Un trinôme du second degré (ou trinôme) est une expression de la forme
P(x)=ax2+bx+couˋa, b, c sont des reˊels, avec a=0.
Un même trinôme peut s'écrire de plusieurs façons : forme développée, forme canonique et forme factorisée (si elle existe). La forme canonique est celle qui montre s'il se factorise et quel est son extremum. Pour l'obtenir, on fait apparaître une identité remarquable.
Théorème 1 — Forme canonique
Tout trinôme P(x)=ax2+bx+c s'écrit, d'une seule façon,
P(x)=a(x−α)2+βavecα=−2abetβ=P(α)
Dans l'exemple, a=1 et b=8 :
α
=−28=−4
β
=P(−4)=16−32+5
β
=−11
on retrouve la forme (x+4)2−11
Méthode 1 — Mettre un trinôme sous forme canonique
Exemples corrigés
Écrire chaque trinôme sous forme canonique.
a)
P(x)=x2−10x+16
b)
Q(x)=2x2+10x+7 (a=1)
c)
R(x)=−x2+6x−11 (a<0)
Correction
a)
P(x)
=x2−10x+16
x2−10x est le début de (x−5)2=x2−10x+25
P(x)
=x2−10x+25−25+16
on ajoute 25 et on le retire
P(x)
=(x−5)2−9
on réduit
α
=−2−10=5
contrôle : α=−2ab
β
=P(5)=25−50+16
et β=P(α)
β
=−9
b)
Q(x)
=2x2+10x+7
on recopie
Q(x)
=2(x2+5x)+7
a=1 : 2 en facteur dans les deux premiers termes
Q(x)
=2[(x+25)2−425]+7
x2+5x est le début de (x+25)2
Q(x)
=2(x+25)2−225+7
on distribue le 2
Q(x)
=2(x+25)2−211
on réduit
α
=−410=−25
contrôle avec α et β
β
=Q(−25)=2×425−25+7
β
=−211
c)
R(x)
=−x2+6x−11
on recopie
R(x)
=−(x2−6x)−11
−1 en facteur : les signes changent dans la parenthèse
R(x)
=−[(x−3)2−9]−11
x2−6x est le début de (x−3)2
R(x)
=−(x−3)2−2
on distribue le « − », puis on réduit
Comme −(x−3)2⩽0, on a R(x)⩽−2 : R ne s'annule jamais.
un carré est positif, son opposé est négatif
À vous de jouer
Écrire chaque trinôme sous forme canonique, puis contrôler avec α et β :
A(x)=x2+12x+20B(x)=2x2−2x−3C(x)=−3x2+12x−14
Correction
A
A(x)
=x2+12x+20
x2+12x est le début de (x+6)2=x2+12x+36
A(x)
=x2+12x+36−36+20
on ajoute 36 et on le retire
A(x)
=(x+6)2−16
on réduit
α
=−212=−6
contrôle : α=−2ab
β
=A(−6)=36−72+20
et β=A(α)
β
=−16
B
B(x)
=2x2−2x−3
on recopie
B(x)
=2(x2−x)−3
2 en facteur dans les deux premiers termes
B(x)
=2[(x−21)2−41]−3
x2−x est le début de (x−21)2
B(x)
=2(x−21)2−21−3
on distribue le 2
B(x)
=2(x−21)2−27
α
=−4−2=21
contrôle
β
=B(21)=21−1−3
β
=−27
C
C(x)
=−3x2+12x−14
on recopie
C(x)
=−3(x2−4x)−14
−3 en facteur : les signes changent dans la parenthèse
C(x)
=−3[(x−2)2−4]−14
x2−4x est le début de (x−2)2
C(x)
=−3(x−2)2+12−14
on distribue le −3
C(x)
=−3(x−2)2−2
α
=−−612=2
contrôle
β
=C(2)=−12+24−14
β
=−2
Comme −3(x−2)2⩽0, on a C(x)⩽−2 : C ne s'annule jamais.
l'opposé d'un carré est négatif
À faire : exercices 1 à 4
Exercice 1 — Compléter un carré (a=1)
Écrire chaque trinôme sous la forme (x−α)2+β.
A =
x2+8x−3
B =
x2−6x+2
C =
x2−3x+1
D =
x2+5x+2
E =
x2−12x+35
F =
x2−9x
Corrigé
x2+kx est le début de (x+2k)2=x2+kx+4k2 : on retire ensuite 4k2.
