Chapitre 2 — Fonctions affines et pourcentages · coursII Calculer un pourcentage

Sommaire du chapitre

I — Appliquer un pourcentage
- Méthode 1 — Calculer $t %$ d'une quantité
- Méthode 2 — Augmenter ou diminuer une quantité de $t %$
II — Calculer un pourcentage
- Méthode 3 — Calculer une proportion en pourcentage
- Méthode 4 — Calculer un taux d'évolution
III — Coefficient multiplicateur
- Méthode 5 — Appliquer une évolution avec le coefficient multiplicateur
IV — Évolutions successives, évolution réciproque
- Méthode 6 — Calculer un taux d'évolution global
- Méthode 7 — Vérifier qu'une évolution en compense une autre
V — Fonctions affines : image, antécédent
- Méthode 8 — Calculer une image
- Méthode 9 — Calculer un antécédent
VI — Trouver une fonction affine
- Méthode 10 — Déterminer une fonction affine
VII — Tracer une fonction affine
- Méthode 11 — Tracer la droite d'une fonction affine
- Méthode 12 — Utiliser une fonction linéaire (proportionnalité)
VIII — Lire l'équation d'une droite
- Méthode 13 — Lire l'équation réduite d'une droite
IX — Signe d'une fonction affine
- Méthode 14 — Dresser le tableau de signes d'une fonction affine
X — Comparer deux fonctions affines
- Méthode 15 — Comparer deux offres

Définition 2 — Proportion

Dans un ensemble de $N$ individus (le « total »), une partie en compte $n$ . La proportion de cette partie est

p = \frac{n}{N}

C'est un nombre entre $0$ et $1$ , qu'on écrit souvent en pourcentage.

Méthode 3 — Calculer une proportion en pourcentage

Exemples corrigés

a)
Sur $20$ élèves, $9$ viennent au lycée à vélo. Quel pourcentage des élèves cela représente-t-il ?
b)
Un spectacle réunit $300$ spectateurs, dont $54$ enfants. Quelle est la proportion d'enfants, en pourcentage ?

Correction

p

= \frac{9}{20}

la partie sur le total

p

= \frac{45}{100}

on multiplie en haut et en bas par

5

p

= 45 %

p

= \frac{54}{300}

la partie sur le total

p

= \frac{18}{100}

on divise en haut et en bas par

3

p

= 18 %

À vous de jouer

Écrire chaque proportion en pourcentage :

\frac{7}{20}

\frac{1}{4}

\frac{36}{200}

18 re \overset{c}{¸} us sur 60 candidats

Correction

\frac{7}{20}

= \frac{35}{100} = 35 %

on multiplie en haut et en bas par

5

\frac{1}{4}

= \frac{25}{100} = 25 %

par

25

\frac{36}{200}

= \frac{18}{100} = 18 %

on divise en haut et en bas par

2

\frac{18}{60}

= \frac{3}{10} = 30 %

la partie sur le total ; on divise par

6

18

reçus sur

60

candidats :

30 %

de reçus.

Définition 3 — Taux d'évolution

Une grandeur passe d'une valeur de départ $V_{0}$ à une valeur d'arrivée $V_{1}$ . Son taux d'évolution est

t = \frac{V _{1} - V _{0}}{V _{0}}

$t > 0$ : c'est une hausse ; $t < 0$ : c'est une baisse ;
on divise toujours par la valeur de départ.

Méthode 4 — Calculer un taux d'évolution

Exemples corrigés

a)
Un prix passe de $60$ € à $69$ €. Calculer le taux d'évolution.
b)
Une récolte passe de $500$ à $470$ tonnes. Calculer le taux d'évolution.
c)
Une association passe de $600$ à $530$ membres. Justifier qu'elle a perdu plus de $10 %$ de ses membres.

Correction

t

= \frac{69 - 60}{60}

arrivée moins départ, sur départ

t

= \frac{9}{60}

t

= 0, 15

\frac{9}{60} = \frac{3}{20} = \frac{15}{100}

Le prix a augmenté de

15 %

t > 0

: hausse

t

= \frac{470 - 500}{500}

t

= \frac{- 30}{500}

t

= - 0, 06

\frac{30}{500} = \frac{6}{100}

La récolte a baissé de

6 %

t < 0

: baisse

L'association a perdu

600 - 530 = 70

membres.

10 %

600

font

60

, et

70 > 60

: elle a perdu plus de

10 %

de ses membres.

on compare la perte à

10 %

du départ

Autre rédaction :

600 \times 0, 9 = 540

530 < 540

comme dans les corrigés de l'épreuve

À vous de jouer

Calculer le taux d'évolution de chaque grandeur :

1°)
un salaire qui passe de $2000$ € à $2080$ € ;
2°)
une facture qui passe de $40$ € à $30$ € ;
3°)
une production qui passe de $120$ à $150$ tonnes ;
4°)
une ville passe de $4000$ à $4300$ habitants : a-t-elle gagné plus de $5 %$ d'habitants ?

