Chapitre 1 — Fractions et puissances · coursII Additionner et soustraire des fractions

Sommaire du chapitre

I — Nombres relatifs et priorités
- Méthode 1 — Calculer avec des nombres relatifs
- Méthode 2 — Respecter les priorités de calcul
II — Additionner et soustraire des fractions
- Méthode 3 — Additionner et soustraire des fractions
III — Multiplier et diviser des fractions
- Méthode 4 — Multiplier et diviser des fractions
- Méthode 5 — Simplifier avant de calculer
IV — Fractions et priorités de calcul
- Méthode 6 — Mener un calcul avec des fractions
V — Produit en croix
- Méthode 7 — Résoudre une équation par le produit en croix
- Méthode 8 — Résoudre une équation à plusieurs fractions
VI — Fractions et problèmes
- Méthode 9 — Résoudre un problème de fractions
VII — Puissances
- Méthode 10 — Calculer avec des puissances
- Méthode 11 — Passer d'un exposant négatif à une fraction
VIII — Règles de calcul sur les puissances
- Méthode 12 — Simplifier avec les règles sur les puissances
IX — Notation scientifique
- Méthode 13 — Écrire un nombre en notation scientifique

Propriété 3 — Le signe d'une fraction

Pour $b \neq = 0$ : $\frac{- a}{b} = \frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}$ et $\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}$ .

On écrit le signe moins d'une fraction au numérateur ou devant le trait de fraction, jamais au dénominateur. Un signe moins devant une fraction s'applique à tout le numérateur : on le met entre parenthèses.

Propriété 4 — Somme de fractions

Pour additionner (ou soustraire) des fractions, on les écrit avec le même dénominateur, puis on additionne (ou on soustrait) les numérateurs ; le dénominateur ne change pas :

\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a + b}{d}

\frac{a}{d} - \frac{b}{d} = \frac{a - b}{d}

Méthode 3 — Additionner et soustraire des fractions

Exemples corrigés

Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée :

a)
$A = \frac{- 7}{- 6} + \frac{- 3}{12}$
b)
$B = \frac{4}{5} - \frac{- 2}{3}$
c)
$C = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

Correction

A

= \frac{- 7}{- 6} + \frac{- 3}{12}

on recopie

A

= \frac{7}{6} - \frac{3}{12}

on simplifie les signes

-

A

= \frac{7 \times 2}{6 \times 2} - \frac{3}{12}

12

est un multiple de

6

A

= \frac{14}{12} - \frac{3}{12}

A

= \frac{11}{12}

on soustrait les numérateurs

B

= \frac{4}{5} - \frac{- 2}{3}

on recopie

B

= \frac{4}{5} + \frac{2}{3}

soustraire

- \frac{2}{3}

, c'est ajouter

\frac{2}{3}

B

= \frac{4 \times 3}{5 \times 3} + \frac{2 \times 5}{3 \times 5}

dénominateur commun :

5 \times 3 = 15

B

= \frac{12}{15} + \frac{10}{15}

B

= \frac{22}{15}

22

15

n'ont pas de diviseur commun

C

= \frac{1}{3} - \frac{1}{6} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}

18

est un multiple de

3

6

9

C

= \frac{1 \times 6}{3 \times 6} - \frac{1 \times 3}{6 \times 3} + \frac{1 \times 2}{9 \times 2} - \frac{1}{18}

tout sur

18

C

= \frac{6}{18} - \frac{3}{18} + \frac{2}{18} - \frac{1}{18}

C

= \frac{4}{18}

6 - 3 + 2 - 1 = 4

C

= \frac{2}{9}

on simplifie par

2

À vous de jouer

Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée :

D = \frac{- 2}{- 3} + \frac{- 5}{6}

E = \frac{5}{6} - \frac{- 3}{4}

F = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{10}

G = 4 - \frac{7}{3}

Correction

D

= \frac{- 2}{- 3} + \frac{- 5}{6}

on recopie

D

= \frac{2}{3} - \frac{5}{6}

on simplifie les signes

-

D

= \frac{2 \times 2}{3 \times 2} - \frac{5}{6}

6

est un multiple de

3

D

= \frac{4}{6} - \frac{5}{6}

D

= - \frac{1}{6}

E

= \frac{5}{6} - \frac{- 3}{4}

on recopie

E

= \frac{5}{6} + \frac{3}{4}

soustraire

- \frac{3}{4}

, c'est ajouter

\frac{3}{4}

E

= \frac{5 \times 2}{6 \times 2} + \frac{3 \times 3}{4 \times 3}

dénominateur commun :

