Chapitre 1 — Fractions et puissances · coursIII Multiplier et diviser des fractions

Sommaire du chapitre

I — Nombres relatifs et priorités
- Méthode 1 — Calculer avec des nombres relatifs
- Méthode 2 — Respecter les priorités de calcul
II — Additionner et soustraire des fractions
- Méthode 3 — Additionner et soustraire des fractions
III — Multiplier et diviser des fractions
- Méthode 4 — Multiplier et diviser des fractions
- Méthode 5 — Simplifier avant de calculer
IV — Fractions et priorités de calcul
- Méthode 6 — Mener un calcul avec des fractions
V — Produit en croix
- Méthode 7 — Résoudre une équation par le produit en croix
- Méthode 8 — Résoudre une équation à plusieurs fractions
VI — Fractions et problèmes
- Méthode 9 — Résoudre un problème de fractions
VII — Puissances
- Méthode 10 — Calculer avec des puissances
- Méthode 11 — Passer d'un exposant négatif à une fraction
VIII — Règles de calcul sur les puissances
- Méthode 12 — Simplifier avec les règles sur les puissances
IX — Notation scientifique
- Méthode 13 — Écrire un nombre en notation scientifique

Propriété 5 — Produit et quotient

Pour $b$ , $c$ et $d$ non nuls :

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}

Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse.

Méthode 4 — Multiplier et diviser des fractions

Exemples corrigés

Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée :

a)
$A = \frac{3}{- 4} \times \frac{- 5}{7}$
b)
$B = 6 \times \frac{4}{5}$
c)
$C = \frac{5}{6} \div \frac{- 10}{9}$

Correction

A

= \frac{3}{- 4} \times \frac{- 5}{7}

deux signes moins : le résultat est positif

A

= \frac{3 \times 5}{4 \times 7}

numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux

A

= \frac{15}{28}

B

= \frac{6}{1} \times \frac{4}{5}

un entier est une fraction de dénominateur

1

B

= \frac{24}{5}

C

= \frac{5}{6} \times \frac{9}{- 10}

on multiplie par l'inverse de

\frac{- 10}{9}

C

= - \frac{5 \times 3 \times 3}{2 \times 3 \times 2 \times 5}

un seul signe moins ; on décompose sans effectuer

C

= - \frac{5 \times 3 \times 3}{2 \times 3 \times 2 \times 5}

on barre

5

3

, en haut et en bas

C

= - \frac{3}{4}

À vous de jouer

Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée :

D = \frac{2}{- 7} \times \frac{- 3}{5}

E = 4 \times \frac{2}{9}

F = \frac{3}{10} \div \frac{- 9}{5}

G = \frac{- 4}{9} \div 8

Correction

D

= \frac{2}{- 7} \times \frac{- 3}{5}

deux signes moins : le résultat est positif

D

= \frac{2 \times 3}{7 \times 5}

numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux

D

= \frac{6}{35}

E

= \frac{4}{1} \times \frac{2}{9}

un entier est une fraction de dénominateur

1

E

= \frac{8}{9}

F

= \frac{3}{10} \times \frac{5}{- 9}

on multiplie par l'inverse de

\frac{- 9}{5}

F

= - \frac{3 \times 5}{2 \times 5 \times 3 \times 3}

un seul signe moins ; on décompose sans effectuer

F

= - \frac{3 \times 5}{2 \times 5 \times 3 \times 3}

on barre

3

5

, en haut et en bas

F

= - \frac{1}{6}

G

= \frac{- 4}{9} \times \frac{1}{8}

diviser par

8

, c'est multiplier par

\frac{1}{8}

G

= - \frac{4}{9 \times 2 \times 4}

8 = 2 \times 4

G

= - \frac{4}{9 \times 2 \times 4}

on barre le

4

: il reste

1

en haut

G

= - \frac{1}{18}

Méthode 5 — Simplifier avant de calculer

Exemples corrigés

Simplifier, puis calculer :

a)
$A = \frac{- 9 \times 10}{6 \times 25}$
b)
$B = \frac{3 \times ( - 4 ) \times ( - 5 )}{( - 6 ) \times 7}$
c)
$C = \frac{- 2 + 9}{5 + 9}$
d)
$D = \frac{28}{15} \times \frac{25}{14}$
e)
$E = \frac{6 \times 5}{10 \times 9}$

