Chapitre 1 — Calcul littéral · coursV Fractions rationnelles

Sommaire du chapitre

I — Réduire, développer, identités remarquables
- Méthode 1 — Réduire une somme ou un produit
- Méthode 2 — Développer et réduire
II — Substituer une valeur
- Méthode 3 — Calculer une image
III — Factoriser une expression
- Méthode 4 — Factoriser
IV — Équations
- Méthode 5 — Résoudre une équation
- Méthode 6 — Mettre un problème en équation
V — Fractions rationnelles
- Méthode 7 — Trouver les valeurs interdites, simplifier
- Méthode 8 — Écrire sous la forme d'un seul quotient
VI — Équations quotient
- Méthode 9 — Résoudre une équation quotient
VII — Inéquations et tableaux de signes
- Méthode 10 — Résoudre une inéquation
VIII — Composition de polynômes
- Méthode 11 — Calculer une composée

Définition 4 — Fraction rationnelle

Une fraction rationnelle est un quotient de deux expressions en $x$ , comme $\frac{3 x + 1}{x - 2}$ . Ses valeurs interdites sont celles qui annulent le dénominateur.

L'ensemble de définition est l'ensemble des réels qui ne sont pas interdits : ici $D = R ∖ {2}$ , qui se lit « $R$ privé de $2$ ».

Méthode 7 — Trouver les valeurs interdites, simplifier

Exemples corrigés

a)
Donner l'ensemble de définition de $f (x) = \frac{4}{x + 3}$ et de $g (x) = \frac{x - 1}{2 x - 5}$ .
b)
Simplifier $h (x) = \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 2 x}$ , en précisant les valeurs interdites.

Correction

x + 3 = 0

pour

x = - 3

, donc

D_{f} = R ∖ {- 3}

on résout « dénominateur

= 0

» : la solution est la valeur interdite

2 x - 5 = 0

pour

x = \frac{5}{2}

, donc

D_{g} = R ∖ {\frac{5}{2}}

x^{2} + 2 x = x (x + 2)

s'annule pour

x = 0

et pour

x = - 2

: ce sont les valeurs interdites.

on factorise le dénominateur pour trouver où il s'annule

h (x)

= \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 2 x}

pour

x \neq = 0

x \neq = - 2

h (x)

= \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x ( x + 2 )}

on factorise en haut et en bas

h (x)

= \frac{x - 2}{x}

on simplifie par le facteur commun

x + 2

Les valeurs interdites restent

0

- 2

\frac{x - 2}{x}

a une valeur pour

x = - 2

, mais pas

h

: simplifier ne supprime pas une valeur interdite

À vous de jouer

1°)
Donner l'ensemble de définition de $k (x) = \frac{7}{x - 6}$ et de $m (x) = \frac{3 x + 1}{4 x + 2}$ .
2°)
Simplifier $n (x) = \frac{x ^{2} - 25}{x ^{2} - 5 x}$ , en précisant les valeurs interdites.

Correction

1°)

x - 6 = 0

pour

x = 6

, donc

D_{k} = R ∖ {6}

on résout « dénominateur

= 0

4 x + 2 = 0

pour

x = - \frac{1}{2}

, donc

D_{m} = R ∖ {- \frac{1}{2}}

4 x = - 2

, puis on divise par

4

2°)

x^{2} - 5 x = x (x - 5)

s'annule pour

x = 0

et pour

x = 5

: ce sont les valeurs interdites.

on factorise le dénominateur pour trouver où il s'annule

n (x)

= \frac{x ^{2} - 25}{x ^{2} - 5 x}

pour

x \neq = 0

x \neq = 5

n (x)

= \frac{( x - 5 ) ( x + 5 )}{x ( x - 5 )}

on factorise en haut et en bas

n (x)

= \frac{x + 5}{x}

on simplifie par le facteur commun

x - 5

Les valeurs interdites restent

0

5

simplifier ne supprime pas une valeur interdite

Méthode 8 — Écrire sous la forme d'un seul quotient

Exemples corrigés

Écrire sous la forme d'un seul quotient, en précisant les valeurs interdites.

a)
$A = 2 + \frac{3}{x - 1}$
b)
$B = \frac{1}{x} - \frac{2}{x + 3}$

Correction

Valeur interdite :

1

on commence par les valeurs interdites

A

= 2 + \frac{3}{x - 1}

on recopie

A

= \frac{2 ( x - 1 )}{x - 1} + \frac{3}{x - 1}

même dénominateur :

2 = \frac{2 ( x - 1 )}{x - 1}

A

= \frac{2 x - 2 + 3}{x - 1}

on développe le numérateur seulement

A

= \frac{2 x + 1}{x - 1}

on réduit

Valeurs interdites :

0

- 3

dénominateur commun : le produit

x (x + 3)

