Chapitre 1 — Fractions et puissances · coursVII Puissances

Sommaire du chapitre

I — Nombres relatifs et priorités
- Méthode 1 — Calculer avec des nombres relatifs
- Méthode 2 — Respecter les priorités de calcul
II — Additionner et soustraire des fractions
- Méthode 3 — Additionner et soustraire des fractions
III — Multiplier et diviser des fractions
- Méthode 4 — Multiplier et diviser des fractions
- Méthode 5 — Simplifier avant de calculer
IV — Fractions et priorités de calcul
- Méthode 6 — Mener un calcul avec des fractions
V — Produit en croix
- Méthode 7 — Résoudre une équation par le produit en croix
- Méthode 8 — Résoudre une équation à plusieurs fractions
VI — Fractions et problèmes
- Méthode 9 — Résoudre un problème de fractions
VII — Puissances
- Méthode 10 — Calculer avec des puissances
- Méthode 11 — Passer d'un exposant négatif à une fraction
VIII — Règles de calcul sur les puissances
- Méthode 12 — Simplifier avec les règles sur les puissances
IX — Notation scientifique
- Méthode 13 — Écrire un nombre en notation scientifique

Définition 2 — Puissance d'un nombre

Pour un nombre $a$ et un entier $n ⩾ 1$ :

a^{n} = n facteurs a \times a \times \dots \times a

a^{0} = 1

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}} (a \neq = 0)

Un exposant positif compte des multiplications, un exposant négatif des divisions : $5^{- 2} = \frac{1}{5 \times 5} = \frac{1}{25}$ .

En particulier, $a^{- 1} = \frac{1}{a}$ : $a^{- 1}$ est l'inverse de $a$ .

Définition 3 — Puissances de 10

$1 0^{n} = 1 n z \overset{e}{ˊ} ros 0 \dots 0$ et $1 0^{- n} = \frac{1}{1 0 ^{n}} = 0, n - 1 z \overset{e}{ˊ} ros 0 \dots 0 1$ ( $n$ chiffres après la virgule).

Exemples : $1 0^{6} = 1000000$ ; $1 0^{- 4} = 0, 0001$ .

Méthode 10 — Calculer avec des puissances

Exemples corrigés

Calculer :

a)
$A = (3^{2} - 4) \times (- 1)^{7}$
b)
$B = (- 2)^{3} + (- 3)^{2} \times (- 2)$
c)
$C = - 3^{2} + (- 3)^{2} - (- 3)^{3}$

Correction

A

= (9 - 4) \times (- 1)

3^{2} = 9

; exposant

7

impair :

(- 1)^{7} = - 1

A

= 5 \times (- 1)

A

= - 5

B

= - 8 + 9 \times (- 2)

(- 2)^{3} = - 8

(impair) ;

(- 3)^{2} = 9

(pair)

B

= - 8 - 18

le produit avant la somme

B

= - 26

C

= - 9 + 9 - (- 27)

- 3^{2} = - 9

: sans parenthèses, le carré ne porte que sur

3

C

= - 9 + 9 + 27

C

= 27

À vous de jouer

Calculer :

D = (2^{3} - 5) \times (- 1)^{6}

E = (- 1)^{9} + (- 2)^{4} \times (- 3)

F = (- 6)^{2} - 6^{2} + (- 2)^{3}

Correction

D

= (8 - 5) \times 1

2^{3} = 8

; exposant

6

pair :

(- 1)^{6} = 1

D

= 3

E

= - 1 + 16 \times (- 3)

(- 1)^{9} = - 1

(impair) ;

(- 2)^{4} = 16

(pair)

E

= - 1 - 48

le produit avant la somme

E

= - 49

F

= 36 - 36 + (- 8)

(- 6)^{2} = 36

;

6^{2} = 36

;

(- 2)^{3} = - 8

F

= - 8

Méthode 11 — Passer d'un exposant négatif à une fraction

Exemples corrigés

a)
Écrire sous forme de fraction : $A = (- 3)^{- 2}$ et $B = - 4^{- 2}$ .
b)
Écrire sous la forme $a^{n}$ : $C = \frac{1}{9}$ , $D = \frac{1}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}$ et $E = \frac{1}{( - 4 ) \times ( - 4 ) \times ( - 4 )}$ .

