Chapitre 3 — Le second degré · coursVI Représentation graphique de la fonction trinôme

Sommaire du chapitre

I — La forme canonique du trinôme
- Méthode 1 — Mettre un trinôme sous forme canonique
II — Racines du trinôme et équations du second degré
- Méthode 2 — Résoudre une équation du second degré
III — Factorisation du trinôme
- Méthode 3 — Factoriser un trinôme
IV — Somme et produit des racines
- Méthode 4 — Trouver les racines sans discriminant
V — Signe du trinôme et inéquations du second degré
- Méthode 5 — Résoudre une inéquation du second degré
VI — Représentation graphique de la fonction trinôme
- Méthode 6 — Tracer l'allure d'une parabole
VII — Variations de la fonction trinôme
- Méthode 7 — Dresser le tableau de variations d'un trinôme
VIII — Équations se ramenant au second degré
- Méthode 8 — Résoudre une équation se ramenant au second degré
IX — Inéquations se ramenant au second degré
- Méthode 9 — Résoudre une inéquation se ramenant au second degré
X — Résoudre un problème du second degré
- Méthode 10 — Résoudre un problème du second degré

Dans cette partie, $f (x) = a x^{2} + b x + c = a (x - α)^{2} + β$ sur $R$ .

Définition 4 — Parabole et sommet

La courbe d'une fonction trinôme est une parabole. Son sommet est le point $S (α; β)$ .

Théorème 6 — Orientation et extremum

Si $a > 0$ : parabole tournée vers le haut ; $f$ a un minimum $β$ , atteint en $α$ .
Si $a < 0$ : parabole tournée vers le bas ; $f$ a un maximum $β$ , atteint en $α$ .

La parabole est symétrique par rapport à la droite d'équation $x = α$ .

$a > 0$ : $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$

$a < 0$ : $g (x) = - x^{2} - 2 x + 3$

Méthode 6 — Tracer l'allure d'une parabole

Exemples corrigés

Tracer l'allure de la courbe de chaque fonction.

a)
$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$
b)
$g (x) = - x^{2} - 2 x + 3$
c)
$h (x) = x^{2} + 4 x + 6$

Correction

a

= 1 > 0

tournée vers le haut

α

= - \frac{2}{2} = - 1

α = - \frac{b}{2 a}

β

= f (- 1) = 1 - 2 - 3

β

= - 4

sommet

S (- 1; - 4)

Δ

= 4 + 12 = 16

racines placées sur l'axe

x_{1}

= \frac{- 2 + 4}{2} = 1

x_{2}

= \frac{- 2 - 4}{2} = - 3

f (0)

= - 3

(0; - 3)

et son symétrique

(- 2; - 3)

a

= - 1 < 0

tournée vers le bas

α

= - \frac{- 2}{- 2} = - 1

β

= g (- 1) = - 1 + 2 + 3

β

= 4

sommet

S (- 1; 4)

Δ

= 4 + 12 = 16

x_{1}

= \frac{2 + 4}{- 2} = - 3

x_{2}

= \frac{2 - 4}{- 2} = 1

g (0)

= 3

(0; 3)

et son symétrique

(- 2; 3)

a

= 1 > 0

tournée vers le haut

α

= - \frac{4}{2} = - 2

β

= h (- 2) = 4 - 8 + 6

β

= 2

sommet

S (- 2; 2)

Δ

= 16 - 24 = - 8

aucune racine : la courbe ne coupe pas l'axe

h (0)

= 6

(0; 6)

et son symétrique

(- 4; 6)

À vous de jouer

Pour chaque fonction : orientation, sommet, racines éventuelles, puis allure de la courbe.

f_{1} (x) = x^{2} - 4 x + 3

f_{2} (x) = - x^{2} + 6 x - 5

f_{3} (x) = x^{2} - 2 x + 5

Correction

$f_{1}$

a

= 1 > 0

tournée vers le haut

α

= - \frac{- 4}{2} = 2

β

= f_{1} (2) = 4 - 8 + 3

β

= - 1

sommet

S (2; - 1)

x_{1}

= 1

racine évidente :

