Chapitre 1 — Calcul littéral · coursVIII Composition de polynômes

Sommaire du chapitre

I — Réduire, développer, identités remarquables
- Méthode 1 — Réduire une somme ou un produit
- Méthode 2 — Développer et réduire
II — Substituer une valeur
- Méthode 3 — Calculer une image
III — Factoriser une expression
- Méthode 4 — Factoriser
IV — Équations
- Méthode 5 — Résoudre une équation
- Méthode 6 — Mettre un problème en équation
V — Fractions rationnelles
- Méthode 7 — Trouver les valeurs interdites, simplifier
- Méthode 8 — Écrire sous la forme d'un seul quotient
VI — Équations quotient
- Méthode 9 — Résoudre une équation quotient
VII — Inéquations et tableaux de signes
- Méthode 10 — Résoudre une inéquation
VIII — Composition de polynômes
- Méthode 11 — Calculer une composée

Définition 5 — Fonction polynôme

Une fonction polynôme s'écrit $P (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ , où les coefficients $a_{n}$ , …, $a_{0}$ sont des réels. Si $a_{n} \neq = 0$ , le nombre $n$ est le degré de $P$ .

Exemple : $P (x) = 4 x^{3} - x + 7$ est de degré $3$ .

Définition 6 — Composée

Composer deux fonctions, c'est mettre une fonction à l'intérieur d'une autre.

La composée de $P$ par $Q$ est la fonction $P \circ Q$ définie par $(P \circ Q) (x) = P (Q (x))$ : dans $P (Q (x))$ , on met la fonction $Q$ à l'intérieur de la fonction $P$ .

Concrètement, on remplace chaque $x$ de $P (x)$ par $Q (x)$ .

Méthode 11 — Calculer une composée

Exemples corrigés

Soient $P (x) = x^{2} - 3 x$ et $Q (x) = x + 2$ . Calculer $(P \circ Q) (x)$ , puis $(Q \circ P) (x)$ .

Correction

Résolution

(P \circ Q) (x)

= (x + 2)^{2} - 3 (x + 2)

on recopie

P (x)

: chaque

x

devient

(x + 2)

, entre parenthèses

(P \circ Q) (x)

= x^{2} + 4 x + 4 - 3 x - 6

on développe

(P \circ Q) (x)

= x^{2} + x - 2

on réduit

Contrôle avec

1

Q (1) = 3

P (3) = 9 - 9 = 0

; on trouve aussi

1 + 1 - 2 = 0

(P \circ Q) (1)

doit être égal à

P (Q (1))

(Q \circ P) (x)

= (x^{2} - 3 x) + 2

chaque

x

Q

devient

(x^{2} - 3 x)

(Q \circ P) (x)

= x^{2} - 3 x + 2

Les deux composées sont différentes.

l'ordre compte

À vous de jouer

1°)
$P (x) = 2 x^{2} + 1$ et $Q (x) = x - 3$ : calculer $(P \circ Q) (x)$ et $(Q \circ P) (x)$ .
2°)
$P (x) = x^{2} + 4 x$ et $Q (x) = 3 x - 1$ : calculer $(P \circ Q) (x)$ et $(Q \circ P) (x)$ .

Correction

1°)

(P \circ Q) (x)

= 2 (x - 3)^{2} + 1

on recopie

P (x)

: chaque

x

devient

(x - 3)

(P \circ Q) (x)

= 2 (x^{2} - 6 x + 9) + 1

identité remarquable

(a - b)^{2}

(P \circ Q) (x)

= 2 x^{2} - 12 x + 18 + 1

on distribue le

2

(P \circ Q) (x)

= 2 x^{2} - 12 x + 19

(Q \circ P) (x)

= (2 x^{2} + 1) - 3

chaque

x

Q

devient

(2 x^{2} + 1)

(Q \circ P) (x)

= 2 x^{2} - 2

2°)

(P \circ Q) (x)

= (3 x - 1)^{2} + 4 (3 x - 1)

chaque

x

P

devient

(3 x - 1)

(P \circ Q) (x)

= 9 x^{2} - 6 x + 1 + 12 x - 4

on développe

(P \circ Q) (x)

= 9 x^{2} + 6 x - 3

on réduit

(Q \circ P) (x)

= 3 (x^{2} + 4 x) - 1

chaque

x

Q

devient

(x^{2} + 4 x)

(Q \circ P) (x)

= 3 x^{2} + 12 x - 1

À faire : exercices 23 à 25

Exercice 23 — Premières compositions

Pour chaque couple $P$ , $Q$ , écrire $(P \circ Q) (x)$ sous forme développée, réduite et ordonnée :

a)
$P (x) = 3 x + 2$ et $Q (x) = 2 x + 1$
b)
$P (x) = 2 x + 1$ et $Q (x) = 3 x + 2$
c)
$P (x) = 3 x - 2$ et $Q (x) = 2 x^{2} + x - 4$

Que remarque-t-on en comparant a) et b) ?

