Chapitre 1 — Fractions et puissances · coursI Nombres relatifs et priorités

Sommaire du chapitre

I — Nombres relatifs et priorités
- Méthode 1 — Calculer avec des nombres relatifs
- Méthode 2 — Respecter les priorités de calcul
II — Additionner et soustraire des fractions
- Méthode 3 — Additionner et soustraire des fractions
III — Multiplier et diviser des fractions
- Méthode 4 — Multiplier et diviser des fractions
- Méthode 5 — Simplifier avant de calculer
IV — Fractions et priorités de calcul
- Méthode 6 — Mener un calcul avec des fractions
V — Produit en croix
- Méthode 7 — Résoudre une équation par le produit en croix
- Méthode 8 — Résoudre une équation à plusieurs fractions
VI — Fractions et problèmes
- Méthode 9 — Résoudre un problème de fractions
VII — Puissances
- Méthode 10 — Calculer avec des puissances
- Méthode 11 — Passer d'un exposant négatif à une fraction
VIII — Règles de calcul sur les puissances
- Méthode 12 — Simplifier avec les règles sur les puissances
IX — Notation scientifique
- Méthode 13 — Écrire un nombre en notation scientifique

Définition 1 — Les sens du signe moins

Le signe $-$ a trois sens :

une soustraction : $9 - 2$ se lit « neuf moins deux » ;
un nombre négatif : $- 6$ se lit « moins six » ;
l'opposé : $- (- 4)$ se lit « l'opposé de moins quatre », et vaut $4$ .

Propriété 1 — Règles des signes

Somme

deux nombres de même signe : on ajoute leurs distances à zéro et on garde le signe : $- 5 - 3 = - 8$ ;
de signes contraires : on soustrait les distances à zéro, le signe est celui du plus éloigné de zéro : $- 5 + 3 = - 2$ .

Produit et quotient

deux nombres de même signe : le résultat est positif : $(- 5) \times (- 3) = 15$ ;
de signes contraires : le résultat est négatif : $(- 6) \div 3 = - 2$ .

Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé : $4 - (- 7) = 4 + 7$ .

Méthode 1 — Calculer avec des nombres relatifs

Exemples corrigés

Calculer :

a)
$A = - 7 - 9$
b)
$B = 15 - (- 6)$
c)
$C = 3 \times (- 8)$
d)
$D = \frac{- ( - 18 )}{- 6}$

Correction

A

= - 7 - 9

deux nombres négatifs : on ajoute

7

9

A

= - 16

B

= 15 - (- 6)

on recopie

B

= 15 + 6

soustraire

- 6

, c'est ajouter

6

B

= 21

C

= 3 \times (- 8)

signes contraires : le produit est négatif

C

= - 24

D

= \frac{- ( - 18 )}{- 6}

on recopie

D

= \frac{18}{- 6}

l'opposé de

- 18

est

18

D

= - 3

signes contraires : le quotient est négatif

À vous de jouer

Calculer :

E = - 5 - 12

F = 8 - (- 14)

G = - 4 \times (- 9)

H = \frac{- ( - 35 )}{- 7}

I = - 6 - (- 10)

Correction

E

= - 5 - 12

deux nombres négatifs : on ajoute

5

12

E

= - 17

F

= 8 - (- 14)

on recopie

F

= 8 + 14

soustraire

- 14

, c'est ajouter

14

F

= 22

G

= - 4 \times (- 9)

même signe : le produit est positif

G

= 36

H

= \frac{- ( - 35 )}{- 7}

on recopie

H

= \frac{35}{- 7}

l'opposé de

- 35

est

35

H

= - 5

signes contraires : le quotient est négatif

I

= - 6 - (- 10)

on recopie

I

= - 6 + 10

soustraire

- 10

, c'est ajouter

10

I

= 4

Propriété 2 — Priorités de calcul

On effectue, dans cet ordre :

1.
les calculs entre parenthèses, en commençant par les plus intérieures ;
2.
les puissances ;
3.
les multiplications et divisions, de gauche à droite ;
4.
les additions et soustractions, de gauche à droite.

