Chapitre 1 — Calcul littéral · coursIV Équations

Sommaire du chapitre

I — Réduire, développer, identités remarquables
- Méthode 1 — Réduire une somme ou un produit
- Méthode 2 — Développer et réduire
II — Substituer une valeur
- Méthode 3 — Calculer une image
III — Factoriser une expression
- Méthode 4 — Factoriser
IV — Équations
- Méthode 5 — Résoudre une équation
- Méthode 6 — Mettre un problème en équation
V — Fractions rationnelles
- Méthode 7 — Trouver les valeurs interdites, simplifier
- Méthode 8 — Écrire sous la forme d'un seul quotient
VI — Équations quotient
- Méthode 9 — Résoudre une équation quotient
VII — Inéquations et tableaux de signes
- Méthode 10 — Résoudre une inéquation
VIII — Composition de polynômes
- Méthode 11 — Calculer une composée

Propriété 2 — Produit nul

Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :

A \times B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0

Propriété 3 — Équation $x^{2} = k$

Si $k > 0$ , l'équation $x^{2} = k$ a deux solutions : $- k$ et $k$ .
Si $k = 0$ , elle a une seule solution : $0$ .
Si $k < 0$ , elle n'a pas de solution, car un carré n'est jamais négatif.

Méthode 5 — Résoudre une équation

Exemples corrigés

Résoudre dans $R$ les équations suivantes.

a)
$5 x - 3 = 2 x + 9$
b)
$(2 x - 6) (5 x + 1) = 0$
c)
$x^{2} = 36$ ; $x^{2} = 11$ ; $x^{2} = - 9$ ; $(x + 1)^{2} = 25$
d)
$x^{2} = 3 x$

Correction

5 x - 3 = 2 x + 9

⟺ 5 x - 2 x = 9 + 3

les

x

à gauche, les nombres à droite

⟺ 3 x = 12

⟺ x = 4

on divise par le coefficient de

x

S = {4}

on conclut par l'ensemble des solutions

(2 x - 6) (5 x + 1) = 0

⟺ 2 x - 6 = 0 ou 5 x + 1 = 0

produit nul : un des facteurs est nul

⟺ x = 3 ou x = - \frac{1}{5}

S = {- \frac{1}{5}; 3}

solutions rangées dans l'ordre croissant

x^{2} = 36

S = {- 6; 6}

;

x^{2} = 11

S = {- 11; 11}

;

x^{2} = - 9

S = \emptyset

propriété 3 : deux solutions si

k > 0

, aucune si

k < 0

(x + 1)^{2} = 25

⟺ x + 1 = 5 ou x + 1 = - 5

propriété 3, avec

x + 1

à la place de

x

⟺ x = 4 ou x = - 6

S = {- 6; 4}

x^{2} = 3 x

⟺ x^{2} - 3 x = 0

tout dans un membre

⟺ x (x - 3) = 0

on factorise : facteur commun

x

⟺ x = 0 ou x = 3

produit nul

S = {0; 3}

on ne divise jamais par

x

: on aurait perdu la solution

0

À vous de jouer

Résoudre dans $R$ :

4 (x - 2) = x + 7

(3 x + 12) (7 - x) = 0

x^{2} = 49

x^{2} = - 5

(x - 2)^{2} = 16

x^{2} = 5 x

Correction

Premier degré

4 (x - 2) = x + 7

⟺ 4 x - 8 = x + 7

on développe

⟺ 4 x - x = 7 + 8

les

x

à gauche, les nombres à droite

⟺ 3 x = 15

⟺ x = 5

on divise par

3

S = {5}

Produit nul

(3 x + 12) (7 - x) = 0

⟺ 3 x + 12 = 0 ou 7 - x = 0

un des facteurs est nul

⟺ x = - 4 ou x = 7

S = {- 4; 7}

solutions rangées dans l'ordre croissant

Équations $x^{2} = k$

x^{2} = 49

S = {- 7; 7}

;

x^{2} = - 5

S = \emptyset

propriété 3 : deux solutions si

k > 0

, aucune si

k < 0

(un carré n'est jamais négatif)