Corrigé

Chaque $x$ de $P (x)$ est remplacé par $Q (x)$ , entre parenthèses.

a)
$(P \circ Q) (x) = 3 (2 x + 1) + 2 = 6 x + 5$
b)
$(P \circ Q) (x) = 2 (3 x + 2) + 1 = 6 x + 5$
c)
$(P \circ Q) (x)$
$= 3 (2 x^{2} + x - 4) - 2$
$(P \circ Q) (x)$
$= 6 x^{2} + 3 x - 14$

Comparaison. En a) et b), on a échangé les rôles de $P$ et $Q$ , et on obtient le même polynôme. C'est un hasard propre à ces deux fonctions : en général $P \circ Q \neq = Q \circ P$ (exemple du cours, exercice 25).

Exercice 24 — Composer et calculer

1)
$P (x) = x^{2} + 2 x - 1$ et $Q (x) = 3 x - 1$ : écrire $(P \circ Q) (x)$ .
2)
$P (x) = x^{2} - x$ et $Q (x) = x^{2} + 1$ : écrire $(P \circ Q) (x)$ .
3)
$P (x) = x^{2} - 3$ et $Q (x) = x + 4$ .
1. a)
  Écrire $(P \circ Q) (x)$ , puis en déduire $(P \circ Q) (- 2)$ .
2. b)
  Retrouver ce résultat en calculant $Q (- 2)$ , puis son image par $P$ .

Corrigé

1°)
$(P \circ Q) (x)$
$= (3 x - 1)^{2} + 2 (3 x - 1) - 1$
$(P \circ Q) (x)$
$= 9 x^{2} - 6 x + 1 + 6 x - 2 - 1$
$(P \circ Q) (x)$
$= 9 x^{2} - 2$
2°)
$(P \circ Q) (x)$
$= (x^{2} + 1)^{2} - (x^{2} + 1)$
$(P \circ Q) (x)$
$= x^{4} + 2 x^{2} + 1 - x^{2} - 1$
$(P \circ Q) (x)$
$= x^{4} + x^{2}$
3°)
1. a)
  $(P \circ Q) (x)$
  $= (x + 4)^{2} - 3$
  $(P \circ Q) (x)$
  $= x^{2} + 8 x + 13$
  
  donc $(P \circ Q) (- 2) = 4 - 16 + 13 = 1$ .
2. b)
  $Q (- 2) = 2$ , puis $P (2) = 4 - 3 = 1$ : on retrouve la même valeur.

→ Pour une seule valeur, la seconde voie est souvent plus rapide.

Exercice 25 — Composer dans les deux sens

1)
$P (x) = x^{2} + 1$ et $Q (x) = x^{2} - 2 x$ .
1. a)
  Écrire $(P \circ Q) (x)$ et $(Q \circ P) (x)$ .
2. b)
  Quel est le degré de $P$ , de $Q$ , de $P \circ Q$ ?
2)
$P (x) = 2 x^{2} - x$ et $Q (x) = 2 x + 1$ : écrire $(P \circ Q) (x)$ .

Corrigé

1°)
1. a)
  $(P \circ Q) (x)$
  $= (x^{2} - 2 x)^{2} + 1$
  $(P \circ Q) (x)$
  $= x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2} + 1$
  $(Q \circ P) (x)$
  $= (x^{2} + 1)^{2} - 2 (x^{2} + 1)$
  $(Q \circ P) (x)$
  $= x^{4} + 2 x^{2} + 1 - 2 x^{2} - 2$
  $(Q \circ P) (x)$
  $= x^{4} - 1$
2. b)
  $P$ et $Q$ sont de degré 2, $P \circ Q$ est de degré 4.
2°)
$(P \circ Q) (x)$
$= 2 (2 x + 1)^{2} - (2 x + 1)$
$(P \circ Q) (x)$
$= 2 (2 x^{2} + 22 x + 1) - 2 x - 1$
$(2 x)^{2} = 2 x^{2}$
$(P \circ Q) (x)$
$= 4 x^{2} + 42 x + 2 - 2 x - 1$
$(P \circ Q) (x)$
$= 4 x^{2} + 32 x + 1$

→ Les deux composées du 1°) sont différentes : l'ordre compte.