Correction

A

= - \frac{9 \times 10}{6 \times 25}

un seul signe moins : le résultat est négatif

A

= - \frac{3 \times 3 \times 2 \times 5}{2 \times 3 \times 5 \times 5}

on décompose chaque nombre

A

= - \frac{3 \times 3 \times 2 \times 5}{2 \times 3 \times 5 \times 5}

on barre

3

2

et un

5

A

= - \frac{3}{5}

B

= - \frac{3 \times 4 \times 5}{6 \times 7}

trois signes moins : le résultat est négatif

B

= - \frac{3 \times 2 \times 2 \times 5}{2 \times 3 \times 7}

4 = 2 \times 2

6 = 2 \times 3

B

= - \frac{3 \times 2 \times 2 \times 5}{2 \times 3 \times 7}

on barre

3

et un

2

B

= - \frac{10}{7}

C

= \frac{- 2 + 9}{5 + 9}

ce sont des sommes : on calcule d'abord

C

= \frac{7}{14}

C

= \frac{1}{2}

on simplifie par

7

D

= \frac{28 \times 25}{15 \times 14}

on n'effectue pas les produits

D

= \frac{2 \times 14 \times 5 \times 5}{3 \times 5 \times 14}

on décompose

D

= \frac{2 \times 14 \times 5 \times 5}{3 \times 5 \times 14}

on barre

14

et un

5

D

= \frac{10}{3}

puis on calcule

E

= \frac{6 \times 5}{10 \times 9}

on recopie

E

= \frac{1 \times 2 \times 3 \times 5}{2 \times 5 \times 3 \times 3}

tout le numérateur va être barré : on écrit le facteur

1

E

= \frac{1 \times 2 \times 3 \times 5}{2 \times 5 \times 3 \times 3}

il reste

1

en haut, et non

0

E

= \frac{1}{3}

À vous de jouer

Simplifier, puis calculer :

F = \frac{- 8 \times 15}{12 \times 10}

G = \frac{6 + 4}{5 + 4}

H = \frac{5 \times ( - 2 ) \times 3}{3 \times 5}

I = \frac{21}{20} \times \frac{8}{35}

J = \frac{18}{35} \times \frac{14}{27} \times \frac{5}{4}

Correction

F

= - \frac{8 \times 15}{12 \times 10}

un seul signe moins : le résultat est négatif

F

= - \frac{2 \times 4 \times 3 \times 5}{3 \times 4 \times 2 \times 5}

on décompose chaque nombre

F

= - \frac{2 \times 4 \times 3 \times 5}{3 \times 4 \times 2 \times 5}

tout se simplifie

F

= - 1

G

= \frac{6 + 4}{5 + 4}

ce sont des sommes : on ne barre pas le

4

G

= \frac{10}{9}

H

= - \frac{5 \times 2 \times 3}{3 \times 5}

un seul signe moins

H

= - \frac{5 \times 2 \times 3}{3 \times 5}

on barre

5

3

H

= - 2

I

= \frac{21 \times 8}{20 \times 35}

on n'effectue pas les produits

I

= \frac{3 \times 7 \times 2 \times 4}{4 \times 5 \times 5 \times 7}

on décompose

I

= \frac{3 \times 7 \times 2 \times 4}{4 \times 5 \times 5 \times 7}

on barre

7

4

I

= \frac{6}{25}

J

= \frac{18 \times 14 \times 5}{35 \times 27 \times 4}

J

= \frac{2 \times 9 \times 2 \times 7 \times 5}{5 \times 7 \times 3 \times 9 \times 2 \times 2}