B

= \frac{1}{x} - \frac{2}{x + 3}

on recopie

B

= \frac{x + 3}{x ( x + 3 )} - \frac{2 x}{x ( x + 3 )}

chaque fraction reçoit ce qui lui manque

B

= \frac{x + 3 - 2 x}{x ( x + 3 )}

B

= \frac{- x + 3}{x ( x + 3 )}

on réduit le numérateur

À vous de jouer

Écrire sous la forme d'un seul quotient, en précisant les valeurs interdites :

C = 5 - \frac{2}{x + 4}

D = \frac{3}{x - 2} + \frac{1}{x}

E = \frac{x}{x + 1} - 2

Correction

$C$

Valeur interdite :

- 4

on commence par les valeurs interdites

C

= 5 - \frac{2}{x + 4}

on recopie

C

= \frac{5 ( x + 4 )}{x + 4} - \frac{2}{x + 4}

même dénominateur :

5 = \frac{5 ( x + 4 )}{x + 4}

C

= \frac{5 x + 20 - 2}{x + 4}

on développe le numérateur seulement

C

= \frac{5 x + 18}{x + 4}

on réduit

$D$

Valeurs interdites :

2

0

dénominateur commun : le produit

x (x - 2)

D

= \frac{3}{x - 2} + \frac{1}{x}

on recopie

D

= \frac{3 \times x}{( x - 2 ) \times x} + \frac{1 \times ( x - 2 )}{x \times ( x - 2 )}

chaque fraction reçoit ce qui lui manque

D

= \frac{3 x + x - 2}{x ( x - 2 )}

D

= \frac{4 x - 2}{x ( x - 2 )}

on réduit le numérateur

$E$

Valeur interdite :

- 1

E

= \frac{x}{x + 1} - 2

on recopie

E

= \frac{x}{x + 1} - \frac{2 ( x + 1 )}{x + 1}

même dénominateur :

2 = \frac{2 ( x + 1 )}{x + 1}

E

= \frac{x - 2 x - 2}{x + 1}

le «

-

» change les signes de

2 x + 2

E

= \frac{- x - 2}{x + 1}

on réduit

À faire : exercices 13 à 16

Exercice 13 — Les quatre opérations

Donner la valeur interdite, puis écrire chaque expression sous la forme d'un seul quotient :

A $=$
$\frac{3}{4} + \frac{5}{x}$
B $=$
$\frac{3}{4} - \frac{5}{x}$
C $=$
$\frac{3}{4} \times \frac{5}{x}$
D $=$
$\frac{3}{4} \div \frac{5}{x}$

Corrigé

Dans les quatre cas, la valeur interdite est $0$ .

A $=$
$\frac{3 x}{4 x} + \frac{20}{4 x} = \frac{3 x + 20}{4 x}$
B $=$
$\frac{3 x}{4 x} - \frac{20}{4 x} = \frac{3 x - 20}{4 x}$
C $=$
$\frac{15}{4 x}$
D $=$
$\frac{3}{4} \times \frac{x}{5} = \frac{3 x}{20}$

→ Un dénominateur commun pour l'addition et la soustraction ; pas pour le produit. Diviser par $\frac{5}{x}$ , c'est multiplier par $\frac{x}{5}$ .

Exercice 14 — Valeurs interdites

Donner les valeurs interdites, puis simplifier quand c'est possible :

A $=$
$\frac{x + 5}{x - 4}$
B $=$
$\frac{6}{x ( x - 2 )}$
C $=$
$\frac{x - 4}{2 x + 5}$
D $=$
$\frac{x ^{2} - 16}{x - 4}$
E $=$
$\frac{5}{x ^{2} + 4}$
F $=$
$\frac{2 x + 1}{7 - x}$

Corrigé

A $=$
Valeur interdite $4$ ; pas de simplification.
B $=$
$x (x - 2) = 0$ pour $x = 0$ et pour $x = 2$ : valeurs interdites $0$ et $2$ .
C $=$
$2 x + 5 = 0$ pour $x = - \frac{5}{2}$ : valeur interdite $- \frac{5}{2}$ .
D $=$
Valeur interdite $4$ . Pour $x \neq = 4$ : $\frac{( x - 4 ) ( x + 4 )}{x - 4} = x + 4$ .
E $=$
$x^{2} + 4 ⩾ 4$ , donc le dénominateur ne s'annule jamais : aucune valeur interdite.
F $=$
Valeur interdite $7$ .

→ En D, $x + 4$ a une valeur pour $x = 4$ , mais pas l'expression de départ : simplifier ne supprime pas une valeur interdite.

