Chapitre 3 — Le second degré · coursIV Somme et produit des racines

Sommaire du chapitre

I — La forme canonique du trinôme
- Méthode 1 — Mettre un trinôme sous forme canonique
II — Racines du trinôme et équations du second degré
- Méthode 2 — Résoudre une équation du second degré
III — Factorisation du trinôme
- Méthode 3 — Factoriser un trinôme
IV — Somme et produit des racines
- Méthode 4 — Trouver les racines sans discriminant
V — Signe du trinôme et inéquations du second degré
- Méthode 5 — Résoudre une inéquation du second degré
VI — Représentation graphique de la fonction trinôme
- Méthode 6 — Tracer l'allure d'une parabole
VII — Variations de la fonction trinôme
- Méthode 7 — Dresser le tableau de variations d'un trinôme
VIII — Équations se ramenant au second degré
- Méthode 8 — Résoudre une équation se ramenant au second degré
IX — Inéquations se ramenant au second degré
- Méthode 9 — Résoudre une inéquation se ramenant au second degré
X — Résoudre un problème du second degré
- Méthode 10 — Résoudre un problème du second degré

On suppose que le trinôme a deux racines $x_{1}$ et $x_{2}$ . On note $S = x_{1} + x_{2}$ leur somme et $P = x_{1} x_{2}$ leur produit. On développe la forme factorisée :

a x^{2} + b x + c

= a (x - x_{1}) (x - x_{2})

(x - x_{1}) (x - x_{2})

= x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} x_{2}

calcul intermédiaire : on développe

a x^{2} + b x + c

= a (x^{2} - S x + P)

avec

S = x_{1} + x_{2}

P = x_{1} x_{2}

a x^{2} + b x + c

= a x^{2} - a S x + a P

En identifiant les coefficients : $b = - a S$ et $c = a P$ .

Théorème 4 — Somme et produit des racines

Si le trinôme $a x^{2} + b x + c$ a deux racines, leur somme $S$ et leur produit $P$ valent

S = - \frac{b}{a} et P = \frac{c}{a}

En pratique, on met $a$ en facteur : $a x^{2} + b x + c = a (x^{2} - S x + P)$ .

Définition 3 — Racine évidente

Une racine évidente est une racine que l'on trouve de tête, en essayant des valeurs simples : $1$ , $- 1$ , $2$ , $- 2$ …

Méthode 4 — Trouver les racines sans discriminant

Exemples corrigés

Résoudre les équations suivantes sans calculer de discriminant.

a)
$3 x^{2} - 8 x + 5 = 0$
b)
$4 x^{2} + 3 x - 1 = 0$
c)
$x^{2} - 8 x + 12 = 0$

Correction

3 \times 1^{2} - 8 \times 1 + 5

= 0

on essaie

1

de tête :

x_{1} = 1

est racine évidente

S

= - \frac{- 8}{3} = \frac{8}{3}

S = - \frac{b}{a}

x_{2}

= \frac{8}{3} - 1 = \frac{5}{3}

x_{2} = S - x_{1}

Contrôle :

1 \times \frac{5}{3} = \frac{5}{3}

. Donc

S = {1; \frac{5}{3}}

le produit

x_{1} x_{2}

doit valoir

P = \frac{c}{a}

4 \times 1^{2} + 3 \times 1 - 1

= 6

1

n'est pas racine

4 \times (- 1)^{2} + 3 \times (- 1) - 1

= 0

x_{1} = - 1

est racine évidente

S

= - \frac{3}{4}

x_{2}

= - \frac{3}{4} - (- 1) = \frac{1}{4}

attention : on retranche

- 1

Contrôle :

(- 1) \times \frac{1}{4} = - \frac{1}{4}

. Donc

S = {- 1; \frac{1}{4}}

\frac{c}{a} = - \frac{1}{4}

1

ne convient pas (

1 - 8 + 12 = 5

- 1

non plus (

1 + 8 + 12 = 21

) ;

2

convient :

4 - 16 + 12 = 0

on essaie

1

- 1

2

… jusqu'à trouver une racine

S = 8

, donc

x_{2} = 8 - 2 = 6

; contrôle :

