Chapitre 1 — Fractions et puissances · coursIV Fractions et priorités de calcul

Sommaire du chapitre

I — Nombres relatifs et priorités
- Méthode 1 — Calculer avec des nombres relatifs
- Méthode 2 — Respecter les priorités de calcul
II — Additionner et soustraire des fractions
- Méthode 3 — Additionner et soustraire des fractions
III — Multiplier et diviser des fractions
- Méthode 4 — Multiplier et diviser des fractions
- Méthode 5 — Simplifier avant de calculer
IV — Fractions et priorités de calcul
- Méthode 6 — Mener un calcul avec des fractions
V — Produit en croix
- Méthode 7 — Résoudre une équation par le produit en croix
- Méthode 8 — Résoudre une équation à plusieurs fractions
VI — Fractions et problèmes
- Méthode 9 — Résoudre un problème de fractions
VII — Puissances
- Méthode 10 — Calculer avec des puissances
- Méthode 11 — Passer d'un exposant négatif à une fraction
VIII — Règles de calcul sur les puissances
- Méthode 12 — Simplifier avec les règles sur les puissances
IX — Notation scientifique
- Méthode 13 — Écrire un nombre en notation scientifique

Propriété 6 — Fraction de fractions

Pour $b$ , $c$ et $d$ non nuls : $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$ .

Quand le numérateur ou le dénominateur est un calcul, on le calcule à part, puis on divise.

Méthode 6 — Mener un calcul avec des fractions

Exemples corrigés

Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée :

a)
$A = \frac{5}{6} - \frac{- 2}{3} \times \frac{3}{2 ^{2}}$
b)
$B = \frac{- 5}{3 + \frac{3}{2 ^{2}}}$
c)
$C = (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \div (\frac{3}{4} - \frac{1}{6})$
d)
$D = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \div \frac{3}{4} - \frac{1}{6}$

Correction

A

= \frac{5}{6} - \frac{- 2}{3} \times \frac{3}{4}

la puissance :

2^{2} = 4

A

= \frac{5}{6} - \frac{- 6}{12}

puis le produit

A

= \frac{5}{6} + \frac{1}{2}

\frac{- 6}{12} = - \frac{1}{2}

; soustraire un négatif, c'est ajouter

A

= \frac{5}{6} + \frac{1 \times 3}{2 \times 3}

A

= \frac{5}{6} + \frac{3}{6}

A

= \frac{8}{6}

A

= \frac{4}{3}

on simplifie par

2

3 + \frac{3}{2 ^{2}}

= \frac{3 \times 4}{1 \times 4} + \frac{3}{4}

le dénominateur d'abord, à part

3 + \frac{3}{2 ^{2}}

= \frac{12}{4} + \frac{3}{4}

3 + \frac{3}{2 ^{2}}

= \frac{15}{4}

B

= - 5 \times \frac{4}{15}

diviser par

\frac{15}{4}

, c'est multiplier par

\frac{4}{15}

B

= - \frac{5 \times 4}{3 \times 5}

B

= - \frac{5 \times 4}{3 \times 5}

on barre le

5

B

= - \frac{4}{3}

C

= (\frac{1 \times 3}{2 \times 3} + \frac{1 \times 2}{3 \times 2}) \div (\frac{3 \times 3}{4 \times 3} - \frac{1 \times 2}{6 \times 2})

chaque parenthèse à part

C

= (\frac{3}{6} + \frac{2}{6}) \div (\frac{9}{12} - \frac{2}{12})

C

= \frac{5}{6} \div \frac{7}{12}

C

= \frac{5}{6} \times \frac{12}{7}

on multiplie par l'inverse

C

= \frac{5 \times 2 \times 6}{6 \times 7}

C

= \frac{5 \times 2 \times 6}{6 \times 7}

on barre le

6

C

= \frac{10}{7}

D

= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{4}{3} - \frac{1}{6}

sans parenthèses, la division passe en premier

D

= \frac{1}{2} + \frac{4}{9} - \frac{1}{6}

D

= \frac{1 \times 9}{2 \times 9} + \frac{4 \times 2}{9 \times 2} - \frac{1 \times 3}{6 \times 3}

dénominateur commun

18

D

= \frac{9}{18} + \frac{8}{18} - \frac{3}{18}

D

= \frac{14}{18}

D

= \frac{7}{9}

mêmes nombres que

C

, autre résultat

À vous de jouer

Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée :

E = (2 + \frac{1}{3} - \frac{3}{4}) \times (\frac{1}{2} - \frac{2}{3})

F = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{\frac{5}{6} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3}}

G = - \frac{3}{7} \times [(\frac{1}{2} + \frac{5}{4}) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{6})]

H = (\frac{- 3}{4} + \frac{1}{2}) \div (\frac{2}{3} + \frac{5}{- 6})

