Chapitre 1 — Calcul littéral · coursVII Inéquations et tableaux de signes

Sommaire du chapitre

I — Réduire, développer, identités remarquables
- Méthode 1 — Réduire une somme ou un produit
- Méthode 2 — Développer et réduire
II — Substituer une valeur
- Méthode 3 — Calculer une image
III — Factoriser une expression
- Méthode 4 — Factoriser
IV — Équations
- Méthode 5 — Résoudre une équation
- Méthode 6 — Mettre un problème en équation
V — Fractions rationnelles
- Méthode 7 — Trouver les valeurs interdites, simplifier
- Méthode 8 — Écrire sous la forme d'un seul quotient
VI — Équations quotient
- Méthode 9 — Résoudre une équation quotient
VII — Inéquations et tableaux de signes
- Méthode 10 — Résoudre une inéquation
VIII — Composition de polynômes
- Méthode 11 — Calculer une composée

Propriété 5 — Signe de $a x + b$ (avec $a \neq = 0$ )

$a x + b$ s'annule pour $x = - \frac{b}{a}$ ; après cette valeur, il a le signe de $a$ , avant, le signe contraire.

$a > 0$

$a < 0$

Méthode 10 — Résoudre une inéquation

Exemples corrigés

Résoudre dans $R$ les inéquations suivantes.

a)
Premier degré : $2 (x + 3) ⩾ 5 x - 9$ .
b)
Quotient comparé à $0$ : $\frac{x - 2}{x + 4} < 0$ .
c)
Quotient comparé à un nombre : $\frac{6}{x + 2} < 2$ .

Correction

2 (x + 3) ⩾ 5 x - 9

⟺ 2 x + 6 ⩾ 5 x - 9

on isole

x

comme dans une équation

⟺ - 3 x ⩾ - 15

⟺ x ⩽ 5

on divise par

- 3 < 0

: le sens change

S =] - \infty; 5]

5

est compris : inégalité large

Valeur interdite :

- 4

. Le numérateur s'annule en

2

une ligne par facteur ; coefficients de

x

positifs : négatif avant la valeur, positif après

S =] - 4; 2 [

inégalité stricte :

2

exclu ;

- 4

exclu (interdit, double barre)

Valeur interdite :

- 2

\frac{6}{x + 2} < 2

⟺ \frac{6}{x + 2} - 2 < 0

tout dans un membre

⟺ \frac{6 - 2 ( x + 2 )}{x + 2} < 0

un seul quotient comparé à

0

⟺ \frac{- 2 x + 2}{x + 2} < 0

- 2 x + 2

s'annule en

1

a = - 2 < 0

: positif avant

1

, négatif après.

propriété 5

S =] - \infty; - 2 [\cup] 1; + \infty [

on lit les signes

-

; crochets ouverts (stricte, et

- 2

interdit)

À vous de jouer

Résoudre dans $R$ :

3 (1 - x) < x + 11

\frac{x + 3}{x - 1} ⩾ 0

\frac{4}{x - 3} ⩾ 2

Correction

Premier degré

3 (1 - x) < x + 11

⟺ 3 - 3 x < x + 11

on développe

⟺ - 4 x < 8

les

x

à gauche, les nombres à droite

⟺ x > - 2

on divise par

- 4 < 0

: le sens change

S =] - 2; + \infty [

- 2

exclu : inégalité stricte

Quotient comparé à $0$

Valeur interdite :

1

. Le numérateur s'annule en

- 3

une ligne par facteur ; coefficients de

x

positifs : négatif avant la valeur, positif après

S =] - \infty; - 3] \cup] 1; + \infty [

inégalité large :

- 3

compris ;

1

exclu (interdit, double barre)

Quotient comparé à un nombre

Valeur interdite :

3

\frac{4}{x - 3} ⩾ 2

⟺ \frac{4}{x - 3} - 2 ⩾ 0

tout dans un membre

⟺ \frac{4 - 2 ( x - 3 )}{x - 3} ⩾ 0

un seul quotient comparé à

0

⟺ \frac{- 2 x + 10}{x - 3} ⩾ 0

- 2 x + 10

s'annule en

5

a = - 2 < 0

: positif avant

5

, négatif après.

propriété 5

S =] 3; 5]

on lit les signes

+

et les zéros ;

3

exclu (interdit),

5

compris (inégalité large)

À faire : exercices 20 à 22

Exercice 20 — Inéquations du premier degré

Résoudre dans $R$ ; donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle :

a)
$3 x + 12 > 0$
b)
$4 x - 1 < 9 - x$
c)
$3 (x - 1) ⩾ 7 - 2 x$
d)
$\frac{2 - 5 x}{3} > 0$
e)
$3 (x + 2) < 3 x + 4$
f)
$\frac{x - 3}{2} - \frac{1 - x}{4} > 0$

