Chapitre 1 — Fractions et puissances · coursV Produit en croix

Sommaire du chapitre

I — Nombres relatifs et priorités
- Méthode 1 — Calculer avec des nombres relatifs
- Méthode 2 — Respecter les priorités de calcul
II — Additionner et soustraire des fractions
- Méthode 3 — Additionner et soustraire des fractions
III — Multiplier et diviser des fractions
- Méthode 4 — Multiplier et diviser des fractions
- Méthode 5 — Simplifier avant de calculer
IV — Fractions et priorités de calcul
- Méthode 6 — Mener un calcul avec des fractions
V — Produit en croix
- Méthode 7 — Résoudre une équation par le produit en croix
- Méthode 8 — Résoudre une équation à plusieurs fractions
VI — Fractions et problèmes
- Méthode 9 — Résoudre un problème de fractions
VII — Puissances
- Méthode 10 — Calculer avec des puissances
- Méthode 11 — Passer d'un exposant négatif à une fraction
VIII — Règles de calcul sur les puissances
- Méthode 12 — Simplifier avec les règles sur les puissances
IX — Notation scientifique
- Méthode 13 — Écrire un nombre en notation scientifique

Propriété 7 — Produit en croix

Pour $b \neq = 0$ et $d \neq = 0$ : si $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , alors $a \times d = b \times c$ .

Méthode 7 — Résoudre une équation par le produit en croix

Exemples corrigés

Résoudre les équations suivantes :

a)
$\frac{x}{3} = \frac{5}{4}$
b)
$\frac{x}{4} = \frac{x + 3}{6}$
c)
$\frac{x + 3}{2} = \frac{2 x - 1}{3}$
d)
$\frac{2 x + 1}{4} = \frac{3 x - 2}{- 2}$

Correction

4 \times x

= 3 \times 5

produit en croix

4 x

= 15

x

= \frac{15}{4}

on divise par

4

; la fraction reste telle quelle

6 x

= 4 (x + 3)

parenthèses indispensables autour de

x + 3

6 x

= 4 x + 12

on développe

6 x - 4 x

= 12

les

x

à gauche, les nombres à droite

2 x

= 12

x

= 6

3 (x + 3)

= 2 (2 x - 1)

produit en croix

3 x + 9

= 4 x - 2

on développe les deux membres

9 + 2

= 4 x - 3 x

les

x

du côté où il y en a le plus

x

= 11

- 2 (2 x + 1)

= 4 (3 x - 2)

- 2

garde son signe

- 4 x - 2

= 12 x - 8

- 2 + 8

= 12 x + 4 x

6

= 16 x

x

= \frac{6}{16}

x

= \frac{3}{8}

on simplifie par

2

À vous de jouer

Résoudre, puis vérifier :

e) \frac{3}{7} = \frac{x}{14}

f) \frac{3 x}{4} = \frac{7 - x}{2}

g) \frac{2 x + 1}{3} = \frac{x + 4}{2}

h) \frac{3 x - 2}{4} = \frac{5 - x}{8}

i) \frac{5 x + 2}{3} = \frac{4 - x}{- 2}

Correction

7 \times x

= 3 \times 14

produit en croix

7 x

= 42

x

= 6

vérification :

\frac{6}{14} = \frac{3}{7}

2 \times 3 x

= 4 (7 - x)

parenthèses autour de

7 - x

6 x

= 28 - 4 x

10 x

= 28

on ajoute

4 x

x

= \frac{28}{10} = \frac{14}{5}

on simplifie par

2

Vérification :

\frac{3 \times \frac{14}{5}}{4} = \frac{42}{20} = \frac{21}{10}

\frac{7 - \frac{14}{5}}{2} = \frac{21}{10}

2 (2 x + 1)

= 3 (x + 4)

produit en croix

4 x + 2

= 3 x + 12

on développe les deux membres

4 x - 3 x

= 12 - 2

x

= 10

vérification :

\frac{21}{3} = 7

\frac{14}{2} = 7

8 (3 x - 2)

= 4 (5 - x)

produit en croix

24 x - 16

= 20 - 4 x

24 x + 4 x

= 20 + 16

28 x

= 36

x

= \frac{36}{28} = \frac{9}{7}

on simplifie par

4

Vérification :

3 \times \frac{9}{7} - 2 = \frac{13}{7}

, et

\frac{13}{7} \div 4 = \frac{13}{28}

;

