Chapitre 1 — Calcul littéral · coursVI Équations quotient

Sommaire du chapitre

I — Réduire, développer, identités remarquables
- Méthode 1 — Réduire une somme ou un produit
- Méthode 2 — Développer et réduire
II — Substituer une valeur
- Méthode 3 — Calculer une image
III — Factoriser une expression
- Méthode 4 — Factoriser
IV — Équations
- Méthode 5 — Résoudre une équation
- Méthode 6 — Mettre un problème en équation
V — Fractions rationnelles
- Méthode 7 — Trouver les valeurs interdites, simplifier
- Méthode 8 — Écrire sous la forme d'un seul quotient
VI — Équations quotient
- Méthode 9 — Résoudre une équation quotient
VII — Inéquations et tableaux de signes
- Méthode 10 — Résoudre une inéquation
VIII — Composition de polynômes
- Méthode 11 — Calculer une composée

Propriété 4 — Quotient nul

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul, son dénominateur ne l'étant pas :

\frac{A}{B} = 0 ⟺ A = 0 et B \neq = 0

Méthode 9 — Résoudre une équation quotient

Exemples corrigés

Résoudre dans $R$ les équations suivantes.

a)
Un quotient égal à $0$ : $\frac{2 x - 8}{x + 5} = 0$ .
b)
Un quotient égal à un nombre : $\frac{x + 7}{x - 2} = 4$ .
c)
Un quotient égal à un quotient : $\frac{x + 1}{x - 3} = \frac{x + 2}{x - 1}$ .

Correction

Valeur interdite :

- 5

on commence par les valeurs interdites

2 x - 8 = 0

pour

x = 4

, qui n'est pas interdit :

S = {4}

un quotient est nul quand son numérateur est nul

Valeur interdite :

2

\frac{x + 7}{x - 2} = 4

⟺ \frac{x + 7}{x - 2} - 4 = 0

tout dans un membre

⟺ \frac{x + 7 - 4 ( x - 2 )}{x - 2} = 0

un seul quotient (méthode 8)

⟺ \frac{- 3 x + 15}{x - 2} = 0

- 3 x + 15 = 0

pour

x = 5

, qui n'est pas interdit :

S = {5}

on résout « numérateur

= 0

», puis on écarte les valeurs interdites

Valeurs interdites :

3

1

\frac{x + 1}{x - 3} = \frac{x + 2}{x - 1}

⟺ \frac{x + 1}{x - 3} - \frac{x + 2}{x - 1} = 0

⟺ \frac{( x + 1 ) ( x - 1 ) - ( x + 2 ) ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x - 1 )} = 0

(x + 1) (x - 1) - (x + 2) (x - 3)

= x^{2} - 1 - (x^{2} - x - 6)

calcul intermédiaire : le numérateur

(x + 1) (x - 1) - (x + 2) (x - 3)

= x + 5

\frac{x + 1}{x - 3} = \frac{x + 2}{x - 1}

⟺ \frac{x + 5}{( x - 3 ) ( x - 1 )} = 0

x + 5 = 0

pour

x = - 5

, qui n'est pas interdit :

S = {- 5}

numérateur nul, valeur non interdite

À vous de jouer

Résoudre dans $R$ , en donnant d'abord les valeurs interdites :

\frac{3 x + 9}{x - 4} = 0

\frac{x + 9}{x + 1} = 3

\frac{x + 4}{x + 2} = \frac{x - 1}{x - 2}

Correction

Quotient égal à $0$

Valeur interdite :

4

on commence par les valeurs interdites

3 x + 9 = 0

pour

x = - 3

, qui n'est pas interdit :

S = {- 3}

un quotient est nul quand son numérateur est nul

Quotient égal à un nombre

Valeur interdite :

- 1

\frac{x + 9}{x + 1} = 3

⟺ \frac{x + 9}{x + 1} - 3 = 0

tout dans un membre

⟺ \frac{x + 9 - 3 ( x + 1 )}{x + 1} = 0

un seul quotient (méthode 8)

