Chapitre 3 — Le second degré · coursIX Inéquations se ramenant au second degré

Sommaire du chapitre

I — La forme canonique du trinôme
- Méthode 1 — Mettre un trinôme sous forme canonique
II — Racines du trinôme et équations du second degré
- Méthode 2 — Résoudre une équation du second degré
III — Factorisation du trinôme
- Méthode 3 — Factoriser un trinôme
IV — Somme et produit des racines
- Méthode 4 — Trouver les racines sans discriminant
V — Signe du trinôme et inéquations du second degré
- Méthode 5 — Résoudre une inéquation du second degré
VI — Représentation graphique de la fonction trinôme
- Méthode 6 — Tracer l'allure d'une parabole
VII — Variations de la fonction trinôme
- Méthode 7 — Dresser le tableau de variations d'un trinôme
VIII — Équations se ramenant au second degré
- Méthode 8 — Résoudre une équation se ramenant au second degré
IX — Inéquations se ramenant au second degré
- Méthode 9 — Résoudre une inéquation se ramenant au second degré
X — Résoudre un problème du second degré
- Méthode 10 — Résoudre un problème du second degré

Méthode 9 — Résoudre une inéquation se ramenant au second degré

Exemples corrigés

Résoudre dans $R$ les inéquations suivantes.

a)
Un produit : $(x + 4) (x - 1) < 3 x + 12$ .
b)
Un quotient de trinômes : $\frac{x ^{2} - x - 2}{x ^{2} + 2 x - 3} ⩾ 0$ .
c)
Deux quotients : $\frac{x + 1}{x - 2} < \frac{2}{x + 1}$ .

Correction

(x + 4) (x - 1) < 3 x + 12

⟺ x^{2} + 3 x - 4 < 3 x + 12

on développe

⟺ x^{2} - 16 < 0

tout dans un membre : on compare à

0

⟺ (x - 4) (x + 4) < 0

u^{2} - v^{2}

S =] - 4; 4 [

a = 1 > 0

: négatif entre les racines

- 4

4

Dénominateur : racines

1

(évidente) et

- 2 - 1 = - 3

, donc

D = R ∖ {- 3; 1}

quotient : on écrit d'abord l'ensemble de définition ; somme des racines

- 2

Numérateur : racines

- 1

(évidente) et

1 - (- 1) = 2

somme des racines

1

Les deux trinômes ont

a = 1 > 0

: positifs à l'extérieur de leurs racines.

on ne multiplie jamais par un dénominateur : tableau de signes, double barre aux valeurs interdites

S =] - \infty; - 3 [\cup [- 1; 1 [\cup [2; + \infty [

crochets fermés aux zéros du numérateur (

⩾

), ouverts aux valeurs interdites

D = R ∖ {- 1; 2}

\frac{x + 1}{x - 2} < \frac{2}{x + 1}

⟺ \frac{x + 1}{x - 2} - \frac{2}{x + 1} < 0

tout dans un membre

⟺ \frac{( x + 1 ) ^{2} - 2 ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x + 1 )} < 0

même dénominateur

⟺ \frac{x ^{2} + 5}{( x - 2 ) ( x + 1 )} < 0

on développe le numérateur

x^{2} + 5 > 0

pour tout

x

: le quotient a le signe du dénominateur.

un carré plus

5

est toujours positif

S =] - 1; 2 [

on lit le signe

-

;

- 1

2

sont interdits

À vous de jouer

Résoudre :

(x + 3) (x - 2) < x + 3

\frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} - 4 x + 3} ⩾ 0

\frac{x + 2}{x - 1} < \frac{3}{x + 2}

Correction

$(x + 3) (x - 2) < x + 3$

(x + 3) (x - 2) < x + 3

⟺ x^{2} + x - 6 < x + 3

on développe

⟺ x^{2} - 9 < 0

tout dans un membre : on compare à

0

⟺ (x - 3) (x + 3) < 0

u^{2} - v^{2}

S =] - 3; 3 [

a = 1 > 0

: négatif entre les racines

- 3

3

$\frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} - 4 x + 3} ⩾ 0$

Dénominateur : racines

1

(évidente) et

4 - 1 = 3

, donc

D = R ∖ {1; 3}

somme des racines

4

Numérateur :

x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)

, racines

- 2

2

u^{2} - v^{2}

Les deux trinômes ont

a = 1 > 0

: positifs à l'extérieur de leurs racines.

