Chapitre 3 — Le second degré · coursII Racines du trinôme et équations du second degré

Sommaire du chapitre

I — La forme canonique du trinôme
- Méthode 1 — Mettre un trinôme sous forme canonique
II — Racines du trinôme et équations du second degré
- Méthode 2 — Résoudre une équation du second degré
III — Factorisation du trinôme
- Méthode 3 — Factoriser un trinôme
IV — Somme et produit des racines
- Méthode 4 — Trouver les racines sans discriminant
V — Signe du trinôme et inéquations du second degré
- Méthode 5 — Résoudre une inéquation du second degré
VI — Représentation graphique de la fonction trinôme
- Méthode 6 — Tracer l'allure d'une parabole
VII — Variations de la fonction trinôme
- Méthode 7 — Dresser le tableau de variations d'un trinôme
VIII — Équations se ramenant au second degré
- Méthode 8 — Résoudre une équation se ramenant au second degré
IX — Inéquations se ramenant au second degré
- Méthode 9 — Résoudre une inéquation se ramenant au second degré
X — Résoudre un problème du second degré
- Méthode 10 — Résoudre un problème du second degré

Définition 2 — Racines et discriminant

Les racines d'un trinôme sont les solutions de l'équation $a x^{2} + b x + c = 0$ .

Le discriminant du trinôme est le nombre $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

Théorème 2 — Nombre de racines

Si $Δ > 0$ : deux racines $x_{1} = \frac{- b + Δ}{2 a}$ et $x_{2} = \frac{- b - Δ}{2 a}$ .
Si $Δ = 0$ : une seule racine (dite double) $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ .
Si $Δ < 0$ : aucune racine réelle.

Méthode 2 — Résoudre une équation du second degré

Exemples corrigés

Résoudre dans $R$ les équations suivantes.

a)
$3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$
b)
$5 x^{2} - 20 x + 20 = 0$
c)
$x^{2} - 3 x + 5 = 0$
d)
$9 x^{2} - 16 = 0$ et $4 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

Correction

a = 3

b = - 4

c = - 4

pas de factorisation directe : on lit

a

b

c

Δ

= (- 4)^{2} - 4 \times 3 \times (- 4)

Δ = b^{2} - 4 a c

Δ

= 16 + 48

Δ

= 64 = 8^{2}

Δ > 0

: deux racines

x_{1}

= \frac{4 + 8}{6} = 2

x_{1} = \frac{- b + Δ}{2 a}

x_{2}

= \frac{4 - 8}{6} = - \frac{2}{3}

x_{2} = \frac{- b - Δ}{2 a}

S = {- \frac{2}{3}; 2}

on conclut par l'ensemble des solutions

a = 5

b = - 20

c = 20

Δ

= (- 20)^{2} - 4 \times 5 \times 20

Δ

= 400 - 400 = 0

Δ = 0

: une racine double

x_{0}

= \frac{20}{10} = 2

x_{0} = - \frac{b}{2 a}

S = {2}

a = 1

b = - 3

c = 5

Δ

= (- 3)^{2} - 4 \times 1 \times 5

Δ

= 9 - 20 = - 11

Δ < 0

: aucune racine

S = \emptyset

9 x^{2} - 16 = 0

⟺ (3 x - 4) (3 x + 4) = 0

factorisation directe (

u^{2} - v^{2}

) : pas de

Δ

⟺ x = \frac{4}{3} ou x = - \frac{4}{3}

4 x^{2} + 12 x + 9 = 0

⟺ (2 x + 3)^{2} = 0

u^{2} + 2 uv + v^{2}

⟺ x = - \frac{3}{2}

À vous de jouer

Résoudre dans $R$ :

x^{2} - 9 x + 20 = 0

3 x^{2} + 2 x + 1 = 0

9 x^{2} + 6 x + 1 = 0

4 x^{2} - 25 = 0

Correction

$x^{2} - 9 x + 20 = 0$

Δ

= (- 9)^{2} - 4 \times 1 \times 20

a = 1

b = - 9

c = 20

Δ

= 81 - 80 = 1

Δ > 0

: deux racines

x_{1}

= \frac{9 + 1}{2} = 5

x_{2}

= \frac{9 - 1}{2} = 4

S = {4; 5}

$3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Δ

= 2^{2} - 4 \times 3 \times 1

Δ

= 4 - 12 = - 8

Δ < 0

: aucune racine

S = \emptyset

$9 x^{2} + 6 x + 1 = 0$

9 x^{2} + 6 x + 1 = 0

⟺ (3 x + 1)^{2} = 0

identité remarquable : pas de

Δ

⟺ 3 x + 1 = 0

S = {- \frac{1}{3}}

$4 x^{2} - 25 = 0$

4 x^{2} - 25 = 0

⟺ (2 x - 5) (2 x + 5) = 0

factorisation directe (

u^{2} - v^{2}

) : pas de

Δ

⟺ x = \frac{5}{2} ou x = - \frac{5}{2}

S = {- \frac{5}{2}; \frac{5}{2}}

produit nul

À faire : exercices 5 à 9

Exercice 5 — Factoriser plutôt que calculer $Δ$

Résoudre chaque équation en factorisant, sans discriminant.