⟺ \frac{- 2 x + 6}{x + 1} = 0

- 2 x + 6 = 0

pour

x = 3

, qui n'est pas interdit :

S = {3}

numérateur nul, valeur non interdite

Quotient égal à un quotient

Valeurs interdites :

- 2

2

\frac{x + 4}{x + 2} = \frac{x - 1}{x - 2}

⟺ \frac{x + 4}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2} = 0

⟺ \frac{( x + 4 ) ( x - 2 ) - ( x - 1 ) ( x + 2 )}{( x + 2 ) ( x - 2 )} = 0

(x + 4) (x - 2) - (x - 1) (x + 2)

= x^{2} + 2 x - 8 - (x^{2} + x - 2)

calcul intermédiaire : le numérateur

(x + 4) (x - 2) - (x - 1) (x + 2)

= x - 6

\frac{x + 4}{x + 2} = \frac{x - 1}{x - 2}

⟺ \frac{x - 6}{( x + 2 ) ( x - 2 )} = 0

x - 6 = 0

pour

x = 6

, qui n'est pas interdit :

S = {6}

numérateur nul, valeur non interdite

À faire : exercices 17 à 19

Exercice 17 — Quotient nul

Donner les valeurs interdites, puis résoudre dans $R$ :

a)
$\frac{4 x - 12}{x + 2} = 0$
b)
$\frac{3 x + 6}{5 x ^{2}} = 0$
c)
$\frac{( x - 3 ) ( 2 x + 5 )}{x + 1} = 0$
d)
$\frac{7 - 2 x}{x ^{2} + 3} = 0$

Corrigé

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul, son dénominateur ne l'étant pas.

a)
Valeur interdite $- 2$ . $4 x - 12 = 0$ pour $x = 3$ , qui n'est pas interdit : $S = {3}$ .
b)
Valeur interdite $0$ . $3 x + 6 = 0$ pour $x = - 2$ : $S = {- 2}$ .
c)
Valeur interdite $- 1$ . Le numérateur s'annule pour $x = 3$ et pour $x = - \frac{5}{2}$ : $S = {- \frac{5}{2}; 3}$ .
d)
$x^{2} + 3 ⩾ 3$ : aucune valeur interdite. $7 - 2 x = 0$ pour $x = \frac{7}{2}$ : $S = {\frac{7}{2}}$ .

Exercice 18 — Se ramener à un quotient nul

Donner les valeurs interdites, se ramener à un quotient égal à $0$ , puis résoudre :

a)
$\frac{3 x + 2}{x + 4} = 2$
b)
$\frac{- 3 x}{x + 2} = 1$
c)
$\frac{1}{x} + \frac{1}{3} = 1$
d)
$\frac{5}{x - 6} + 1 = 0$
e)
$3 - \frac{8 - x}{x + 2} = 0$
f)
$\frac{x ^{2} - 16}{x - 4} = 0$

Corrigé

a)
Valeur interdite $- 4$ .

$\frac{3 x + 2}{x + 4} = 2$
$⟺ \frac{3 x + 2 - 2 ( x + 4 )}{x + 4} = 0$
$⟺ \frac{x - 6}{x + 4} = 0$

$S = {6}$ .
b)
Valeur interdite $- 2$ .

$\frac{- 3 x}{x + 2} = 1$
$⟺ \frac{- 3 x - ( x + 2 )}{x + 2} = 0$
$⟺ \frac{- 4 x - 2}{x + 2} = 0$

$S = {- \frac{1}{2}}$ .
c)
Valeur interdite $0$ . Dénominateur commun $3 x$ :

$\frac{1}{x} + \frac{1}{3} = 1$
$⟺ \frac{3 + x - 3 x}{3 x} = 0$
$⟺ \frac{3 - 2 x}{3 x} = 0$

$S = {\frac{3}{2}}$ .
d)
Valeur interdite $6$ .

