Chapitre 1 — Fractions et puissances · coursVI Fractions et problèmes

Sommaire du chapitre

I — Nombres relatifs et priorités
- Méthode 1 — Calculer avec des nombres relatifs
- Méthode 2 — Respecter les priorités de calcul
II — Additionner et soustraire des fractions
- Méthode 3 — Additionner et soustraire des fractions
III — Multiplier et diviser des fractions
- Méthode 4 — Multiplier et diviser des fractions
- Méthode 5 — Simplifier avant de calculer
IV — Fractions et priorités de calcul
- Méthode 6 — Mener un calcul avec des fractions
V — Produit en croix
- Méthode 7 — Résoudre une équation par le produit en croix
- Méthode 8 — Résoudre une équation à plusieurs fractions
VI — Fractions et problèmes
- Méthode 9 — Résoudre un problème de fractions
VII — Puissances
- Méthode 10 — Calculer avec des puissances
- Méthode 11 — Passer d'un exposant négatif à une fraction
VIII — Règles de calcul sur les puissances
- Méthode 12 — Simplifier avec les règles sur les puissances
IX — Notation scientifique
- Méthode 13 — Écrire un nombre en notation scientifique

Propriété 8 — Fraction d'une quantité

Prendre les $\frac{a}{b}$ de quelque chose, c'est multiplier par $\frac{a}{b}$ : les $\frac{2}{3}$ de $60$ font $\frac{2}{3} \times 60 = 40$ .

Une fraction prise « du reste » porte sur ce qui reste, pas sur le total : on calcule d'abord ce reste.

Méthode 9 — Résoudre un problème de fractions

Exemples corrigés

a)
Un train de $360$ places part de Lille avec les trois quarts de ses places occupées. À Arras, des voyageurs occupent les deux tiers des places restées libres. Combien de places sont encore libres ?
b)
Malo a un forfait mobile de $60$ Go. Il en utilise le quart pour les vidéos, puis les deux cinquièmes de ce qui reste pour les réseaux sociaux. Quelle fraction du forfait lui reste-t-il ? Combien de gigaoctets cela fait-il ?
c)
Une boutique en ligne vend les deux tiers de son stock de casques audio le premier jour des soldes, puis les trois cinquièmes du reste le deuxième jour. Il reste alors $20$ casques. Combien en a-t-elle vendu ?

Correction

occup \overset{e}{ˊ} es \overset{a}{ˋ} Lille

= \frac{3}{4} \times 360 = 270

les

\frac{3}{4}

360

libres

= 360 - 270 = 90

occup \overset{e}{ˊ} es \overset{a}{ˋ} Arras

= \frac{2}{3} \times 90 = 60

les

\frac{2}{3}

du reste, pas du total

encore libres

= 90 - 60 = 30

Il reste

30

places libres.

on relit la question avant de conclure

reste apr \overset{e}{ˋ} s les vid \overset{e}{ˊ} os

= 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

le forfait entier vaut

1

r \overset{e}{ˊ} seaux sociaux

= \frac{2}{5} \times \frac{3}{4}

les

\frac{2}{5}

du reste

r \overset{e}{ˊ} seaux sociaux

= \frac{6}{20} = \frac{3}{10}

reste

= \frac{3 \times 5}{4 \times 5} - \frac{3 \times 2}{10 \times 2}

\frac{3}{4} - \frac{3}{10}

sur le dénominateur

20

reste

= \frac{15}{20} - \frac{6}{20}

reste

= \frac{9}{20}

reste en Go

= \frac{9}{20} \times 60 = 27

Il reste à Malo les

\frac{9}{20}

du forfait, soit

27

Go.

vérification :

15 + 18 + 27 = 60

reste apr \overset{e}{ˋ} s le premier jour

= 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

on travaille sur des fractions du stock

vendu le deuxi \overset{e}{ˋ} me jour

= \frac{3}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{5}

reste le soir

= \frac{1 \times 5}{3 \times 5} - \frac{1 \times 3}{5 \times 3}

\frac{1}{3} - \frac{1}{5}

sur le dénominateur

15

reste le soir

= \frac{5}{15} - \frac{3}{15}

reste le soir

= \frac{2}{15}

Les

\frac{2}{15}

du stock font

20

casques, donc

\frac{1}{15}

en fait

10

et le stock est de

15 \times 10 = 150

casques.

on remonte au total

La boutique en a vendu

150 - 20 = 130

la question porte sur les ventes

À vous de jouer

1°)
Une cuve de $240$ L est remplie aux cinq sixièmes. On en vide les trois quarts. Combien de litres reste-t-il dans la cuve ?
2°)
Sami dépense le quart de ses économies pour un téléphone, puis les deux tiers de ce qui reste pour un vélo. Il lui reste $75$ €. Combien avait-il économisé ?