Corrigé

a)
$3 x > - 12$ , donc $x > - 4$ : $S =] - 4; + \infty [$ .
b)
$5 x < 10$ , donc $x < 2$ : $S =] - \infty; 2 [$ .
c)
$3 x - 3 ⩾ 7 - 2 x$ , soit $5 x ⩾ 10$ : $S = [2; + \infty [$ .
d)
On multiplie par $3 > 0$ (le sens ne change pas) : $2 - 5 x > 0$ , soit $- 5 x > - 2$ , puis on divise par $- 5 < 0$ (le sens change) : $x < \frac{2}{5}$ . $S =] - \infty; \frac{2}{5} [$ .
e)
$3 x + 6 < 3 x + 4$ donne $6 < 4$ , ce qui est faux : $S = \emptyset$ .
f)
On multiplie par $4 > 0$ :

$\frac{x - 3}{2} - \frac{1 - x}{4} > 0$
$⟺ 2 (x - 3) - (1 - x) > 0$
$⟺ 3 x - 7 > 0$

$S =] \frac{7}{3}; + \infty [$ .

→ Seuls la multiplication et la division par un nombre négatif changent le sens. En e), l'inégalité obtenue est fausse : aucune solution.

Exercice 21 — Tableaux de signes

Dresser le tableau de signes de chaque expression :

A $=$
$(x - 5) (x + 1)$
B $=$
$(3 - x) (2 x + 1)$
C $=$
$x^{2} - 16$
D $=$
$2 x (x - 3) (4 x + 1)$
E $=$
$\frac{x + 4}{1 - x}$
F $=$
$\frac{x ( x - 2 )}{2 x + 3}$

Corrigé

A $=$
$(x - 5) (x + 1)$
B $=$
$(3 - x) (2 x + 1)$
C $=$
$x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$
D $=$
$2 x (x - 3) (4 x + 1)$
E $=$
$\frac{x + 4}{1 - x}$ (valeur interdite $1$ )
F $=$
$\frac{x ( x - 2 )}{2 x + 3}$ (valeur interdite $- \frac{3}{2}$ )

→ Sous une valeur interdite, une double barre, pas un zéro. Chaque facteur $a x + b$ a le signe de $a$ après sa valeur d'annulation.

Exercice 22 — Inéquations produit et quotient

Résoudre dans $R$ , en donnant d'abord les valeurs interdites :

a)
$(9 x^{2} - 4) (x - 2) ⩾ 0$
b)
$\frac{5 - 2 x}{x ^{2} - 4} ⩽ 0$
c)
$\frac{x ^{2} - 9}{3 x + 1} ⩾ 0$
d)
$\frac{x + 3}{2 - x} ⩽ 1$
e)
$\frac{2 - x}{x + 4} > 3$
f)
$\frac{x + 1}{x + 2} ⩽ \frac{x - 1}{x + 3}$

Corrigé

a)
$9 x^{2} - 4 = (3 x - 2) (3 x + 2)$ : on étudie $(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 2) ⩾ 0$ .

$S = [- \frac{2}{3}; \frac{2}{3}] \cup [2; + \infty [$
b)
$x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ : valeurs interdites $- 2$ et $2$ .

$S =] - 2; 2 [\cup [\frac{5}{2}; + \infty [$
c)
$x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ ; valeur interdite $- \frac{1}{3}$ .

$S = [- 3; - \frac{1}{3} [\cup [3; + \infty [$
d)
Valeur interdite $2$ . On se ramène à un quotient comparé à $0$ :

$\frac{x + 3}{2 - x} ⩽ 1$
$⟺ \frac{x + 3 - ( 2 - x )}{2 - x} ⩽ 0$
$⟺ \frac{2 x + 1}{2 - x} ⩽ 0$

$S =] - \infty; - \frac{1}{2}] \cup] 2; + \infty [$
e)
Valeur interdite $- 4$ .

$\frac{2 - x}{x + 4} > 3$
$⟺ \frac{2 - x - 3 ( x + 4 )}{x + 4} > 0$
$⟺ \frac{- 4 x - 10}{x + 4} > 0$

$- 4 x - 10$ s'annule en $- \frac{5}{2}$ ; son coefficient $- 4$ est négatif.

$S =] - 4; - \frac{5}{2} [$
f)
Valeurs interdites $- 2$ et $- 3$ . Numérateur :

$(x + 1) (x + 3) - (x - 1) (x + 2)$
$= (x^{2} + 4 x + 3) - (x^{2} + x - 2)$
$(x + 1) (x + 3) - (x - 1) (x + 2)$
$= 3 x + 5$

On étudie donc $\frac{3 x + 5}{( x + 2 ) ( x + 3 )} ⩽ 0$ .

$S =] - \infty; - 3 [\cup] - 2; - \frac{5}{3}]$

→ Une valeur interdite est toujours exclue de $S$ , même avec $⩽$ ou $⩾$ . On ne multiplie jamais par le dénominateur : son signe dépend de $x$ .

Chapitre 1 — Calcul littéral · coursVII Inéquations et tableaux de signes

Propriété 5 — Signe de ax+b (avec a=0)

Méthode 10 — Résoudre une inéquation

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 20 — Inéquations du premier degré

Exercice 21 — Tableaux de signes

Exercice 22 — Inéquations produit et quotient

Propriété 5 — Signe de $a x + b$ (avec $a \neq = 0$ )