12

E

= \frac{10}{12} + \frac{9}{12}

E

= \frac{19}{12}

F

= \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{10}

20

est un multiple de

2

4

10

F

= \frac{1 \times 10}{2 \times 10} - \frac{1 \times 5}{4 \times 5} + \frac{1 \times 2}{10 \times 2}

F

= \frac{10}{20} - \frac{5}{20} + \frac{2}{20}

F

= \frac{7}{20}

10 - 5 + 2 = 7

G

= \frac{4 \times 3}{1 \times 3} - \frac{7}{3}

4

est une fraction de dénominateur

1

G

= \frac{12}{3} - \frac{7}{3}

G

= \frac{5}{3}

À faire : exercices 4 à 7

Exercice 4 — Même dénominateur

Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée :

$A = \frac{4}{5} + \frac{3}{5}$	$B = \frac{- 2}{9} + \frac{7}{9}$
$C = \frac{5}{7} - \frac{9}{7}$	$D = \frac{- 3}{11} - \frac{- 8}{11}$
$E = \frac{7}{12} + \frac{- 1}{12}$	$F = \frac{- 7}{4} - \frac{5}{4}$

Corrigé

A = \frac{7}{5}

B = \frac{- 2 + 7}{9} = \frac{5}{9}

C = \frac{5 - 9}{7} = - \frac{4}{7}

D = \frac{- 3 + 8}{11} = \frac{5}{11}

E = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

F = \frac{- 12}{4} = - 3

Le dénominateur ne change pas : on n'additionne jamais les dénominateurs.

Exercice 5 — Dénominateurs différents

Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée :

$A = \frac{2}{5} + \frac{3}{4}$	$B = \frac{5}{6} + \frac{1}{4}$
$C = \frac{3}{4} + \frac{1}{6}$	$D = \frac{3}{8} - \frac{5}{6}$
$E = - \frac{2}{3} - \frac{4}{5}$	$F = - \frac{7}{6} + \frac{5}{4}$

Corrigé

A

= \frac{8}{20} + \frac{15}{20} = \frac{23}{20}

B

= \frac{10}{12} + \frac{3}{12} = \frac{13}{12}

C

= \frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \frac{11}{12}

D

= \frac{9}{24} - \frac{20}{24} = - \frac{11}{24}

E

= - \frac{10}{15} - \frac{12}{15} = - \frac{22}{15}

F

= - \frac{14}{12} + \frac{15}{12} = \frac{1}{12}

Pour $B$ , $C$ , $D$ , $F$ , le plus petit dénominateur commun n'est pas le produit des dénominateurs : $12$ est un multiple de $6$ et de $4$ .

Exercice 6 — Avec un nombre entier

Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée :

$A = 3 - \frac{5}{4}$	$B = - 2 - \frac{3}{5}$
$C = - 4 + \frac{17}{6}$	$D = \frac{9}{2} - 4$

Corrigé

A = \frac{12}{4} - \frac{5}{4} = \frac{7}{4}

B = - \frac{10}{5} - \frac{3}{5} = - \frac{13}{5}

C = - \frac{24}{6} + \frac{17}{6} = - \frac{7}{6}

D = \frac{9}{2} - \frac{8}{2} = \frac{1}{2}

Exercice 7 — Avec une lettre

$x$ désigne un nombre. Écrire chaque expression avec une seule fraction :

$A = 3 x - \frac{x}{4}$	$B = \frac{2}{5} x - 3$
$C = 2 - \frac{x - 1}{3}$	$D = \frac{2 x + 1}{3} - x$

Corrigé

A

= \frac{12 x}{4} - \frac{x}{4} = \frac{11 x}{4}

B

= \frac{2 x}{5} - \frac{15}{5} = \frac{2 x - 15}{5}

C

= \frac{6}{3} - \frac{x - 1}{3}

C

= \frac{6 - ( x - 1 )}{3} = \frac{7 - x}{3}

D

= \frac{2 x + 1 - 3 x}{3} = \frac{1 - x}{3}

Dans $C$ , le moins porte sur tout le numérateur : $- (x - 1) = - x + 1$ .