Chapitre 3 — Le second degré · coursVIII Équations se ramenant au second degré

Sommaire du chapitre

I — La forme canonique du trinôme
- Méthode 1 — Mettre un trinôme sous forme canonique
II — Racines du trinôme et équations du second degré
- Méthode 2 — Résoudre une équation du second degré
III — Factorisation du trinôme
- Méthode 3 — Factoriser un trinôme
IV — Somme et produit des racines
- Méthode 4 — Trouver les racines sans discriminant
V — Signe du trinôme et inéquations du second degré
- Méthode 5 — Résoudre une inéquation du second degré
VI — Représentation graphique de la fonction trinôme
- Méthode 6 — Tracer l'allure d'une parabole
VII — Variations de la fonction trinôme
- Méthode 7 — Dresser le tableau de variations d'un trinôme
VIII — Équations se ramenant au second degré
- Méthode 8 — Résoudre une équation se ramenant au second degré
IX — Inéquations se ramenant au second degré
- Méthode 9 — Résoudre une inéquation se ramenant au second degré
X — Résoudre un problème du second degré
- Méthode 10 — Résoudre un problème du second degré

Une équation qui contient des produits, des carrés ou des quotients devient souvent, après calcul, une équation $a x^{2} + b x + c = 0$ .

Méthode 8 — Résoudre une équation se ramenant au second degré

Exemples corrigés

Résoudre dans $R$ les équations suivantes.

a)
Un produit : $(x + 3) (x - 2) = 14$ .
b)
Deux carrés : $(3 x - 1)^{2} = (x + 1)^{2}$ .
c)
Un quotient : $\frac{6}{x} = x + 1$ .
d)
Une valeur à rejeter : $\frac{x ^{2} - 4 x + 4}{x - 2} = 3 x - 4$ .
e)
Deux quotients : $\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{2 x - 1} = \frac{1}{3}$ .

Correction

(x + 3) (x - 2) = 14

⟺ x^{2} + x - 6 = 14

on développe

⟺ x^{2} + x - 20 = 0

tout dans un membre :

a x^{2} + b x + c = 0

4

est racine évidente (

16 + 4 - 20 = 0

) ; l'autre racine est

- 1 - 4 = - 5

S = {- 5; 4}

méthode 4 : la somme des racines vaut

- \frac{b}{a} = - 1

(3 x - 1)^{2} = (x + 1)^{2}

⟺ 9 x^{2} - 6 x + 1 = x^{2} + 2 x + 1

on développe

⟺ 8 x^{2} - 8 x = 0

tout dans un membre

⟺ 8 x (x - 1) = 0

facteur commun : pas de

Δ

S = {0; 1}

produit nul

D = R ∖ {0}

un quotient : on écrit d'abord l'ensemble de définition

\frac{6}{x} = x + 1

⟺ 6 = x (x + 1)

on multiplie par

x \neq = 0

⟺ x^{2} + x - 6 = 0

Racines

2

(racine évidente) et

- 1 - 2 = - 3

, toutes deux dans

D

S = {- 3; 2}

on ne garde que les solutions qui sont dans

D

D = R ∖ {2}

\frac{x ^{2} - 4 x + 4}{x - 2} = 3 x - 4

⟺ x^{2} - 4 x + 4 = (3 x - 4) (x - 2)

on multiplie par

x - 2 \neq = 0

⟺ x^{2} - 4 x + 4 = 3 x^{2} - 10 x + 8

⟺ 2 x^{2} - 6 x + 4 = 0

⟺ x^{2} - 3 x + 2 = 0

on divise par

2

Racines

1

2

. Mais

2 \in / D

S = {1}

la valeur interdite

2

est rejetée

D = R ∖ {\frac{1}{2}; 1}

3 (2 x - 1) - 6 (x - 1) = (x - 1) (2 x - 1)

⟺ 3 = 2 x^{2} - 3 x + 1

on a multiplié par

3 (x - 1) (2 x - 1)