Correction

$E$

2 + \frac{1}{3} - \frac{3}{4}

= \frac{2 \times 12}{1 \times 12} + \frac{1 \times 4}{3 \times 4} - \frac{3 \times 3}{4 \times 3}

la première parenthèse, à part

2 + \frac{1}{3} - \frac{3}{4}

= \frac{24 + 4 - 9}{12} = \frac{19}{12}

\frac{1}{2} - \frac{2}{3}

= \frac{3}{6} - \frac{4}{6} = - \frac{1}{6}

la seconde

E

= \frac{19}{12} \times (- \frac{1}{6})

E

= - \frac{19}{72}

19

72

n'ont pas de diviseur commun

$F$

\frac{1}{3} + \frac{1}{4}

= \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}

le numérateur, à part

\frac{5}{6} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3}

= \frac{10}{12} - \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{11}{12}

le dénominateur

F

= \frac{7}{12} \times \frac{12}{11}

diviser, c'est multiplier par l'inverse

F

= \frac{7 \times 12}{12 \times 11}

F

= \frac{7}{11}

$G$

\frac{1}{2} + \frac{5}{4}

= \frac{2}{4} + \frac{5}{4} = \frac{7}{4}

les parenthèses d'abord

\frac{1}{3} - \frac{1}{6}

= \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}

\frac{7}{4} - \frac{1}{6}

= \frac{21}{12} - \frac{2}{12} = \frac{19}{12}

puis le crochet

G

= - \frac{3}{7} \times \frac{19}{12}

G

= - \frac{3 \times 19}{7 \times 3 \times 4}

12 = 3 \times 4

G

= - \frac{19}{28}

$H$

\frac{- 3}{4} + \frac{1}{2}

= - \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = - \frac{1}{4}

chaque parenthèse à part

\frac{2}{3} + \frac{5}{- 6}

= \frac{4}{6} - \frac{5}{6} = - \frac{1}{6}

H

= (- \frac{1}{4}) \times (- 6)

l'inverse de

- \frac{1}{6}

est

- 6

H

= \frac{6}{4}

deux signes moins : positif

H

= \frac{3}{2}

on simplifie par

2

À faire : exercices 12 à 14

Exercice 12 — Respecter les priorités

Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée :

$A = \frac{5}{12} - \frac{- 3}{4}$	$B = \frac{7}{10} - \frac{- 2}{5}$
$C = - \frac{5}{6} + \frac{3}{4} - \frac{2}{3}$	$D = \frac{9}{14} + \frac{5}{7} \times \frac{7}{10}$

Corrigé

A

= \frac{5}{12} + \frac{9}{12} = \frac{14}{12}

A

= \frac{7}{6}

B

= \frac{7}{10} + \frac{4}{10} = \frac{11}{10}

C

= - \frac{10}{12} + \frac{9}{12} - \frac{8}{12}

C

= - \frac{9}{12} = - \frac{3}{4}

D

= \frac{9}{14} + \frac{1}{2}

D

= \frac{9}{14} + \frac{7}{14} = \frac{8}{7}

Dans $D$ , le produit d'abord : $\frac{5}{7} \times \frac{7}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ .

Exercice 13 — Parenthèses et lettres

Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée :

$A = \frac{4}{5} (\frac{1}{2} - \frac{1}{4})$	$B = (\frac{2}{3} - \frac{1}{6}) \times (\frac{1}{4} + \frac{1}{2})$
$C = \frac{3 x}{4} - \frac{x - 2}{6}$	$D = \frac{3 x}{4} \times \frac{8}{9} x$

Corrigé

A

= \frac{4}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{5}

B

= \frac{3}{6} \times \frac{3}{4}

B

= \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}

C

= \frac{9 x}{12} - \frac{2 ( x - 2 )}{12}

C

= \frac{9 x - 2 x + 4}{12} = \frac{7 x + 4}{12}

D

= \frac{3 \times 8 \times x \times x}{4 \times 9} = \frac{2 x ^{2}}{3}

Dans $C$ : $- 2 \times (- 2) = + 4$ .

Exercice 14 — Fractions de fractions

Calculer et donner le résultat sous forme simplifiée :

$A = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{6}}$	$B = \frac{\frac{6}{- 35}}{\frac{- 9}{14}}$
$C = \frac{\frac{7}{4}}{- 14}$	$D = \frac{2 - \frac{3}{5}}{\frac{3}{4} - \frac{2}{5}}$

Corrigé

A

= \frac{3}{4} \times \frac{6}{5} = \frac{18}{20}

A

= \frac{9}{10}

B

= \frac{6}{35} \times \frac{14}{9} = \frac{2 \times 3 \times 2 \times 7}{5 \times 7 \times 3 \times 3}

B

= \frac{4}{15}

C

= \frac{7}{4} \times \frac{1}{- 14} = - \frac{1}{8}

Pour $D$ , numérateur et dénominateur à part :

2 - \frac{3}{5}

= \frac{10}{5} - \frac{3}{5} = \frac{7}{5}

\frac{3}{4} - \frac{2}{5}

= \frac{15}{20} - \frac{8}{20} = \frac{7}{20}

D

= \frac{7}{5} \times \frac{20}{7} = 4