1 - 4 + 3 = 0

x_{2}

= 4 - 1 = 3

somme des racines

4

f_{1} (0)

= 3

(0; 3)

et son symétrique

(4; 3)

$f_{2}$

a

= - 1 < 0

tournée vers le bas

α

= - \frac{6}{- 2} = 3

β

= f_{2} (3) = - 9 + 18 - 5

β

= 4

sommet

S (3; 4)

x_{1}

= 1

racine évidente :

- 1 + 6 - 5 = 0

x_{2}

= 6 - 1 = 5

somme des racines

- \frac{b}{a} = 6

$f_{3}$

a

= 1 > 0

tournée vers le haut

α

= - \frac{- 2}{2} = 1

β

= f_{3} (1) = 1 - 2 + 5

β

= 4

sommet

S (1; 4)

Δ

= 4 - 20 = - 16

aucune racine : la courbe ne coupe pas l'axe

f_{3} (0)

= 5

(0; 5)

et son symétrique

(2; 5)

À faire : exercices 22 à 26

Exercice 22 — Sommet, racines, allure

Pour chaque fonction : orientation de la parabole, sommet $S (α; β)$ , racines éventuelles, puis allure de la courbe dans un repère.

A $=$
$x^{2} + 4 x + 3$
B $=$
$- x^{2} + 4 x - 3$
C $=$
$x^{2} - 4 x + 5$
D $=$
$- 2 x^{2} - 4 x$

Corrigé

A :
$a = 1 > 0$ : vers le haut. $α = - 2$ et $β = 4 - 8 + 3 = - 1$ : $S (- 2; - 1)$ . $Δ = 4$ : racines $- 3$ et $- 1$ .
B :
$a = - 1 < 0$ : vers le bas. $α = - \frac{4}{- 2} = 2$ et $β = - 4 + 8 - 3 = 1$ : $S (2; 1)$ . $Δ = 4$ : racines $1$ et $3$ .
C :
$a = 1 > 0$ : vers le haut. $α = 2$ et $β = 4 - 8 + 5 = 1$ : $S (2; 1)$ . $Δ = - 4 < 0$ : aucune racine.
D :
$a = - 2 < 0$ : vers le bas. $α = - \frac{- 4}{- 4} = - 1$ et $β = - 2 + 4 = 2$ : $S (- 1; 2)$ . $- 2 x^{2} - 4 x = - 2 x (x + 2)$ : racines $- 2$ et $0$ .

→ En C, sans racine, on place le sommet, puis $(0; 5)$ et son symétrique $(4; 5)$ par rapport à la droite $x = 2$ .

Exercice 23 — Utiliser la symétrie

Soit $f$ définie sur $R$ par $f (x) = x^{2} - 6 x + 8$ .

1)
Calculer $α$ , $β$ et les racines de $f$ .
2)
Calculer $f (0)$ . Quel point de la parabole est le symétrique de $(0; f (0))$ par rapport à la droite $x = α$ ? Le vérifier par un calcul.
3)
Placer ces points dans un repère, puis tracer l'allure de la parabole.

Corrigé

1)
$α$
$= \frac{6}{2} = 3$
$β$
$= f (3) = 9 - 18 + 8$
$β$
$= - 1$

$2$ est racine évidente ( $4 - 12 + 8 = 0$ ) et $S = 6$ : racines $2$ et $4$ .
2)
$f (0) = 8$ . Le symétrique de $(0; 8)$ par rapport à la droite $x = 3$ a pour abscisse $3 + 3 = 6$ : c'est $(6; 8)$ ; en effet $f (6) = 36 - 36 + 8 = 8$ .
3)
Voir la figure : $S (3; - 1)$ , $(2; 0)$ , $(4; 0)$ , $(0; 8)$ et $(6; 8)$ .

Exercice 24 — Retrouver un trinôme

Une parabole coupe l'axe des abscisses en $- 1$ et en $3$ ; son sommet est $S (1; - 8)$ .