1)
$9 x^{2} - 4 = 0$
2)
$x^{2} - 6 x = 0$
3)
$2 x^{2} - 18 = 0$
4)
$x^{2} - 5 = 0$
5)
$(3 x - 2) (x + 5) = 0$
6)
$x^{2} - 10 x + 25 = 0$

Corrigé

1)
$9 x^{2} - 4 = (3 x - 2) (3 x + 2)$ : $S = {- \frac{2}{3}; \frac{2}{3}}$
2)
$x^{2} - 6 x = x (x - 6)$ : $S = {0; 6}$
3)
$2 x^{2} - 18 = 2 (x - 3) (x + 3)$ : $S = {- 3; 3}$
4)
$x^{2} - 5 = (x - 5) (x + 5)$ : $S = {- 5; 5}$
5)
$3 x - 2 = 0$ ou $x + 5 = 0$ : $S = {- 5; \frac{2}{3}}$
6)
$x^{2} - 10 x + 25 = (x - 5)^{2}$ : $S = {5}$

→ Facteur commun, identité remarquable, produit déjà factorisé : calculer $Δ$ ferait perdre du temps.

Exercice 6 — Avec le discriminant

Résoudre dans $R$ en calculant le discriminant.

1)
$x^{2} + x - 12 = 0$
2)
$x^{2} + 3 x + 5 = 0$
3)
$- x^{2} + 6 x - 9 = 0$
4)
$t^{2} - 4 t - 21 = 0$
5)
$2 - y - 3 y^{2} = 0$
6)
$- 2 x^{2} + 5 x + 1 = 0$

Corrigé

1)
$Δ = 1 + 48 = 49 > 0$ : $x_{1} = \frac{- 1 - 7}{2} = - 4$ et $x_{2} = \frac{- 1 + 7}{2} = 3$ . $S = {- 4; 3}$
2)
$Δ = 9 - 20 = - 11 < 0$ : $S = \emptyset$
3)
$Δ = 36 - 36 = 0$ : racine double $x_{0} = - \frac{6}{2 \times ( - 1 )} = 3$ . $S = {3}$
4)
$Δ = 16 + 84 = 100$ : $t = \frac{4 \pm 10}{2}$ . $S = {- 3; 7}$
5)
On ordonne : $- 3 y^{2} - y + 2 = 0$ , donc $a = - 3$ , $b = - 1$ et $c = 2$ . $Δ = 1 + 24 = 25$ : $y = \frac{1 \pm 5}{- 6}$ . $S = {- 1; \frac{2}{3}}$
6)
$Δ = 25 + 8 = 33 > 0$ : $x = \frac{- 5 \pm 33}{- 4} = \frac{5 \mp 33}{4}$ . $S = {\frac{5 - 33}{4}; \frac{5 + 33}{4}}$

→ En 3), le trinôme vaut $- (x - 3)^{2}$ . En 5), on range l'équation dans l'ordre $a y^{2} + b y + c$ avant de lire $a$ , $b$ , $c$ : l'erreur de signe est fréquente.

Exercice 7 — Des racines carrées dans les coefficients

Résoudre dans $R$ :

1)
$x^{2} - 25 x - 4 = 0$
2)
$3 t^{2} - 4 t + 3 = 0$
3)
$x^{2} - (1 + 2) x + 2 = 0$
4)
$4 x - x^{2} - 5 = 0$
5)
$x^{3} + 2 x^{2} - 15 x = 0$
6)
$(3 x + 2)^{2} + 1 = 0$

Corrigé

1)
$Δ$
$= (- 25)^{2} - 4 \times 1 \times (- 4)$
$Δ$
$= 20 + 16$
$Δ$
$= 36 = 6^{2}$

$x = \frac{2 5 \pm 6}{2} = 5 \pm 3$ . $S = {5 - 3; 5 + 3}$
2)
$Δ$
$= 16 - 43 \times 3$
$Δ$
$= 16 - 12 = 4$

$t = \frac{4 \pm 2}{2 3}$ , soit $\frac{6}{2 3} = 3$ et $\frac{2}{2 3} = \frac{3}{3}$ . $S = {\frac{3}{3}; 3}$
3)
$Δ$
$= (1 + 2)^{2} - 42$
$Δ$
$= 1 + 22 + 2 - 42$
$Δ$
$= 3 - 22 = (2 - 1)^{2}$