Correction

1°)

dans la cuve

= \frac{5}{6} \times 240 = 200

les

\frac{5}{6}

240

vid \overset{e}{ˊ}

= \frac{3}{4} \times 200 = 150

les

\frac{3}{4}

de ce qu'elle contient

reste

= 200 - 150 = 50

Il reste

50

L dans la cuve.

on relit la question avant de conclure

2°)

reste apr \overset{e}{ˋ} s le t \overset{e}{ˊ} l \overset{e}{ˊ} phone

= 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

les économies valent

1

v \overset{e}{ˊ} lo

= \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12}

les

\frac{2}{3}

du reste

v \overset{e}{ˊ} lo

= \frac{1}{2}

reste

= \frac{3}{4} - \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{1}{4}

\frac{3}{4} - \frac{2}{4}

\overset{e}{ˊ} conomies

= 75 \times 4 = 300

le quart des économies vaut

75

€

Sami avait économisé

300

€.

vérification :

75 + 150 + 75 = 300

À faire : exercices 20 à 23

Exercice 20 — Fraction d'une quantité

Calculer :

a)
les trois quarts de $120$ € ;
b)
les deux cinquièmes de $35$ kg ;
c)
les cinq sixièmes de $90$ min ;
d)
les deux tiers des trois quarts des $48$ élèves d'un niveau.

Corrigé

\frac{3}{4} \times 120 = 90 €

\frac{2}{5} \times 35 = 14 kg

\frac{5}{6} \times 90 = 75 min

\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times 48 = 24

En d), on peut calculer $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ d'abord.

Exercice 21 — Le festival

Un festival peut accueillir $1200$ spectateurs. Les cinq sixièmes des places sont vendues en prévente, puis les trois quarts des places restantes sur place. Combien de places restent invendues ?

Corrigé

pr \overset{e}{ˊ} vente

= \frac{5}{6} \times 1200 = 1000

restantes

= 1200 - 1000 = 200

sur place

= \frac{3}{4} \times 200 = 150

invendues

= 200 - 150 = 50

Les $\frac{3}{4}$ portent sur les places restantes, pas sur les $1200$ .

Exercice 22 — L'anniversaire de Lina

Lina reçoit $120$ € pour son anniversaire. Elle en dépense le tiers en jeux vidéo, puis les trois huitièmes de ce qui lui reste en vêtements.

a)
Quelle fraction de la somme reçue lui reste-t-il ?
b)
Combien a-t-elle dépensé pour chaque achat ? Combien lui reste-t-il ?

Corrigé

reste

= 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

v \overset{e}{ˆ} tements

= \frac{3}{8} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{4}

reste final

= \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12}

b) Jeux vidéo : $\frac{1}{3} \times 120 = 40 €$ ; vêtements : $\frac{1}{4} \times 120 = 30 €$ ; il reste $\frac{5}{12} \times 120 = 50 €$ .

Vérification : $40 + 30 + 50 = 120$ .

Exercice 23 — Le budget d'une association

Une association consacre les deux cinquièmes de son budget annuel au matériel, puis les trois quarts de ce qui reste aux sorties. Il reste alors $270$ € pour les frais de fonctionnement.

a)
Quelle fraction du budget représentent les sorties ? les frais de fonctionnement ?
b)
Quel est le budget annuel de l'association ?

Corrigé

reste

= 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}

sorties

= \frac{3}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{20}

frais

= \frac{3}{5} - \frac{9}{20} = \frac{12}{20} - \frac{9}{20}

frais

= \frac{3}{20}

b) Les $\frac{3}{20}$ du budget font $270$ €, donc $\frac{1}{20}$ fait $90$ € et le budget est de $20 \times 90 = 1800 €$ .

Vérification : matériel $720$ €, sorties $810$ €, frais $270$ € ; total $1800$ €.