Chapitre 3 — Le second degré · coursIII Factorisation du trinôme

1. 1)
   $\Delta =9+40=49$, racines $\frac{-3\pm 7}{2}$, soit $2$ et $-5$ : $f(x)=(x-2)(x+5)$
2. 2)
   $\Delta =100-36=64$, racines $\frac{10\pm 8}{6}$, soit $3$ et $\frac{1}{3}$ : $g(x)=3(x-3)\left(x-\frac{1}{3}\right)=(x-3)(3x-1)$
3. 3)
   $\Delta =9+40=49$, racines $\frac{-3\pm 7}{-4}$, soit $-1$ et $\frac{5}{2}$ : $h(x)=-2(x+1)\left(x-\frac{5}{2}\right)=-(x+1)(2x-5)$
4. 4)
   $3$ est racine évidente ($-3+1+2=0$). On met $a=-\frac{1}{3}$ en facteur : $k(x)=-\frac{1}{3}\left(x^2-x-6\right)$, donc $S=1$ et l'autre racine est $1-3=-2$ : $k(x)=-\frac{1}{3}(x-3)(x+2)$

→ On n'oublie pas le facteur $a$ ; contrôle par le terme constant : en 3), $-2\times (-1)\times \frac{5}{2}=5$.

1. A :
   $\Delta =4-8=-4<0$ : ne se factorise pas.
2. B :
   Identité remarquable : $x^2+8x+16=(x+4{)}^2$
3. C :
   $\Delta =25-24=1$, racines $\frac{5\pm 1}{6}$, soit $1$ et $\frac{2}{3}$ : $3(x-1)\left(x-\frac{2}{3}\right)=(x-1)(3x-2)$
4. D :
   $\Delta =16-28=-12<0$ : ne se factorise pas.
5. E :
   Identité remarquable : $9x^2+12x+4=(3x+2{)}^2$
6. F :
   $-1$ est racine évidente ($2-3+1=0$) ; $S=-\frac{3}{2}$, donc l'autre racine est $-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$ : $2(x+1)\left(x+\frac{1}{2}\right)=(x+1)(2x+1)$

1. 1)
   $x+3=0⟺x=-3$ : $D=\mathbb{R}\setminus \{-3\}$. Le numérateur a pour racines $2$ (racine évidente) et $-1-2=-3$ : $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$. Pour $x\ne -3$ : $A(x)=\frac{(x-2)(x+3)}{x+3}=x-2$.
2. 2)
   $x^2-1=(x-1)(x+1)$ : $D=\mathbb{R}\setminus \{-1;1\}$. Le numérateur a pour racines $-1$ (racine évidente) et $-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$ : $3x^2+x-2=3(x+1)\left(x-\frac{2}{3}\right)=(x+1)(3x-2)$. Pour $x\in D$ : $B(x)=\frac{(x+1)(3x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x-2}{x-1}$.

→ L'égalité simplifiée n'est vraie que sur $D$ : en 1), $A(-3)$ n'existe pas, alors que $x-2$ vaut $-5$ en $-3$.