Méthode 2 — Respecter les priorités de calcul

Exemples corrigés

Calculer, en écrivant une étape par ligne :

a)
$A = 6^{2} - 5 \times (- 3)$
b)
$B = - 8 - 2^{4}$
c)
$C = 7 + (- 10 + 4) \times 3$
d)
$D = - 24 \div (- 4) \times 3^{2}$

Correction

A

= 6^{2} - 5 \times (- 3)

on recopie

A

= 36 - (- 15)

la puissance, puis le produit

A

= 51

soustraire

- 15

, c'est ajouter

15

B

= - 8 - 2^{4}

la puissance passe avant la soustraction

B

= - 8 - 16

2^{4} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16

B

= - 24

C

= 7 + (- 10 + 4) \times 3

la parenthèse d'abord

C

= 7 + (- 6) \times 3

puis le produit

C

= 7 - 18

C

= - 11

D

= - 24 \div (- 4) \times 3^{2}

la puissance d'abord

D

= - 24 \div (- 4) \times 9

division et produit : de gauche à droite

D

= 6 \times 9

(- 24) \div (- 4) = 6

D

= 54

À vous de jouer

Calculer :

E = 4^{2} - 2 \times (- 7)

F = - 12 - 3^{2}

G = 9 + (- 6 + 1) \times 2

H = - 30 \div (- 5) \times 2^{3}

Correction

E

= 4^{2} - 2 \times (- 7)

on recopie

E

= 16 - (- 14)

la puissance, puis le produit

E

= 30

soustraire

- 14

, c'est ajouter

14

F

= - 12 - 3^{2}

la puissance passe avant la soustraction

F

= - 12 - 9

F

= - 21

G

= 9 + (- 6 + 1) \times 2

la parenthèse d'abord

G

= 9 + (- 5) \times 2

puis le produit

G

= 9 - 10

G

= - 1

H

= - 30 \div (- 5) \times 2^{3}

la puissance d'abord

H

= - 30 \div (- 5) \times 8

division et produit : de gauche à droite

H

= 6 \times 8

(- 30) \div (- 5) = 6

H

= 48

À faire : exercices 1 à 3

Exercice 1 — Calculs sur les relatifs

Calculer :

$A = - 9 - 7$	$B = 14 - (- 11)$
$C = - 6 \times 7$	$D = (- 8) \times (- 5)$
$E = \frac{- ( - 27 )}{- 9}$	$F = - 13 + (- 4)$

Corrigé

A = - 16

B = 14 + 11 = 25

C = - 42

D = 40

E = \frac{27}{- 9} = - 3

F = - 13 - 4 = - 17

Soustraire $- 11$ , c'est ajouter $11$ ; deux facteurs négatifs donnent un produit positif.

Exercice 2 — Priorités de calcul

Calculer en respectant les priorités :

$A = 8^{2} - 3 \times (- 6)$	$B = - 7 - 4^{2}$
$C = 6 + (- 9 + 5) \times 4$	$D = - 36 \div (- 4) \times 2^{2}$

Corrigé

A

= 64 - (- 18)

A

= 82

B

= - 7 - 16

B

= - 23

C

= 6 + (- 4) \times 4

C

= 6 - 16 = - 10

D

= - 36 \div (- 4) \times 4

D

= 9 \times 4 = 36

Dans $B$ , la puissance passe avant la soustraction. Dans $D$ , division et produit se font de gauche à droite.

Exercice 3 — Parenthèses

Calculer en respectant les priorités :

$A = 20 - 4 \times (3 - 8)$	$B = 5 \times (- 3) + 2^{3}$
$C = - 48 \div (2 \times (- 3))$	$D = 3 - 2 \times (5 - (1 - 6))$

Corrigé

A

= 20 - 4 \times (- 5)

A

= 20 + 20 = 40

B

= - 15 + 8 = - 7

C

= - 48 \div (- 6) = 8

D

= 3 - 2 \times (5 + 5)

D

= 3 - 20 = - 17

Dans $D$ , on commence par la parenthèse la plus intérieure : $1 - 6 = - 5$ , puis $5 - (- 5) = 10$ .