, non nul sur

D

⟺ 2 x^{2} - 3 x - 2 = 0

Δ = 9 + 16 = 25

, donc

x_{1} = \frac{3 + 5}{4} = 2

x_{2} = \frac{3 - 5}{4} = - \frac{1}{2}

méthode 2

Les deux sont dans

D

S = {- \frac{1}{2}; 2}

À vous de jouer

Résoudre dans $R$ :

(x + 2) (x - 3) = 6

(2 x + 1)^{2} = (x + 3)^{2}

\frac{8}{x} = x + 2

\frac{2 x ^{2} + 5 x - 3}{x + 3} = x + 1

Correction

Un produit

(x + 2) (x - 3) = 6

⟺ x^{2} - x - 6 = 6

on développe

⟺ x^{2} - x - 12 = 0

tout dans un membre

4

est racine évidente (

16 - 4 - 12 = 0

) ; l'autre racine est

1 - 4 = - 3

S = {- 3; 4}

somme des racines

1

Deux carrés

(2 x + 1)^{2} = (x + 3)^{2}

⟺ 4 x^{2} + 4 x + 1 = x^{2} + 6 x + 9

on développe

⟺ 3 x^{2} - 2 x - 8 = 0

tout dans un membre

2

est racine évidente (

12 - 4 - 8 = 0

) ; l'autre est

\frac{2}{3} - 2 = - \frac{4}{3}

S = {- \frac{4}{3}; 2}

somme des racines

\frac{2}{3}

Un quotient

D = R ∖ {0}

\frac{8}{x} = x + 2

⟺ 8 = x (x + 2)

on multiplie par

x \neq = 0

⟺ x^{2} + 2 x - 8 = 0

Racines

2

(racine évidente) et

- 2 - 2 = - 4

, toutes deux dans

D

S = {- 4; 2}

Une valeur à rejeter

D = R ∖ {- 3}

\frac{2 x ^{2} + 5 x - 3}{x + 3} = x + 1

⟺ 2 x^{2} + 5 x - 3 = (x + 1) (x + 3)

on multiplie par

x + 3 \neq = 0

⟺ 2 x^{2} + 5 x - 3 = x^{2} + 4 x + 3

⟺ x^{2} + x - 6 = 0

Racines

2

(racine évidente) et

- 1 - 2 = - 3

;

- 3 \in / D

est rejetée :

S = {2}

on ne garde que les solutions de

D

À faire : exercices 31 à 33

Exercice 31 — Développer, puis résoudre

Résoudre dans $R$ :

1)
$(x + 1) (x - 4) = 6$
2)
$(3 x + 1)^{2} = 16$
3)
$x (x - 4) = - 3$
4)
$(2 x + 3)^{2} = (x + 3)^{2}$
5)
$(x - 3)^{2} = x + 3$
6)
$(x + 4) (x - 4) = 6 x + 11$

Corrigé

1)
$x^{2} - 3 x - 4 = 6 ⟺ x^{2} - 3 x - 10 = 0$ ; $Δ = 49$ , $x = \frac{3 \pm 7}{2}$ . $S = {- 2; 5}$
2)
$(3 x + 1)^{2} = 16$
$⟺ 3 x + 1 = 4 ou 3 x + 1 = - 4$
$⟺ x = 1 ou x = - \frac{5}{3}$

$S = {- \frac{5}{3}; 1}$
3)
$x^{2} - 4 x + 3 = 0$ : $x_{1} = 1$ ( $1 - 4 + 3 = 0$ ), $S = 4$ , donc $x_{2} = 3$ . $S = {1; 3}$
4)
$4 x^{2} + 12 x + 9 = x^{2} + 6 x + 9$
$⟺ 3 x^{2} + 6 x = 0$
$⟺ 3 x (x + 2) = 0$

$S = {- 2; 0}$
5)
$x^{2} - 6 x + 9 = x + 3 ⟺ x^{2} - 7 x + 6 = 0$ : racines $1$ et $6$ . $S = {1; 6}$
6)
$x^{2} - 16 = 6 x + 11 ⟺ x^{2} - 6 x - 27 = 0$ ; $Δ = 144$ , $x = \frac{6 \pm 12}{2}$ . $S = {- 3; 9}$

→ En 2), pas besoin de développer : $A^{2} = 16 ⟺ A = 4$ ou $A = - 4$ . En 4), le terme constant disparaît : facteur commun, pas de discriminant.