5 - \frac{9}{7} = \frac{26}{7}

, et

\frac{26}{7} \div 8 = \frac{13}{28}

- 2 (5 x + 2)

= 3 (4 - x)

- 2

garde son signe

- 10 x - 4

= 12 - 3 x

- 4 - 12

= - 3 x + 10 x

les

x

du côté où il y en a le plus

- 16

= 7 x

x

= - \frac{16}{7}

Vérification : les deux membres valent

- \frac{22}{7}

5 x + 2 = - \frac{66}{7}

4 - x = \frac{44}{7}

À faire : exercices 15 à 17

Exercice 15 — Justifier le produit en croix

Le nombre $x$ vérifie $\frac{3 x - 1}{4} = \frac{x + 3}{2}$ .

1)
Expliquer pourquoi $x$ vérifie aussi $2 \times (3 x - 1) = 4 \times (x + 3)$ .
2)
En déduire la valeur de $x$ .

Corrigé

1) Les deux fractions sont égales, et leurs dénominateurs $4$ et $2$ ne sont pas nuls : d'après le produit en croix, $2 \times (3 x - 1) = 4 \times (x + 3)$ .

6 x - 2

= 4 x + 12

6 x - 4 x

= 12 + 2

2 x

= 14

x

= 7

Vérification : $\frac{20}{4} = 5$ et $\frac{10}{2} = 5$ .

Exercice 16 — Premières équations

Résoudre par le produit en croix :

a) $\frac{x}{4} = \frac{5}{3}$	b) $\frac{4 - x}{3} = \frac{x + 2}{5}$
c) $\frac{2 + x}{- 3} = \frac{5}{6}$	d) $\frac{2 x - 1}{3} = \frac{x + 4}{- 2}$

Corrigé

3 x

= 20

x

= \frac{20}{3}

5 (4 - x)

= 3 (x + 2)

20 - 5 x

= 3 x + 6

14

= 8 x

x

= \frac{14}{8} = \frac{7}{4}

6 (2 + x)

= - 3 \times 5

12 + 6 x

= - 15

6 x

= - 27

x

= - \frac{27}{6} = - \frac{9}{2}

- 2 (2 x - 1)

= 3 (x + 4)

- 4 x + 2

= 3 x + 12

- 10

= 7 x

x

= - \frac{10}{7}

Un dénominateur négatif garde son signe dans le produit en croix.

Exercice 17 — S'entraîner

Résoudre, puis vérifier la solution :

a) $\frac{x}{5} = \frac{3}{8}$	b) $\frac{4}{9} = \frac{x}{6}$
c) $\frac{x + 2}{5} = \frac{2 x - 3}{4}$	d) $\frac{2 x + 1}{3} = \frac{3 x - 2}{4}$

Corrigé

a) $8 x = 15$ , donc $x = \frac{15}{8}$ .

b) $9 x = 24$ , donc $x = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$ .

4 (x + 2)

= 5 (2 x - 3)

4 x + 8

= 10 x - 15

23

= 6 x

x

= \frac{23}{6}

4 (2 x + 1)

= 3 (3 x - 2)

8 x + 4

= 9 x - 6

x

= 10

Vérification de d) : $\frac{21}{3} = 7$ et $\frac{28}{4} = 7$ .

Méthode 8 — Résoudre une équation à plusieurs fractions

Quand un membre contient une somme de fractions, le produit en croix ne s'applique pas : on multiplie chaque terme des deux membres par un dénominateur commun.

Exemples corrigés

Résoudre les équations suivantes :

a)
$x + \frac{x}{3} = 12$
b)
$\frac{t}{4} - \frac{t + 1}{6} = 1$
c)
$\frac{z - 1}{2} - \frac{z - 3}{6} = \frac{2 z + 1}{9}$

Correction

3 \times x + 3 \times \frac{x}{3}

= 3 \times 12

on multiplie chaque terme par

3

x

compris

3 x + x

= 36

4 x

= 36

x

= 9

vérification :

9 + \frac{9}{3} = 9 + 3 = 12

3 t - 2 (t + 1)

= 12

chaque terme

\times 12

; parenthèses à cause du moins

3 t - 2 t - 2

= 12

t

= 14

vérification :

\frac{14}{4} - \frac{15}{6} = 3, 5 - 2, 5 = 1

9 (z - 1) - 3 (z - 3)

= 2 (2 z + 1)

chaque terme

\times 18

18 \div 2 = 9

18 \div 6 = 3

18 \div 9 = 2

9 z - 9 - 3 z + 9

= 4 z + 2

attention :