Correction

A

= \frac{1}{( - 3 ) ^{2}}

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

A

= \frac{1}{9}

exposant pair :

(- 3)^{2} = 9

B

= - \frac{1}{4 ^{2}}

sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur

4

B

= - \frac{1}{16}

C

= \frac{1}{9 ^{1}} = 9^{- 1}

l'inverse de

9

D

= \frac{1}{2 ^{7}} = 2^{- 7}

7

facteurs égaux à

2

E

= \frac{1}{( - 4 ) ^{3}} = (- 4)^{- 3}

on garde les parenthèses : le moins fait partie du nombre

À vous de jouer

1°)
Écrire sous forme de fraction : $F = (- 2)^{- 3}$ $G = - 3^{- 2}$ $H = (\frac{1}{5})^{- 1}$
2°)
Écrire sous la forme $a^{n}$ : $I = \frac{1}{6}$ $J = \frac{1}{5 \times 5 \times 5 \times 5}$ $K = \frac{1}{( - 7 ) \times ( - 7 )}$

Correction

1°)

F

= \frac{1}{( - 2 ) ^{3}}

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

F

= \frac{1}{- 8} = - \frac{1}{8}

exposant impair :

(- 2)^{3} = - 8

G

= - \frac{1}{3 ^{2}}

sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur

3

G

= - \frac{1}{9}

H

= \frac{1}{\frac{1}{5}}

l'exposant

- 1

donne l'inverse

H

= 5

l'inverse de

\frac{1}{5}

est

5

2°)

I

= \frac{1}{6 ^{1}} = 6^{- 1}

l'inverse de

6

J

= \frac{1}{5 ^{4}} = 5^{- 4}

4

facteurs égaux à

5

K

= \frac{1}{( - 7 ) ^{2}} = (- 7)^{- 2}

on garde les parenthèses : le moins fait partie du nombre

À faire : exercices 24 à 29

Exercice 24 — Calculer des puissances

Calculer :

$A = 3^{4}$	$B = (- 2)^{4}$
$C = 4^{- 2}$	$D = (- 3)^{- 3}$
$E = 1 0^{- 3}$	$F = 2 5^{0}$
$G = 7^{- 1}$	$H = (- 9)^{1}$

Corrigé

A = 81

B = 16

C = \frac{1}{4 ^{2}} = \frac{1}{16}

D = \frac{1}{( - 3 ) ^{3}} = - \frac{1}{27}

E = 0, 001

F = 1

G = \frac{1}{7}

H = - 9

$4^{- 2}$ n'est pas négatif : c'est l'inverse de $4^{2}$ .

Exercice 25 — Écriture décimale

Donner l'écriture décimale de :

$A = 1 0^{- 3}$	$B = 1 0^{- 7}$
$C = 1 0^{5}$	$D = 1 0^{0}$

Corrigé

A = 0, 001

B = 0, 0000001

C = 100000

D = 1

Exercice 26 — Puissances et priorités

Calculer :

$A = 2 + 5^{2}$	$B = (2 + 5)^{2}$
$C = 2 - 5^{2}$	$D = 3^{3} + 2^{4}$
$E = 2^{4} \times 3^{2}$	$F = (- 3)^{3} + 2^{5}$

Corrigé

A = 2 + 25 = 27

B = 7^{2} = 49

C = 2 - 25 = - 23

D = 27 + 16 = 43

E = 16 \times 9 = 144

F = - 27 + 32 = 5

$A$ et $B$ : la parenthèse change tout.

Exercice 27 — Puissances et priorités (suite)

Calculer :

$A = (3^{3} - 4^{2}) \times 1 0^{2}$	$B = (- 3)^{2} + 4^{2} \times 1 0^{- 1}$
$C = (- 4)^{2} - 1 0^{2} \div 5^{2}$	$D = 1 0^{2} \times (- 1)^{7} - (- 2)^{5}$

Corrigé

A

= (27 - 16) \times 100 = 1100

B

= 9 + 16 \times 0, 1 = 10, 6

C

= 16 - 100 \div 25 = 12

D

= 100 \times (- 1) - (- 32)

D

= - 100 + 32 = - 68

Exercice 28 — Des calculs plus longs

Calculer :

$A = 20 - 3^{2} \times (6 - 2 \times 4)^{2}$	$B = \frac{5 ^{3} - 5 \times 4 ^{2}}{3 ^{4} - 6 \times 3 ^{2}}$
$C = \frac{6 \times 7 - 2 ^{5}}{5 \times 2 ^{3} - ( 3 \times 2 ) ^{2}}$

Corrigé

A

= 20 - 9 \times (- 2)^{2}

A

= 20 - 36 = - 16

B

= \frac{125 - 80}{81 - 54} = \frac{45}{27}

B

= \frac{5}{3}

C

= \frac{42 - 32}{40 - 36} = \frac{10}{4}

C

= \frac{5}{2}

Exercice 29 — Des résultats en fraction

Écrire sous forme de fraction simplifiée :

$A = (- 3)^{- 2} + 2 \times 1 0^{- 1}$	$B = \frac{3 ^{2} - ( - 2 ) ^{3}}{1 0 ^{- 1}}$
$C = 2^{- 2} - 1 0^{- 1}$	$D = (2^{5} - 4^{2}) \times (- 4)^{- 2}$

Corrigé

A

= \frac{1}{9} + \frac{2}{10} = \frac{5}{45} + \frac{9}{45}

A

= \frac{14}{45}

B

= \frac{9 + 8}{\frac{1}{10}} = 17 \times 10 = 170

C

= \frac{1}{4} - \frac{1}{10} = \frac{5}{20} - \frac{2}{20}

C

= \frac{3}{20}

D

= 16 \times \frac{1}{16} = 1