Chapitre 3 — Le second degré · coursV Signe du trinôme et inéquations du second degré

1. A :
   Racines $2$ et $4$ ($4-12+8=0$, $S=6$), $a=1>0$ :
   
2. B :
   $-3x^2+9x-6=-3\left(x^2-3x+2\right)$ : racines $1$ et $2$, $a=-3<0$ :
   
3. C :
   $\Delta =16-24=-8<0$ : toujours du signe de $a=1>0$.
   
4. D :
   $-x^2-4x-4=-(x+2{)}^2$ : $\Delta =0$, racine double $-2$, $a<0$ :
   

1. 1)
   $\Delta =49-40=9$, racines $\frac{7\pm 3}{2}$, soit $2$ et $5$ ; $a>0$ : positif à l'extérieur. $S=\left]-\infty ;2\right[\cup \left]5;+\infty \right[$
2. 2)
   Racines $4$ (racine évidente) et $-2-4=-6$ ; $a>0$ : négatif entre les racines. $S=\left]-6;4\right[$
3. 3)
   $\Delta =1+120=121$, racines $\frac{1\pm 11}{2}$, soit $-5$ et $6$ ; $a>0$ : $S=\left[-5;6\right]$ (crochets fermés : $⩽$).
4. 4)
   $\Delta =9-16=-7<0$ : le trinôme est toujours strictement positif. $S=\varnothing$
5. 5)
   $2x^2-12x+18=2(x-3{)}^2$, strictement positif sauf en $3$ : $S=\mathbb{R}\setminus \{3\}$
6. 6)
   $\Delta =4+24=28$ et $\sqrt{28}=2\sqrt{7}$ : racines $\frac{-2\pm 2\sqrt{7}}{-6}$, soit $\frac{1-\sqrt{7}}{3}$ et $\frac{1+\sqrt{7}}{3}$ ; $a=-3<0$ : positif entre les racines. $S=\left]\frac{1-\sqrt{7}}{3};\frac{1+\sqrt{7}}{3}\right[$

→ En 4) et 5), on ne conclut pas trop vite « pas de racine, donc pas de solution » : c'est le signe de $a$ qui décide.

1. 1)
   $f(x)=4x+2$

   $⟺x^2+2x+3-4x-2=0$

   $⟺x^2-2x+1=0$

   $⟺(x-1{)}^2=0$

   Un seul point commun, d'abscisse $1$ et d'ordonnée $4\times 1+2=6$.

2. 2)
   $f(x)-(4x+2)=(x-1{)}^2$ : positif ou nul, nul seulement en $1$.
3. 3)
   $f(x)⩾4x+2$ pour tout réel $x$ : ${\mathcal{C}}_f$ est au-dessus de ${\mathcal{D}}_g$ ; elles se touchent au point $(1;6)$.

→ La droite est tangente à la parabole en $(1;6)$ : c'est le cas $\Delta =0$.