Chapitre 1 — Calcul littéral · coursIII Factoriser une expression

Sommaire du chapitre

I — Réduire, développer, identités remarquables
- Méthode 1 — Réduire une somme ou un produit
- Méthode 2 — Développer et réduire
II — Substituer une valeur
- Méthode 3 — Calculer une image
III — Factoriser une expression
- Méthode 4 — Factoriser
IV — Équations
- Méthode 5 — Résoudre une équation
- Méthode 6 — Mettre un problème en équation
V — Fractions rationnelles
- Méthode 7 — Trouver les valeurs interdites, simplifier
- Méthode 8 — Écrire sous la forme d'un seul quotient
VI — Équations quotient
- Méthode 9 — Résoudre une équation quotient
VII — Inéquations et tableaux de signes
- Méthode 10 — Résoudre une inéquation
VIII — Composition de polynômes
- Méthode 11 — Calculer une composée

Pour factoriser, on dispose de deux outils : le facteur commun, $ka + kb = k (a + b)$ , et les identités remarquables lues de droite à gauche, $a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ , $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ et $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

Méthode 4 — Factoriser

Exemples corrigés

Factoriser les expressions suivantes.

a)
$A = 6 x^{2} + 10 x$
b)
$B = (x + 3) (2 x - 1) - (x + 3) (x + 4)$
c)
$C = 9 x^{2} - 30 x + 25$
d)
$D = (x + 2)^{2} - 49$

Correction

A

= 6 x^{2} + 10 x

on cherche d'abord un facteur commun

A

= 2 x \times 3 x + 2 x \times 5

2 x

est dans les deux termes

A

= 2 x (3 x + 5)

B

= (x + 3) (2 x - 1) - (x + 3) (x + 4)

facteur commun : la parenthèse entière

(x + 3)

B

= (x + 3) [(2 x - 1) - (x + 4)]

B

= (x + 3) (2 x - 1 - x - 4)

le «

-

» change les signes de

x + 4

B

= (x + 3) (x - 5)

on réduit chaque facteur

C

= 9 x^{2} - 30 x + 25

pas de facteur commun : une identité remarquable ?

C

= (3 x)^{2} - 2 \times 3 x \times 5 + 5^{2}

forme

a^{2} - 2 ab + b^{2}

, avec

a = 3 x

b = 5

C

= (3 x - 5)^{2}

D

= (x + 2)^{2} - 49

D

= (x + 2)^{2} - 7^{2}

forme

a^{2} - b^{2}

, avec

a = x + 2

b = 7

D

= (x + 2 - 7) (x + 2 + 7)

(a - b) (a + b)

D

= (x - 5) (x + 9)

on réduit chaque facteur

À vous de jouer

Factoriser :

E = 12 x^{2} - 8 x

F = (2 x + 1) (x - 3) + (2 x + 1) (4 x + 5)

G = x^{2} + 14 x + 49

H = 16 - (x - 1)^{2}

I = 25 x^{2} - 4

Correction

$E$ et $F$ : facteur commun

E

= 12 x^{2} - 8 x

on cherche d'abord un facteur commun

E

= 4 x \times 3 x - 4 x \times 2

4 x

est dans les deux termes

E

= 4 x (3 x - 2)

F

= (2 x + 1) (x - 3) + (2 x + 1) (4 x + 5)

facteur commun : la parenthèse entière

(2 x + 1)

F

= (2 x + 1) [(x - 3) + (4 x + 5)]

F

= (2 x + 1) (5 x + 2)

on réduit le second facteur

$G$ , $H$ et $I$ : identités remarquables

G

= x^{2} + 14 x + 49

pas de facteur commun : une identité remarquable ?

G

= x^{2} + 2 \times x \times 7 + 7^{2}

forme

a^{2} + 2 ab + b^{2}

, avec

a = x

b = 7

G

= (x + 7)^{2}

H

= 16 - (x - 1)^{2}

H

= 4^{2} - (x - 1)^{2}

forme

a^{2} - b^{2}

, avec

a = 4

b = x - 1

H

= [4 - (x - 1)] [4 + (x - 1)]

(a - b) (a + b)

, avec des crochets

H

= (4 - x + 1) (4 + x - 1)

le «

-

» change les signes de

x - 1

H

= (5 - x) (x + 3)

on réduit chaque facteur

I

= 25 x^{2} - 4

I

= (5 x)^{2} - 2^{2}

forme

a^{2} - b^{2}

, avec

a = 5 x

b = 2

I

= (5 x - 2) (5 x + 2)

