Chapitre 1 — Fractions et puissances · coursVIII Règles de calcul sur les puissances

Sommaire du chapitre

Pour $a$ et $b$ non nuls, $n$ et $p$ entiers relatifs :

a^{n} \times a^{p} = a^{n + p} \frac{a ^{n}}{a ^{p}} = a^{n - p} (a^{n})^{p} = a^{n \times p} (a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n} (\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}} exemple : 5^{4} \times 5^{- 6} = 5^{4 + (- 6)} = 5^{- 2} exemple : \frac{( - 2 ) ^{9}}{( - 2 ) ^{4}} = (- 2)^{9 - 4} = (- 2)^{5} exemple : (4^{3})^{5} = 4^{3 \times 5} = 4^{15} exemple : (3 x)^{2} = 3^{2} \times x^{2} = 9 x^{2} exemple : (\frac{3}{5})^{2} = \frac{3 ^{2}}{5 ^{2}} = \frac{9}{25}

Simplifier, puis calculer :

a)
$A = \frac{( 2 ^{2} ) ^{- 3} \times 3}{( 2 \times 3 ) ^{- 2}}$
b)
$B = \frac{3 ^{4} \times 1 0 ^{- 5} \times ( 3 ^{2} ) ^{3} \times ( 1 0 ^{- 1} ) ^{2}}{3 ^{8} \times 1 0 ^{- 4}}$

Correction

A

= \frac{2 ^{- 6} \times 3 ^{1}}{2 ^{- 2} \times 3 ^{- 2}}

(2^{2})^{- 3} = 2^{- 6}

;

(2 \times 3)^{- 2} = 2^{- 2} \times 3^{- 2}

A

= 2^{- 6 - (- 2)} \times 3^{1 - (- 2)}

chaque base à part ; on soustrait les exposants

A

= 2^{- 4} \times 3^{3}

- 6 + 2 = - 4

1 + 2 = 3

A

= \frac{27}{16}

2^{- 4} = \frac{1}{16}

B

= \frac{3 ^{4} \times 3 ^{6} \times 1 0 ^{- 5} \times 1 0 ^{- 2}}{3 ^{8} \times 1 0 ^{- 4}}

(3^{2})^{3} = 3^{6}

;

(1 0^{- 1})^{2} = 1 0^{- 2}

B

= \frac{3 ^{10} \times 1 0 ^{- 7}}{3 ^{8} \times 1 0 ^{- 4}}

on ajoute les exposants des produits

B

= 3^{2} \times 1 0^{- 3}

10 - 8 = 2

- 7 - (- 4) = - 3

B

= 9 \times 1 0^{- 3}

soit

0, 009

Simplifier, puis calculer :

C = \frac{( 3 ^{2} ) ^{- 2} \times 2}{( 3 \times 2 ) ^{- 3}}

D = \frac{2 ^{5} \times 1 0 ^{- 4}}{2 ^{3} \times 1 0 ^{- 6}}

E = \frac{a ^{4} \times ( a ^{- 3} ) ^{2}}{( a ^{2} ) ^{3}} (a \neq = 0)

Correction

C

= \frac{3 ^{- 4} \times 2 ^{1}}{3 ^{- 3} \times 2 ^{- 3}}

(3^{2})^{- 2} = 3^{- 4}

;

(3 \times 2)^{- 3} = 3^{- 3} \times 2^{- 3}

C

= 3^{- 4 - (- 3)} \times 2^{1 - (- 3)}

chaque base à part ; on soustrait les exposants

C

= 3^{- 1} \times 2^{4}

C

= \frac{16}{3}

3^{- 1} = \frac{1}{3}

2^{4} = 16

D

= 2^{5 - 3} \times 1 0^{- 4 - (- 6)}

chaque base à part

D

= 2^{2} \times 1 0^{2}

D

= 400

E

= \frac{a ^{4} \times a ^{- 6}}{a ^{6}}

(a^{- 3})^{2} = a^{- 6}

(a^{2})^{3} = a^{6}

E

= \frac{a ^{- 2}}{a ^{6}}

4 + (- 6) = - 2

E

= a^{- 8}

- 2 - 6 = - 8

À faire : exercices 30 à 34

Écrire sous la forme $a^{n}$ :

