Chapitre 3 — Le second degré · coursX Résoudre un problème du second degré

Sommaire du chapitre

I — La forme canonique du trinôme
- Méthode 1 — Mettre un trinôme sous forme canonique
II — Racines du trinôme et équations du second degré
- Méthode 2 — Résoudre une équation du second degré
III — Factorisation du trinôme
- Méthode 3 — Factoriser un trinôme
IV — Somme et produit des racines
- Méthode 4 — Trouver les racines sans discriminant
V — Signe du trinôme et inéquations du second degré
- Méthode 5 — Résoudre une inéquation du second degré
VI — Représentation graphique de la fonction trinôme
- Méthode 6 — Tracer l'allure d'une parabole
VII — Variations de la fonction trinôme
- Méthode 7 — Dresser le tableau de variations d'un trinôme
VIII — Équations se ramenant au second degré
- Méthode 8 — Résoudre une équation se ramenant au second degré
IX — Inéquations se ramenant au second degré
- Méthode 9 — Résoudre une inéquation se ramenant au second degré
X — Résoudre un problème du second degré
- Méthode 10 — Résoudre un problème du second degré

Méthode 10 — Résoudre un problème du second degré

Exemples corrigés

a)
Deux pages d'un livre. On ouvre un livre au hasard. Le produit des numéros des deux pages visibles vaut $156$ . Quels sont ces numéros ?
b)
Un panneau solaire. Un panneau solaire rectangulaire a un périmètre de $22$ dm et une aire de $28 dm^{2}$ . Quelles sont ses dimensions ?
c)
Une balle lancée d'une terrasse. Sa hauteur au-dessus du sol, en mètres, $t$ secondes après le lancer, est $h (t) = - 5 t^{2} + 10 t + 40$ pour $t ⩾ 0$ . 1) Quelle hauteur maximale atteint-elle, et quand ? 2) Quand touche-t-elle le sol ?
d)
Agrandir une terrasse. Une terrasse rectangulaire mesure $6$ m sur $4$ m. On allonge ses deux côtés d'une même longueur $x$ , et son aire passe à $48 m^{2}$ . Trouver $x$ .

Correction

Soit

x

le numéro de la page de gauche, entier positif ; celle de droite porte le numéro

x + 1

inconnue : ce qu'elle représente, ses valeurs possibles

x (x + 1)

= 156

équation : on traduit l'énoncé

x^{2} + x - 156

= 0

Δ

= 1 + 624

résolution

Δ

= 625 = 2 5^{2}

x_{1}

= \frac{- 1 + 25}{2} = 12

x_{2}

= \frac{- 1 - 25}{2} = - 13

Les pages sont la

12

et la

13

(

12 \times 13 = 156

retour à l'énoncé :

- 13

n'est pas un numéro de page

Soit

x

la longueur en dm ; la largeur est

11 - x

, avec

0 < x < 11

le demi-périmètre vaut

11

x (11 - x)

= 28

l'aire

x^{2} - 11 x + 28

= 0

Δ

= 121 - 112 = 9

x_{1}

= \frac{11 + 3}{2} = 7

x_{2}

= \frac{11 - 3}{2} = 4

Le panneau mesure

7

dm sur

4

dm.

les deux valeurs donnent le même rectangle ; contrôle :

2 \times (7 + 4) = 22

7 \times 4 = 28

a

= - 5 < 0

h

a un maximum

α

= - \frac{10}{2 \times ( - 5 )} = 1

β

= h (1) = - 5 + 10 + 40

β

= 45

La balle monte jusqu'à

45

m, au bout de

1

seconde.

une phrase qui répond à la question

- 5 t^{2} + 10 t + 40 = 0

⟺ t^{2} - 2 t - 8 = 0

2) sol :

h (t) = 0

; on divise par

- 5

- 2

est racine évidente (

4 + 4 - 8 = 0

) ; l'autre racine est

2 - (- 2) = 4

. La balle touche le sol au bout de

4

secondes.

somme des racines

2

;

t ⩾ 0

: on rejette

- 2

(6 + x) (4 + x)

= 48

l'aire après agrandissement, avec

x > 0

x^{2} + 10 x + 24

= 48

on développe

x^{2} + 10 x - 24

= 0

Δ

= 100 + 96

Δ

= 196 = 1 4^{2}

x_{1}

= \frac{- 10 + 14}{2} = 2

x_{2}

= \frac{- 10 - 14}{2} = - 12

On allonge chaque côté de

2

x > 0

: on rejette

- 12

; contrôle :

8 \times 6 = 48

À vous de jouer

1°)
Deux élèves ont des numéros de casier consécutifs, dont le produit vaut $210$ . Quels sont ces numéros ?
2°)
Une table rectangulaire a un périmètre de $26$ dm et une aire de $42 dm^{2}$ : quelles sont ses dimensions ?
3°)
Une fusée à eau est lancée depuis un balcon ; sa hauteur en mètres est $h (t) = - 5 t^{2} + 30 t + 35$ pour $t ⩾ 0$ . Quelle hauteur maximale atteint-elle ? Au bout de combien de temps retombe-t-elle au sol ?