(x - 2)^{2} = 16

⟺ x - 2 = 4 ou x - 2 = - 4

propriété 3, avec

x - 2

à la place de

x

⟺ x = 6 ou x = - 2

S = {- 2; 6}

Facteur commun

x^{2} = 5 x

⟺ x^{2} - 5 x = 0

tout dans un membre

⟺ x (x - 5) = 0

on factorise : facteur commun

x

⟺ x = 0 ou x = 5

produit nul

S = {0; 5}

diviser par

x

ferait perdre la solution

0

Méthode 6 — Mettre un problème en équation

Exemples corrigés

Un samedi, une salle d'escalade a vendu $120$ entrées : des entrées adultes à $14$ € et des entrées jeunes à $9$ €. La recette est de $1430$ €. Combien d'entrées de chaque sorte ont été vendues ?

Correction

Résolution

Soit

x

le nombre d'entrées adultes ; il y a alors

120 - x

entrées jeunes.

inconnue : on écrit ce que représente

x

14 x + 9 (120 - x) = 1430

⟺ 14 x + 1080 - 9 x = 1430

équation : on traduit la recette, puis on résout

⟺ 5 x = 350

⟺ x = 70

70 \times 14 + 50 \times 9 = 980 + 450

, soit bien

1430

€.

vérification : la solution convient-elle à l'énoncé ?

La salle a vendu

70

entrées adultes et

50

entrées jeunes.

conclusion : une phrase qui répond à la question

À vous de jouer

1°)
Une association a vendu $300$ billets pour un concert : en prévente à $18$ €, ou sur place à $25$ €. La recette est de $6100$ €. Combien de billets ont été vendus en prévente ?
2°)
La longueur d'un rectangle dépasse sa largeur de $4$ cm, et son périmètre mesure $36$ cm. Quelles sont ses dimensions ?

Correction

1°)

Soit

x

le nombre de billets vendus en prévente ; il y a alors

300 - x

billets vendus sur place.

inconnue : on écrit ce que représente

x

18 x + 25 (300 - x) = 6100

⟺ 18 x + 7500 - 25 x = 6100

équation : on traduit la recette, puis on résout

⟺ - 7 x = - 1400

⟺ x = 200

on divise par

- 7

200 \times 18 + 100 \times 25 = 3600 + 2500

, soit bien

6100

€.

vérification

L'association a vendu

200

billets en prévente (et

100

sur place).

conclusion : une phrase qui répond à la question

2°)

Soit

x

la largeur, en cm ; la longueur mesure alors

x + 4

inconnue

2 (x + x + 4) = 36

⟺ 2 (2 x + 4) = 36

équation : périmètre

= 2 \times (largeur + longueur)

⟺ 4 x + 8 = 36

⟺ 4 x = 28

⟺ x = 7

La longueur vaut

11

cm et

2 \times (7 + 11) = 36

vérification

Le rectangle mesure

7

cm sur

11

cm.

conclusion

À faire : exercices 10 à 12

Exercice 10 — Équations du premier degré

Résoudre dans $R$ :

a)
$4 x - 9 = 3 x + 2$
b)
$6 x - 5 = x + 20$
c)
$3 x + 4 = 3 x - 1$
d)
$3 (x - 2) = 2 (- x + 7)$
e)
$x - (2 - 5 x) = 4 x + 9$
f)
$4 (x - 1) + 3 (x + 5) = 0$

Corrigé

a)
$4 x - 3 x = 2 + 9$ , donc $x = 11$ : $S = {11}$ .
b)
$5 x = 25$ , donc $x = 5$ : $S = {5}$ .
c)
$3 x - 3 x = - 1 - 4$ donne $0 = - 5$ , ce qui est faux : $S = \emptyset$ .
d)
$3 (x - 2) = 2 (- x + 7)$
$⟺ 3 x - 6 = - 2 x + 14$
$⟺ 5 x = 20$
$⟺ x = 4$

$S = {4}$ .
e)
$x - (2 - 5 x) = 4 x + 9$
$⟺ 6 x - 2 = 4 x + 9$
$⟺ 2 x = 11$

$S = {\frac{11}{2}}$ .
f)
$4 x - 4 + 3 x + 15 = 0$ , soit $7 x + 11 = 0$ : $S = {- \frac{11}{7}}$ .