$x = \frac{1 + 2 \pm ( 2 - 1 )}{2}$ . $S = {1; 2}$
4)
$- x^{2} + 4 x - 5 = 0$ : $Δ = 16 - 20 = - 4 < 0$ . $S = \emptyset$
5)
$x^{3} + 2 x^{2} - 15 x = x (x^{2} + 2 x - 15)$ : $x = 0$ , ou $x^{2} + 2 x - 15 = 0$ ( $Δ = 64$ , racines $3$ et $- 5$ ). $S = {- 5; 0; 3}$
6)
$(3 x + 2)^{2} ⩾ 0$ , donc $(3 x + 2)^{2} + 1 ⩾ 1 > 0$ . $S = \emptyset$

→ En 3), plus rapide : $1$ est racine, car $1 - (1 + 2) + 2 = 0$ ; le produit des racines vaut $2$ (partie IV). En 5) et 6), pas de discriminant sur l'expression entière : on factorise, ou on raisonne sur le signe.

Exercice 8 — Une parabole et une droite

1)
Dans un même repère, tracer l'allure de la parabole d'équation $y = x^{2}$ et la droite d'équation $y = 2 x + 3$ .
2)
Expliquer pourquoi les solutions de $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ sont les abscisses des points communs aux deux courbes. Combien cette équation a-t-elle de solutions ? Les lire.
3)
Résoudre $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ par le calcul.

Corrigé

1)
Voir la figure.
2)
$x^{2} - 2 x - 3 = 0 ⟺ x^{2} = 2 x + 3$ : les solutions sont les abscisses des points communs à la parabole et à la droite. Il y en a deux ; on lit $- 1$ et $3$ .
3)
$Δ = 4 + 12 = 16$ , donc $x = \frac{2 \pm 4}{2}$ . $S = {- 1; 3}$
On vérifie : $(- 1)^{2} = 1 = 2 \times (- 1) + 3$ et $3^{2} = 9 = 2 \times 3 + 3$ .

Exercice 9 — Un programme Python

La fonction racines renvoie la liste des solutions de $a x^{2} + b x + c = 0$ .

from math import sqrt

def racines(a, b, c):
    d = b*b - 4*a*c
    if d < 0:
        return []
    if d == 0:
        return [-b/(2*a)]
    r = sqrt(d)
    return [(-b - r)/(2*a), (-b + r)/(2*a)]

1)
Que représente la variable d ? Que renvoie la fonction selon son signe ?
2)
Saisir ce programme, puis le tester sur les six équations de l'exercice 6 : retrouve-t-on les résultats obtenus à la main ?
3)
Que se passe-t-il avec racines(0, 3, -12) ? Pourquoi ? Quelle est pourtant la solution de $3 x - 12 = 0$ ?
4)
Comparer racines(1, 6, 9) et racines(0.2, 1.2, 1.8). Le second trinôme vaut $0, 2 (x + 3)^{2}$ : quelle réponse attendait-on ? Pourquoi un test d'égalité est-il fragile avec des nombres à virgule ?

Corrigé

1)
d est le discriminant $Δ$ . Si d < 0, la fonction renvoie une liste vide (aucune solution) ; si d == 0, la seule racine $- \frac{b}{2 a}$ ; sinon, les deux racines.
2)
On retrouve l'exercice 6 : [-4.0, 3.0] ; [] ; [3.0] ; [-3.0, 7.0] ; avec $(- 3; - 1; 2)$ : [0.666..., -1.0] ; avec $(- 2; 5; 1)$ : [2.686..., -0.186...], valeurs approchées de $\frac{5 + 33}{4}$ et de $\frac{5 - 33}{4}$ .
3)
Ici $Δ = 9 > 0$ et le programme divise par $2 a = 0$ : erreur de division par zéro. Avec $a = 0$ , l'équation n'est pas du second degré et les formules ne s'appliquent pas. Pourtant $3 x - 12 = 0 ⟺ x = 4$ .
4)
racines(1, 6, 9) renvoie [-3.0] : $Δ = 0$ exactement. Pour $0, 2 (x + 3)^{2}$ on attendait aussi $- 3$ , mais le programme renvoie [] : les nombres à virgule sont enregistrés en valeur approchée, d vaut environ $- 2, 2 \times 1 0^{- 16}$ au lieu de $0$ , et le test d < 0 est vrai.

→ Le résultat exact peut dépendre de la machine ; l'essentiel est de comprendre qu'un test d'égalité sur des nombres à virgule calculés est fragile.

Chapitre 3 — Le second degré · coursII Racines du trinôme et équations du second degré

Définition 2 — Racines et discriminant

Théorème 2 — Nombre de racines

Méthode 2 — Résoudre une équation du second degré

Exemples corrigés

À vous de jouer

Exercice 5 — Factoriser plutôt que calculer Δ

Exercice 6 — Avec le discriminant

Exercice 7 — Des racines carrées dans les coefficients

Exercice 8 — Une parabole et une droite

Exercice 9 — Un programme Python

Exercice 5 — Factoriser plutôt que calculer $Δ$