2 \times 6 = 12

. Donc

S = {2; 6}

somme

- \frac{b}{a} = 8

; produit

\frac{c}{a} = 12

À vous de jouer

Trouver une racine évidente, puis l'autre racine avec la somme :

x^{2} + 5 x + 4 = 0

4 x^{2} - 7 x + 3 = 0

x^{2} + 2 x - 8 = 0

- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0

Correction

$x^{2} + 5 x + 4 = 0$

(- 1)^{2} + 5 \times (- 1) + 4

= 0

x_{1} = - 1

est racine évidente

S

= - 5

S = - \frac{b}{a}

x_{2}

= - 5 - (- 1) = - 4

x_{2} = S - x_{1}

Contrôle :

(- 1) \times (- 4) = 4 = \frac{c}{a}

. Donc

S = {- 4; - 1}

$4 x^{2} - 7 x + 3 = 0$

4 - 7 + 3

= 0

x_{1} = 1

est racine évidente

S

= \frac{7}{4}

x_{2}

= \frac{7}{4} - 1 = \frac{3}{4}

Contrôle :

1 \times \frac{3}{4} = \frac{3}{4} = \frac{c}{a}

. Donc

S = {\frac{3}{4}; 1}

$x^{2} + 2 x - 8 = 0$

1

ne convient pas (

1 + 2 - 8 = - 5

- 1

non plus (

1 - 2 - 8 = - 9

) ;

2

convient :

4 + 4 - 8 = 0

on essaie

1

- 1

2

…

S = - 2

, donc

x_{2} = - 2 - 2 = - 4

; contrôle :

2 \times (- 4) = - 8

. Donc

S = {- 4; 2}

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

- 3 + 2 + 1

= 0

x_{1} = 1

est racine évidente

S

= - \frac{2}{- 3} = \frac{2}{3}

x_{2}

= \frac{2}{3} - 1 = - \frac{1}{3}

Contrôle :

1 \times (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{- 3} = \frac{c}{a}

. Donc

S = {- \frac{1}{3}; 1}

À faire : exercices 13 à 18

Exercice 13 — Une racine connue (1)

1)
Montrer que $- 2$ est solution de $x^{2} + 5 x + 6 = 0$ .
2)
Donner la somme $S$ et le produit $P$ des racines.
3)
En déduire l'autre solution, et la contrôler avec $P$ .

Corrigé

1)
$(- 2)^{2} + 5 \times (- 2) + 6$ vaut $4 - 10 + 6 = 0$ : $- 2$ est solution.
2)
$a = 1$ , donc $x^{2} + 5 x + 6 = x^{2} - S x + P$ : $S = - 5$ et $P = 6$ .
3)
L'autre solution est $S - (- 2) = - 5 + 2 = - 3$ ; contrôle : $(- 2) \times (- 3) = 6 = P$ .

Exercice 14 — Une racine connue (2)

1)
Montrer que $3$ est solution de $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ .
2)
Donner la somme $S$ et le produit $P$ des racines.
3)
En déduire l'autre solution, et la contrôler avec $P$ .

Corrigé

1)
$3^{2} - 7 \times 3 + 12$ vaut $9 - 21 + 12 = 0$ : $3$ est solution.
2)
$S = 7$ et $P = 12$ .
3)
L'autre solution est $7 - 3 = 4$ ; contrôle : $3 \times 4 = 12$ .

Exercice 15 — Racine évidente, puis somme

Pour chaque équation, trouver une racine évidente parmi $1$ , $- 1$ , $2$ , $- 2$ … puis l'autre racine avec la somme $S = - \frac{b}{a}$ .

1)
$x^{2} - 6 x + 5 = 0$
2)
$4 x^{2} + x - 5 = 0$
3)
$7 x^{2} - 9 x + 2 = 0$
4)
$3 x^{2} + 8 x + 5 = 0$

Corrigé

1)
$1 - 6 + 5 = 0$ : $x_{1} = 1$ ; $S = 6$ , donc $x_{2} = 5$ .
2)
$4 + 1 - 5 = 0$ : $x_{1} = 1$ ; $S = - \frac{1}{4}$ , donc $x_{2} = - \frac{1}{4} - 1 = - \frac{5}{4}$ .
3)
$7 - 9 + 2 = 0$ : $x_{1} = 1$ ; $S = \frac{9}{7}$ , donc $x_{2} = \frac{9}{7} - 1 = \frac{2}{7}$ .
4)
$3 - 8 + 5 = 0$ en $x = - 1$ : $x_{1} = - 1$ ; $S = - \frac{8}{3}$ , donc $x_{2} = - \frac{8}{3} + 1 = - \frac{5}{3}$ .