→ En c), les termes en $x$ disparaissent et il reste une égalité fausse : aucune solution. Ne pas écrire $S = {0}$ .

Exercice 11 — Produit nul et carrés

Résoudre dans $R$ :

a)
$(x - 6) (4 + x) = 0$
b)
$5 x (3 x - 7) = 0$
c)
$(2 x + 9)^{2} = 0$
d)
$x^{2} = 13$
e)
$3 x^{2} - 21 = 0$
f)
$(3 x + 1)^{2} = 25$

Corrigé

a)
$x - 6 = 0$ ou $4 + x = 0$ : $S = {- 4; 6}$
b)
$5 x = 0$ ou $3 x - 7 = 0$ : $S = {0; \frac{7}{3}}$
c)
$2 x + 9 = 0$ : $S = {- \frac{9}{2}}$
d)
$13 > 0$ : $S = {- 13; 13}$
e)
$x^{2} = 7$ : $S = {- 7; 7}$
f)
$3 x + 1 = 5$ ou $3 x + 1 = - 5$ : $S = {- 2; \frac{4}{3}}$

→ En d) et e), on garde les valeurs exactes. En f), le carré vaut $25 > 0$ : deux cas.

Exercice 12 — Mise en équation

Pour chaque problème : choisir l'inconnue, écrire l'équation, la résoudre, vérifier, puis conclure par une phrase.

1)
La boulangerie. Un matin, une boulangerie a vendu $150$ viennoiseries : des croissants, des pains au chocolat et des chaussons aux pommes. Elle a vendu deux fois plus de pains au chocolat que de croissants, et $10$ chaussons de moins que de croissants. Combien de viennoiseries de chaque sorte a-t-elle vendues ?
2)
Du carré au rectangle. Un carré a pour côté $x$ (en cm). On allonge l'un de ses côtés de $6$ cm et on raccourcit l'autre de $4$ cm : le rectangle obtenu a la même aire que le carré. Trouver $x$ , puis les dimensions du rectangle.

Corrigé

1°)
La boulangerie. Inconnue : soit $x$ le nombre de croissants. Il y a $2 x$ pains au chocolat et $x - 10$ chaussons.

$x + 2 x + (x - 10) = 150$
$⟺ 4 x - 10 = 150$
$⟺ 4 x = 160$
$⟺ x = 40$

Vérification : $40 + 80 + 30 = 150$ . Conclusion : la boulangerie a vendu 40 croissants, 80 pains au chocolat et 30 chaussons.
2°)
Du carré au rectangle. Le rectangle mesure $x + 6$ sur $x - 4$ ; son aire égale celle du carré, $x^{2}$ .

$(x + 6) (x - 4) = x^{2}$
$⟺ x^{2} + 2 x - 24 = x^{2}$
$⟺ 2 x = 24$
$⟺ x = 12$

Vérification : le rectangle mesure $18$ cm sur $8$ cm, d'aire $144 cm^{2}$ , comme le carré de côté $12$ cm. Conclusion : $x = 12$ cm, et le rectangle mesure $18$ cm sur $8$ cm.

→ En 2°), les termes en $x^{2}$ s'éliminent : l'équation est du premier degré.

Chapitre 1 — Calcul littéral · coursIV Équations

Propriété 2 — Produit nul

Propriété 3 — Équation x2=k

Méthode 5 — Résoudre une équation

Exemples corrigés

À vous de jouer

Méthode 6 — Mettre un problème en équation

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 10 — Équations du premier degré

Exercice 11 — Produit nul et carrés

Exercice 12 — Mise en équation

Propriété 3 — Équation $x^{2} = k$