Exercice 32 — Un seul quotient

Donner l'ensemble de définition, puis résoudre :

1)
$\frac{12}{x} = x + 1$
2)
$\frac{6}{x - 1} = x$
3)
$\frac{x + 10}{x} = x - 2$
4)
$x + \frac{8}{x} = 6$

Corrigé

1)
$D = R ∖ {0}$ . $12 = x^{2} + x ⟺ x^{2} + x - 12 = 0$ ; $Δ = 49$ : racines $- 4$ et $3$ , dans $D$ . $S = {- 4; 3}$
2)
$D = R ∖ {1}$ . $6 = x^{2} - x ⟺ x^{2} - x - 6 = 0$ ; $Δ = 25$ : racines $- 2$ et $3$ , dans $D$ . $S = {- 2; 3}$
3)
$D = R ∖ {0}$ . $x + 10 = x^{2} - 2 x ⟺ x^{2} - 3 x - 10 = 0$ ; $Δ = 49$ : racines $- 2$ et $5$ , dans $D$ . $S = {- 2; 5}$
4)
$D = R ∖ {0}$ . $x^{2} + 8 = 6 x ⟺ x^{2} - 6 x + 8 = 0$ : racines $2$ et $4$ , dans $D$ . $S = {2; 4}$

Exercice 33 — Équations avec quotients

Résoudre dans $R$ :

1)
$\frac{x ^{2} - 6 x + 9}{x - 3} = 2 x - 5$
2)
$\frac{2}{x} + \frac{2}{x - 3} = 1$
3)
$\frac{1}{x + 2} - \frac{2}{x - 3} = \frac{3}{2}$
4)
$\frac{2 x ^{2} + 9 x + 10}{x + 2} = x + 3$

Corrigé

1)
$D = R ∖ {3}$ . $x^{2} - 6 x + 9 = (2 x - 5) (x - 3) ⟺ x^{2} - 5 x + 6 = 0$ : racines $2$ et $3$ , mais $3 \in / D$ . $S = {2}$
2)
$D = R ∖ {0; 3}$ . On multiplie par $x (x - 3)$ :

$2 (x - 3) + 2 x = x (x - 3)$
$⟺ 4 x - 6 = x^{2} - 3 x$
$⟺ x^{2} - 7 x + 6 = 0$

Racines $1$ et $6$ , dans $D$ . $S = {1; 6}$
3)
$D = R ∖ {- 2; 3}$ . On multiplie par $2 (x + 2) (x - 3)$ :

$2 (x - 3) - 4 (x + 2) = 3 (x + 2) (x - 3)$
$⟺ - 2 x - 14 = 3 x^{2} - 3 x - 18$
$⟺ 3 x^{2} - x - 4 = 0$

$Δ = 1 + 48 = 49$ : $x = \frac{1 \pm 7}{6}$ , soit $\frac{4}{3}$ et $- 1$ , dans $D$ . $S = {- 1; \frac{4}{3}}$
4)
$D = R ∖ {- 2}$ .

$2 x^{2} + 9 x + 10 = (x + 3) (x + 2)$
$⟺ x^{2} + 4 x + 4 = 0$
$⟺ (x + 2)^{2} = 0$

La seule valeur est $- 2$ , qui n'est pas dans $D$ . $S = \emptyset$

→ En 1), plus rapide : $\frac{( x - 3 ) ^{2}}{x - 3} = x - 3$ sur $D$ , donc $x - 3 = 2 x - 5 ⟺ x = 2$ . Contrôle en 3) avec $\frac{4}{3}$ : $\frac{3}{10} + \frac{6}{5} = \frac{3}{2}$ .