$\frac{5}{x - 6} + 1 = 0$
$⟺ \frac{5 + x - 6}{x - 6} = 0$
$⟺ \frac{x - 1}{x - 6} = 0$

$S = {1}$ .
e)
Valeur interdite $- 2$ .

$3 - \frac{8 - x}{x + 2} = 0$
$⟺ \frac{3 ( x + 2 ) - ( 8 - x )}{x + 2} = 0$
$⟺ \frac{4 x - 2}{x + 2} = 0$

$S = {\frac{1}{2}}$ .
f)
Valeur interdite $4$ . $x^{2} - 16 = 0$ pour $x = 4$ ou $x = - 4$ , mais $4$ est interdit : $S = {- 4}$ .

→ En f), une solution du numérateur est une valeur interdite : on l'écarte.

Exercice 19 — Égalité de deux quotients

Donner les valeurs interdites, puis résoudre dans $R$ :

a)
$\frac{5}{x + 2} = \frac{3}{x}$
b)
$\frac{2 x + 1}{x} = \frac{2 x + 5}{x + 1}$
c)
$\frac{3 x - 2}{x + 1} = \frac{3 x + 1}{x - 2}$
d)
$\frac{x + 4}{x - 2} - 3 = \frac{8 - x}{x - 2}$
e)
$\frac{x + 5}{x - 1} = \frac{3}{x - 1}$
f)
$1 - \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{4}{3 - x}$

Corrigé

On ramène tout dans un membre et on réduit au même dénominateur (méthode du cours).

a)
Valeurs interdites $- 2$ et $0$ .

$\frac{5}{x + 2} = \frac{3}{x}$
$⟺ \frac{5 x - 3 ( x + 2 )}{x ( x + 2 )} = 0$
$⟺ \frac{2 x - 6}{x ( x + 2 )} = 0$

$S = {3}$ .
b)
Valeurs interdites $0$ et $- 1$ . Numérateur :

$(2 x + 1) (x + 1) - x (2 x + 5)$
$= 2 x^{2} + 3 x + 1 - 2 x^{2} - 5 x$
$(2 x + 1) (x + 1) - x (2 x + 5)$
$= - 2 x + 1$

$S = {\frac{1}{2}}$ .
c)
Valeurs interdites $- 1$ et $2$ . Numérateur :

$(3 x - 2) (x - 2) - (3 x + 1) (x + 1)$
$= (3 x^{2} - 8 x + 4) - (3 x^{2} + 4 x + 1)$
$(3 x - 2) (x - 2) - (3 x + 1) (x + 1)$
$= - 12 x + 3$

$S = {\frac{1}{4}}$ .
d)
Valeur interdite $2$ .

$\frac{x + 4}{x - 2} - 3 = \frac{8 - x}{x - 2}$
$⟺ \frac{x + 4 - 3 ( x - 2 ) - ( 8 - x )}{x - 2} = 0$
$⟺ \frac{- x + 2}{x - 2} = 0$

Le numérateur s'annule pour $x = 2$ , qui est interdit : $S = \emptyset$ .
e)
Valeur interdite $1$ . Même dénominateur : $\frac{x + 5 - 3}{x - 1} = 0$ , soit $\frac{x + 2}{x - 1} = 0$ : $S = {- 2}$ .
f)
Valeurs interdites $1$ et $3$ . On réduit d'abord le membre de gauche :

$1 - \frac{x + 1}{x - 1}$
$= \frac{x - 1 - ( x + 1 )}{x - 1}$
$1 - \frac{x + 1}{x - 1}$
$= \frac{- 2}{x - 1}$

puis

$\frac{- 2}{x - 1} = \frac{4}{3 - x}$
$⟺ \frac{- 2 ( 3 - x ) - 4 ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( 3 - x )} = 0$
$⟺ \frac{- 2 x - 2}{( x - 1 ) ( 3 - x )} = 0$

$S = {- 1}$ .

→ En d), la seule valeur trouvée est interdite : pas de solution. En e), les dénominateurs sont égaux : on compare directement les numérateurs.