→ Si $a + b + c = 0$ , alors $1$ est racine ; si $a - b + c = 0$ , c'est $- 1$ .

Exercice 16 — Sans discriminant

Résoudre chaque équation sans calculer de discriminant : racine évidente, puis somme ou produit.

1)
$x^{2} - 10 x + 9 = 0$
2)
$- 2 x^{2} + 3 x + 5 = 0$
3)
$x^{2} + 4 x - 12 = 0$
4)
$x^{2} + 7 x + 6 = 0$
5)
$x^{2} - 9 x + 18 = 0$
6)
$x^{2} + x 2 - 4 = 0$

Corrigé

1)
$x_{1} = 1$ ( $1 - 10 + 9 = 0$ ), $S = 10$ : $S = {1; 9}$
2)
$x_{1} = - 1$ ( $- 2 - 3 + 5 = 0$ ), $S = - \frac{3}{- 2} = \frac{3}{2}$ , donc $x_{2} = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$ : $S = {- 1; \frac{5}{2}}$
3)
$x_{1} = 2$ ( $4 + 8 - 12 = 0$ ), $S = - 4$ : $S = {- 6; 2}$
4)
$x_{1} = - 1$ ( $1 - 7 + 6 = 0$ ), $S = - 7$ : $S = {- 6; - 1}$
5)
$x_{1} = 3$ ( $9 - 27 + 18 = 0$ ), $S = 9$ : $S = {3; 6}$
6)
$x_{1} = 2$ ( $2 + 2 - 4 = 0$ ), $S = - 2$ , donc $x_{2} = - 2 - 2 = - 22$ : $S = {- 22; 2}$

→ En 6), le $2$ de l'équation invite à essayer $2$ et $- 2$ . Contrôle par le produit : $2 \times (- 22) = - 4 = \frac{c}{a}$ .

Exercice 17 — Calculer sans résoudre

On note $x_{1}$ et $x_{2}$ les racines de $2 x^{2} - 9 x + 4 = 0$ , sans les calculer.

1)
Justifier que ces racines existent, puis donner $S = x_{1} + x_{2}$ et $P = x_{1} x_{2}$ .
2)
Calculer $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$ à l'aide de $S$ et $P$ .
3)
Développer $S^{2}$ , puis en déduire $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ .

Corrigé

1)
$Δ = 81 - 32 = 49 > 0$ : il y a bien deux racines. $S = - \frac{b}{a} = \frac{9}{2}$ et $P = \frac{c}{a} = 2$ .
2)
$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$
$= \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}} = \frac{S}{P}$
$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$
$= \frac{9}{2} \times \frac{1}{2}$
$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$
$= \frac{9}{4}$
3)
$S^{2} = x_{1}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}$ , donc :

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$
$= S^{2} - 2 P$
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$
$= \frac{81}{4} - \frac{16}{4}$
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$
$= \frac{65}{4}$

→ Contrôle : les racines sont $\frac{1}{2}$ et $4$ ; $2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$ et $\frac{1}{4} + 16 = \frac{65}{4}$ .

Exercice 18 — Signe des racines

Sans calculer les racines, donner leur signe à l'aide de $S$ et $P$ .

1)
$x^{2} - 9 x + 14 = 0$
2)
$x^{2} + 2 x - 15 = 0$
3)
$3 x^{2} + 10 x + 3 = 0$

Corrigé

On vérifie d'abord que $Δ > 0$ . Si $P < 0$ , les racines sont de signes contraires ; si $P > 0$ , elles ont le même signe, celui de $S$ .

1)
$Δ = 81 - 56 = 25 > 0$ ; $P = 14 > 0$ et $S = 9 > 0$ : deux racines positives ( $2$ et $7$ ).
2)
$Δ = 4 + 60 = 64 > 0$ ; $P = - 15 < 0$ : deux racines de signes contraires ( $- 5$ et $3$ ).
3)
$Δ = 100 - 36 = 64 > 0$ ; $P = \frac{3}{3} = 1 > 0$ et $S = - \frac{10}{3} < 0$ : deux racines négatives ( $- 3$ et $- \frac{1}{3}$ ).