3. c)
  On multiplie par la quantité conjuguée $5 + 3$ :
  
  $f (5)$
  $= \frac{( 5 + 1 ) ( 5 + 3 )}{( 5 - 3 ) ( 5 + 3 )}$
  $f (5)$
  $= \frac{5 + 3 5 + 5 + 3}{5 - 9}$
  $f (5)$
  $= \frac{8 + 4 5}{- 4}$
  $f (5)$
  $= - 2 - 5$
2°)
Quantité conjuguée $3 - 1$ :

$g (3)$
$= \frac{( 3 - 2 ) ( 3 - 1 )}{( 3 + 1 ) ( 3 - 1 )}$
$g (3)$
$= \frac{3 - 3 - 2 3 + 2}{3 - 1}$
$g (3)$
$= \frac{5 - 3 3}{2}$
3°)
Le dénominateur vaut $(2 + 3) - 2 = 3$ : on multiplie par $3$ .

$h (2 + 3)$
$= \frac{5 + 3}{3}$
$h (2 + 3)$
$= \frac{( 5 + 3 ) 3}{3 \times 3}$
$h (2 + 3)$
$= \frac{5 3 + 3}{3}$

→ Deux cas : un dénominateur qui est une somme avec une racine se multiplie par sa quantité conjuguée ; une racine seule se multiplie par elle-même.