À faire : exercices 7 à 9

Exercice 7 — Facteur commun

Factoriser :

A $=$
$5 x + 20$
B $=$
$7 x^{2} + 3 x$
C $=$
$18 x^{2} - 12 x$
D $=$
$x^{2} + x$
E $=$
$4 x^{2} - x$
F $=$
$2 x + x (x + 5)$

Corrigé

A $=$
$5 x + 20 = 5 (x + 4)$
B $=$
$7 x^{2} + 3 x = x (7 x + 3)$
C $=$
$18 x^{2} - 12 x = 6 x (3 x - 2)$
D $=$
$x^{2} + x = x (x + 1)$
E $=$
$4 x^{2} - x = x (4 x - 1)$
F $=$
$x (2 + x + 5) = x (x + 7)$

→ En D et E, le terme $x$ s'écrit $x \times 1$ : c'est le $1$ qu'on oublie. En F, le premier terme $2 x$ est $x \times 2$ .

Exercice 8 — Identités remarquables et facteur commun

Factoriser :

A $=$
$9 x^{2} + 30 x + 25$
B $=$
$49 x^{2} - 36$
C $=$
$(3 x + 1) (2 x - 5) + (3 x + 1) (x + 7)$
D $=$
$(4 x - 1) (x + 6) - (4 x - 1) (3 x - 2)$
E $=$
$(3 x + 2)^{2} - (x - 4)^{2}$
F $=$
$36 - (x + 2)^{2}$

Corrigé

A $=$
$(3 x)^{2} + 2 \times 3 x \times 5 + 5^{2} = (3 x + 5)^{2}$
B $=$
$(7 x)^{2} - 6^{2} = (7 x - 6) (7 x + 6)$
C $=$
$(3 x + 1) [(2 x - 5) + (x + 7)] = (3 x + 1) (3 x + 2)$
D $=$
$(4 x - 1) [(x + 6) - (3 x - 2)] = (4 x - 1) (- 2 x + 8)$ (ou $2 (4 x - 1) (4 - x)$ )
E $=$
$(3 x + 2)^{2} - (x - 4)^{2}$

$E$
$= [(3 x + 2) - (x - 4)] [(3 x + 2) + (x - 4)]$
$a^{2} - b^{2}$
$E$
$= (2 x + 6) (4 x - 2)$
$E$
$= 4 (x + 3) (2 x - 1)$
$2$ en facteur dans chaque parenthèse
F $=$
$36 - (x + 2)^{2}$

$F$
$= [6 - (x + 2)] [6 + (x + 2)]$
$F$
$= (4 - x) (x + 8)$

→ En D et E, le « $-$ » devant la seconde parenthèse change ses deux signes : $- (3 x - 2) = - 3 x + 2$ .

Exercice 9 — Faire apparaître un facteur commun

Factoriser. Pour A, B et C, factoriser d'abord une partie de l'expression.

A $=$
$9 x^{2} - 16 - (3 x + 4) (x - 2)$
B $=$
$x^{2} - 25 - (x + 5) (2 x - 3)$
C $=$
$(x + 3) (4 x - 1) - (x^{2} - 9)$
D $=$
$x^{2} - 7$ (écrire $7 = (7)^{2}$ )
E $=$
$x^{2} + 25 x + 5$

Corrigé

A $=$
On factorise d'abord $9 x^{2} - 16 = (3 x - 4) (3 x + 4)$ .

$A$
$= (3 x - 4) (3 x + 4) - (3 x + 4) (x - 2)$
$A$
$= (3 x + 4) [(3 x - 4) - (x - 2)]$
$A$
$= (3 x + 4) (2 x - 2)$
$A$
$= 2 (3 x + 4) (x - 1)$
B $=$
On factorise d'abord $x^{2} - 25 = (x - 5) (x + 5)$ .

$B$
$= (x + 5) [(x - 5) - (2 x - 3)]$
$B$
$= (x + 5) (- x - 2)$
$B$
$= - (x + 5) (x + 2)$
C $=$
On écrit $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ .

$C$
$= (x + 3) [(4 x - 1) - (x - 3)]$
$C$
$= (x + 3) (3 x + 2)$
D $=$
$x^{2} - (7)^{2} = (x - 7) (x + 7)$
E $=$
$x^{2} + 2 \times x \times 5 + (5)^{2} = (x + 5)^{2}$

→ De A à C, la différence de carrés cache le facteur commun. En D et E, $7$ et $5$ jouent le rôle de $b$ dans l'identité remarquable.