Correction

1°)

Soit

x

le plus petit numéro, entier positif ; l'autre est

x + 1

inconnue

x (x + 1)

= 210

équation

x^{2} + x - 210

= 0

Δ

= 1 + 840

résolution

Δ

= 841 = 2 9^{2}

x_{1}

= \frac{- 1 + 29}{2} = 14

x_{2}

= \frac{- 1 - 29}{2} = - 15

Les casiers portent les numéros

14

15

(

14 \times 15 = 210

retour à l'énoncé :

- 15

n'est pas un numéro

2°)

Soit

x

la longueur en dm ; la largeur est

13 - x

, avec

0 < x < 13

le demi-périmètre vaut

13

x (13 - x)

= 42

l'aire

x^{2} - 13 x + 42

= 0

Δ

= 169 - 168 = 1

x_{1}

= \frac{13 + 1}{2} = 7

x_{2}

= \frac{13 - 1}{2} = 6

La table mesure

7

dm sur

6

dm.

les deux racines donnent le même rectangle ; contrôle :

2 \times (7 + 6) = 26

3°)

α

= - \frac{30}{- 10} = 3

a = - 5 < 0

h

a un maximum en

α

β

= h (3) = - 45 + 90 + 35

β

= 80

La fusée atteint

80

m au bout de

3

- 5 t^{2} + 30 t + 35

= 0

retour au sol :

h (t) = 0

t^{2} - 6 t - 7

= 0

on divise par

- 5

- 1

est racine évidente (

1 + 6 - 7 = 0

) ; l'autre est

6 - (- 1) = 7

. On rejette

- 1

, car

t ⩾ 0

: la fusée retombe au sol au bout de

7

somme des racines

6

À faire : exercices 37 à 41

Exercice 37 — Le nombre mystère

Le carré d'un nombre positif, diminué de son triple, vaut $40$ . Quel est ce nombre ?

Corrigé

Soit $x ⩾ 0$ le nombre : $x^{2} - 3 x = 40 ⟺ x^{2} - 3 x - 40 = 0$ . $Δ = 9 + 160 = 169$ et $169 = 13$ , donc $x = \frac{3 \pm 13}{2}$ , soit $8$ ou $- 5$ . Le nombre est positif : c'est $8$ ( $64 - 24 = 40$ ).

Exercice 38 — Une voile d'ombrage

Une voile d'ombrage a la forme d'un triangle rectangle. L'un des côtés de l'angle droit mesure $2$ m de plus que l'autre, et l'aire de la voile est de $12 m^{2}$ . Quelles sont les longueurs des côtés de l'angle droit ?

Corrigé

Soit $x > 0$ le plus petit côté de l'angle droit, en m ; l'autre mesure $x + 2$ . $\frac{x ( x + 2 )}{2} = 12 ⟺ x^{2} + 2 x - 24 = 0$ ; $Δ = 4 + 96 = 100$ , donc $x = \frac{- 2 \pm 10}{2}$ , soit $4$ ou $- 6$ . Comme $x > 0$ : $4$ m et $6$ m ( $\frac{4 \times 6}{2} = 12$ ).

Exercice 39 — Agrandir une photo

On agrandit une photo carrée en ajoutant $12$ cm à son côté : son aire est alors multipliée par $4$ . Quel était le côté de la photo de départ ?

Corrigé

Soit $c > 0$ le côté de départ, en cm : $(c + 12)^{2} = 4 c^{2} ⟺ 3 c^{2} - 24 c - 144 = 0 ⟺ c^{2} - 8 c - 48 = 0$ ; $Δ = 64 + 192 = 256$ , donc $c = \frac{8 \pm 16}{2}$ , soit $12$ ou $- 4$ . Le côté mesurait $12$ cm ( $2 4^{2} = 576 = 4 \times 144$ ).

→ Plus rapide : $(c + 12)^{2} = (2 c)^{2}$ avec des longueurs positives, donc $c + 12 = 2 c$ .

Exercice 40 — La bordure d'une tablette

L'écran d'une tablette mesure $24$ cm sur $16$ cm. Il est entouré d'une bordure de largeur constante $x$ . La face avant de la tablette a une aire de $560 cm^{2}$ .

Trouver la largeur $x$ de la bordure.

Corrigé

Soit $x > 0$ la largeur de la bordure, en cm. La tablette mesure $24 + 2 x$ sur $16 + 2 x$ :

(24 + 2 x) (16 + 2 x) = 560

⟺ 4 x^{2} + 80 x + 384 = 560

⟺ x^{2} + 20 x - 44 = 0

$Δ = 400 + 176 = 576$ et $576 = 24$ , donc $x = \frac{- 20 \pm 24}{2}$ , soit $2$ ou $- 22$ . La bordure mesure $2$ cm de large ( $28 \times 20 = 560$ ).

→ La bordure s'ajoute des deux côtés : $24 + 2 x$ , et non $24 + x$ .

Exercice 41 — Des vélos reconditionnés

Un atelier remet en état et vend $x$ vélos électriques par mois, avec $0 ⩽ x ⩽ 40$ . Son bénéfice mensuel, en euros, est

B (x) = - 10 x^{2} + 400 x - 3000

1)
Calculer $B (5)$ et $B (12)$ , et interpréter.
2)
Résoudre $B (x) > 0$ . Combien de vélos l'atelier doit-il vendre pour être bénéficiaire ?
3)
Pour combien de vélos vendus le bénéfice est-il maximal ? Que vaut-il ?

Corrigé

1)
$B (5) = - 250 + 2000 - 3000 = - 1250$ : perte de $1250$ euros. $B (12) = - 1440 + 4800 - 3000 = 360$ : bénéfice de $360$ euros.
2)
$B (x) = - 10 (x^{2} - 40 x + 300)$ ; $Δ = 1600 - 1200 = 400$ , racines $\frac{40 \pm 20}{2}$ , soit $10$ et $30$ . Comme $a = - 10 < 0$ , $B (x) > 0$ entre les racines : $S =] 10; 30 [$ . L'atelier est bénéficiaire de $11$ à $29$ vélos vendus.
3)
$α = - \frac{400}{2 \times ( - 10 )} = 20$ et $B (20) = - 4000 + 8000 - 3000 = 1000$ : bénéfice maximal de $1000$ euros pour $20$ vélos.

→ $20$ est le milieu des racines $10$ et $30$ .