$A = 3^{4} \times 3^{7}$	$B = (- 5)^{3} \times (- 5)^{5}$
$C = 7^{2} \times 7^{- 6}$	$D = x^{3} \times x \times x^{5}$

Corrigé

A = 3^{4 + 7} = 3^{11}

B = (- 5)^{8}

C = 7^{2 - 6} = 7^{- 4}

D = x^{3 + 1 + 5} = x^{9}

$x = x^{1}$ : on n'oublie pas cet exposant.

Écrire sous la forme $a^{n}$ ( $x$ et $y$ sont non nuls) :

Corrigé

A = 6^{5}

B = (- 3)^{3}

C = y^{3}

D = 2^{- 4 - 3} = 2^{- 7}

E = 4^{- 1 - 6} = 4^{- 7}

F = x^{- 5 - (- 9)} = x^{4}

Écrire sous la forme $a^{n}$ ( $x$ et $y$ sont non nuls) :

$A = \frac{3 ^{10} \times 3 ^{4}}{3 ^{5} \times 3 ^{6}}$	$B = \frac{x ^{5}}{x ^{7} \times x ^{4}}$
$C = \frac{2 ^{4} \times 2 ^{7}}{2 ^{3} \times 2 ^{- 2}}$	$D = \frac{( y ^{2} ) ^{5}}{y ^{3} \times y ^{4}}$

Corrigé

A = \frac{3 ^{14}}{3 ^{11}} = 3^{3}

B = \frac{x ^{5}}{x ^{11}} = x^{- 6}

C = \frac{2 ^{11}}{2 ^{1}} = 2^{10}

D = \frac{y ^{10}}{y ^{7}} = y^{3}

Simplifier, puis calculer :

A = \frac{( 5 ^{2} ) ^{- 2} \times 3}{( 5 \times 3 ) ^{- 3}}

B = \frac{3 ^{4} \times 1 0 ^{5} \times 3 ^{- 4} \times 1 0 ^{2}}{( 3 ^{3} ) ^{- 1} \times ( 1 0 ^{2} ) ^{- 4}}

Corrigé

A

= \frac{5 ^{- 4} \times 3 ^{1}}{5 ^{- 3} \times 3 ^{- 3}}

A

= 5^{- 4 - (- 3)} \times 3^{1 - (- 3)}

A

= 5^{- 1} \times 3^{4} = \frac{81}{5}

B

= \frac{3 ^{0} \times 1 0 ^{7}}{3 ^{- 3} \times 1 0 ^{- 8}}

B

= 3^{3} \times 1 0^{15} = 2, 7 \times 1 0^{16}

$3^{4} \times 3^{- 4} = 3^{0} = 1$ ; $(1 0^{2})^{- 4} = 1 0^{- 8}$ .

Simplifier ( $b$ est non nul) :

A = \frac{2 ^{6} \times 1 0 ^{- 3} \times ( 2 ^{3} ) ^{2} \times ( 1 0 ^{- 1} ) ^{4}}{2 ^{10} \times 1 0 ^{- 5}}

B = \frac{b ^{2} \times ( b ^{- 3} ) ^{3}}{( b ^{4} ) ^{2}}

Corrigé

A

= \frac{2 ^{12} \times 1 0 ^{- 7}}{2 ^{10} \times 1 0 ^{- 5}}

A

= 2^{2} \times 1 0^{- 2} = 4 \times 1 0^{- 2}

B

= \frac{b ^{2} \times b ^{- 9}}{b ^{8}} = \frac{b ^{- 7}}{b ^{8}}

B

= b^{- 15}