18 = 2 \times 9

14 = 2 \times 7

35 = 5 \times 7

27 = 3 \times 9

J

= \frac{2 \times 9 \times 2 \times 7 \times 5}{5 \times 7 \times 3 \times 9 \times 2 \times 2}

il ne reste que le

3

en bas

J

= \frac{1}{3}

À faire : exercices 8 à 11

Exercice 8 — Simplifier avant de calculer

Simplifier, puis calculer, sans effectuer les produits :

$A = \frac{- 4 \times 9}{6 \times 10}$	$B = \frac{24 \times ( - 35 )}{( - 21 ) \times 10}$
$C = \frac{26 \times ( - 9 )}{15 \times 39}$	$D = \frac{14 \times ( - 15 )}{( - 10 ) \times 21}$

Corrigé

A

= - \frac{2 \times 2 \times 3 \times 3}{2 \times 3 \times 2 \times 5} = - \frac{3}{5}

B

= \frac{2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 7}{3 \times 7 \times 2 \times 5} = 4

C

= - \frac{2 \times 13 \times 3 \times 3}{3 \times 5 \times 3 \times 13} = - \frac{2}{5}

D

= \frac{1 \times 2 \times 7 \times 3 \times 5}{2 \times 5 \times 3 \times 7} = 1

On fixe d'abord le signe : deux signes moins dans $B$ et $D$ (positif), un seul dans $A$ et $C$ (négatif). Dans $D$ , tout se barre : il reste $1$ , et non $0$ .

Exercice 9 — Simplifier avec des lettres

Simplifier ( $a$ et $b$ sont des nombres non nuls) :

$A = \frac{15 \times 8 \times 14}{35 \times 6 \times 4}$	$B = \frac{3 x \times 20}{4 \times 5}$
$C = \frac{6 a \times 5 b}{10 b \times 9}$	$D = \frac{4 a \times 9}{6 \times 2 a}$

Corrigé

A

= \frac{3 \times 5 \times 2 \times 4 \times 2 \times 7}{5 \times 7 \times 2 \times 3 \times 4} = 2

B

= \frac{3 \times 4 \times 5 \times x}{4 \times 5} = 3 x

C

= \frac{2 \times 3 \times 5 \times a \times b}{2 \times 5 \times b \times 3 \times 3} = \frac{a}{3}

D

= \frac{2 \times 2 \times a \times 3 \times 3}{2 \times 3 \times 2 \times a} = 3

Exercice 10 — Produits

Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée :

$A = \frac{5}{4} \times \frac{- 3}{7}$	$B = \frac{- 2}{5} \times \frac{4}{3}$
$C = - 5 \times \frac{3}{8}$	$D = \frac{- 7}{- 3} \times \frac{2}{- 5}$
$E = \frac{- 4}{5} \times \frac{- 4}{9}$	$F = \frac{3}{- 8} \times \frac{- 5}{- 7}$

Corrigé

A = - \frac{15}{28}

B = - \frac{8}{15}

C = - \frac{15}{8}

D = \frac{7}{3} \times \frac{- 2}{5} = - \frac{14}{15}

E = \frac{16}{45}

F = - \frac{15}{56}

$F$ compte trois signes moins : le produit est négatif.

Exercice 11 — Quotients

Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée :

$A = \frac{2}{5} \div \frac{3}{7}$	$B = \frac{5}{4} \div \frac{7}{3}$
$C = \frac{3}{4} \div 6$	$D = 6 \div \frac{- 2}{5}$
$E = \frac{4}{9} \div \frac{- 5}{2}$	$F = 3 \div \frac{- 4}{7}$

Corrigé

A

= \frac{2}{5} \times \frac{7}{3} = \frac{14}{15}

B

= \frac{5}{4} \times \frac{3}{7} = \frac{15}{28}

C

= \frac{3}{4} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{8}

D

= 6 \times \frac{5}{- 2} = - 15

E

= \frac{4}{9} \times \frac{2}{- 5} = - \frac{8}{45}

F

= 3 \times \frac{7}{- 4} = - \frac{21}{4}

Diviser par $6$ , c'est multiplier par $\frac{1}{6}$ .