A =
x2+8x−3=(x+4)2−16−3=(x+4)2−19
B =
x2−6x+2=(x−3)2−9+2=(x−3)2−7
C =
x2−3x+1=(x−23)2−49+44=(x−23)2−45
D =
x2+5x+2=(x+25)2−425+48=(x+25)2−417
E =
x2−12x+35=(x−6)2−36+35=(x−6)2−1
F =
x2−9x=(x−29)2−481
→ Dans la parenthèse : la moitié du coefficient de x, avec son signe.
Exercice 2 — Compléter un carré (a=1)
Écrire chaque trinôme sous la forme a(x−α)2+β.
A =
2x2+8x+3
B =
−x2+3x+2
C =
4x2−8x+4
D =
−x2+5x−4
E =
2x2+2x−1
F =
−2x2+8x−5
Corrigé
On met a en facteur dans les deux premiers termes, puis on complète le carré.
A =
2x2+8x+3
A
=2(x2+4x)+3
A
=2[(x+2)2−4]+3
A
=2(x+2)2−8+3
A
=2(x+2)2−5
B =
−x2+3x+2
B
=−(x2−3x)+2
B
=−[(x−23)2−49]+2
B
=−(x−23)2+417
C =
4x2−8x+4=4(x2−2x+1)=4(x−1)2 (β=0)
D =
−x2+5x−4
D
=−(x2−5x)−4
D
=−[(x−25)2−425]−4
D
=−(x−25)2+49
E =
2x2+2x−1
E
=2(x2+x)−1
E
=2[(x+21)2−41]−1
E
=2(x+21)2−23
F =
−2x2+8x−5
F
=−2(x2−4x)−5
F
=−2[(x−2)2−4]−5
F
=−2(x−2)2+3
→ Erreur fréquente : oublier de multiplier par a le terme retiré. En A, 2×(−4)=−8, et non −4.
Exercice 3 — Forme canonique par α et β
Pour chaque trinôme, calculer α=−2ab et β, écrire la forme canonique, puis la développer pour vérifier.
1)
P(x)=x2−6x+1
2)
Q(x)=3x2+6x−2
3)
R(x)=−x2−4x−9
Corrigé
1)
α
=−2−6=3
β
=P(3)=9−18+1
β
=−8
donc P(x)=(x−3)2−8. Vérification : (x−3)2−8=x2−6x+9−8, soit x2−6x+1.
2)
α
=−66=−1
β
=Q(−1)=3−6−2
β
=−5
donc Q(x)=3(x+1)2−5. Vérification : 3(x2+2x+1)−5=3x2+6x−2.
3)
α
=−−2−4=−2
β
=R(−2)=−4+8−9
β
=−5
donc R(x)=−(x+2)2−5. Vérification : −(x2+4x+4)−5=−x2−4x−9.
→ Devant le carré, on écrit toujours a : 3 en 2), −1 en 3).
Exercice 4 — De la forme canonique à la factorisation
Écrire chaque trinôme sous forme canonique. Le factoriser avec u2−v2=(u−v)(u+v) quand c'est possible ; sinon, expliquer pourquoi il ne se factorise pas.
A =
x2−4x−5
B =
x2+4x+7
C =
2x2+x−3
D =
−x2−2x−3
Corrigé
A =
x2−4x−5
A
=(x−2)2−9
A
=(x−2)2−32
A
=(x−2−3)(x−2+3)
A
=(x−5)(x+1)
B =
x2+4x+7=(x+2)2+3. Un carré est positif, donc (x+2)2+3⩾3>0 : le trinôme ne s'annule jamais, il ne se factorise pas.
C =
2x2+x−3
C
=2(x2+21x)−3
C
=2[(x+41)2−161]−3
C
=2(x+41)2−81−3
C
=2(x+41)2−825
Puis :
C
=2[(x+41)2−(45)2]
C
=2(x+41−45)(x+41+45)
C
=2(x−1)(x+23)
C
=(x−1)(2x+3)
D =
−x2−2x−3=−[(x+1)2−1]−3=−(x+1)2−2. Comme −(x+1)2⩽0, on a −(x+1)2−2⩽−2<0 : pas de factorisation.
→ En C, on met d'abord 2 en facteur dans la forme canonique : −825=2×(−1625), et 1625=(45)2.
Faire des maths