Exercice 15 — Réduire au même dénominateur

Écrire sous la forme d'un seul quotient, en donnant les valeurs interdites :

A $=$
$2 + \frac{7}{x + 3}$
B $=$
$4 + \frac{x - 2}{x + 1}$
C $=$
$\frac{x}{x - 1} - \frac{2 x}{x + 3}$
D $=$
$\frac{4}{x + 1} - \frac{3}{2 x - 3}$
E $=$
$3 x - \frac{2 x + 1}{x - 2}$
F $=$
$\frac{2 x}{x - 4} - \frac{x + 3}{3 x - 12}$

Corrigé

A $=$
$x \neq = - 3$ : $\frac{2 ( x + 3 ) + 7}{x + 3} = \frac{2 x + 13}{x + 3}$
B $=$
$x \neq = - 1$ : $\frac{4 ( x + 1 ) + x - 2}{x + 1} = \frac{5 x + 2}{x + 1}$
C $=$
$x \neq = 1$ et $x \neq = - 3$ :

$C$
$= \frac{x ( x + 3 ) - 2 x ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 3 )}$
$C$
$= \frac{x ^{2} + 3 x - 2 x ^{2} + 2 x}{( x - 1 ) ( x + 3 )}$
$C$
$= \frac{- x ^{2} + 5 x}{( x - 1 ) ( x + 3 )}$
D $=$
$x \neq = - 1$ et $x \neq = \frac{3}{2}$ :

$D$
$= \frac{4 ( 2 x - 3 ) - 3 ( x + 1 )}{( x + 1 ) ( 2 x - 3 )}$
$D$
$= \frac{5 x - 15}{( x + 1 ) ( 2 x - 3 )}$
E $=$
$x \neq = 2$ :

$E$
$= \frac{3 x ( x - 2 ) - ( 2 x + 1 )}{x - 2}$
$E$
$= \frac{3 x ^{2} - 8 x - 1}{x - 2}$
F $=$
$3 x - 12 = 3 (x - 4)$ : le dénominateur commun est $3 (x - 4)$ , et $x \neq = 4$ .

$F$
$= \frac{3 \times 2 x - ( x + 3 )}{3 ( x - 4 )}$
$F$
$= \frac{5 x - 3}{3 ( x - 4 )}$

→ En F, prendre $(x - 4) (3 x - 12)$ comme dénominateur commun alourdit tout : repérer $3 x - 12 = 3 (x - 4)$ fait gagner du temps.

Exercice 16 — Simplifier, multiplier, diviser

Donner les valeurs interdites, puis simplifier :

A $=$
$\frac{4 ( x + 1 ) ^{2}}{8 ( x + 1 )}$
B $=$
$\frac{25 - x ^{2}}{x - 5}$
C $=$
$\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2}$
D $=$
$\frac{x ^{2} - 1}{x + 4} \times \frac{x ^{2} - 16}{x + 1}$
E $=$
$\frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} + 3 x} \div \frac{x + 2}{x + 3}$
F $=$
$\frac{2 x + 1}{x ^{2} - 9}$

Corrigé

A $=$
$x \neq = - 1$ : $\frac{4 ( x + 1 ) \times ( x + 1 )}{4 ( x + 1 ) \times 2} = \frac{x + 1}{2}$
B $=$
$x \neq = 5$ : $\frac{( 5 - x ) ( 5 + x )}{x - 5} = \frac{- ( x - 5 ) ( x + 5 )}{x - 5}$ , donc B=-(x+5).
C $=$
$x \neq = - 2$ et $x \neq = 2$ :

$C$
$= \frac{( x + 2 ) ^{2} - ( x - 2 ) ^{2}}{( x - 2 ) ( x + 2 )}$
$C$
$= \frac{x ^{2} + 4 x + 4 - ( x ^{2} - 4 x + 4 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )}$
$C$
$= \frac{8 x}{( x - 2 ) ( x + 2 )}$
D $=$
$x \neq = - 4$ et $x \neq = - 1$ :

$D$
$= \frac{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 4 ) ( x + 4 )}{( x + 4 ) ( x + 1 )}$
$D$
$= (x - 1) (x - 4)$
E $=$
$x^{2} + 3 x = x (x + 3)$ ; on divise par $\frac{x + 2}{x + 3}$ , qui doit exister et être non nul : $x \neq = 0$ , $x \neq = - 3$ et $x \neq = - 2$ .

$E$
$= \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x ( x + 3 )} \times \frac{x + 3}{x + 2}$
$E$
$= \frac{x - 2}{x}$
F $=$
$x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ : valeurs interdites $- 3$ et $3$ ; le numérateur n'a pas de facteur commun avec le dénominateur, pas de simplification.

→ En B, $25 - x^{2}$ et $x - 5$ sont « à l'envers » : $5 - x = - (x - 5)$ . En E, le diviseur ajoute la valeur interdite $- 2$ .