- 3 \times (- 3) = + 9

6 z

= 4 z + 2

2 z

= 2

z

= 1

À vous de jouer

Résoudre :

d) \frac{x}{3} - \frac{x}{5} = 4

e) \frac{3 t - 1}{2} + \frac{t - 3}{4} = t

f) \frac{y}{2} + \frac{2 y}{3} = \frac{y}{4} + 11

g) \frac{y + 6}{4} = \frac{y - 2}{3} - \frac{y}{6}

h) \frac{3 z + 1}{4} - \frac{5 z - 2}{3} = \frac{1 - 13 z}{12}

Correction

15 \times \frac{x}{3} - 15 \times \frac{x}{5}

= 15 \times 4

chaque terme

\times 15

5 x - 3 x

= 60

2 x

= 60

x

= 30

vérification :

10 - 6 = 4

2 (3 t - 1) + (t - 3)

= 4 t

chaque terme

\times 4

4 \div 2 = 2

6 t - 2 + t - 3

= 4 t

7 t - 5

= 4 t

3 t

= 5

t

= \frac{5}{3}

6 y + 8 y

= 3 y + 132

chaque terme

\times 12

, le

11

compris

14 y - 3 y

= 132

11 y

= 132

y

= 12

vérification :

6 + 8 = 14

3 + 11 = 14

3 (y + 6)

= 4 (y - 2) - 2 y

chaque terme

\times 12

3 y + 18

= 4 y - 8 - 2 y

3 y + 18

= 2 y - 8

y

= - 26

vérification : les deux membres valent

- 5

3 (3 z + 1) - 4 (5 z - 2)

= 1 - 13 z

chaque terme

\times 12

; parenthèses à cause du moins

9 z + 3 - 20 z + 8

= 1 - 13 z

attention :

- 4 \times (- 2) = + 8

- 11 z + 11

= 1 - 13 z

2 z

= - 10

on ajoute

13 z

, on retranche

11

z

= - 5

vérification : les deux membres valent

\frac{11}{2}

À faire : exercices 18 et 19

Exercice 18 — Plusieurs fractions (1)

Résoudre en multipliant chaque terme par un dénominateur commun :

a) $x + \frac{x}{5} = 18$	b) $\frac{x}{3} - \frac{x}{4} = 5$
c) $\frac{t}{3} - \frac{t + 1}{5} = 1$	d) $\frac{3 t - 1}{2} + \frac{t - 2}{3} = 2 t$

Corrigé

a) ( $\times 5$ )

5 x + x

= 90

x

= 15

b) ( $\times 12$ )

4 x - 3 x

= 60

x

= 60

c) ( $\times 15$ )

5 t - 3 (t + 1)

= 15

2 t - 3

= 15

t

= 9

d) ( $\times 6$ )

3 (3 t - 1) + 2 (t - 2)

= 12 t

11 t - 7

= 12 t

t

= - 7

Chaque terme est multiplié, y compris celui sans fraction ( $x$ dans a), $1$ dans c), $2 t$ dans d)).

Exercice 19 — Plusieurs fractions (2)

Résoudre :

a)
$\frac{y}{2} + \frac{3 y}{4} = \frac{y}{3} - 22$
b)
$\frac{y + 7}{3} = \frac{y - 1}{2} - \frac{y}{4}$
c)
$\frac{z - 4}{3} - \frac{z - 6}{12} = \frac{2 z - 15}{9}$
d)
$\frac{3 z + 2}{5} - \frac{2 z - 1}{2} = \frac{3 - 6 z}{10}$

Corrigé

a) ( $\times 12$ )

6 y + 9 y

= 4 y - 264

11 y

= - 264

y

= - 24

b) ( $\times 12$ )

4 (y + 7)

= 6 (y - 1) - 3 y

4 y + 28

= 3 y - 6

y

= - 34

c) ( $\times 36$ )

12 (z - 4) - 3 (z - 6)

= 4 (2 z - 15)

9 z - 30

= 8 z - 60

z

= - 30

d) ( $\times 10$ )

2 (3 z + 2) - 5 (2 z - 1)

= 3 - 6 z

- 4 z + 9

= 3 - 6 z

2 z

= - 6

z

= - 3

Attention aux signes devant les parenthèses : $- 3 \times (- 6) = + 18$ , $- 5 \times (- 1) = + 5$ .