1)
Vérifier que l'abscisse du sommet est le milieu des racines.
2)
Le trinôme s'écrit $a (x + 1) (x - 3)$ . Trouver $a$ à l'aide du sommet.
3)
Écrire le trinôme sous forme développée, et contrôler avec le sommet.

Corrigé

1)
$\frac{- 1 + 3}{2} = 1$ : l'abscisse du sommet est bien le milieu des racines.
2)
Le sommet est sur la parabole : $a (1 + 1) (1 - 3) = - 8$ , soit $- 4 a = - 8$ , donc $a = 2$ .
3)
$2 (x + 1) (x - 3) = 2 (x^{2} - 2 x - 3) = 2 x^{2} - 4 x - 6$ ; contrôle : $2 - 4 - 6 = - 8$ .

Exercice 25 — Le jet d'une fontaine

Le jet d'eau d'une fontaine suit une parabole. Dans le repère ci-dessous, $x$ est la distance horizontale (en m) et $y$ la hauteur du jet au-dessus du bassin (en m). Cette parabole est la courbe d'un trinôme $P (x) = a x^{2} + b x + c$ .

1)
Lire les racines $x_{1}$ et $x_{2}$ de $P$ . Que représentent-elles pour le jet ?
2)
Lire les coordonnées $(α; β)$ du sommet. Que représente $β$ ?
3)
Vérifier que $α$ est le milieu de $x_{1}$ et $x_{2}$ .
4)
Quel est le signe de $a$ ? Justifier.

Corrigé

1)
La parabole coupe l'axe des abscisses en $1$ et en $5$ : $x_{1} = 1$ et $x_{2} = 5$ . Le jet sort du bassin à $1$ m de l'origine et y retombe à $5$ m.
2)
Le sommet est le point $(3; 2)$ : $α = 3$ et $β = 2$ . $β$ est la hauteur maximale du jet, $2$ m.
3)
$\frac{1 + 5}{2} = 3 = α$ .
4)
La parabole est tournée vers le bas (le trinôme a un maximum) : $a$ est strictement négatif.

→ On lit les racines sur l'axe des abscisses, le sommet au point le plus haut ; le sens de la parabole donne le signe de $a$ .

Exercice 26 — À chaque parabole sa fonction

Le graphique ci-dessous montre $5$ paraboles $C_{1}$ , …, $C_{5}$ . Associer à chaque fonction sa parabole, en justifiant.

a)
$f_{1} (x) = - x^{2} - 2 x - 2$
b)
$f_{2} (x) = x^{2} - 2 x + 2$
c)
$f_{3} (x) = 2 x^{2} + 5 x + 2$
d)
$f_{4} (x) = - 2 x^{2} + 3 x + 2$
e)
$f_{5} (x) = x^{2} - x + \frac{1}{4}$

Corrigé

On utilise le signe de $a$ (orientation), celui de $Δ$ (nombre de points sur l'axe des abscisses), le point $(0; c)$ et le sommet.

a)
$f_{1}$ : $a < 0$ et $Δ = 4 - 8 = - 4 < 0$ : vers le bas, entièrement sous l'axe, sommet $(- 1; - 1)$ : c'est $C_{3}$ .
b)
$f_{2}$ : $a > 0$ et $Δ = 4 - 8 = - 4 < 0$ : vers le haut, entièrement au-dessus de l'axe, sommet $(1; 1)$ : c'est $C_{2}$ .
c)
$f_{3}$ : $a > 0$ et $Δ = 25 - 16 = 9$ : vers le haut, coupe l'axe en $- 2$ et $- \frac{1}{2}$ : c'est $C_{5}$ .
d)
$f_{4}$ : $a < 0$ et $Δ = 9 + 16 = 25$ : vers le bas, coupe l'axe en $- \frac{1}{2}$ et $2$ : c'est $C_{1}$ .
e)
$f_{5} (x) = (x - \frac{1}{2})^{2}$ : $Δ = 0$ , vers le haut, touche l'axe en $\frac{1}{2}$ : c'est $C_{4}$ .

→ Trois paraboles passent par $(0; 2)$ : ce sont l'orientation et les racines qui les distinguent.