tableau de signes, double barre aux valeurs interdites

S =] - \infty; - 2] \cup] 1; 2] \cup] 3; + \infty [

crochets fermés aux zéros du numérateur, ouverts aux valeurs interdites

$\frac{x + 2}{x - 1} < \frac{3}{x + 2}$

D = R ∖ {- 2; 1}

\frac{x + 2}{x - 1} < \frac{3}{x + 2}

⟺ \frac{x + 2}{x - 1} - \frac{3}{x + 2} < 0

tout dans un membre

⟺ \frac{( x + 2 ) ^{2} - 3 ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 2 )} < 0

même dénominateur

⟺ \frac{x ^{2} + x + 7}{( x - 1 ) ( x + 2 )} < 0

on développe le numérateur

x^{2} + x + 7

Δ = 1 - 28 < 0

a > 0

, il est toujours positif. Le quotient a le signe du dénominateur.

S =] - 2; 1 [

on lit le signe

-

;

- 2

1

sont interdits

À faire : exercices 34 à 36

Exercice 34 — Développer, puis résoudre

Résoudre :

1)
$(x + 1) (x + 3) ⩽ 2 x + 6$
2)
$(3 x + 1)^{2} < (x + 3)^{2}$
3)
$x (x - 4) ⩾ 5$
4)
$(x + 2)^{2} > 9$

Corrigé

1)
$x^{2} + 4 x + 3 ⩽ 2 x + 6 ⟺ x^{2} + 2 x - 3 ⩽ 0$ : racines $- 3$ et $1$ , $a > 0$ . $S = [- 3; 1]$
2)
$9 x^{2} + 6 x + 1 < x^{2} + 6 x + 9$
$⟺ 8 x^{2} - 8 < 0$
$⟺ 8 (x - 1) (x + 1) < 0$

$S =] - 1; 1 [$
3)
$x^{2} - 4 x - 5 ⩾ 0$ : racines $- 1$ et $5$ , $a > 0$ . $S =] - \infty; - 1] \cup [5; + \infty [$
4)
$x^{2} + 4 x + 4 > 9 ⟺ x^{2} + 4 x - 5 > 0$ : racines $- 5$ et $1$ . $S =] - \infty; - 5 [\cup] 1; + \infty [$

Exercice 35 — Signe d'un quotient

Donner l'ensemble de définition, puis résoudre :

1)
$\frac{2 x - 6}{x + 1} ⩽ 0$
2)
$\frac{x ^{2} - 1}{x + 2} ⩾ 0$
3)
$\frac{x ^{2} + x - 6}{x ^{2} - 4 x + 3} > 0$
4)
$\frac{x ^{2} - 5 x + 4}{x - 2} < 0$

Corrigé

1)
$D = R ∖ {- 1}$ .

$S =] - 1; 3]$ ( $- 1$ exclue : valeur interdite).
2)
$D = R ∖ {- 2}$ ; $x^{2} - 1$ a pour racines $- 1$ et $1$ .

$S =] - 2; - 1] \cup [1; + \infty [$
3)
Dénominateur : racines $1$ (racine évidente) et $4 - 1 = 3$ , donc $D = R ∖ {1; 3}$ . Numérateur : racines $2$ (racine évidente) et $- 1 - 2 = - 3$ .

$S =] - \infty; - 3 [\cup] 1; 2 [\cup] 3; + \infty [$
4)
$D = R ∖ {2}$ ; le numérateur a pour racines $1$ et $4$ .

$S =] - \infty; 1 [\cup] 2; 4 [$

Exercice 36 — Tout dans un membre

Résoudre $\frac{x + 2}{2 - x} ⩾ 3 x + 1$ .

On ne multipliera pas par un dénominateur dont on ignore le signe.

Corrigé

$D = R ∖ {2}$ . On ramène tout dans un membre :

\frac{x + 2}{2 - x} - (3 x + 1) ⩾ 0

⟺ \frac{x + 2 - ( 3 x + 1 ) ( 2 - x )}{2 - x} ⩾ 0

⟺ \frac{3 x ^{2} - 4 x}{2 - x} ⩾ 0

⟺ \frac{x ( 3 x - 4 )}{2 - x} ⩾ 0

$S =] - \infty; 0] \cup [\frac{4}{3}; 2 [$

→ Erreur classique : multiplier par $2 - x$ sans connaître son signe. Contrôle avec $x = 3$ , hors de $S$ : $\frac{5}{- 1} = - 5$ , qui n'est pas $⩾ 10$ .