Correction

1°)

t

= \frac{2 080 - 2 000}{2 000}

arrivée moins départ, sur départ

t

= \frac{80}{2 000}

t

= 0, 04

\frac{80}{2 000} = \frac{4}{100}

Le salaire a augmenté de

4 %

t > 0

: hausse

2°)

t

= \frac{30 - 40}{40}

t

= \frac{- 10}{40}

t

= - 0, 25

\frac{10}{40} = \frac{1}{4}

La facture a baissé de

25 %

t < 0

: baisse

3°)

t

= \frac{150 - 120}{120}

t

= \frac{30}{120}

t

= 0, 25

La production a augmenté de

25 %

4°)

La ville a gagné

4300 - 4000 = 300

habitants.

5 %

4000

font

200

, et

300 > 200

: oui, elle a gagné plus de

5 %

d'habitants.

on compare le gain à

5 %

du départ

À faire : exercices 6 à 10

Exercice 6 — Proportions

Écrire chaque proportion en pourcentage.

12

élèves sur

40

9

admis sur

20

candidats

33

garçons sur

150

élèvesd)

80

clients sur

500

Corrigé

a)
$\frac{12}{40} = \frac{30}{100}$ , soit $30 %$
b)
$\frac{9}{20} = \frac{45}{100}$ , soit $45 %$
c)
$\frac{33}{150} = \frac{22}{100}$ , soit $22 %$
d)
$\frac{80}{500} = \frac{16}{100}$ , soit $16 %$

Exercice 7 — Deux enquêtes

Répondre en justifiant par un calcul.

a)
Sur $250$ élèves, $140$ sont favorables à un projet de jardin. Le projet exige qu'au moins $60 %$ d'entre eux le soient. Est-ce le cas ?
b)
Sur $400$ clients d'une agence de voyages, $340$ sont satisfaits. Une publicité affirme que $85 %$ d'entre eux le sont. Est-ce exact ?

Corrigé

a)
$\frac{140}{250} = \frac{56}{100}$ , soit $56 % < 60 %$ : $non$ .
b)
$\frac{340}{400} = \frac{85}{100}$ , soit $85 %$ : $c’est exact$ .

Autre rédaction pour a) : $60 %$ de $250$ font $150$ , et $140 < 150$ .

Exercice 8 — Taux d'évolution

Calculer le taux d'évolution de chaque grandeur, en pourcentage.

a)
Un prix passe de $150$ € à $180$ €.
b)
Un stock passe de $400$ kg à $340$ kg.
c)
Un loyer passe de $800$ € à $720$ €.
d)
Un club passe de $60$ à $75$ adhérents.

Corrigé

a)
$t = \frac{180 - 150}{150} = \frac{30}{150}$ , soit $t = 0, 2$ : $+ 20 %$ .
b)
$t = \frac{340 - 400}{400} = \frac{- 60}{400}$ , soit $t = - 0, 15$ : $- 15 %$ .
c)
$t = \frac{720 - 800}{800} = \frac{- 80}{800}$ , soit $t = - 0, 1$ : $- 10 %$ .
d)
$t = \frac{75 - 60}{60} = \frac{15}{60}$ , soit $t = 0, 25$ : $+ 25 %$ .

On divise toujours par la valeur de départ.

Exercice 9 — Plus ou moins de… ?

Répondre sans calculer le taux d'évolution exact.

a)
Un club passe de $700$ à $620$ adhérents. A-t-il perdu plus de $10 %$ de ses adhérents ?
b)
Une forêt passe de $1500$ à $1620$ arbres. A-t-elle gagné plus de $10 %$ d'arbres ?
c)
Une ville passe de $3000$ à $2880$ habitants. A-t-elle perdu plus de $5 %$ de ses habitants ?

Corrigé

a)
Perte : $80$ ; $10 %$ de $700$ font $70$ ; $80 > 70$ : $oui$ .
b)
Gain : $120$ ; $10 %$ de $1500$ font $150$ ; $120 < 150$ : $non$ .
c)
Perte : $120$ ; $5 %$ de $3000$ font $150$ ; $120 < 150$ : $non$ .

Autre rédaction, celle des corrigés de l'épreuve, pour a) : une baisse de $10 %$ donnerait $700 \times 0, 9 = 630$ ; or $620 < 630$ .

Exercice 10 — Au tableur

Une feuille de calcul donne le nombre d'entrées d'une piscine.

	A	B	C	D	E
1	Année	2022	2023	2024	2025
2	Entrées	$5000$	$5500$	$4950$	$5445$
3	Taux d'évolution	$\times$

Rappel. Dans une formule, B2 désigne le nombre de la cellule B2. En recopiant une formule vers la droite, B2 devient C2, puis D2…

a)
Calculer le taux d'évolution du nombre d'entrées entre 2022 et 2023.
b)
Parmi ces formules, laquelle saisir en C3 pour obtenir, par recopie vers la droite, les taux d'évolution d'une année sur l'autre ?

=(C2-B2)/C2=C2-B2/B2

=(C2-B2)/B2=(B2-C2)/B2
c)
Quelle formule contient alors la cellule D3 ?

Corrigé

a)
$t = \frac{5 500 - 5 000}{5 000} = \frac{500}{5 000}$ , soit $t = 0, 1$ : $+ 10 %$ .
b)
$=(C2-B2)/B2$
c)
$=(D2-C2)/C2$

Sans parenthèses, =C2-B2/B2 calcule $C 2 - 1$ : la division passe avant la soustraction. On divise par la cellule de l'année précédente.